Introducción a la Teoría de Distribuciones

Introducción a la Teoría de Distribuciones Daniel Campos Salas Resumen Presentamos una breve introducción a la teoría de distribuciones y sus relaciones con la teoría de ecuaciones en derivadas parciales, concretamente con la teoría de las soluciones débiles y fundamentales. Este trabajo fue expuesto en el Seminario de Jóvenes para Jóvenes Invitación a la Matemática Moderna en diciembre de 2012 en El Salvador. 1. Introducción En muchas situaciones es suficiente describir un objeto en términos cómo se comporta cuando es integrado con respecto a otra función. El ejemplo clásico es el de una función que es igual a 0 lejos de 0, toma el valor infinito en 0, pero que su integral es 1. Por lo tanto si φ es una función continua se tiene que φ(x)δ(x)dx = φ(0). Incluso, no siempre es adecuada, como en el caso de una distribución lineal de masa que se puede caracterizar por una densidad de distribución. En este caso, ninguna función (en el sentido ordinario) puede especificar la densidad correspondiente a uno o más puntos con masa positiva [5]. En muchos casos aparecen operaciones matemáticas que no se pueden realizar. Por ejemplo, la derivada de una función que no es derivable (en uno, o todos sus puntos) no puede ser interpretada como una función ordinaria. Este tipo de dificultades se pueden arreglar restringiendo la clase de funciones admisibles, por ejemplo a funciones analíticas. Sin embargo, estas condiciones son en muchos casos indeseables o inadecuadas, en el sentido que son muy restrictivas. Afortunadamente, estas dificultades se pueden evitar si la clase de funciones se agranda, introduciendo por ejemplo la noción de función generalizada [5]. La motivación que sigue a continuación está tomada de [6]. Definición 1. Decimos que una función es ordinaria si está definida casi por doquier en R y es Lebesgue-integrable en todo rectángulo acotado B = [a, b]. Sea f ordinaria y suponga que ϕ es una función acotada de soporte compacto. Entonces podemos considerar el valor f, ϕ = f(x)ϕ(x)dx. Si f fuera absolutamente continua podríamos considerar la expresión f, ϕ. Suponga que ϕ es absolutamente continua y tiene derivada acotada ϕ. Entonces al integrar por partes se obtiene que f, ϕ = f, ϕ. Ahora, si f no existiera el lado derecho de la igualdad anterior tiene sentido para cualquier función acotada de soporte compacto con derivada acotada. Por lo tanto, aunque no exista el valor de f podemos decir que el valor de la integral de f multiplicada por una función acotada de soporte compacto está dada por la expresión anterior. Esta es la idea principal que nos permite extender el concepto de función. Si lo único que conocemos acerca de una función son sus integrales decimos que es una función generalizada. Esta discusión motiva las siguientes definiciones. 1

Antes de seguir con el desarrollo de la teoría, queremos mencionar que esta teoría fue introducida por Sergei Sobolev y formalizada posteriormente por Laurent Schwartz. Esta teoría aporta las herramientas necesarias para el estudio de las soluciones débiles y las soluciones fundamentales. Los teoremas respectivos de Lax-Milgram y Malgrange-Ehrenpreis, importantes resultados de la teoría de distribuciones, se mencionan al final del documento. 2. Funciones de Prueba y Distribuciones Con las ideas anteriores definimos el espacio de funciones de prueba y el de distribuciones, así como las propiedades de la topología que daremos a estos espacios. Definición 2. El soporte de una función f se define como el complemento del mayor abierto donde f se anula. Definición 3. Sea un abierto de R d. El espacio C 0 () consiste de todas las funciones en C () con soporte compacto en, y se le llama el espacio de funciones de prueba. También se denota por D(). La propiedad de rigidez de las funciones analíticas implica que los elementos de D() requieren una construcción distinta. El siguiente ejercicio demuestra la existencia de las funciones de prueba. Ejercicio 4. a) Considere la función f definida por f(t) = e 1/t si t > 0 y f(t) = 0 si t 0. Demostrar que esta es una función de clase C (R). b) Sea 0 < r < R y defina g(t) = t f(s r)f(r s)ds. Demostrar que h(x) := g( x ), para x R d, está en D(R d ). Note que h es una constante positiva en x r y es igual a 0 para x R. Usualmente la topología de D() se define mediante el concepto de límite inductivo, y el hecho de que es la unión de una cantidad contable de compactos apropiados. Evitaremos precisar estos detalles y nos limitaremos a citar las propiedades de esta topología, que el lector puede tomar como definiciones. Se puede consultar [3] para una motivación de la escogencia de esta topología. Tal escogencia está hecha principalmente de manera que D() sea secuencialmente completo [3]. Ejercicio 5. Sea R d un abierto no vacío. Defina la sucesión de compactos (K j ) j N mediante K j = {x : x j, B(x, 1/j) }. Demostrar que esta sucesión es tal que K j Kj+1 y Kj =. Además, todo compacto K está contenido en K j para algún j N. Teorema 6. Sea R d un abierto no vacío y (K j ) una sucesión de compactos como en el ejercicio anterior. Se cumplen las siguientes propiedades: a) Una sucesión (ϕ l ) l N de funciones de prueba converge a 0 en D() si y sólo si existe j N tal que sop ϕ l K j para todo l N 0 y lím sup α ϕ l (x) = 0, l x K j para todo α N d 0. b) Sea Y un espacio topológico localmente convexo. Una aplicación T : D() Y es continua si y sólo si T : C K j () Y es continua para cada j N, donde la topología de C K j () es la topología inducida por C (). c) Un funcional lineal Λ : D() C es continuo si y sólo si para todo j N existen N j N 0 y c j > 0 tal que Λ(ϕ) c j sup{ α ϕ(x) : x K j, α N j } para todo ϕ C K j (). 2

La definición y algunas propiedades de los espacios localmente convexos se encuentran en [8], y no se presentan en estas notas. Solamente vamos a mencionar que D() es un espacio localmente convexo y que una familia de seminormas (que definen la topología) está dada por la siguiente definición: para todo compacto K U y todo n N se define la seminorma p K,n (ϕ) := sup{ α ϕ(x) : x K, α n}. A continuación veremos algunos ejemplos de funcionales lineales continuos sobre D(). El primero y más natural es que toda función regular (localmente integrable) tiene un funcional lineal asociado Λ f en D() dado por Λ f, ϕ = f(x)ϕ(x)dx. (1) Además, si sop (ϕ) K j, se tiene que ( ) Λ f, ϕ f(x)ϕ(x) dx K j f(x) dx K j p Kj,0(ϕ), de manera que el teorema anterior garantiza que Λ f es un funcional lineal continuo. Asimismo existen otros funcionales lineales continuos en D() que no tienen la forma anterior. Por ejemplo, un funcional δ que asocia a cada función de prueba ϕ el valor ϕ(0). Como veremos este funcional también es continuo. Esto nos llevará a las siguientes definiciones. Ejercicio 7. En este ejercicio vamos a demostrar que δ no corresponde a ningún Λ f con f localmente integrable. Sea ϕ D(R) y sea ϕ n (x) := ϕ(nx). Demostrar que R f(x)ϕ n(x)dx 0 cuando n, mientras que δ, ϕ n = ϕ(0), de manera que en general no se satisface la igualdad Λ f, ϕ n = δ, ϕ n. Demostrar además que δ es un funcional lineal continuo sobre D(R). Ejercicio 8. Sea f una función localmente integrable y defina el funcional lineal sobre D() mediante ϕ f(x) α ϕ(x)dx para algún α N d 0. Demostrar que este funcional es continuo. Definición 9. Una distribución, o función generalizada, sobre es un funcional lineal continuo sobre D(). El espacio de distribuciones sobre se denota por D (). Como se hizo anteriormente, cuando Λ D (), el valor de Λ sobre ϕ se denotará por Λ, ϕ. La continuidad de los funcionales lineales se verificará usualmente mediante el resultado del teorema anterior. Definición 10. Toda función localmente integrable f determina una distribución por medio de la fórmula (1). Una distribución de tal forma se llama regular. Si una distribución no es regular diremos que es singular. Definición 11. Llamamos delta de Dirac centrada en a a la distribución singular definida por δ a, ϕ = ϕ(a). Denotamos por δ a δ 0. 3. Operaciones en el Espacio de Distribuciones Como el espacio de distribuciones D () es el dual del espacio localmente convexo D() entonces es un espacio vectorial. Por lo tanto la suma y multiplicación escalar están dadas por la siguiente fórmula α 1 Λ 1 + α 2 Λ 2, ϕ = α 1 Λ 1, ϕ + α 2 Λ 2, ϕ. Asimismo, cuando S es un operador lineal continuo sobre D() y Λ D (), entonces la composición ΛS define otra distribución, dada por ΛS, ϕ = Λ, Sϕ. 3

La aplicación Λ ΛS es simplemente la transpuesta de S, que denotaremos por S t, es decir, S t Λ = ΛS. La mayoría de las operaciones que se definen se hacen por medio de transposición. El siguiente ejercicio va a permitir definir la multiplicación de una distribución por una función indefinidamente diferenciable, así como la derivada de cualquier distribución. Ejercicio 12. a) Demostrar que la aplicación α : ϕ α ϕ es un operador lineal continuo sobre D(). b) Demostrar que para todo f C () la aplicación M f : ϕ fϕ es un operador lineal continuo sobre D(). (Sug.: usar la fórmula de Leibniz para demostrar que p Kj,k(fϕ) C k p Kj,k(f)p Kj,k(ϕ).) Por el ejercicio podemos definir dos operaciones adicionales sobre D (), que por el momento denotaremos por M t f y ( α ) t, dadas por M t f Λ, ϕ = Λ, fϕ, ( α ) t Λ, ϕ = Λ, α ϕ. Investigaremos primero el caso en que Λ esté dado por una función. Si Λ = Λ v con v L 1 loc () entonces Mf t Λ v, ϕ = Λ v, fϕ = v(x)f(x)ϕ(x)dx = Λ fv, ϕ, de manera que M t f Λ v = Λ fv. Ahora supongamos que v C. Entonces integrando por partes sucesivamente se tiene que ( α ) t Λ v, ϕ = Λ v, α ϕ = v(x)( α ϕ)(x)dx = ( 1) α ( α v)(x)ϕ(x)dx = ( 1) α Λ α v, ϕ, y por tanto ( α ) t Λ v = ( 1) α Λ α v. Lo anterior motiva las siguientes definiciones. Definición 13. a) Sea f C. Definimos el operador de multiplicación M f en D () por M f Λ, ϕ = Λ, fϕ, para ϕ D(). Generalmente se va a escribir f en lugar de M f. b) Para todo α N d 0 el operador de diferenciación α en D () se define por α Λ, ϕ = Λ, ( 1) α α ϕ. Ejemplo 14. Una función localmente integrable, cuyo uso es bastante frecuente en física e ingeniería, es la función de Heaviside sobre R definida por H(x) = 1 si x > 0 y 0 en caso contrario. Vamos a calcular la derivada distribucional de esta función. Tenemos que d dx H, ϕ = H, d dx ϕ = 0 ϕ (x)dx = ϕ(0) = δ, ϕ, es decir, dh/dx = δ. En un ejemplo anterior se demostró que δ es una distribución singular, y por lo tanto este corresponde al primer ejemplo en el que la derivada de una distribución no es una función ordinaria. Anteriormente se presentaron solamente las operaciones básicas que se pueden definir en el espacio de distribuciones. Sin embargo, es posible definir muchas operaciones más, realizando ciertos ajustes necesarios. Por ejemplo, al igual que con funciones ordinarias es posible definir una convolución de distribuciones, o bien de una función de prueba y una distribución. Para definir esto es suficiente que una de las distribuciones tenga soporte compacto, y que cumpla ciertas propiedades adicionales. Asimismo, es posible definir otro tipo de operaciones usuales, como las transformadas de Fourier y Laplace. Sin embargo, es necesario modificar ligeramente el espacio de funciones de prueba y el de distribuciones. De manera breve, es necesario admitir funciones de prueba que no tengan soporte compacto, pero que sean de decrecimiento rápido. El espacio dual de este espacio se conoce como el espacio de distribuciones temperadas. El uso de la transformada de Fourier es fundamental en el estudio avanzado de distribuciones; por ejemplo, es utilizado en la demostración del teorema de Malgrange- Ehrenpreis. [1] 4

4. Aplicaciones a Ecuaciones en Derivadas Parciales Definición 15. Sea T un operador sobre D (). Decimos que un operador S sobre D() es el operador transpuesto de T si satisface que T Λ, ϕ = Λ, Sϕ, para todo Λ D () y ϕ D(). Ejemplo 16. Si L es un operador diferencial con coeficientes en C () de la forma L = a α (x) α, entonces su transpuesta formal es el operador transpuesto de L. α n L t ϕ(x) := ( 1) α α (a α (x)ϕ(x)) α n Definición 17. Sea L un operador de orden n, como en el ejemplo, con coeficientes en C (). Sea u una función ordinaria y w D (). Decimos que u es una solución débil de la ecuación Lu = w si u(x)l t ϕ(x)dx = w(x)ϕ(x)dx, para todo ϕ D(), es decir, si Lu, ϕ = u, L t ϕ = w, ϕ. Definición 18. Sea L un operador diferencial con coeficientes en C (). Decimos que u es una solución fundamental para el operador L con polo ξ si es una solución debil de la ecuación Lu = δ ξ. La motivación para considerar las definiciones anteriores es que en general las soluciones fuertes también son soluciones débiles, pero en general no toda solución débil es una solución fuerte, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 19. Considere la ecuación de onda en una dimensión 2 u(x, t) t 2 = 2 u(x, t) x 2. Ambos lados tienen sentido si u es una distribución. Sea f una función ordinaria y u(x, t) = f(x kt); luego u define una distribución. Vamos a ver que es una solución débil. Por definición hay que probar que ( 2 ) ϕ(x, t) f(x t) t 2 2 ϕ(x, t) x 2 dxdt = 0, para todo ϕ D(R R + ). Haciendo el cambio de variables y = x t y z = x + t se tiene que ( 2 ) ϕ(x, t) f(x t) R R t 2 2 ϕ(x, t) ( x 2 dxdt = 2 f(y) 2 ϕ y + z + R y y z 2, z y ) dzdy. 2 Como ϕ D(R R + ) entonces y 2 ( ϕ y + z y z 2, z y ) dz = 0, 2 y así se concluye que u es una solución débil. 5

Ejercicio 20. Defina v j (x) = x j / x d, para 1 j d. Las funciones v j son localmente integrables y por lo tanto definen una distribución en R d. Entonces div v := d j v j = c d δ, donde c d es el volumen de la esfera S d 1. (Sug.: Usar coordenadas polares) Ejercicio 21. Para x R d {0} defina Φ(x) = j=1 1 2π log( x ) si d = 2 1 1 d(d 2)v d si d 3 x d 2 Entonces Φ = δ, es decir, Φ es la solución fundamental del laplaciano [4]. La importancia de las soluciones fundamentales se debe a que si L es un operador diferencial con coeficientes constantes y E es una solución fundamental, entonces una solución (distribucional) al problema no homogéneo Lu = f, con ciertas condiciones sobre una distribución f, está dada por u = E f, donde es una convolución que se define sobre distribuciones [1]. Uno de los grandes logros tempranos de la teoría de distribuciones fue el teorema de la existencia de una solución fundamental para toda ecuación en derivadas parciales con coeficientes constantes [1], debido a Malgrange y Ehrenpreis. A continuación se enuncian dos de estos grandes teoremas de la teoría de distribuciones. Teorema 22 (Lax-Milgram (1954)). Sea V un espacio de Hilbert y a(, ) una forma bilineal en V acotada y coercitiva, es decir, a(u, v) C u v, y a(u, u) c u 2. Entonces para todo f V existe una única solución u V para la ecuación y satisface que a(u, v) = f(v) u 1 c f V. Teorema 23 (Malgrange-Ehrenpreis (1954-1956)). Todo operador diferencial (lineal) no nulo con coeficientes constantes tiene una solución fundamental. El lector interesado puede encontrar una prueba de este teorema a modo de ejercicio en [9] (cap. 7, ej. 98). Adicionalmente, en [1] se presentan dos pruebas distintas (cap. 17 y 18). Referencias [1] J.J. Duistermaat, J.C. Kolk, Distributions. Theory and Applications, Birkhäuser, 2010. [2] L.C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, AMS, 1998. [3] G. Grubb, Distributions and Operators, Springer, 2009. [4] F. John, Partial Differential Equations, Springer, 1982. [5] A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin, Introductory Real Analysis, Dover, 1970. [6] G.E. Shilov, Generalized Functions and Partial Differential Equations, Gordon and Breach, 1968. [7] R. Strichartz, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, 1994. [8] K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, 1980. [9] C. Zuily, Problems in Distributions and Partial Differential Equations, Hermann, 1988. 6