Teoría de conjuntos y probabilidad

Teoría de conjuntos y probabilidad M.Sc. Cindy Calderón Arce Lic. Rebeca Soĺıs Ortega Jornada de capacitación CIEMAC Alajuela 2016 Junio, 2016 Jornada de capacitación 1 / 21

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Colección bien definida Elementos distintos No importa el orden Notación: Por extensión Por comprensión 3 / 21

Ejemplo Escriba la notación por extensión y por comprensión de los siguientes conjuntos, además indique algunos de sus elementos. Todos los números naturales, impares y menores que 100. Todos los números enteros negativos, múltiplos de tres, mayores que -50 y menores que 50. 4 / 21

Sean A y B conjuntos: Universo U Subconjunto A B := x(x A x B) Unión A B = {x x A x B} Intersección A B = {x x A x B} 5 / 21

Diferencia A B = {x x A (x B)} Complemento A c = Ω A = {x Ω x A} Cardinalidad A disjuntos A B = 6 / 21

Ejemplo Sean U =, A = {x x 2 4 1} y B = {5x x }, determine A B A B A B B A A c 7 / 21

Actividad Sea B el conjunto de todos los números naturales menores a 31 que son múltiplos de 3 y C el conjunto de todos los números enteros mayores que -10 y menores que 16 que son múltiplos de 4. Con base a esta información: Escriba los conjuntos B y C por extensión y por comprensión. Determine los siguientes conjuntos B C B C B C 8 / 21

Actividad Considere el experimento de escoger un número natural del 1 al 12. Si el evento A es: que el número escogido sea par y el evento B es: que el número escogido sea múltiplo de tres. Determine A B A B 9 / 21

Experimento aleatorio Espacio muestral o espacio de muestra Eventualidad Evento mutuamente excluyentes 10 / 21

Ejemplo Indique cuál o cuales de las siguientes situaciones se pueden catalogar como un experimento aleatorio Abrir el tubo de agua de un fregadero. El pronóstico del tiempo para Alajuela durante el mes de agosto. Lanzar un dado. Lanzar una moneda. 11 / 21

Actividad Determine si los siguientes experimentos son aleatorios o no, en caso de que lo sean, determine el espacio muestral e indique (si lo hubiere) un evento alternativo que sea mutuamente excluyente al realizado. 1 Lance una moneda cuatro veces y anote el resultado obtenido. Repita este experimento 10 veces más. 2 Lace dos dados y sume los valores de sus caras. Repita este experimento 10 veces más. 3 Encienda su celular. Repita este experimento 10 veces más. 4 Mezcle dos colores primarios. Repita este experimento 5 veces más cambiando los colores base. 12 / 21

Actividad Considere el experimento de sacar dos bolas de una caja que contiene bolas blancas (B), azules (A) y rojas (R). Si las bolas poseen la misma forma y tamaño, y el evento M es: que las bolas sean del mismo color, determine M c. 13 / 21

Actividad Considere la siguiente información En el experimento de lanzar un dado legal y registrar el número que sale en la cara superior, interesan dos eventos: Que el número sea impar Que el número sea un 4 con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. El evento A es el complemento del evento B. II. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes. Cuáles de ellas son verdaderas? 1 Ambas 2 Ninguna 3 Solo la I 4 Solo la II 14 / 21

Regla de Laplace Dado un experimento aleatorio, con eventos equiprobables, la probabilidad de que ocurra un evento A se define como P(A) = A U 15 / 21

Ejemplo Considere el experimento de lanzar dos dados de diferente color, determine la probabilidad de que al sumar los valores de las caras superiores de cada dado el resultado sea múltiplo de 3. Analice el resultado si los dados fuesen indistinguibles. 16 / 21

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Sean A y B dos eventos de un experimento aleatorio con eventos equiprobables Complemento P(A c ) = 1 P(A) Principio de inclusión y exclusión P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) mutuamente excluyentes P(A B) = P(A)+P(B) A B = 18 / 21

Actividad Se va a realizar una feria con el fin de recaudar fondos para pintar y reparar los pupitres de una clase. La profesora guía le ha solicitado a sus alumnos que se encarguen de organizar un juego de azar, el cuál consiste en tirar dos dados, y de acuerdo a la suma de las caras, se debe premiar con alguna de las siguientes opciones: Gana el doble de lo invertido. Recupera lo invertido. Recupera la mitad de lo invertido. Pierde lo invertido. Qué distribución realizaría para que le juego sea atractivo para la gente y que la casa siempre gane? 19 / 21

Actividad Suponga que en una bolsa negra, no transparente, se depositan 4 bolas rojas y 7 bolas blancas. Responda las siguientes preguntas: 1 Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja en el primer intento? 2 Si se sacan bolas sin sustitución (o sea una vez que se saca una no se vuelve a meter en la bolsa) Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas rojas seguidas en el primer intento? 3 Si se sacan bolas sin sustitución Qué es más probable: sacar cinco bolas blancas seguidas o sacar 3 bolas rojas seguidas? 20 / 21

Actividad Se tiene una baraja de naipes completa (52 cartas distribuidas en cuatro palos: corazones, diamantes, tréboles y bastos), con esta se juega la Carta Mayor, gana la persona que saque la carta con la mayor numeración (la carta As tiene un valor de 1, las cartas J, Q, K tiene un valor de 10, 11 y 12, respectivamente) sin reponer las cartas que ya se hayan sacado. Si cuatro amigos juegan: 1 Cuál es la probabilidad de ganar de cada uno de ellos antes de sacar la primera carta? 2 Si Mario sacó su carta y obtuvo un 7, Flor una J y Patricia un 4 Cuál es la probabilidad de que José gane al momento de sacar la carta? 3 Para el caso anterior Cuál es la probabilidad de que Flor gane antes de que José saque su carta? 21 / 21