TIVIDDES DE EUIONES MTRIILES. º HILLERTO Profesor: Féli Muño Jiméne Las relaciones del equilibrio de dos mercados e Y vienen dadas en función de sus precios de equilibrio P P por las siguientes ecuaciones: P P P P Escribe esta información en notación matricial determina el precio de equilibrio de cada mercado. Escribimos primero la ecuación lineal en forma matricial: P P Que se resuelve sencillamente: P P Luego los precios de equilibrio son P P. Hallar la matri sabiendo que satisface la ecuación matricial siendo. Puesto que es inversible (det -) se puede multiplicar la ecuación por () - resultando (/) - es decir: alcular la matri inversa de la matri: Si eiste como aplicación resolver el sistema de ecuaciones lineales siendo la matri El determinante de la matri dada es - es decir no es nulo luego eiste la matri inversa de que podemos calcular empleando la fórmula: K dj K K Que en este caso se reduce a:
TIVIDDES DE EUIONES MTRIILES. º HILLERTO Profesor: Féli Muño Jiméne Multiplicando por la inversa de a la iquierda en la ecuación se tiene que de donde la solución requerida es: Resolver usando la matri inversa de si eiste la ecuación matricial siendo El determinante de es luego eiste la matri inversa de. Multiplicando la ecuación dada por - a la iquierda se obtiene - - de ahí -. Siendo: Resulta que: on lo que - / e / Resolver la ecuación matricial siendo: Lo que nos interesa es hallar para lo que será suficiente hallar - a que teniendo en cuenta que la multiplicación de matrices es asociativa podemos escribir - ( ) - Þ I ( ) - Þ ( ) -. alculemos pues la inversa de. Se tiene que - eiste puesto que el determinante de no es nulo. omo sabemos que la inversa de una matri viene dada por la epresión: dj Escribamos:
TIVIDDES DE EUIONES MTRIILES. º HILLERTO Profesor: Féli Muño Jiméne. omo: resulta: plicar el cálculo de la matri inversa para resolver el sistema de ecuaciones lineales: Dado que el sistema se puede escribir matricialmente de la forma: Sea la matri de coeficientes la de incógnitas la de términos independientes entonces para hallar - - Þ I - Þ -. alculemos pues la inversa de. Se tiene que - eiste puesto que el determinante de no es nulo. Veamos: En un segundo paso habremos de escribir la matri traspuesta de la matri de adjuntos de. Veamos: 9 9 ) (dj 9 9 dj t dj
TIVIDDES DE EUIONES MTRIILES. º HILLERTO Profesor: Féli Muño Jiméne 9 9 omo - 9 9 las soluciones son - -. Resolver matricialmente el sistema: onsiderando el producto la igualdad de matrices podemos escribir el sistema en forma matricial: I ) ( () Hallemos - : t
TIVIDDES DE EUIONES MTRIILES. º HILLERTO Profesor: Féli Muño Jiméne Resolver la ecuación matricial siendo: omo los determinantes de de son distintos de cero se puede asegurar que sus inversas eisten. De la ecuación matricial dada se deduce multiplicando los dos miembros por - a la iquierda por - a la derecha teniendo en cuenta que el producto de una matri por su inversa es la matri unidad que la matri unidad por cualquier matri es esa matri: - - Þ - - a que es la matri unidad. alculemos pues la inversa de la inversa de. omo sabemos que la inversa de una matri viene dada por la epresión: K dj K K Escribámoslas: Resulta por tanto:. 9 Resolver las ecuación matricial donde: 9 Se tiene: 9 Multiplicando por la derecha por la inversa de resulta ( ) - luego:
TIVIDDES DE EUIONES MTRIILES. º HILLERTO Profesor: Féli Muño Jiméne 9 9 Sea el sistema de ecuaciones lineales: Escribirlo en forma matricial resolverlo hallando la matri inversa del sistema dado. El sistema dado se escribe de forma matricial como sigue: Siendo la matri del sistema: uo determinante es igual a lo que nos indica que eiste su matri inversa que en este caso es / / El sistema dado puede ser escrito como siendo la matri de incógnitas la matri de términos independientes en el sistema propuesto. Si multiplicamos ambos términos de la ecuación por la inversa de por la iquierda obtenemos que - de donde la solución pedida es / / / /