22 (28 46-51 Ecacione e evolción como ecacione inegrale Gonzalo orga 1 Lciano Barbani 2 1. Deparameno e Maemáica, Univeria e acama. Copiapó, Chile 2. E-mail: gonzalo.aorga@a.cl 3. Inio e Maemáica & Eaíica, Univeria e Sao Palo, Brail Remen Ee rabajo raa obre la ecacione e evolción (E inrocia por. Kao Y. Yoia en la écaa el 5. Se mera como na ecación e evolción lineal (E e ecribe como na ecación el ipo Volerra-Sielje (K efinia por C.S. Hönig en la écaa el 7. Palabra clave: Ecacione e evolción, Ecacione inegrale e Volerra-Sielje, emigrpo e operaore brac hi work eal wih he Evolive Eqaion (E b. Kao an K. Yoia in he 195. We how a an Linear Evolive Eqaion (E i wrien a an eqaion Volerra-Sielje pe (K, efine b C. S. Hönig in he 197. Kewor: Evolion eqaion, Volerra-Sielje inegral eqaion, Semigrop of linear operaor. 46
1. Concepo Previo 1.1 La inegral inerior La emoracione e lo relao qe e enncian a coninación peen er enconraa en la referencia [1], [2], [3] [4], one on hecha e manera general. qí ilizaremo cao pariclare apropiao al rabajo > Sea X n epacio e Banach,. Definición 1.1: Una fnción f :[, ] X e ice reglaa i, [, ( (, ] exien lo límie lim lim f ( f ( + ε, f ( f ( ε + + + ε ε Se Denoa por la fncione reglaa norma G([. ], X al epacio e f :[, ] X f p{ f ( } [, ] Definición 1.2: Para f G([. ], X efine f ( f ( i < f ( f ( + e ecribe { } G ([, ], X f G([, ], X : f f con la ee e n bepacio vecorial cerrao e G([. ], X. Definición 1.3: La emivariación e na fnción :[, ] L( X, Y e efine por SV[ ] p SV [ ] D[, ] e Done SV [ ] p [ ( i ( i 1] xi ; xi X xi 1 i 1 D[, ] Definición 1.4: Sea, na parición e [, ] ', e ice ma fina qe ( ' i oo pno i e e n pno e '. Definición 1.5: Sean :[, ] L( X, Y f :[, ] X enonce e efine la inegral inerior (inegral e Dhnik por ( f ( lim [ ( ( ] f ( ξ D[, ] i 1 ξ ( on i i 1, i, i el límie exie. i i 1 i eorema 1.6: (1.1 e [2] Si SV ([, ], L( X, Y f G([, ], X enonce exie la inegral e iene qe Done ( f ( ( f ( SV[ ] f f ( f (, (, ] 1.2 Repreenación e plicacione Lineale. Ecacione Inegrale. Sean f G([, ], X SV ([, ], L ( X, Y, e efine F ( f ( f ( í, para caa, e obiene na aplicación lineal F : G([, ], X Y c 47
eorema 1.7: (1.11 e [2] La aplicación H : SV ([, ], L( X, Y L( G ([, ], X, Y efinia por H ( F e na iomería, F eo e, SV[ ]. emá, ( x F [ χ x] para x X <. (, Definición 1.8: La fnción f :[, ] L( X, Y e ice implemene reglaa e enoa por f G ([, ], L( X, Y i para oo x X, f x G([, ], Y, one f x( f ( x, [, ] Noación 1.9: Para enoa por K efinia por K L X Y 2 :[, ] (, K ( K(, K (, e K la aplicacione Se ice qe K aiface la conicione ( G, i K e reglaa como fnción e la primera variable, eo e, [, ], e iene qe K G([, ], L( X, Y ( G, i K e implemene reglaa como fnción e la primera variable, eo e, [, ], e iene qe K G ([, ], L( X, Y ( SV, i K e niformemene e emivariación limiaa como fnción e la egna variable, eo e SV [ K] p SV[ K ] < G, i aiface ( K(, para. Cano Y X e ice qe K aiface ( G I, i aiface ( K(, I X para. Definición 1.1: Sea K ( G aifacieno ( SV, e ecribe 2 K G SV ([, ], L( X, Y Para f G([, ], X, e efine ( kf ( K(, f (,. Definición 1.11: Un operaor P L( G([, ], X, G([, ], Y e ice Caal i f G([, ], X c [, ] f ( Pf [, c] [, c] eorema 1.12: (2.1 e [2] La aplicación J G SV L X Y L G X G Y efinia por J ( K k e na iomería el primer epacio e Banach obre el bepacio e lo operaore caale el egno epacio, eo e, 2 : ([, ], (, ( ([, ],, ([, ], emá, i para k SV [ K] x X, <, enonce K(, x k[ χ x]( (, [, ], e iene K(, x k[ χ x]( (, eorema 1.13: (eor. e Bra, II.1.1 e [1] Sea SV ([, ], L( X, Y 2 K G SV ([, ], L( W, X, i g G([, ], W, efinieno ( F K( o K(, enonce F K SV ([, ], L( W, Y a SV[ F K] SV[ ] SV [ K] b 48
( K(, g( c ( ( K(, g( 2. Ecacione e Evolción Lineale EIVS 2.1 Repreenación e n ipo e ecacione lineale como EIVS ne e repreenar la ecacione lineale como ecacione inegrale, en la igiene propoición e hace na peqeña aapación en n operaor acoao, para poer ar lo relao e la eoría e EIVS. Propoición 2.1: Sean X Z epacio e Banach L( Z, X f G ([, ], Z efinieno f ˆ ( f (, Se iene qe ˆ L( G ([, ], Z, G([, ], X  ˆ L( G ([, ], Z, G([, ], X z Sea ahora Z z 1 al qe efinieno g( z, [, ] g 1 enonce claramene g G ([, ], Z aí, e obiene z g ˆ ˆ, z 1 lego por lo ano Coniere ahora la ecación iferencial no homogénea ( ˆ ˆ ( ( + f (, (, Z E con ( L( Z, X, f G([, ], X G ([, ], Z eorema 2.2: La ecación ( E e eqivalene a na ecación inegral e Volerra-Sielje el ipo ( K : ˆ Demoración. f G([, ], X, pe e la compoición enre na fnción reglaa con na aplicación conina; claramene  e lineal. Por oro lao, ˆ o ea, p g ˆ g 1 g 1 ( g ˆ p p ( p p g( g 1 p ( x x 1 ( ( ( K(, ( + g( K one ( τ τ, K(,, g( f ( τ τ 49
Demoración. Sea h G ([, ], Z al qe h [, ] [, ] τ [, con. Si ] enonce [ ˆ ( h]( τ ( h( τ [ ˆ ( h ] ˆ( [, ] o ea,, por lo ano e n operaor caal. Lego, por el eorema 1.1.2, exie ˆ 2 M G SV ([, ], L( Z, Y al qe [ ˆ ( ]( τ ˆ M ( ( τ, ( (1 one G ([, ], Z, aemá Mˆ ( ( τ, z [ ˆ ( ( χ z ]( τ one τ z Z (, τ ] (, τ ] M ˆ ( ( τ, z [ ˆ ( ( χ z]( τ one z Z M ˆ ( ( τ, z, i τ í, e iene qe ˆ (, τ M ( ( τ,, τ Para τ ˆ, e efine M (, : M ( (, e 2.1 e iene qe ( ( M (, ( (2 í, e la ecación ( E e 2.2, e obiene 5 ( M (, ( (3 ( Inegrano ea ecación, e iene (4 ( M ( τ, ( τ + g( g( f ( τ one Sea ( enonce τ I, one I e la ienia en X, M ( τ, ( τ ( τ M ( τ, ( ( τ M ( τ, ( por el eorema (1.14 e iene qe ( τ M ( τ, ( ( τ M ( τ, ( M ( τ, τ ( K(, : M ( τ, Hacieno ( τ, K( τ,, τ, e iene í, la ecación (2.4 qea como ige ( K(, ( + g( (5 O ea, na EIVS el ipo ( K aí e preba el relao. 3. Referencia
[1] Hönig, C.S. Volerra-Sielje Inegral Eqaion, Mahemaical Sie, 16, Norh Hollan Pre, 1975. [2] Hönig, C.S. Volerra-Sielje Inegral Eqaion, LNM 799, Springer-Verlag, pp. 173-216, 1979. [3] Hönig, C.S. he join of a Linear Volerra-Sielje Eqaion, LNM 957, Springer-Verlag, pp 11-125, 1982. [4]Hönig, C.S. Eqaion Inegral Generalize anr pplicaion. Seminairie Mahemaiqe D Ora, nº 5, 1982. [5]Kao,. Perrbaion heor for Linear Operaor, Springer-Verlag, New York, 1984. [6]Yoia, K. On he Inegraion of he Eqaion of Evolion, Jornal of Facl of Science Univ of oko, Vol IX, 5, pp 397-42, 1963. 51