GUIA DE TRABAJO Nº 1 NÚMEROS - TEORÍA 2017 Nombre alumno:.. Fecha: Contenidos Números naturales, enteros, racionales, representación en la recta numérica, propiedades. Densidad de Q. Decimales periódicos y semiperiódicos. Situaciones problemáticas. Aproximación por redondeo y truncamiento. NÚMEROS NATURALES (N) Los elementos del conjunto N= {1, 2,, 4, 5, 6, 7,...} se denominan números naturales NÚMEROS ENTEROS (Z) Los elementos del conjunto Z= {, -, -2, -1, 0, 1, 2, } se denominan números enteros. OPERATORIA EN Z ADICIÓN Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando elsigno común. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el demenor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor en valor absoluto. OBSERVACIÓN: El valor absoluto de un número es el valor numérico cuando se omite elsigno. El valor absoluto de +5 ó de -5 es 5. MULTIPLICACIÓN Si se multiplican dos números de igual signo el resultado es siempre positivo. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo. OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación. Ejemplo ilustrativos 1. A una piscina ingresaron a las 10 AM, 68 personas, al mediodía ingresó el doble de ellas, y a las 4 PM se retiraron 504 personas. Cuántas personas quedaron en la piscina? A) 1.104 B) 800 C) 76 D) 700 E) 600 1
2. Un señor regala a su esposa y a sus tres hijos 11.500 U.F. El mayor recibe 2.00 U.F., el segundo recibe 500 U.F. menos que el mayor, el tercero tanto como sus hermanos juntos y la esposa recibe el resto. Cuántas U.F. recibe la esposa? A) 8.200 B) 5.600 C) 4.100 D).00 E) 1.00. El cuociente entre -145 y -5 es A)-29 B)-27 C) 27 D) 28 E) 29 4. José dice a Carlos: Mi edad equivale a la suma de los dígitos del número de mi casa, que es 1.97, más el doble de 18, disminuido en uno. Entonces, la edad de José es A) 20 años B) 5 años C) 40 años D) 50 años E) 55 años 5. -2 + (-107) = A) -109 B) -105 C) 105 D) 109 E) 214 6. Si al número entero (-4) le restamos el número entero (-12), resulta A) -16 B) -8 C) 8 D) 16 E) 48 2
7. Dados los números a = - +, b = 1 y c = -4 : -2. Entonces, cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) a y b son números enteros. II) a no es número natural. III) (c b) es un número natural. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III DEFINICIONES: Sea n un número entero, entonces: El sucesor de n es (n + 1). El antecesor de n es (n 1). El entero 2n es siempre par. El entero (2n 1) es siempre impar. El entero (2n + 1) es siempre impar. Son pares consecutivos 2n y 2n + 2. Son impares consecutivos 2n + 1 y 2n +. El cuadrado perfecto de n es n 2. OBSERVACIÓN: Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 25, 6, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,196, 225, 256, 8. En el conjunto Z, si al antecesor de 0 se le resta el sucesor de -5, se obtiene A) 5 B) 4 C) D) - E) -5 9. Si a y b son números enteros tales que (a + b) es impar, entonces cuál de las siguientes expresiones representa siempre un número impar? A) a b B) a + b + 1 C) a b + D) b a + 5 E) a b + 7
PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al operar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden: Resolver los paréntesis. Realizar las potencias. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha. Realizar adiciones y/o sustracciones. 10. -8 + 4 + 12 : -6 = A) 2 B) 0 C) -12 D) -14 E) -18 11. 42 2 5 : 2 5 = A) -8 B) -1 C) 1 D) 25 E) 8 12. Si x = 2 2( 5), y = -6[-5 (-)] y z = -{5 2[2 (-6)]}, entonces los valores de y, z y x, respectivamente, son A) 6-12 72 B) 12 6 C) 12-72 0 D) 48-72 2 E) 12 0 MÚLTIPLO Y DIVISOR En la expresión a = b c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y dec o bien b y c son divisores o factores de a. ALGUNAS REGLAS DE DIVISIBILIDAD Un número entero es divisible: 4
1. Si D(n) representa el conjunto formado por todos los números enteros no negativos divisores de n, entonces D(6) corresponde al conjunto A) {0, 1, 2,, 4, 6, 9, 12, 18, 6} B) {1, 2,, 4, 6, 12, 18, 6} C) {1, 2,, 4, 6, 9, 12, 6} D) {1, 2,, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 6} E) {1, 2,, 4, 6, 9, 12, 18, 6} NÚMEROS RACIONALES Los números racionales son todos aquellos números de la forma a con a y b números b enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la letraq. IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES OBSERVACIÓN: Dada la fracción a/b, con a y b números enteros positivos, si a es menor queb la fracción es propia y si a es mayor que b la fracción es impropia. 14. Si a y b son números enteros, Para qué valor de b la expresión a no representa b 5 un número racional? A) b = 0 B) b 5 C) b = 6 D) b = 5 E) b = 4 15. 8 7 + 4 9 = A) 12 16 B) 2 6 C) 4 6 D) 12 6 5
E) 100 6 16. Si T = -2 1 2 y S = 4 4, entonces S - T = A) 7 1 4 B) 2 1 4 C) 1 1 4 D) 2 1 4 E) 7 1 4 17. 1 2 1 1 A) -1 B) - 4 5 C) 1 6 D) 4 5 E) 1 4 4 1 2 RELACIÓN DE ORDEN EN Q OBSERVACIONES Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos: igualar numeradores. igualar denominadores. convertir a número decimal. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales. 18. El orden creciente de los números a = 7 11, b = 8,c = 9 12 10 es: A) a, b, c B) b, a, c C) c, a, b D) a, c, b E) b, c, a 6
19. Si x es un múmero natural mayor que 1, cuál es la relación correcta entre las fracciones a = 5 x, b = 5 yc = 5 x 1 x+1? A) a < b < c B) c < b < a C) c < a < b D) a < c < b E) b < a < c NÚMEROS DECIMALES Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene su desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico. TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN DECIMAL FINITO: Se escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimalestenga dicho número. DECIMAL INFINITO PERIÓDICO: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número decimal completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período. DECIMAL INFINITO SEMIPERIÓDICO: Se escribe en el numerador la diferencia entre el número completo (sin considerar la coma) y el número formado por todas las cifras que anteceden al período y en el denominador se escriben tantos nueve como cifrastenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el ante período. 20. El desarrollo decimal de la fracción 75 90 es A) 0,80 B) 0,8 C) 0,8 D) 0,8 E) 0, 8 21. Las fracciones equivalentes a los números 1, 4 y 0,25 son respectivamente A) 14 9 B) 1 9 C) 14 9 D) 1 10 E) 14 10 y y y y y 25 90 2 90 2 90 2 90 25 100 7
22. Al ordenar en forma creciente los números x = 0,05, y = 0,05,z = 0, 05y w = 0,05se obtiene A) x, w, y, z B) x, y, z, w C) w, z, x, y D) w, z, y, x E) w, x, y,z OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas,la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final,de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potenciaen base 10. 2. 0,06 0,5 0,1 = A) 0,000 B) 0,000 C) 0,0000 D) 0,000000 E) 0,00012 24. De un saco que contiene 12, kilogramos de arroz se consumen 7.540 gramos. Cuántos kilogramos quedan en el saco? A) 5,86 kilogramos B) 5,76 kilogramos C) 4,86 kilogramos D) 4,76 kilogramos E) 4,49 kilogramos 25. Si al triple de,6 se le resta el cuádruplo de 5,4 resulta A) -18,0 B) -10,8 C) 5,4 D) 10,8 E) 2,4 8
26. 2,4 4 1,6 1,2 4 2,4 A) 10 B) 25 48 C) 5 12 D) 5 12 E) 12 5 27. La expresión 0, 6 0,45 = A) 0, 15 B) 0,15 C) 0,16 D) 0,21 E) 0, 21 APROXIMACIONES Frecuentemente conviene redondear o truncar un número, dejando una aproximación con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente. REDONDEO Para redondear un número decimal finito o infinito se agrega 1 al último dígito que se conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dígitos eliminados es mayor o igual a 5; si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el último dígito que se conserva se mantiene (redondeo por defecto). Por lo tanto, como ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centésima los números 8,46 y 1,125 se obtiene 8,5 y 1,1, respectivamente. TRUNCAMIENTO Para truncar un número decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a la derecha de la última cifra a considerar. De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centésimas el número 5,798 resulta 5,7. ESTIMACIONES Realizar un cálculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas por redondeo a las dadas, reemplazando dígitos distintos de ceros por ceros, dejando la cantidad de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es una cifra). 9
28. Al redondear a la centésima el número 2,745, resulta A) B) 2,8 C) 2,75 D) 2,7 E) 2,745 29. Al truncar a la centésima el número,6765, resulta A),6 B),67 C),68 D),676 E),677 0. Respecto del número 62, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) 7 verdadera(s)? I) Redondeado a la unidad es 8. II) Truncado a la décima es 8,8. III) Redondeado a la centésima es 8,86. A) solo II B)solo III C) solo I y II D) solo II y III E) I, II y III Potencias Contenidos Potencias de base racional y exponente entero. Problemas en contextos diversos que involucran potencias de base racional y exponente entero. n veces n Definición: a a a a... a ; a Q, nz ; donde (la multiplicación del factor a n veces por sí mismo) Ejemplo: a) 4 4 4 4 64 a 0 1 ; a 0. 4 2 2 2 2 2 16 b) 81 10
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS Sean a, b Q {0} y m, n Z. Entonces: PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE m n m n a a a Ejemplo: 7 2 = 7+2 = 9 CUOCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE 4 4 m n m n a : a a 1 1 1 1 Ejemplo: : PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE m m a b a b m Ejemplo: 8 8 8 8 2 2 1 4 4 2 CUOCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL EXPONENTE a b m m a b m Ejemplo: 8 8 8 8 2 2 9 : : 4 4 4 2 8 POTENCIA DE UNA POTENCIA a m n a m n Ejemplo: 2 2 5 5 2 5 5 2 POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO a m 1 a m m a b y b a m 2 1 1 con a, b 0 Ejemplo: 2 9 Respuestas:1e2de4e5a6c7e8c9e10a11a12b1e14d15e16b17a18d19c20d21b22d2a24d2 5b26d27d28c29b0d 11
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