1. Espacios topológicos compactos.

PRACTICO 6. COMPACIDAD. 1. Espacios topológicos compactos. Definición 1 Un cubrimiento de un conjunto X es una familia de subconjuntos de X cuya unión da X. Un cubrimiento de un espacio es abierto si cada uno de los subconjuntos es abierto. Un subcubrimiento es una subfamilia que también es un cubrimiento. Un espacio topológico X es compacto si todo cubrimiento abierto de X tiene un subcubrimiento finito. Cuando decimos que un subconjunto Y de un espacio X es compacto, es, como siempre, considerado con la topología relativa. Ejemplos simples de espacios compactos son los conjuntos finitos con cualquier topología, el conjunto N con la topología de los complementos finitos, una sucesión convergente (unida a su límite) en un espacio topológico cualquiera. No es compacto un espacio discreto infinito, R, N, cualquier espacio métrico no acotado. No es compacto un espacio no numerable con la topología de los complementos numerables. Ejercicio 1. Probar las siguientes condiciones necesarias. Si X es un espacio métrico compacto, entonces X es acotado. Si Y es un subespacio compacto de un espacio de Hausdorff X, entonces Y es cerrado. Ayuda: si Y es compacto y a / Y, existe para cada y Y entornos disjuntos U y a de a y U y de y. Usar la compacidad de Y para concluir que a no es de acumulación de Y. Todo subconjunto infinito de un espacio compacto X tiene punto de acumulación. Todo espacio métrico compacto satisface el segundo axioma de numerabilidad. Se incrementa la cantidad de preguntas. Por ejemplo, saber cuáles de las condiciones necesarias de arriba son también suficientes. La respuesta es: ninguna. Hay que ver qué hipótesis habría que agregar en cada caso, y ver contraejemplos, pero la tarea no es sencilla. En el desarrollo de las notas se resolverán algunos de estos problemas. Por ejemplo, la afirmación (2) tiene un recíproco parcial así: Ejercicio 2. Sea X compacto e Y subespacio cerrado. Entonces Y es compacto. En otras palabras, sumando a esto la parte 2 del ejercicio 1, se puede 1

dar un enunciado así: Sea Y un subespacio de un espacio compacto Hausdorff. Entonces Y es compacto sii Y es cerrado. Probar con un ejemplo que un subespacio de un compacto puede ser compacto pero no cerrado (espacio indiscreto). Los subconjuntos compactos de R con la topología usual son los conjuntos cerrados y acotados. Se verá primero que un intervalo X = [a, b] cerrado y acotado es compacto. Otra vez el axioma de completitud será necesario. Sea U un cubrimiento abierto de X. Observe que U es un cubrimiento abierto de cualquier subconjunto de X. Defina X como el conjunto de los x X tales que [a, x] tiene un subcubrimiento finito. Este conjunto es no vacío porque existe U 0 U tal que U 0 contiene al punto a. Por definición, X está acotado superiormente (por b). Sea x el supremo de X y supongamos que x < b, para llegar a un absurdo. En efecto, si este es el caso, existe un elemento U U que contiene a x, y dentro de U, un intervalo abierto I que contiene a x. Cualquier punto x > x en I X será también parte de X y esto es absurdo porque x es el sup de X. Se concluye que x = b. Por último, note que entonces b X, ya que tomando un abierto cualquiera del cubrimiento que contenga al punto b y usando que es el supremo de X se concluye que b está en X. Esto equivale a decir que existe un subcubrimiento finito de X. Resta ver qué sucede si X es cualquier cerrado y acotado. En ese caso existe un intervalo [a, b] que lo contiene. Este último es compacto, y X es un subconjunto cerrado, así que también es compacto, por el ejercicio 2. Para probar el recíproco, es decir, que compacto implica cerrado y acotado (en R), use el ejercicio 1. Ejercicio 3. Probar que la imagen por una función continua de un espacio compacto es compacta. Probar que si f de X en Y es continua y biyectiva, y X es compacto e Y es Hausdorff, entonces f es un homeomorfismo (comparar con el ejercicio 4 del práctico sobre funciones continuas donde se muestra que la hipótesis de compacidad de X es necesaria). Probar el Teorema de Weierstrass: si f : X R es continua y X es compacto, entonces f tiene máximo y mínimo. Ejercicio 4. Sea X un espacio compacto Hausdorff. Probar que X es regular: Un espacio X es regular si dados un punto y un cerrado que no lo contiene, existen abiertos disjuntos que los contienen. Probar que X es normal: Un espacio X es normal si dados dos cerrados disjuntos existen dos abiertos disjuntos que los contienen. 2

Ejercicio 5. Probar que en un espacio compacto y Hausdorff todo punto tiene una base de entornos compactos. Compacidad local: Un espacio topológico es localmente compacto si todo punto tiene un entorno compacto. Si además es Hausdorff, probar que todo punto tiene una base de entornos compactos. Probar que Hausdorff localmente compacto implica regular. El teorema de Tijonov está difícil, se va a probar en clase; se puede estudiar también en los libros y en las notas: Teorema 1 El producto de espacios compactos es compacto. Ejercicio 6. Probar usando ese teorema que los subconjuntos compactos de R n son los cerrados y acotados. Definición 2 Un espacio topológico X es secuencialmente compacto si toda sucesión en X tiene una subsucesión convergente en X. Ejercicio 7. Probar que compacto no implica primer axioma (ni segundo) ni secuencialmente compacto, el contraejemplo para todo eso es [0, 1] [0,1]. Pero si X es compacto y satisface el primer axioma, entonces es secuencialmente compacto. Definición 3 Un espacio topológico X es de Lindelof si todo cubrimiento abierto de X tiene un subcubrimiento numerable. Un espacio topológico X es compacto numerable si todo cubrimiento abierto numerable de X tiene un subcubrimiento finito. Obvio es que si X es compacto, entonces es Lindelof y compacto numerable. También es obvio que Lindelof y compacto numerable implica compacto. Teorema 2 Si X es un espacio topológico secuencialmente compacto, entonces es compacto numerable. Demostración. Sea {A n } n un cubrimiento de X y suponga que no tiene subcubrimiento finito. Se construirá una sucesión sin subsucesiones convergentes. Sea x 1 / A 1 y sea A n1 tal que x A n1. Luego sea x 2 / i=n 1 i=1 A i y n 2 tal que x 2 A n2. Por inducción, se prueba que existe una sucesión de puntos {x } en X y una sucesión creciente de números naturales {n } tales que x / n i=1 A i pero x A n+1. Entonces la sucesión {x n } no tiene subsucesiones convergentes. Alcanza con ver que dado z X existe un entorno de z tal que la sucesión entra a este entorno sólo un número finito de veces. 3

En efecto, sea z X. Entonces existe A m abierto tal que z A m. Como la sucesión de naturales {n } es estrictamente creciente, se sigue que m < n para algún. Entonces x / A m para todo >. Ejercicio 8. Todo espacio con segundo axioma es Lindelof. En espacios métricos son equivalentes (se agrega a las otras equivalencias de la separabilidad en espacios métricos encontradas en el ejercicio 3 del práctico 4). Por lo tanto R es Lindelof pero no compacto. Además, si X es secuencialmente compacto y satisface el segundo axioma de numerabilidad, entonces es compacto. 2. Espacios métricos compactos. En un espacio métrico, la compacidad tiene algunas equivalencias bastante más manejables que la definición por cubrimientos. La más obvia sería generalizar la de R n, pero no es verdad: Ejercicio 9. Un espacio métrico completo y acotado no es necesariamente compacto. Usar la bola unidad cerrada de l. También la bola unidad cerrada de C([0, 1]) con la distancia d es un ejemplo. Ejercicio 10. Todo espacio métrico compacto es completo y satisface el segundo axioma de numerabilidad. 2.1. Equivalencia con la compacidad secuencial. Ahora se va a probar que en un espacio métrico la compacidad y la compacidad secuencial son equivalentes, lo que da una caracterización bastante útil. La demostración se pide en el ejercicio siguiente, junto con otras equivalencias, pero antes viene una definición y una observación que van a ayudar en la prueba. Definición 4 Sea (M, d) un espacio métrico. Un subconjunto A de M se dice ɛ-separado (donde ɛ > 0) si dados dos puntos distintos x e y de A se cumple que d(x, y) > ɛ. Además A es ɛ-separado maximal si no está estrictamente contenido en un conjunto ɛ-separado. Sea ɛ > 0 y A la familia de todos los subconjuntos de M que son ɛ- separados. Notar que está parcialmente ordenado por la inclusión, y que si 4

A es una subfamilia totalmente ordenada, entonces la unión de los elementos de A es también ɛ-separado. Por el Lema de Zorn, se concluye que para todo ɛ > 0 existe un subconjunto ɛ-separado maximal. Esto vale en cualquier espacio métrico. Observar entonces que si M es secuencialmente compacto, entonces para cualquier ɛ > 0 existe un subconjunto de M que es ɛ-separado maximal y es finito. Ejercicio 11. En un espacio métrico son equivalentes: (a) compacto, (b) compacto secuencial, (c) compacto numerable, (d) todo conjunto infinito tiene punto de acumulación. Sugerencias. no (d) implica no (c): porque si un conjunto es infinito y sin puntos de acumulación, entonces tiene un subconjunto numerable A = {a n : n N} sin puntos de acumulación, luego es cerrado, o sea, A c es abierto. También, para cada n tomamos un entorno U n de a n que no corte A \ {a n }, que se puede porque A \ {a n } también es cerrado. La familia formada por los {U n } n y A c es un cubrimiento abierto y numerable de X que no tiene subcubrimiento finito. (b) y (d) son equivalentes, eso es fácil. (b) implica (c) es el teorema anterior. Falta ver que (a) implica alguna (eso es fácil) y que alguna (o todas) de las tres implica (a). Para esto, probar que compacto secuencial implica separable (usando la observación precedente), por lo tanto compacto secuencial implica compacto numerable y Lindelof, lo que equivale a compacto. La compacidad secuencial es bastante más manejable que la compacidad, por ejemplo, se puede probar la caracterización de los compactos en R y R n de manera más directa: Ejercicio 12. Hallar los compactos de R usando la compacidad secuencial. Hallar los compactos de R n sin usar el teorema de Tijonov. 2.2. Equivalencia con completo+totalmente acotado. Como se vio en el ejercicio 9, completo y acotado no implica compacto. Sin embargo hay sí una hipótesis que junto a la completitud implican la compacidad de un espacio métrico. Definición 5 Un subconjunto Y de un espacio métrico (X, d) es r-denso si para todo x X existe y Y tal que d(x, y) < r. Un espacio métrico es 5

totalmente acotado si para todo r > 0 hay un subconjunto finito y r-denso. Por ejemplo, un subconjunto de R n es totalmente acotado sii es acotado. Un subconjunto de un espacio métrico totalmente acotado es también totalmente acotado. Ejercicio 13. Determinar para qué valores de r existe un subconjunto finito y r-denso en la bola unidad de C([0, 1]) con la distancia d. Teorema 3 Un espacio métrico es compacto sii es completo y totalmente acotado. Demostración. Sea (X, d) compacto. Es completo por un ejercico anterior. Para cada r > 0 sea U la familia de todas las bolas de radio r en X. Entonces U es un cubrimiento abierto de X; por hipótesis existe un subcubrimiento finito. Los centros de las bolas de los elememntos del subcubrimiento forman un conjunto r-denso. Esto prueba una implicación. Para probar la otra implicación, se considera una sucesión {x n } n en X. Existe alguna bola cerrada B 1 de radio 1 que contiene infinitos elementos de la sucesión. Esta bola es también totalmente acotada, por lo que existe un cubrimiento finito de B 1 por bolas de radio 1/2 y esto implica que existen infinitos valores de n para los cuales x n pertenece a una bola cerrada B 2 contenida en B 1. Se construye así una sucesión de conjuntos encajados B n (tales que B n es una bola cerrada en B n 1 ) cuyos radios tienden a 0, y tales que cada una contiene infinitos elementos de la sucesión. Por el Teorema de encaje de Cantor existe un punto z en la intersección de las bolas B n, y como cualquier entorno de z contiene infinitos elementos de la sucesión, se concluye que una subsucesión de {x n } n converge a z. Esto prueba la compacidad secuencial de X. 3. Compacidad en C(X). Sea X un espacio métrico compacto. Se define C(X) como el conjunto de todas las funciones continuas de X en C. Cada f en C(X) es acotada y f tiene máximo. Se define una norma en C(X) poniendo f = máx f. Induce la distancia d. Ejercicio 14. Una función continua definida en un espacio métrico compacto es uniformemente continua. 6

El resultado ahora es ver cómo se caracterizan los subconjuntos compactos de C(X) con la distancia del supremo. Una condición es que el subconjunto sea cerrado. No alcanza con agregar que sea acotado, ver ejercicio 9. Definición 6 Un subconjunto A de C(X) es equicontinuo si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que f(x) f(y) < ɛ siempre que d(x, y) < δ y f A. Es decir, cada f en A es continua (por ser A C(X)), e inclusive uniformemente continua (por la compacidad, ver ejercicio 14) pero además la equicontinuidad pide que el δ dependa sólo de ɛ y no dependa de cuál sea la f en A. Por ejemplo, el conjunto A = {f a : [0, 1] R : f a (x) = ax, a > 0}, no es equicontinuo. El conjunto A = {f n : [0, 1] R : f n (x) = x n, n > 0} tampoco es equicontinuo. El conjunto A = {f n : [0, 1] R : f n (x) = n, n > 0} es equicontinuo, pero no es acotado. El teorema de Arzelá-Ascoli: Teorema 4 Sea A X equicontinuo y acotado. Entonces toda sucesión en A tiene una subsucesión convergente. Demostración: Sea {f n } una sucesión en A. Para cada x X la sucesión f n (x) está acotada en C, por ser A acotado. Se toma un subconjunto numerable y denso de X, que denotaremos {y n }. Existe una sucesión creciente de naturales {n 1 } tales que f n 1 (y 1 ) converge en C; sea f(y 1 ) ese límite. Por la misma razón, la sucesión f n 1 (y 2 ) tiene una subsucesión convergente, digamos f n 2 (y 2 ), que tiende a un punto que se denotará por f(y 2 ). Por inducción, existe, para cada m, una sucesión creciente de naturales {n m } que cumple: 1. Para cada m la sucesión f n m (y m ) converge cuando tiende a a un punto en C que se denota f(y m ). 2. La sucesión {n m } es subsucesión de {n m 1 }. La idea ahora es tomar la subsucesión diagonal. Notar que {n } es una subsucesión de cada una de las sucesiones {n m } y por lo tanto, no importa cual sea el m, se tendrá que f n (y m ) converge a f(y m ) cuando tiende a. Para alivianar notación, defina n = n. Se tiene pues una subsucesión f n de la sucesión inicial, tal que converge cuando aplicada a cada y m de un conjunto denso. Hay que probar que la función f, hasta ahora definida en el conjunto denso {y m : m N}, se puede extender a una función continua definida en todo X y que esta función es 7

límite de la sucesión f n. En primer lugar, se probará que f es uniformemente continua, y por lo tanto se extiende de manera única a una función continua definida en todo X. Sea entonces ɛ > 0; se toma el δ > 0 que da la equicontinuidad de la familia A. Si d(y n, y m ) < δ, elija un n tal que al mismo tiempo valgan f(y n ) f n (y n ) < ɛ y f(y m ) f n (y m ) < ɛ. Entonces se tendrá: f(y n ) f(y m ) f(y n ) f n (y n ) + f n (y n ) f n (y m ) + f(y m ) f n (y m ) < 3ɛ. Se deduce que f es uniformemente continua, definida en el conjunto denso {y m } m. Entonces tiene una única extensión uniformemente continua a todo X, que también se denotará por f. Resta ver que {f n } converge a f. Sea ɛ > 0, hay que probar que existe 0 tal que f n (x) f(x) < ɛ para todo > 0 y todo x X. Elija δ > 0 que satisface la condición de equicontinuidad de las f n y la continuidad uniforme de f, esto es g(x) g(y) < ɛ, siendo g cualquiera de las funciones f ó f n siempre que d(x, y) < δ. Ejercicio 15. Probar el siguiente lema que después se usa en la prueba. Sea Y denso en X métrico compacto y δ > 0; entonces existe Y Y finito y δ-denso. Recordar que un conjunto Y es δ-denso si todo punto de X está a menos de δ de algún punto de Y. Dicho de otra manera, la unión de las bolas de centros en puntos de Y y radio δ cubren X. Sea entonces ɛ > 0 dado y elija δ como arriba. Existe Y contenido en el conjunto {y m : m > 0} que es finito y δ-denso. Sea 0 tal que f n (y) f(y) < ɛ para cualquier y Y y cualquier > 0 (esto es posible en virtud de la finitud de Y ). Sea x en X. Existe y Y tal que d(x, y) < δ. Por lo tanto, para cualquier > 0 se tiene: f(x) f n (x) f(x) f(y) + f(y) f n (y) + f n (y) f n (x) < 3ɛ. Esto termina la demostración. Los compactos de C(X) se caracterizan así: Ejercicio 16. Sea X espacio métrico compacto. Un subconjunto A de C(X) es compacto sii es acotado, cerrado y equicontinuo. 8