Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 15
Modelando con ecuaciones Guías para resolver problemas verbales 1 Identi car la(s) variable(s) 2 Transformar la parte verbal a símbolos matemáticos 3 Construir el modelo 4 Resolver la ecuación y veri car su respuesta P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 15
Ejemplos 1. Exprese "la suma de tres enteros consecutivos" n en el segundo entero Primer número n 1, segundo número n, y tercer número n + 1, La suma de tres enteros consecutivos es n 1 + n + n + 1 = 3n 2. Exprese " el tiempo (en horas) que toma viajar una cierta distancia a 55 mi/h" d es la distancia que viaja Sabemos que la distancia d es igual a d = dis tan cia = velocidad tiempo = v t, Despejando para el tiempo se tiene: t = d v Sustituyendo se tiene: t = d 55 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / 15
3. Si Ben invierte $4000 at 4% de interés por año, cuánto dinero adicional debe invertir a 5.5% de interés anual para asegurar que el interés que recibe cada año es 4.5% del dinero total invertido? Al 4% invierte $4000, al 5.5% invierte $x Inversión total: 4000 + x Intereses separados: 4000.04 y 0.055x interés total: (4000 + x) 0.045 Los intereses deben ser iguales, es decir: 4000.04 + 0.055x = (4000 + x) 0.045 Resolviendo la ecuación lineal: 160 +.055x = 0.045 x + 180.01x = 20 ) x = 2000 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 15
4. María tiene $3.00 en monedas de 25, 10 y 5 centavos. Si las monedas de 10 centavos es el doble de las de 25 centavos y tiene 5 monedas más de 5 centavos que las de 10 centavos. Cuántas monedas de cada tipo tiene? Sea x el número de monedas de 25 centavos, Tiene 2x monedas de 10 centavos Tiene 5 + 2x monedas de 5 centavos El valor total en centavos, es: 25x + 10 (2x) + (5 + 2x) 5 = 300 Resolviendo la ecuación lineal se obtiene x = 5 Por lo tanto: tiene 5 monedas de 25, 10 de 10 y 15 de 5 centavos, respectivamente P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 15
5. Una pista de carrera tiene la forma de la gura que se adjunta, con lados que son segmentos de recta y los otros lados son semicirculares. la longitud de la pista es de 440 yardas, determine el radio de la parte semicircular Si P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / p. 1568
r es el radio de la círculo, la parte ovalada es la mitad del círculo de radio r, y su longitud es 1 2 (2πr) = πr La longitud total de la pista es: 2 110 + 2 πr = 440 Es una ecuación lineal en la variable r Resolviendo se tiene: πr = 220 110 = 110 ) r = 110 π 35 yd P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 15
p. 6 6. Halle la longitud y en la gura. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / 15
Se tienen un triángulo rectángulo y un cuadrado y las sumas de las áreas debe ser igual a 120 Area del triángulo rectángulo: A T = 1 2 y y = 1 2 y 2 Area del cuadrado: A C = y y = y 2 La suma de las áreas es: 1 2 y 2 + y 2 = 120, es una ecuación cuadrática Resolviendo la ecuación cuadrática: 3 2 y 2 = 120 ) y 2 = 80 ) y = p 80 = 8.94 pulgadas P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9 / 15
7. Un hombre se está alejando de un poste que tiene una altura de 6 metros. El hombre tiene una estatura de 2 metros. Determine la sombre del hombre cuando está a 10 metros del poste. p. 69 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 15
Se observa un triángulo rectángulo grande cuyos catetos miden 6 m y 10 + x m, respectivamente Otro triángulo rectángulo pequeño cuyos catetos miden 2 m y x m, respectivamente Los triángulos son semejantes y se tiene la proporción: 10+x x = 6 2 Simpli cando: 10 + x = 3x Resolviendo la ecuación lineal: x = 5 por lo tanto, la longitud de la sombra es de 5 metros. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / 15
8. Un comerciante mezcla dos tipos de té, el primero tiene un costo de $3.00 la libra y el segundo un costo de $2.75 la libra, para producir 80 libras de la mezcla para vender a $2.90 la libra. Determine la cantidad de cada té para producir la mezcla. Sea x la cantidad de libras del té de $3 y 80 x la cantidad de libras del té de $2.75 El primer té contribuye $3x y el segundo $2.75(80 x) El total de la venta es 80 2.9 = 232 Las ventas totales son: 3x + 2.75 (80 x) = 232 Resolviendo la ecuación lineal: x = 48 por lo tanto, se tienen 48 libras del té de $3 y32 libras del té de $2.75. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 15
9. Stan e Hilda limpian un patio en 40 minutos si trabajan juntos. Si Hilda trabaja dos veces más rápido que Stan, determine el tiempo que le toma a Stan limpiar el patio solo. Sea x el tiempo que le toma a Hilda y 2x el tiempo que le toma a Stan La fracción de trabajo de Hilda es 1 x La fracción de trabajo de ambos es 1 40 1 x + 1 2x = 1 40 y de Stan es 1 2x multiplicando por 40x se obtiene la ecuación lineal 40 + 20 = x Resolviendo la ecuación lineal: x = 60 por lo tanto, Stan necesita 120 minutos para limpiar el patio solo. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 15
Desigualdades Las desigualdades se parecen a las ecuaciones, excepto que en lugar de igualdades se usan los símbolos <, >,,. La solución de una desigualdad es un subconjunto de los números reales que satisfacen la desigualdad. Reglas para desigualdades 1 A B, A + C B + C 2 A B, A C B C 3 Si C > 0, entonces A B, AC BC 4 Si C < 0, entonces A B, AC BC 5 Si A > 0, y B > 0, entonces A B, 1 A 1 B 6 Si A B, y C D, entonces A + C B + D P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / 15
Desigualdades lineales MATE 3171 Son aquellas en que cada término es constante o lineal. Para resolverlas se aisla la variable en un lado del signo de la desigualdad. Ejemplos Halle el conjunto solución de: 1. 4x + 6 5x 6 4x + 6 6 5x 5x 6 6 + 5x, x 12 Multiplicando por 1 se tiene: x 12 o (, 12] 2. 6 3x 2x + 16 6 3x 6 2x 2x + 16 6 2x, 5x 10 1 Multiplicando por 5 se tiene: x 2 o (, 2] 3. 1 < 3x + 4 16 Sumando 4 a cada término: 1 4 < 3x + 4 4 16 4 se obtiene: 3 < 3x 12 multiplicando cada término por 1 3 1 < x 4 y la solución en forma de intervalo es: ( 1, 4] P. Vásquez (UPRM) Conferencia 15 / 15