CAPÍTULO RESPUESTA EN FRECUENCIA.1 GENERALIDADES Introducción Para el circuito de la figura.1, e encontrarán la funcione circuitale de admitancia de entrada y de ganancia de voltaje, la cuale e definen como: I () Vo() Yin() = G () = Vi() Vi() Figura.1 Cualquiera que ea la función circuital, iemre e oible exrearla como el cociente indicado de do olinomio racionale entero, aí: F () = b + b+ b +... + b 0 1 a + a+ a +... + a 0 1 m n m n Cuando la excitación e de tio enoidal, la frecuencia comleja etá dada or = jω, iendo ω la frecuencia de la excitación. Al reemlazar = jω, la función circuital e de variable comleja y e odrá exrear mediante u arte real y u arte imaginaria, aí: F( jω ) = R( ω ) + jx ( ω ) La función e uede exrear en u forma olar, e decir, mediante u magnitud y u fae, de la iguiente manera: F( jω) = F( jω) e j Θ( ω) 34
F j R X atan X ( ω) ( ω) = ( ω) + ( ω) Θ ( ω) = R( ω) Magnitud de una función circuital en decibelio La magnitud en decibelio de una función circuital e define como: Fdb( ω) = 0 log F( jω) La unidad de decibelio e uada muy a menudo en ingeniería. Con bae en lo anterior, tenemo. F( ω ) =10 005 La iguiente tabla ilutra lo decibelio aociado a cierta cantidade: Fdb Cantidad decibelio 10 3 60 10 40 10 1 0 10 0 0 10 1 0 10 40 10 3 60 3. DIAGRAMAS DE BODE DE MAGNITUD Y FASE Introducción El diagrama de Bode de magnitud de una función circuital e una gráfica de la magnitud en decibelio veru el logaritmo de la frecuencia log(ω). El diagrama de Bode de fae de una función circuital e una gráfica de la fae veru el logaritmo de la frecuencia. Toda función circuital tiene una frecuencia caracterítica ω, la cual e toma como referencia ara dibujar lo diagrama de Bode. 35
Para dibujar lo diagrama de Bode de magnitud y fae e neceario hacer una artición del eje de frecuencia en década. Una década e el intervalo de frecuencia comrendido entre do frecuencia ω 1 y ω de tal manera que ω = 10. La figura. muetra cuatro década ω1 alrededor de la frecuencia ω 0 0.01ω o 0.1ω o ω o 10ω o 100ω o Figura. Para ubicar una frecuencia intermedia ω x en la década comrendida entre una frecuencia ω 1 y la frecuencia 10ω 1, e rocede de la iguiente manera: x Se calcula la cantidad d = log ω y e mide la cantidad d a artir de la frecuencia ω 1. ω 1 Por ejemlo, la frecuencia 38. 4 etá ubicada en la década 10 100, a artir de la frecuencia 10, e mide la cantidad d = log( 384. ), reultando d = 0584. Diagrama de Bode de magnitud y fae de una contante Dada la función circuital F( jω ) = K, la odemo exrear en la forma: Ke F( jω) = Ke j0 jπ K > 0 K < 0 La magnitud en decibelio e Fdb( ω ) = 0 log K. El diagrama de Bode de magnitud conite de una recta horizontal que uede etar or encima del eje de frecuencia, obre el eje de frecuencia o or debajo del mimo, deendiendo de K. Si K < 1, la recta etá or debajo. Si K > 1, la recta etá or encima. En cuanto a la fae, el diagrama de Bode correondiente e una recta horizontal que e igual a cero i K > 0 y e igual aπ i K < 0 Diagrama de Bode de magnitud y fae de un derivador Un circuito derivador reenta una función de tranferencia de la forma F ()=. En ω adelante e hará el iguiente cambio de variable S =, con lo cual, obtenemo el ω 36
derivador normalizado FS ( )= S i hacemo la utitución S = jω, e obtiene: F( jω) = jω = Ωe j La magnitud en decibelio de la función etá dada or Fdb( Ω) log( Ω) π = 0. El diagrama de Bode de magnitud e una recta que aa or la frecuencia caracterítica y tiene una endiente de 0 decibelio or década. La figura.3 ilutra el diagrama de Bode de magnitud ara un derivador. En cuanto a la fae, el diagrama de Bode erá la recta horizontal Θ( ω) π = Figura.3 Diagrama de Bode de magnitud y fae de un circuito integrador Un circuito integrador e caracteriza or la función de tranferencia F ()= ω, FS ( )= 1 S Puede motrare que la magnitud de la función en decibelio etá dada or: ω Fdb( ω ) = 0 log ω Claramente e oberva que el diagrama correondiente e una recta que aa or ω y tiene una endiente de meno veinte decibelio or década. E ertinente anotar que el integrador e el invero multilicativo del derivador y, en conecuencia, el diagrama de Bode del integrador e el invero aditivo del diagrama de Bode del derivador. 37
En cuanto a la fae, el diagrama de Bode correondiente e la recta horizontal π Θ( ω) =. La figura.4 muetra el diagrama de Bode de magnitud ara el integrador. Figura.4 Diagrama de Bode de magnitud de una función lineal Una función circuital lineal reenta la forma F ()= 1+ => FS ( )= 1 + S. Al efectuar ω la utitución S = jω, e obtiene F( jω) = 1 + jω. La magnitud en decibelio etá dada or Fdb( Ω) = 10log[ 1+ Ω ] Para rereentar el diagrama de Bode correondiente e neceario dibujar do aíntota y el unto de la gráfica correondiente a la frecuencia caracterítica, el cual denominaremo como la corrección. La aíntota del diagrama de Bode de magnitud on la recta que e obtienen ara frecuencia or debajo y or encima de la frecuencia caracterítica, aí: 1) Para frecuencia menore que ω, obtenemo Fdb( Ω < 1) = 0 ) Para frecuencia mayore que ω, obtenemo Fdb( Ω> 1) = 0 log( Ω) 3) Para la frecuencia ω obtenemo Fdb( Ω = 1) = 3 La figura.5 ilutra el diagrama de Bode aintótico de magnitud ara la función lineal. La fae de la función lineal viene dada or ΘΩ ( Ω) ( )= atan. Para dibujar el diagrama de Bode de fae e neceario trazar tre aíntota, la cuale e. 38
deducen al analizar la exreión matemática, aí: i)en el intervalo 0< ω < 01ω, la fae e rácticamente cero y en conecuencia obtenemo la aíntota Θ( Ω)= 0.. ii) En el intervalo 01. ω < ω < 10ω, la fae e rácticamente lineal en ecala logarítmica, π π 4 4 aí ΘΩ ( ) = + log( Ω). Se uede notar que Θ( 01. ) 0 ω = y Θ( 10ω ) iii)en el intervalo ω > 10ω, la fae e rácticamente de noventa grado, eto e, la aíntota e la recta horizontal Θ ( Ω ) = π / La figura.6 ilutra el diagrama aintótico de fae de la función. = π Figura.5 Figura.6 39
Diagrama de Bode de magnitud y fae ara el invero multilicativo de una función lineal En ete cao la función de tranferencia e de la forma FS ( )=( 1+ S) El etudiante uede verificar que: 1) Para frecuencia menore que ω, obtenemo Fdb( ω < ω ) = 0 Fdb( ω > ω ) = 0 log Ω ) Para frecuencia mayore que ω, obtenemo ( ) 3) Para la frecuencia ω, obtenemo Fdb( ω = ω ) = 3 Oberve que la figura.7 correondiente e el invero aditivo del diagrama de Bode de magnitud de la función lineal. La figura.8 muetra el correondiente diagrama de Bode aintótico de fae. 1. Figura.7 Figura.8 40
Diagrama de Bode de magnitud y fae ara una función cuadrática Una función cuadrática reenta la forma: FS ( )= 1+ zs + S La cantidad z e el coeficiente de amortiguamiento y e reonable de la corrección del diagrama de Bode. Al efectuar la utitución S = jω, e encuentra que la función circuital e uede exrear como: ( Ω ) F( jω ) = 1 Ω + j z Conecuentemente, la magnitud y la fae vienen dada or: ( ) ( z ) Fdb( Ω) = 10log1 Ω + Ω zω ΘΩ ( )= atan 1 Ω Al igual que en el cao lineal, el diagrama de Bode de magnitud reenta do aíntota y una corrección a la frecuencia caracterítica, aí: 1) Para frecuencia menore que ω, obtenemo Fdb( ω < ω ) = 0 Fdb( ω > ω ) =40 log Ω ) Para frecuencia mayore que ω, obtenemo ( ) 3) Para la frecuencia ω, obtenemo Fdb( ω = ω ) = 0log( z) La corrección etará or encima del eje de frecuencia i e verifica que z > 1 La corrección etará or debajo del eje de frecuencia, i e verifica que z < 1 La figura.9 ilutra el diagrama de Bode aintótico de magnitud correondiente a la función cuadrática. Para hacer la gráfica corregida a la frecuencia ω, e conveniente uar un aquete graficador. La figura.10 ilutra el diagrama de Bode ara do valore del coeficiente de amortiguamiento, uando el aquete MATHCAD. La línea unteada correonde a z = 1 y la línea ólida correonde a: z = 0. 1. En cuanto al diagrama de Bode de fae, e rocede de manera imilar a la función lineal. Si hacemo el cambio de variable Ω= ω ω, tenemo: zω ΘΩ ( )= atan 1 Ω 41
Primero calculamo la tre aíntota del diagrama, aí: 1) En el intervalo 0< ω < 01ω., la aíntota e Θ ( Ω )= 0 ) En el intervalo ω > 10ω, la aíntota e Θ( Ω)= π π π 3) En el intervalo 01. ω < ω < 10ω, la aíntota e Θ( Ω) = + log( Ω) En la figura.11 e ilutra el diagrama aintótico de fae ara la función cuadrática. Figura.9 Figura.10 4
Figura.11 Suongamo que el coeficiente de amortiguamiento e mayor que la unidad, en tal cao, la función etá dada or: F ()= + z + 1 ω ω Si hacemo el cambio de variable S = e tiene FS ( )= 1+ zs + S. Si z 1, la ω función e uede exrear como el roducto de do funcione lineale, aí: S FS ( ) = ( 1+ as )( 1 + ). donde a a 1 + = a La fae de la función erá la uma de la fae individuale, aí: Ω Θ( Ω) = atan ( aω) + atan a Se hizo la utitución: S = jω. El valor de a viene dado or a = z+ z 1, en conecuencia, ara z 1, la exreión matemática ara la fae e: z. ( ) ( ) ΘΩ ( )= atan z+ z 1 Ω+ atan z z 1 Ω. Evidentemente la fae e una función continua ara todo lo valore de la variable. tan( α ) + tan( β) Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica tan( α + β) =, e uede 1 tan( α) tan( β) ecribir: 43
Ω Ω a + Ω ΘΩ ( )= atan a z = atan 1 Ω 1 Ω Se uede concluir que la exreión de arriba e continua en Ω = 1, al meno ara z 1. Veremo que i z < 1, la función deberá er continua. Suongamo ahora que el coeficiente de amortiguamiento e menor que la unidad z < 1.. En ete cao odemo exrear la función circuital en la forma: F () = 1+ zs + S = 1+ zs + z S + ( 1 z ) S = ( 1+ zs) + ( 1 z ) S En forma factorizada, queda ( 1+ + 1 )( 1+ 1 ) de variable S = jω, reulta: La fae correondiente viene dada or: zs j z S zs j z S. Haciendo el cambio ( 1 1 )( 1 1 ) F( jω) = z Ω+ jzω + z Ω+ jzω zω zω ΘΩ ( )= atan + atan 1 1 z Ω 1+ 1 z A artir de la exreión anterior e llega al mimo reultado que e obtuvo ara z > 1. Para evitarno un doble trabajo en la gráfica de la fae, uaremo la iguiente exreión que e válida ara cualquier valor de z. Ω zω atan 1 Ω Θ( Ω) = zω π + atan 1 Ω Ω 1 Ω > 1 La figura.1 muetra el diagrama corregido de fae ara do valore del coeficiente de amortiguamiento, uando el mimo aquete. La línea unteada correonde a z = 1 y la línea ólida correonde a z = 0. 1 Diagrama de Bode de magnitud y fae ara cualquier función circuital De acuerdo con lo etudiado reviamente, una función circuital e uede exrear como el cociente indicado de do olinomio racionale entero y cada olinomio e uede exrear mediante factore lineale y cuadrático. 44
Figura.1 Para dibujar el diagrama de Bode de magnitud ara una función cualquiera e neceario exrearla como roducto de funcione lineale y cuadrática de manera tal que el diagrama definitivo e la uma algebraica de lo diagrama individuale. Para dibujar el diagrama de Bode de fae e rocede mediante la uma algebraica de lo diagrama individuale. Por ejemlo, ara la función circuital F() dada a continuación, el etudiante uede verificar que e uede exrear en la forma factorizada indicada a continuación de la mima. 1+ + 4 F ()= F ()= 4 + + + + 1 El diagrama de Bode aintótico de magnitud e obtiene como la uma algebraica de lo diagrama de Bode de cada una de la comonente de la función, aí: 1) El diagrama de Bode de magnitud del factor contante e la recta horizontal 0log( ) ) El diagrama de Bode aintótico de magnitud del factor F1() = 1+ / 4 etá dado or: 0 ω < 4 Fdb 1 ( ω) = 0log( ω / 4) ω > 4 3) El diagrama de Bode aintótico de magnitud del denominador etá dado or: 0 ω < 1/ Fdb( ω) = 40log( ω) ω > 1/ La figura.13 ilutra lo diagrama de Bode aintótico de magnitud en lo tre cao y el reultado de umarlo algebraicamente. Oberve la oición relativa de la frecuencia caracterítica ω 1 = 1/ y ω = 4. 45
El reultado de umar algebraicamente la 3 funcione no da la iguiente exreión: ω ω Fdb( ω ) = log( ) + log + log ω 0 10 1 10 1 + 4 El diagrama de Bode corregido de magnitud e rereenta uando el MATHCAD y e muetra en la figura.14. Figura.13 En cuanto a la fae, tenemo: Θ ω) = Θ ( ω) Θ ( ) ω Θ1( ω) = atan Θ 4 ( 1 ω zω / atan 1 ω / ( ω) = zω / π + atan 1 ω / ω ω > z = / Uando el aquete MATHCAD, rereentamo el diagrama de Bode de fae de la función la cual e ilutra en la figura.15. Lo diagrama de BODE de magnitud y fae de una función circuital e ueden obtener con el aquete Matlab, uando la iguiente intruccione: num = [1,4] den = [1,,] boden( num, den) La figura.16 ilutra lo diagrama de BODE de magnitud y fae ara nuetro ejemlo. El etudiante uede verificar que lo reultado on lo mimo que e obtienen con MATHCAD. 46
Figura.14 Figura.15 Figura.16 Obtenida con Matlab 47
Ejercicio Caítulo II 1) Un circuito tiene la función de tranferencia: G ( ) = 10 + + 10 a) Dibuje el diagrama de Bode de magnitud. b) Dibuje el diagrama de Bode de fae. ) Conidere la función de tranferencia: m T ( ) = 3 + + + 1 Dibuje lo diagrama de Bode de magnitud y fae, en lo iguiente cao: m = 0,1,,3, 4 3) Dibuje lo diagrama de Bode de magnitud y fae ara la iguiente función circuital: ( + 0.69)( G ( ) = 0.15( + 0.54 + 1.15) + + 5.15) 4) Para el circuito de la figura.17. Figura.17 a) Determine la función de tranferencia. b) Ecoja valore ara lo elemento y dibuje lo diagrama de Bode de magnitud y fae ara tre valore diferente deα 5) Para el circuito de la figura anterior e coloca una fuente ideal de voltaje a la entrada y un reitor R a la alida. Reita el rocedimiento del ejercicio anterior. 48
6) La función de atenuación de un circuito etá dada or: A () = a) Dibuje el diagrama de Bode de magnitud. b) Determine la magnitud de la alida cuando la excitación e: i) 10en( 05. t ) ii) 10en( 5t ) 5( + + 160. ) ( + 0. + 4) 7) Para el circuito de la figura.18, tome lo iguiente dato: R = 1, L = 1 y C = 1. Vi a) Determine la función de atenuación: A ()= Vo b) Dibuje el diagrama de Bode de la magnitud. c) Dibuje el diagrama de Bode de fae. 8) Para el circuito de la figura.18, reita el roblema anterior i la bobina etán acolada y el factor de acole e un medio. Tome lo unto donde deee. 9) En el roblema 7, intercambie el reitor de entrada y el caacitor y reita el rocedimiento. 10) En el roblema 8, intercambie el reitor de entrada y el caacitor y reita el rocedimiento. Figura.18 49