TEMA LA ECUACIÓN DE ONDA DE SCHRÖDINER. Introuón E ovento e os uerpos que observaos a nuestro areeor puee esrbrse en funón e regas generaes basaas en evenas eperentaes. Estas regas o prnpos son: a onservaón e oento nea a onservaón e oento anguar 3 a onservaón e a energía. Basánose en estas ees e onservaón fue esarroao un foraso aao eána ása que esrbe en etae e ovento e as partíuas bajo a pótess e que éstas están oaaas en e espao poeos observaras sn perturbar apreabeente sus oventos. Esta eána ása resuta naeuaa uano se ntenta estuar e ovento e os onsttuentes básos e a atera. En e tea anteror eos vsto que oo resutao e evenas eperentaes neestaos ntrour oneptos nuevos revouonaros en agunos asos para poer esrbr e oportaento rosópo e a atera. Aunque as ees e onservaón e oento nea e oento anguar e a energía peraneen váas e prnpo e neternaón nos obga a renunar a una esrpón etaaa e ovento e as partíuas atóas. E onepto e uantaón e a energía e otras agntues físas es otra ea nueva que no aparee en a eána ása. La nteraón e a raaón a atera por eo e a absorón o esón e fotones es otro onepto nuevo que ebe ser norporao. Aeás ta oo eos vsto en e tea anteror a energía e oento nea e una partíua bre pueen ser epresaos en térnos e a freuena anguar e vetor e onas e a ona pana asoaa e auero on as reaones e e Broge E ω.a r r p..b Nosotros utareos as anterores reaones e e Broge as propeaes e as onas ásas para estabeer una euaón e ona apropaa para as onas e atera. Esta euaón e ona es onoa oo euaón e ona e Srönger. Cuano resovaos a euaón e ona e Srönger en e aso e partíuas que no sean bres es er partíuas soetas a un potena enontrareos que únaente esten souones para vaores sretos e a energía tota. 3. La euaón e Srönger epenente e tepo La estena e onas e atera postuaa por e Broge sugere a estena e a euaón e onas que as esrba. Ta euaón e ona fue propuesta por prera ve por e físo austrao Ewn Srönger en 96. Uno e os rasgos ás aatvos e esta euaón es que onue a os núeros uántos e anera natura; es er sn neesa e asuros a pror ta oo neestaron aero Pan Bor. Restrngeno e oento nuestro anáss a aso e una ensón oeneos reorano a euaón e una ona pana que se ueve a o argo e eje. Su En e aso e una ensón e vetor e ona e oento nea pueen ser trataos oo esaares por tanto a seguna e as reaones e e Broge se esrbe oo p.
espaaento en e punto en e nstante t vene ao por a parte rea e a anta opeja At A t A0 ep[ ωt]. La epresón anteror es souón e una euaón e ona apabe a uas onas ásas es a aaa euaón e D Aebert. Da euaón e ona para una ensón tene a fora: A A t one es una onstante rea gua a a veoa e a ona..3 A partr e a euaón. para a agntu A teneos: A t A t A t A t A t A t A t ω ω A t ω A t A t t t Levano.4a.4b a a euaón.3 se tene.4a.4b ω ω A t A t ω.5 La euaón.5 na que a freuena anguar ebe ser retaente proporona es una onstante a vetor e onas. Aora ben s evaos.5 a.a tenreos E que e auero on.b onue a E p ; es er a que a energía es retaente proporona a oento nea p. Puesto que para partíuas bres no reatvstas es ben onoo que a energía es proporona a uarao e oento nea E p /.6 onuos que a euaón ása e as onas euaón.3 no puee gobernar e oportaento e as onas e atera. En e aso e as onas e atera ebeos busar una euaón ua fora sea ferente a a euaón ása.3 pero puesto que sabeos que as onas panas están asoaas a partíuas bres a euaón. ebe ser souón a esta nueva euaón e ona. S as euaones.a.b eben ser satsfeas sutáneaente on a euaón.6 es neesaro que a freuena anguar sea proporona a uarao e vetor e ona no a ta oo na a euaón.5; es er ω te. Esto sugere que una euaón e ona aeuaa ebe ontener una seguna ervaa respeto a para que aparea gua que en a euaón.3 pero sóo una ervaa prera respeto a tepo para que únaente aparea ω. Por tanto poeos onserar una euaón e tpo Ψ Ψ α.7 t
one α es una onstante Ψ t es una agntu onoa oo funón e ona uo sgnfao será suto ás aeante. Para obtener e vaor e a onstante α onsereos Ψ t oo una ona pana e tpo nao en a euaón. Ψ t Ψ0 ep[ ωt] susttuaos a epresón en a euaón.7. Así obteneos Ψ α ω Ψ αω.8 p Por otra parte e as euaones.ab obteneos a euaón.8 onue a E ω que evaas a p E α p E.9 α S oparaos as euaones.6.9 obteneos α. α Levano este vaor e α a a euaón.7 obteneos fnaente Ψ t Ψ t t.0 Poeos verfar que a euaón e ona.0 upe e requerento e que a partíua uo oportaento reproue sea una partíua bre. Para eo susttuos as reaones e e Broge en a ona pana Ψ t Ψ0 ep[ ωt]. Obteneos: p E Ψ t Ψ0 ep[ t]. A partr e. e auero on a euaón.0 auaos Ψ t p p Ψ Ψ Ψ t E Ψ EΨ t e..0 p Ψ EΨ. Eventeente a euaón. pa que E p / ; es er a energía E e a partíua es toa ea energía néta p / oo ebe ser en e aso e una partíua bre. S anaaos o que eos eo asta este oento vereos que eos enontrao a euaón e ona euaón.0 que reproue os resutaos orretos e una partíua bre. Obvaente nosotros estaos nteresaos en enontrar una epresón ás genera que nua e aso e una partíua ovénose bajo a nfuena e un potena Vt. En este aso a sua e a energía néta E p / ás a potena Vt nos ará a energía tota E e a partíua. Esto nos sugere generaar a epresón. en a fora p / V Ψ EΨ.3 3
o ua a su ve sugere que a euaón.0 váa sóo para una partíua bre puee ser generaaa en a fora Ψ t Ψ t V t Ψ t t.4 La euaón.4 es onoa oo euaón e Srönger epenente e tepo onoensona en este aso. Es portante notar que os arguentos utaos para obtener a euaón.4 no onsttuen e nnguna fora una rgurosa euón. S reoraos o que eos eo poeos aprear que eos epeao on agntues taas a onoento eperenta onernente on as propeaes e a partíua bre. De esta fora eos poo obtener a euaón e ona.0. Ato seguo a partr e a stu entre as euaones.3. eos propuesto a euaón.4 oo fora aeuaa para a euaón e ona en e aso genera e a partíua soeta a un potena Vt. Este proeso enta que nos a perto pasar e un aso partuar euaón.0 a aso genera euaón.4 es o que onoeos oo proeso e nuón proeso nverso a e euón que perte pasar e genera a partuar. E proeso e nuón es u portante en a ena onsttue una parte esena e os proesos e esarroo e nuevas teorías pero no puee por sí soo estabeer oo ertas as ees generaes obtenas e esta fora. Las teorías obtenas por nuón onuen a resutaos que eben ser ontrastaos on a eperentaón. Únaente s no se observa nngún esauero estas ees generaes son aeptaas unversaente. La euaón.4 es fáente generaabe a tres ensones sn ás que reepaar e operaor por e operaor apaano. Eventeente en e aso trensona tenreos una funón e ona Ψt un potena Vt. La euaón e ona e Srönger epenente e tepo para e aso genera trensona será por tanto Ψ Ψ VΨ t.5 4. unón e ona ensa e probaba En este apartao vaos a sutr e sgnfao físo e a funón e ona Ψ t que a so ntroua eante a euaón.7. Pero antes e eo ebeos arnos uenta e que a ferena e as onas ásas a funón e ona uánta es opeja. Es erto que para una ona ása eos toao a euaón. opejo en fora eponena oo souón e a euaón ása.3 euaón e D Aebert; pero esto se a eo a sabenas e que únaente a parte rea e opejo tene sgnfao físo. Es ás s esoponeos a fora opeja. oo A t A os ωt A sen ω 0 0 t 4
a parte rea A0 os ωt es souón e a euaón ása e D Aebert. Toar e opejo entero oo souón es una uestón puraente e ooa a a ora e reaar as ervaas orresponentes. En abo n a parte rea A0 os ωt n a agnara A0 sen ωt es por sí soa souón e a euaón e ona.7 opruébao oo ejero. La souón a a euaón.7 es a funón opeja entera euaón.. Cuano trataos on ssteas opuestos e un gran núero e partíuas a eána ása neesta reurrr a étoos estaístos taes oo a teoría e a probaba a objeto e poer obtener nforaón reatva a os ssteas. Esta neesa provene e a práta posba e onoer as oorenaas e oento nea e aa partíua. Los ssteas uántos onsttuos por una o ás partíuas requeren tabén una esrpón probabísta pero por raones funaentaente ferentes: e prnpo e nertubre eue uaquer posba e onoer on presón as oorenaas e oento nea en uaquer nstante. La estaísta ása ae uso e a funón strbuón e probabaes P a ua se efne sepre postva e ta oo que P es a probaba e que a varabe que puee toar uaquer vaor rea se enuentre en e ntervao opreno entre. E vaor eo o vaor esperao e vene ao por P P.6 one noraente P se enuentra noraaa en a fora P.7 E vaor eo o vaor esperao e es a ea e os vaores obtenos espués e un argo núero e repetas eas e. La noraaón e P a a una sgnfa speente que estaos usano e 0 a oo rango e probabaes. Una probaba e ero para un erto vaor e na que o vaor no tene nnguna posba e ser erto; por e ontraro una probaba e nará absouta ertea e que a ea nos e ese vaor e. S asuos e oento un sstea uánto spe ono-ensona esrto por a funón e ona Ψt a esrpón uánta reepaa P por Ψ t Ψ t no por Ψt oo poríaos pensar. Esto es así porque P se efne oo rea postva en abo a funón uánta Ψt es opeja. Por Ψ t representaos e opejo onjugao e Ψt on o ua Ψ t Ψ t Ψ t En e aso e a onón e noraaón epresaa por a euaón.7 noraaos a pero poríaos aber noraao a 00 entones as stntas probabaes venrían aas en porentaje. 5
es er onseraos una probaba uánta rea postva. En e aso e tres ensones en oorenaas artesanas Ψ t será a funón strbuón e probabaes o ensa e probaba por tanto a probaba e que a úna partíua e que onsta e sstea uánto tenga a oorenaa entre a oorenaa entre e a oorenaa entre venrá aa en e nstante t por 3 Ψ t. E vaor eo o vaor esperao a un tepo ao t e aguna propea f e un sstea eanouánto se postua oo fˆ Ψ fˆ Ψ Ψ Ψ.8 one fˆ es e operaor representaón e a propea f. Debe observarse que en e nueraor e a euaón.8 e operaor fˆ se enuentra nteraao entre Ψ Ψ ; no este naa anáogo a esto en a estaísta ása. Ψ En e aso en que a funón Ψ esté noraaa a uno Ψ a propea f epena únaente e a posón ff e operaor fˆ no nue nnguna ervaa por onsguente se upe fˆ f. En estas onones a euaón.8 se reue a f Ψ Ψ f ˆ f f Ψ Ψ f Ψ Ψ Ψ uo pareo on e vaor eo obteno eante a estaísta ása es evente. Aora ebeos onserar un postuao portante: Para uaquer sstea asao este una funón ateáta e as oorenaas e tepo Ψt ta que a funón ontene toa nforaón reevante aera e estao e sstea. A Ψt a enonaos funón e ona o funón e estao e sstea. La funón e ona o funón e estao e un sstea ebe ser obtena oo souón e a euaón e ona.5. 3 S e sstea uánto estuvera onsttuo por os partíuas a ensa e probaba sería Y t a probaba e que a partíua tenga sus oorenaas oprenas entre [ ] [ ] [ ] respetvaente venría aa por Y t. 6
5. La euaón e Srönger nepenente e tepo. Estaos estaonaros En e apartao 3 eos onserao e aso ás genera e euaón e ona; es er aque que nvoura estaos e sstea epenentes e tepo aeás e epener e a posón. En este apartao vaos a onserar un aso partuar e espea nterés: e ovento estaonaro. Estaos nteresaos en aborar probeas oo e e a esrpón e as órbtas estaonaras e átoo e rógeno; es er estaos nteresaos en stuaones one a pótess e e Broge proporona una agen e nterpretaón ás aertaa. Antes e aborar e estuo e a euaón e Srönger nepenente e tepo; es er e a euaón ua souón onue a os aaos estaos estaonaros vaos a reaar a oo e apéne un estuo seno e as onas estaonaras ásas. La euaón e una ona en a fora At A 0 os-ωt no es váa uano e ovento onuatoro se enuentra restrngo entre os puntos fjos 0 L. En este aso se prouen onas e a vueta ua superposón a ugar a as aaas onas estaonaras. Supongaos oo ejepo as vbraones que se prouen en una uera e gutarra uano soeteos una porón e a sa a un ovento aróno spe en una reón perpenuar a a uera. Cuano a ona vaja sobre a uera ega a un etreo fjo suee que e soporte proue fueras e reaón sobre a uera oo respuesta a a ona nente. Estas fueras varían tabén peróaente generan una seguna ona ona refejaa énta a a ona nente pero que se propaga en sento opuesto. S e ovento es estaonaro oo en e aso e una uera que está eteno ontnuaente una eternaa nota usa a ona nente a refejaa an una nterferena que es a superposón e os os oventos onuatoros enfrentaos. De esta anera a eternaos vaores e e nepenenteente e vaor e t se foran una sere e noos puntos e eongaón ero ventres puntos e eongaón áa es er e eongaón gua a a aptu e ovento resutante. Mateátaente poeos onserar e ovento onuatoro estaonaro oo a superposón e os onas 4 A A éntas en too savo en que se espaan on sentos opuestos: A A0 os ωt.9 ' A A0 os ωt.0 La eongaón o espaaento tota será a sua e A A : A ' A A A0 os ω t A0 os ωt]. En e punto 0 a euaón. onue a ' ' A 0 A0 os ω t A0 os ωt A0 A0 os ωt 0 ' De a anteror epresón teneos que A0 A0 por tanto a euaón. quea A A A A0[os ω t os ωt]. Por otra parte teneno en uenta as reaones trgonoétras osab osa osb sena senb osab osa osb sena senb 4 E ovento onuatoro A se espaa en a reón e eje on sento aa a erea entras que A se espaa en e eje on sento aa a quera. La justfaón e eo es ben sena s nos fjaos en a evouón e un erto vaor onstante e a fase; es er fase -ωt te. Dferenano se tene ωt 0 /t ω/ >0; es er s t auenta auenta a ona se espaa aa a erea. De fora anáoga poeos eostrar que A se espaa aa a quera. 7
obteneos osab osab sena senb.3 Partuarano.3 a aso que nos oupa poeos esrbr A A0 [os ω t os ωt] A0 sen ωt sen A0 os ωt π / sen one veos que e ovento onuatoro resutante tene una aptu varabe en e tepo A t A os ω t /. 0 0 π ráfaente A t t t t t t 3 V N 0 L t t 4 t t 5 Coo puee observarse en a fgura anteror a unos vaores e que orresponen a noos eongaón ero nepenenteente e tepo. Por e ontraro a unos vaores e que orresponen sepre a ventres o antnoos. La oaaón e os noos es neata s aeos sen 0; on o ua teneos n π seno n λ 0. Puesto que π/λ a posón e os noos vene aa por n n 0. π La oaaón e os ventres se obtene aeno sen ± ; on o ua n. Levano λ a e vaor π/λ tenreos para a posón e os ventres: n n 0 3. 4 π La seguna onón e ontorno AL 0 ege que sen L 0 L nπ L nπ λ L λ. Esta úta onón eta as ongtues e ona que pueen ar estaos estaonaros. n En o que a este apartao se refere es nteresante notar que una ona estaonara ása vene fatoraa oo prouto e una funón eusva e tepo por otra eusva e a posón: A t f t g. Esta sa pótess areos para a partr e a euaón e ona epenente e tepo obtener a euaón e Srönger nepenente e tepo. La euaón e Srönger a enuo suee esrbrse en a fora 8
H ˆ Ψ Ψ t.4 one Ĥ representa e aao operaor atonano H ˆ Vˆ.5 E nobre e atonano erva e a euaón e Haton e eána ása a ua epea una funón anáoga para generaar as ees e Newton e ovento. En e aso e ssteas onservatvos 5 e atonano áso H representa a energía tota e sstea. Por anaogía on o que suee en e aso e onas estaonaras ásas vaos a ensaar una souón partuar e a euaón e Srönger euaón.5 en a fora Ψ t t o speente Ψ.6 Susttueno a euaón.6 en a euaón.4 teneos Hˆ.7 t Puesto que e operaor Ĥ soo opera sobre a que a funón no ontene a tepo puesto que e operaor / t opera únaente sobre poeos reesrbr a euaón.7 en a fora H ˆ t.8 Dveno abos ebros e a euaón.8 por e prouto obteneos Hˆ t.9 En a euaón.9 observaos que e térno e a quera Ĥ / es en prnpo una funón e as oorenaas s utaos oorenaas artesanas; entras que e térno e a erea es tabén en prnpo una funón e t tepo. Para que abos térnos sean guaes a úna posba es que abos sean guaes a una sa onstante W. Es er H ˆ W H ˆ W.30 5 Los ssteas onservatvos son aqueos en os que e potena es funón únaente e a posón. 9
W t W.3 t En a euaón ferena.3 se a susttuo a ervaa para por una ervaa tota a que a funón únaente epene e tepo. Se trata e una euaón ferena e varabes separabes ua ntegraón es neata. En efeto e.3 reorenano térnos teneos: W t W t t ep Wt /.3 Puesto que ep Wt / ep Wt / a funón strbuón e probabaes o ensa e probaba será Ψ.33 a ua resuta nepenente e tepo. Esto sgnfa que a souón partuar pasaa en a euaón.6 representa una souón físa para a que a ensa e probaba no varía on e tepo. Esto nos perte onur que a euaón.30 euaón e Srönger nepenente e tepo representa estaos estaonaros e sstea. Las euaones.30.3 tenen a fora genera A ˆf q a f q.34 one  es un operaor a es una onstante fq es una funón e a varabe o varabes q. A este tpo e euaón as enonaos euaones e vaor propo egenvaue equatons; a onstante a se enona vaor propo e operaor  fq rebe e nobre e funón propa e operaor Â. De auero on o anteror as euaones.30.3 son euaones e vaor propo en as que os operaores son respetvaente Ĥ. Aeás a onstante W ver euaón.30 es un vaor t propo e operaor atonano. Puesto que en eána ása e atonano H representa a energía tota e sstea onservatvo nosotros entfareos W on a energía tota e sstea uánto en uno e sus estaos estaonaros. Por tanto poeos reesrbr a euaón e Srönger nepenente e tepo euaón.30 en a fora H ˆ E.35 one e atonano Ĥ vene ao por a euaón.5. Las souones e a euaón.35 an e satsfaer as onones e ontorno partuares puestas a sstea. Lo so que ourre on a ona estaonara asoaa a a vbraón e una uera e gutarra uas souones partuares L sretas eben satsfaer a euaón λ as souones e a euaón.35 soo n son posbes para eternaos vaores sretos e a energía. En e aso e a euaón e Srönger nepenente e tepo para un eetrón se enuentran vaores e 0
energía sretos sepre uano e eetrón esté obgao a overse en un espao efno entras que se enuentra un ntervao ontnuo e energías para o eetrón s éste se ueve breente en e espao. Dese un punto e vsta puraente ateáto a euaón.35 puee tener nuerosas souones pero as únas físaente aeptabes serán aqueas orresponentes a versos vaores e a energía E que satsfagan as sguentes onones:. ebe ser uarátaente ntegrabe; es er a ntegra too e espao 6 ebe ser un núero fnto <. Aternatvaente poeos enunar esta onón eno que a funón ebe ser ero en os ítes o ontornos e sstea.. ebe toar un úno vaor en aa punto e espao. 3. ebe ser ontnua. Las funones que satsfaen as tres onones anterores se e e eas que se oportan ben. E buen oportaento para a funón es un requerento que tene oo base esperar un vaor raonabe ese e punto e vsta físo para a ensa e probaba a que ebe onur a una probaba tota fnta ebe ser ontnua oo a probaba ása ebe asgnar sn abgüea una úna ensa e probaba para e sstea en aa punto e espao. Las stntas souones a a euaón e Srönger nepenente e tepo sueen ser esgnaas por 7 n r one n 3 representan ferentes estaos estaonaros. Estas souones onsttuen un ejepo e onjunto opeto e funones. Un onjunto { n r} e funones se e que es opeto s uaquer funón arbtrara fr que upa as sas onones e ontorno que as funones n r puee ser epana oo 8 f r r.36 one os oefentes { } son onstantes que en genera pueen ser núeros opejos. 6 En e aso e una partíua por ejepo un eetrón e un espao trensona artesano. S e sstea estuvera onsttuo por os partíuas e so tpo e esapo. 7 Para abrevar utareos e térno n r en ugar e n ; r ae referena a vetor posón e a partíua vetor uas oponentes artesanas son. 8 Este onepto es seejante a que onoeos en e aso e os vetores en e espao. E onjunto e vetores untaros {j} onsttue un onjunto opeto e vetores en e espao a que uaquer vetor a puee ser epresao oo obnaón nea e eos; es er a a a j a. Las oponentes a a a esepeñan un pape anáogo a que esepeñan os oefentes en a euaón.36.
Una souón genera e a euaón e Srönger epenente e tepo H ˆ Ψ Ψ t puee ser epresaa oo una obnaón nea e souones e estao estaonaro euaón.6: Ψ r t n a r ep E t /.37 n n n EJERCICIO. Seno r funón propa e operaor atonano Ĥ on vaor propo E es er Hˆ r E oprueba que en genera fr aa por a euaón.36 no es funón propa e o operaor. En qué aso sí o sería?. EJERCICIO. Seno r funón propa e operaor atonano Ĥ euestra que a funón Ψrt aa por a euaón.37 es souón e a euaón e Srönger epenente e tepo. 6. Interpretaón vetora e as funones e ona La euaón e Srönger epenente e tepo euaón.5 o.4 es una euaón ferena nea oogénea e seguno oren uas souones satsfaen una propea e superposón u portante: S Ψ Ψ Ψ 3... son souones e a euaón e Srönger uaquer obnaón nea e eas a Ψ one os oefentes a son en e aso ás genera núeros opejos es tabén una souón e a euaón. E prnpo e superposón enunao pa que e aguna fora as funones representatvas e os estaos pueen ser suaas para prour nuevos estaos. Esto sugere que as funones e estao se oportan eas sas e fora anáoga a oo se oportan os vetores puesto que os vetores pueen ser suaos para generar nuevos vetores. Sn ebargo os vetores que uno ebe ontepar oo anáogos a as funones e ona eben ser vetores efnos en un espao opejo e ensones nfntas. Aunque es posbe vsuaar vetores ás aá e un espao rea trensona ua e a ternoogía e espao vetora rea trensona puee ser apaa a un espao opejo e uaquer ensón. Aoptano a ternoogía ntroua por Dra os vetores que esrben os estaos estaonaros uántos A B C son enonaos vetores et se esrben en a fora A B C. Estos vetores son representaón e as funones e ona A B C orresponentes a os anterores estaos estaonaros A B B. Puesto que estos vetores están efnos en un espao vetora opejo resuta ateátaente neesaro ntrour un seguno onjunto e vetores reaonaos on os anterores A B C aaos vetores bra 9. Conjuntaente os bra et vetores onsttuen un onjunto ua. E et A e bra A son guaente 9 Los nobres bra et provenen e a paabra braet en referena a os síboos < >.
váos para representar e estao A e sstea uánto. E vetor bra A es e opejo onjugao transpuesto o o que es o so e ajont e vetor et A veversa 0. Por tanto poeos esrbr A A A A E prouto esaar e un bra A un et B se esrbe A B ; en genera esto no es gua a prouto esaar e bra B por e et A es er generaente A B B A. Supongaos que teneos un estao estaonaro esrto por a funón e ona A ϕ ep ϕ.38 π one 0 ϕ π efne a onfguraón espaa. E vetor et A representa ϕ ta oo se na en a epresón.38 e vetor bra A representa e opejo onjugao ϕ π ep ϕ en este aso a tener soo una oponente no tene A sento e térno transpuesto. E uarao e óuo o e a nora e vetor A o e A vene ao por e prouto esaar A A A π π π ϕ ϕ ϕ ϕ A A e e ϕ π π 0 0 0 Nótese que a noraaón a un vaor e a funón e ona A ϕ es equvaente a toar e vetor A o e A e ongtu una. Un vetor A uaquera e sus útpos α A one α R representan e so estao uánto e sstea. Esta propea e os vetores bra et pa que es a reón e vetor a que espefa e estao e sstea no su agntu o óuo. 0 E térno opejo onjugao transpuesto es er ajont e un vetor es una generaaón e opejo onjugao e un núero opejo. Sn ebargo os bras ets son en genera funones opejas no pueen ser vas sepre en una parte rea otra agnara ta oo ourre sepre on un núero opejo. Sn ebargo on ertas restrones esta anaogía on os núeros opejos es út. Cuano un vetor bra se utpa por a erea on su ua et e resutao es un esaar. Ourre ago anáogo a o que ourre uano utpaos un núero opejo a b on su opejo onjugao a b obteneos e uarao e óuo e o e a b. La parte transpuesto e onepto ajont opejo onjugao transpuesto es portante uano os vetores venen representaos por atres fa o atres ouna e sus oponentes; entones e térno transpuesto ege transforar un vetor fa en uno ouna o veversa. Esto es anáogo a eo e que s w son os núeros opejos ferentes entones w no es gua a w a enos que w sean reaes puros o agnaros puros. Eventeente s A> B> son reaes entones <A B> <B A>; a que se trata e un prouto esaar e os vetores ornaros e oponentes reaes. 3
EJERCICIO.3 Consera os vetores ouna r 3 Se pe: a Caua os proutos esaares r b Noraa r r. r. 4 r r r. Ha ero a parte agnara e aa oponente e os vetores r r estos nuevos vetores vueve a auar os apartaos a b. on 7. Ortonoraa e funones e ona Supongaos que j representan os vetores et orresponentes a os estaos uántos uas funones e ona son respetvaente j. Poeos ntrour a notaón ntegra en a fora ˆ ˆ... A j A j R.39 one  representa un operaor arbtraro e onjunto e varabes por ejepo R a regón e espao sobre a que se ntegra. Las ntegraes e este tpo son as que oúnente nos enontraos en a quía uánta. Cuano  es e operaor una ˆ o o que es o so utpar por a ntegra.39 se reue a prouto esaar j. reuenteente os vetores representatvos e estaos eanouántos sueen ser o ben retaente ortogonaes o pueen ser ortogonaaos por onvenena. Dos vetores j se en ortogonaes s j 0. S estos vetores son tabén esogos e oo que su óuo sea a una j j abas stuaones pueen ser representaas utano un eta e Kroneer δ j : one δ j 0 s j δ j s j. δ j 3.40 Cuano se upe a onón.40 os vetores j j j o equvaenteente j se e que son ortonoraes es er son ortogonaes están noraaos. S una funón e ona no está noraaa e prouto esaar e ea onsgo sa será Estas ntegraes tabén son onoas oo eeentos j e atr orresponentes en este aso a operaor Â. A enuo se sboa en a fora A j. 4
Q.4 one Q es e óuo o ongtu e vetor. Por tanto e nuevo vetor tenrá ongtu una. Así Q Q Q Q Q Q. Para noraar una funón e ona speente a eos e utpar por a nversa e su óuo es o que aaos onstante e noraaón. Coo ejepo seno vaos a noraar a funón 0 π. π π sen sen 0 Por tanto Q π / / a funón noraaa es π sen. sen en e ntervao E onepto e ortogonaa puee ser fáente vsuaao eante e ejepo e os vetores en un espao artesano b o trensona: / a r π/ r Prouto esaar a b r 0 b r Eventeente uano os vetores oo os e a fgura anteror son ortogonaes perpenuares a proeón e uno sobre e otro es nua; a ferena e os vetores no ortogonaes oo os e a fgura sguente: a r α a os α b r r r proeón e a sobre b Así os vetores que representen senas funones e ona serán ortogonaes uano e soapaento entre eos sea ero. Por ejepo onsereos os vetores que representan respetvaente as funones e ona sen os. E π soapaento entre abas en e ntervao 0 π será sen os 0. 0 Por tanto son ortogonaes. En a fgura sguente poeos aprear que e soapaento entre as funones sen os en e ntervao 0 π es ero; o 5
equvaenteente e área enerraa bajo a urva sen os en e enonao ntervao es nua. 0.4 0. 0.5.5.5 3-0. -0.4 Coo eos vsto poeos entener a ortogonaa e os vetores que representan funones e ona e una fora ntutva sar a a e os vetores en un espao artesano trensona. 8. Operaores. Ajunto e un operaor. Operaor eríto Un onepto funaenta entro e apo e a eána uánta es e e operaor. Un operaor sboa una operaón ateáta ás o enos opeja que ebe aparse a una funón. Por ejepo / es e operaor que na que a funón a 3 a que aopaña ebe ervarse on respeto a así 3 ; e operaor na que a funón a a que aopaña ebe utparse por por 3 ejepo. E operaor ás spe que poeos onserar es e operaor enta I e ua eja nvarante a funón sobre a que atúa así I f f. Nosotros esgnareos os operaores on un sgno e nteraaón oo en Â. E síboo e operaor sepre se ooará a a quera e a funón sobre a que apa. Para uaquer varabe náa ása apq epenente e oento nea p e a posón q este e orresponente operaor eanouánto A p q. Es ás esten operaores eanouántos para os uaes no este e anáogo áso. Los operaores eanouántos reaonaos on agntues ensurabes sepre son neaes; esto es así a que e resutao e una operaón sobre un sstea opuesto ebe ser e so que uano a operaón se reaa sobre aa una e as partes oponentes e sstea uego se obnan os resutaos paraes. Mateátaente reos que un operaor  es nea s aas os o ás funones f f sobre as que opera se upe A f f Af Af.4 seno os onstantes uaesquera. Aeás puesto que toas as agntues ensurabes están en úta nstana reaonaas on aparatos e ea es neesaro que os orresponentes operaores tengan vaores esperaos reaes. Tanto este úto requerento oo e anteror e 6
7 operaor ebe ser nea o enontraos en un ase e operaores onoos oo operaores auto-ajuntos o erítos. Por efnón os operaores se e que son ajuntos s sus respetvos vaores esperaos son opejos onjugaos uno e otro. Por tanto s son un par e operaores ajuntos que tenen e so ono 3 entones.43 aeás e ajunto e ajunto e un operaor es e so operaor. De auero on a euaón.43 s os vaores propos e un operaor son núeros reaes es neesaro que ; esto es e operaor ebe ser auto-ajunto o eríto. A ontnuaón vaos a eostrar un portante teorea onernente a operaores ajuntos e ua onsttue una erraenta u út para otras eostraones anpuaones e ntegraes que nvouran operaores. Teorea S son os operaores ajuntos son os funones e su ono entones Deostraón Por efnón e operaores ajuntos euaón.43 se tene o o que es o so.44 one es una funón arbtrara e ono e. Consereos aora os asos onretos para a funón : aso aso Susttueno a funón e aso en a epresón.44 obteneos De auero on a euaón.44 on o ua a euaón anteror se spfa para ar.45 Por otra parte s susttuos a funón e aso en a epresón.44 obteneos 3 Una funón se e que pertenee a ono e un operaor s este e óuo e ; es er s este.
8 a spae a spae a spae a spae S en a guaa anteror teneos en uenta que - nuevaente que tenreos espués e vr por e fator oún.46 Suano as euaones.45.46 veno por teneos. S teneos en uenta que spae a spae a obteneos fnaente.47 La euaón.47 váa para un par e operaores ajuntos se onoe oo rega e turnover. Un aso partuar e a rega e turnover o teneos uano e operaor es eríto. En este aso puesto que entones a euaón.47 quea en a fora.48 que utano a notaón estánar para as ntegraes a poeos esrbr en a fora.49 La anteror euaón.49 o su equvaente euaón.48 suee utarse en a práta oo efnón e operaor eríto. La rega e turnover puee ser usaa para eostrar agunas reaones onernentes a suas proutos e operaores:. Deostraón
.50. Deostraón.5 La rega e turnover tabén nos va a pertr a eostraón e os os teoreas sguentes. En eos estabeereos os propeaes u portantes e os operaores erítos. Teorea Los vaores propos e os operaores erítos son reaes Deostraón Consereos a euaón e vaores propos A a one asuos que e operaor A es eríto A A. Mutpano a anteror euaón e vaores propos por por a quera e ntegrano obteneos o equvaenteente A a A a.5 Puesto que A es eríto a rega e turnover euaón.48 para operaores erétos nos perte esrbr A A A a a.53 Coparano.5.53 se tene a a a es rea Teorea 3 Las funones propas no-egeneraas 4 e un operaor eríto son autoátaente ortogonaes Deostraón Supongaos que son os funones propas e un operaor eríto A. Las euaones e vaor propo serán A a A a 4 Dos funones propas e un operaor se e que son no-egeneraas uano os vaores propos e as sas son stntos. unones propas egeneraas serán por tanto aqueas funones stntas que tenen énto vaor propo. 9
son no- S a a as funones serían egeneraas. Nosotros vaos a asur que as funones egeneraas. Consereos a ontnuaón a ntegra A a son no-egeneraas; e otra fora as funones.54 Apano a rega e turnover teneos A A a a.55 para egar a a euaón.55 eos onserao que a a ; esto es así puesto que os vaores propos e un operaor eríto son reaes teorea Restano ebro a ebro as euaones.55.54 obteneos a 0 a Puesto que por pótess a a a anteror epresón onue a 0 ; es er as funones son ortogonaes. Puesto que as funones propas egeneraas son neaente nepenentes sepre pueen ser transforaas en un onjunto e funones ortogonaes. Por tanto sepre que trateos on operaores erítos asureos que as funones propas son ortogonaes ben porque o sean e fora autoáta o porque prevaente se aan ortogonaao ver apéne : étoo e ortogonaaón e St -. 9. Operaor nora Agunas e as propeaes ás portantes e os operaores erítos son ás fáente eubes onserano una ase e operaores efnos por Λ A B.56 one A B son operaores erítos. A onserar e ajunto e operaor B veos que B B B B B tener en uenta que B es eríto. Cuaquer operaor M uo ajunto sea su opuesto M M se e que es anteríto. Por tanto e operaor B es anteríto Λ resuta ser a sua e un operaor eríto A otro anteríto B. E ajunto e operaor Λ será por tanto Λ A B.57 Vaos a restrngr nuestro estuo a aqueos operaores Λ que onutan 5 on sus ajuntos esto es [ Λ Λ ] 0..58 5 Dos operaores A B se e que onutan s e onutaor [ A B] AB B A 0. 0
Un operaor que onute on su ajunto rebe e nobre e operaor nora. Eventeente uaquer operaor eríto es nora a que too operaor onuta onsgo so 6 ; en abo o nverso no es neesaraente erto es er a operaores noraes que no son erítos. Supongaos un operaor Λ efno eante a euaón.56 su ajunto efno eante.57. Es neato auar: Λ Λ A B A B A B BA AB A B [ B A] Λ Λ A B A B A B BA AB A B [ B A] Restano as os anterores epresones teneos [ Λ Λ ] Λ Λ Λ Λ [ B A].59 La anteror epresón uestra que Λ es nora onuta on su ajunto sóo s [ B A ] 0 es er s os operaores erítos B A onutan. En abo e as euaones.56.57 se eue que Λ es eríto sóo s B 0 a que sóo entones Λ Λ. Por tanto un operaor Λ efno e auero on.56 on B A erítos seno B 0 que onuten representa un ejepo onreto e operaor nora no eríto. A ontnuaón vaos a eostrar agunos teoreas reatvos a operaores noraes. Las onusones que saqueos tabén serán váas para operaores erítos puesto que oo a eos o too operaor eríto es nora. Teorea 4 S un operaor nora Λ tene una funón propa on vaor propo λ e operaor ajunto tene un vaor propo λ para a sa funón propa Deostraón Sea Λ λ onsereos a ntegra Λ Λ λ Λ λ..60 Apano en sento nverso a rega e turnover euaón.47 porque Λ o Λ es un operaor nora pero no tene por qué ser eríto resuta Λ λ Λ λ Puesto que Λ Λ onutan e térno entra Λ λ Λ λ puee ser nterabao a Λ λ Λ ano λ Λ λ Λ λ Λ λ λ λ 0 en.6 téngase en uenta que Λ λ Λ λ λ λ 0. E vaor ero e a epresón.6 requere que a ntegra e parta sea tabén ero; es er.6 Λ λ Λ λ 0 Λ vaor propo e operaor Λ para a funón. λ 0 Λ λ λ es tabén e 6 Tener en uenta que e ajunto e un operaor eríto es é so.
Teorea 5 S Λ es un operaor nora que onuta on un operaor uaquera son os funones propas no-egeneraas e Λ entones 0 ; es er os eeentos e atr no agonaes e operaor en a base } son nuos. { Deostraón Consereos λ λ Λ Λ Λ.6 en e úto paso e a aena e guaaes.6 se a teno en uenta a rega e turnover Por e teorea 4 Λ λ por tanto Λ λ λ 7.63 Levano.63 a a euaón.6 se tene λ λ λ 0 λ λ 0 λ por tanto Puesto que por pótess λ λ a que as funones e ona son no-egeneraas se tene fnaente 0 Este teorea es u út uano se utan funones propas e un operaor nora ta oo e operaor atonano para forar eeentos e atr e un seguno operaor que onuta on e prero. Teorea 6 S os operaores A B onutan este a enos un onjunto opeto oún e funones propas { } ta que A a B b. Deostraón Puesto que por pótess A B onutan [ A B ] 0 e auero on a euaón.59 os operaores Λ A B Λ A B tabén onutan por onsguente son noraes. Por tanto e auero on e teorea 4 s es una funón propa e operaor Λ on vaor propo λ e operaor Λ tenrá un vaor propo λ para a sa funón. Con o ua poeos esrbr Λ A B a b λ.64 Λ A B a b λ.65 one a b son os vaores propos e os operaores A B respetvaente para a funón. Suano restano as euaones.64.65 obteneos respetvaente Λ Λ A a A a B b B Λ Λ b o ua euestra que os operaores A B tenen un onjunto oún { } e funones propas. E nverso e este teorea es tabén erto: S este un onjunto opeto e funones ounes a os operaores A B entones os operaores eben onutar. 7 Nótese que λ λ λ λ λ
0. Vaor eo o vaor esperao en eána uánta De auero on a euaón.8 utano oo eeento e vouen en oorenaas generaaas e vaor esperao e un operaor A supuesto eríto será A A A one es a funón e ona e sstea. S a funón e ona esta noraaa a anteror epresón aopta a fora A A A.66 Puesto que as funones propas e operaor eríto A foran un onjunto opeto { } que asureos ortonora poeos epresar a funón e ona e sstea oo una obnaón nea e as funones es er.67 La eána uánta estabee e sguente postuao: Cuano se reaa una ea e a varabe náa representaa por e operaor A en un sstea ua funón e ona es aa por a euaón.67 a probaba e que e resutao ona on un autovaor sreto a es ; one es e oefente orresponente a a funón propa en a epansón e oo obnaón nea e { } e auero on.67. En e aso en e que tanto a funón e ona oo as funones propas { } sean onoas e oefente vene ao por a epresón En efeto.68 δ téngase en uenta que e onjunto e funones { } es ortonora por tanto δ o ua a ero uano uno uano. A partr e postuao anteror poeos preer e vaor eo o vaor esperao que se obtenría para a varabe náa representaa por e operaor A a partr e una arga sere e eas sobre e sstea ooao en éntas onones neataente antes e aa una e as eas 8. E vaor eo e operaor A para a funón e ona se obtene oo sgue: 8 De esta fora nos aseguraos que a funón e ona e sstea es a sa en aa ea es er en aa eperento. 3
4 De auero on as euaones.66.67 se tene A A A A a A a a δ a a.69 Puesto que es a probaba e que e vaor a sea obteno en una ea e resutao anteror pone e anfesto que e vaor esperao o vaor eo e operaor A es a sua e toos sus vaores propos utpaos aa uno e eos por sus orresponentes probabaes.. Construón e operaores eanouántos Para estaos estaonaros a funón e ona es una funón e as oorenaas e sstea. Por tanto en eána uánta es onvenente epear operaores que estén epresaos tabén en funón e estas oorenaas. En taes ssteas e operaor asoao a una oorenaa q será q. Estos operaores atúan sobre una funón speente utpánoa por a orresponente oorenaa. Así q q. os operaores asoaos a as oponentes e vetor oento nea p & p & p & venen representaos por os operaores ferenaes: p p p.70 e oento nea tota vetor p p p j p venrá representao por r p p p j j p.7 La energía tota e un sstea onservatvo está aa por V p V T E one T es a energía néta / / p v T V es a energía potena p p p. E operaor representaón e p será r r p.7
one rebe e nobre e operaor apaano vene ao en oorenaas artesanas por.73 Por onsguente e operaor asoao a a energía tota operaor atonano será E H V.74 E operaor e energía potena V varía e un sstea a otro por tanto no es posbe asgnare una fora genera. La onstruón e operaores eanouántos para otras varabes náas puee evarse a abo esrbeno a epresón ása a ontnuaón reepaar as oorenaas as oponentes e oento nea por sus orresponentes operaores. Coo ejepo poeos obtener e operaor asoao a oento anguar L r. Cásaente j v v r L r p.75 E orresponente operaor eanouánto será p p p r L r j / / /..76. Prnpo generaao e nertubre En e apartao 5 e tea a ntroujos e prnpo e nertubre partuarao para a posón e oento nea. En este apartao vaos a obtener o prnpo e una fora ás genera rgurosa. Consereos una sere e eas e observabe f representao por e operaor en un sstea ua funón e ona es neataente antes e aa ea. E vaor eo que resuta es gua a vaor esperao e ua s está noraaa venrá ao por Por nertubre entenereos e vaor eo e a esvaón e a ea respeto e a ea. E. De esta fora e uarao e a nertubre operaor que representa esta nertubre será estará asoao a operaor observabe f tenreos: Done eos efno. S representaos por Δ f a nertubre e a ea e f Δ.77.78 5
6 S e operaor es eríto tabén o será a que es un núero. Por tanto f f turnover rega Δ Δ.79 Anáogaente s efetuaos en e so sstea eas e observabe g representao por e operaor eríto e vaor esperao será eante un proeento énto a epeao para obtener a epresón.79 poeos obtener para e uarao e a nertubre e a ea e g a epresón: Δ g.80 Seno.8 Mutpano as epresones.79.80 obteneos g f Δ Δ.8 S teneos en uenta a esguaa e Swar g f g f en a euaón.8 tenreos Δ Δ g f.83 Por otra parte apano a a nversa a rega e turnover tenreos.84 Aeás.85 S evaos a euaón.85 a a.84 obteneos } {.86 Apano as reaones onseuena e teorea es neato eostrar que s os operaores son erítos tabén o serán os operaores. Con o ua e auero on e teorea sus vaores son reaes; por onsguente tabén son reaes as antaes } {. Lo anteror pa que a euaón.86 es e tpo b a one a } { b Puesto que e óuo e un núero opejo b a upe b a apánoo a a epresón.86 onue a 4 4.87 Levano.87 a a euaón.83 teneos
Δf Δg [ ] [ ] 4 4 4.88 Done eos susttuo por e onutaor [ ] eos teno en uenta que s q > 0 > 0 entones q q a posba uano 0. Téngase en uenta que a anta 4 sepre es 0. S teneos en uenta que e onutaor [ ] one on [ ]. En efeto ] [ ] [ De auero on esto úto a euaón.88 quea en a fora por tanto Δf Δg [ ] 4 f Δg [ ] Δ f Δg Δ [ ].89 Por tanto e auero on a euaón.89 s onoeos e onutaor e os operaores poeos auar e prouto e as nertubres asoaas a as eas e os orresponentes observabes. S os observabes son opatbes es er s sus operaores onutan [ ] 0 por onsguente Δf Δg 0 ; o ua na que no a taón en a presón e a ea e abos observabes savo aqueas taones nerentes a aparato e ea. EJERCICIO.4 Partuara a epresón.89 para e aso en que f sea a posón g a oponente e oento nea p. Deuestra que a reaón a a que se ega es Δ Δp. 3. Operaor para. unones pares e pares Esten ertos operaores eanouántos que no tenen anaogía en eána ása. Uno e estos es e operaor para. E operaor para se efne por su efeto sobre una funón arbtrara f: f f.90 E operaor para reepaa aa oorenaa artesana por su negatva. Por a a a ejepo e e e. Veaos a ontnuaón uaes son os vaores propos as funones propas g e operaor para. La euaón e vaores propos será: g g.9 7
8 La ave para poer ograr nuestro objetvo está en auar e uarao e : f f f f.9 S aora apaos a a euaón.9 tenreos g g g g.9.9 es. g g ±. Veos por tanto que os vaores propos e operaor son -. Es nteresante notar que a euón que eos eo es apabe a uaquer operaor uo uarao sea e operaor una. Veaos a ontnuaón uaes son as funones propas g. La euaón e vaores propos.9 a poeos esrbr oo g g ± pero g g Por tanto g g ±.93 Así pues as funones propas e operaor para son toas as funones pares f f as pares f f. Nótese que s a funón es par e vaor propo e operaor para será entras que será s a funón es par. Veaos aora en qué onones e operaor para onuta on e atonano H. Consereos para eo e aso e ssteas onopartíua: ] [ ] [ ] [ ] [ V T V T H.94 Veaos en prer ugar ] [ H : ] [ ] [ T 0.95 a que uaquer onutaor [ ] / q one q es ógaente ero sabrías eostraro?. Veaos aora qué ourre on e onutaor ] [ V : ] [ f V f V f V
V f V f V f 0 V V es una funón par. Poeos onur que s a funón potena es par e operaor atonano onuta on e operaor para. Es er [ H ] 0 V es par Estos resutaos que eos obtenos son fáente generaaos para e aso e ssteas on n partíuas. S toos os nvees e energía son no-egeneraos oo ourre generaente en probeas unensonaes e potena es una funón par entones as funones e ona tenen para efna. En e aso e que esta egeneraón e potena sea una funón par poeos esoger as funones e ona on una para eternaa toano obnaones neaes aeuaas e as funones egeneraas. 4. Postuaos e a eána uánta Durante e esarroo e presente tea eos o ntroueno una sere e postuaos a ea que a so neesaro. Aora a oo e reaptuaón vaos a esrbros toos juntos. Postuao E estao eanouánto e un sstea está opetaente espefao por una funón e ona Ψ r t que es una funón e as oorenaas e sstea e tepo. Para os estaos estaonaros e tepo no es una varabe e sstea que espefao por una funón e ona nepenente e tepo r. Estas funones e ona tenen un soo vaor para aa punto e espao aa vaor e tepo uano epena e t son ontnuas uarao-ntegrabes. La funón e ona para una spe partíua puee ser nterpretaa oo sgue: Ψ r t Ψ r t es a probaba e que a partíua esté en e eeento e vouen en oorenaas artesanas oaao en a posón r en e nstante t. Postuao Para aa observabe en eána ása este un operaor eanouánto nea. E operaor se obtene e a epresón ása e observaor esrta en térnos e oorenaas artesanas oento nea reepaano aa oorenaa q por ea sa aa oponente e oento nea por. q Postuao 3 Los posbes vaores eos e observabe físo A orresponente a operaor A son os vaores propos a e a euaón e vaores propos A a. Postuao 4 E vaor eo e un observabe orresponente on e operaor A vene ao por A A 9
one es a funón e ona noraaa e estao es su opeja onjugaa a ntegra se eva a abo en too e espao en one a funón no sea nua. Postuao 5 La euaón e ona epenente e tepo es operaor atonano para e sstea. Ψ r t HΨ r t one H es e t Postuao 6 La funón e ona e un sstea e eetrones ebe ser antsétra a nterabo e os uaesquera e os eetrones. Este postuao surge en oneón on e spn es a fora funaenta e o que aaos prnpo e eusón e Pau. Más aeante entrareos en etaes aera e o que supone este seto postuao. 30
PROBLEMAS TEMA. Coprueba que ep a one a es una onstante es una funón propa e os operaores / / enuentra os orresponentes vaores propos. Cuá n n sería e orresponente vaor propo para e operaor /? Souón.- -a -a -a n. Dao e operaor P a funón f e oprueba s f es funón propa e operaor P en aso afratvo obtener e vaor propo orresponente. Souón.- f no es funón propa e P..3 Dao e operaor P f sen sen sen oprueba s f es funón propa e operaor P en aso afratvo obtener e vaor propo orresponente. Souón.- Sí es funón propa. Vaor propo.4 Consera e operaor P one es una onstante. Qué vaor ebe tener a onstante a en f e a para que f sea funón propa e operaor P? Cuá es e orresponente vaor propo? Souón.- a ± / vaor propo a ±.5 Noraa a funón u u es una onstante u u son funones noraaas para aa uno e os sguentes asos: a u u son ortogonaes. b u u u u Δ 0. Souón.- a u u b u u Δ a r.6 Noraa a funón u r θ e en e ntervao 0 r 0 θ π 0 π. Tener en uenta que en oorenaas esféras e eeento e vouen es r senθ θ r. 3/ 4 a a r Souón.- u r θ e. π.7 Noraa a funón en e aso e que Δ 0. Asue que as funones están noraaas. Repte on. Souón.- a b. Δ Δ a 0 0.8 Consera os vetores r 0 r b r 3 0 one a b son 0 0 onstantes reaes. Noraa os vetores uestra que son utuaente ortogonaes. ' ' ' ' ' Souón.- a r / a r r / b r r 3 / r3. r r j δ j. 3
3.9 Consera os vetores r 3 r. a Coprueba que r no son ortogonaes b Coprueba que os vetores r r son ortogonaes. Noraa os vetores r r noraa tabén os vetores ortogonaes e apartao b. 4 Souón.- a r r b s r r r r 5 3 s 0 ' ' ' ' r / 4 r r / 4 r s / 6 s / 30..0 Enuentra e ajunto e: a La funón rea A b La funón W A B one A B son funones reaes e. E operaor E operaor e oento nea e E operaor f E operaor apaano g E operaor atonano H V one V es rea.. Deostrar que s e operaor es eríto es ver reaón ervaa e a rega e Turnover. en genera n tabén o. Deuestra que s e operaor es eríto one es una onstante rea tabén es eríto..3 Dao un operaor arbtraro euestra que: a e operaor es eríto. b 0. Aua para b.- Según rega Turnover ˆ ˆ.4 Sean os funones propas egeneraas e operaor A. Deuestra que as funones u u son ortogonaes s se esoge onvenenteente e vaor e a onstante. Deuestra que as funones u u son tabén funones propas egeneraas e operaor A on e so vaor propo que. Souón.- / 3
.5 E operaor atonano e un sstea ao es H V one V es una te. Las funones propas no noraaas son n ep ±n n 3. a Cuá es e vaor propo e H uano e sstea está en e estao estaonaro n 3? b Coprueba que [ H p ] 0 one p. Cuá es e vaor esperao e a oponente e oento nea uano n 3? 9 Souón.- a V 3..6 Para erto sstea e operaor atonano es H V V es una onstante as funones propas son t Asen nπ / aep Et / one A a son onstantes e ntervao e ntegraón es e 0 a a. Se pe: a Noraa a funón e ona aa en e ntervao 0 a b Evaúa opara H H H. Evaúa opara..7 Un operaor eríto A tene soo uatro funones propas 3 4 que se suponen ortonoraes on vaores propos a a a 3 a 4 3. La funón e ona e sstea es 0.5 0.63 0.5 3 0. 36 4.Caua A para este sstea. Souón.-.598.8 Deuestra que a funón os a os b os es funón propa e operaor. Quén es e vaor propo? Souón.- a b.9 E operaor trasaón T se efne en a fora T f f. Deterna T 3T..0 E operaor e A 3 se efne en a fora A A e A A A.... 3! 0! D Deuestra que e one D seno una onstante one on e operaor trasaón T efno en a fora T f f. 3 ' '' ''' Aua.- onsera e esarroo f f f f f...! 3!. Una partíua se ueve en una ensón entre a b en ua regón una souón e a euaón e Srönger es A/ seno A una onstante e ab b noraaón. a Cauar A b eostrar que n. b a a Souón.- A ab / b a 33
. E operaor e A 3 vene ao por A A e A A A.... Deuestra 3! 0! que s es funón propa e A on autovaor a tabén será funón propa e e A. Cuá será su autovaor? a Souón.- e.3 Supóngase a funón f os 4. Esta funón puee epanrse en a base opeta nfnto-ensona e os ponoos f. Cauar 0. 0 Souón.- 0 6 0 -. Aua.- on Mateat: Seres[Cos[]4{06}].4 Una partíua se ueve en una ensón sujeta a un potena que es ero en a regón a a e en uaquer otro sto. En un nstante a funón e ona es π π os sen 5a a 5a a a Cuáes son os posbes resutaos e a ea e a energía e este sstea uaes son sus probabaes reatvas? b Cuá es a fora e a funón e ona neataente espués e aa ea? NOTA.- Para e probea que nos oupa as funones propas noraaas e operaor atonano tenen a fora nπ n os s n es par n 3 5 a a nπ n sen s n es par n 4 6 a a Obsérvese que estas funones upen as onones e ontorno; es er se anuan en a en a. π π Souón.- a E E probaba e E /5 e E 4/5. 8a a b Ineataente espués e aa ea a funón e ona es o..5 Deostrar teneno en uenta a euaón e Srönger aaa euaón uánta e ovento: O Ψ O Ψ Ψ Ψ Ψ O H Ψ t t O H e onutaor e os operaores O H. Seno [ ] [ ] Ψ HΨ a t.6 Deostrar que [ H ] p r.7 Un sstea está esrto por a funón propa N senθ e tene una energía E 0. Cuá es a epresón e potena V s? r r r r θ 4 Souón.- V 4r 4r /r. Nota.- Uta e Mateata 34
.8 Deostrar que p proeeno e a sguente anera: t a Deostrar prero que [ H ] b tener en uenta que oo se a t eostrao en e ejero.6 [ H ] p. Aua.- Para a eostraón e a reorar a euaón uánta e ovento eostraa en e ejero.5 tener en uenta que ˆ / t 0..9 Sean os operaores P Q Q R Souón.- P Q R. Haar os operaores R 3. P.30 Deuestra que e operaor no es eríto..3 Asue que  es un operaor eríto que son tres e sus funones propas noraaas on os vaores propos a a 3 a 3 respetvaente. Eana aa una e as sguentes ntegraes estabee su vaor nuéro en aqueos asos en os que sea posbe aero sn nnguna abgüea. S e vaor e a ntegra quea neternao epa por qué. a A ˆ ; b A ˆ ; ; ; e 3 A ˆ 3 ; f ; g A ˆ 3 3 ; A ˆ 3 ; A ˆ 3. 3 3.3 Un operaor eríto  tene únaente tres funones propas: 3 on os orresponentes vaores propos a a a 3 3 respetvaente. En un estao eternao a un 50% e probaba e que una ea proua a a sa probaba e 5% e que se obtenga a a 3. Se pe: a Cauar  b Epresar a funón e ona e estao enonao en funón e 3..33 Deuestra que: a [ qˆ pˆ ] δ b [ qˆ pˆ ] pˆ Seno ˆq ˆq ˆq 3 os operaores e posón ˆ ŷ ẑ respetvaente; ˆp ˆp ˆp 3 os operaores e oento nea pˆ pˆ pˆ respetvaente..34 S  Bˆ son os operaores erítos: a E operaor Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ es sepre eríto? b Son erítos os operaores Aˆ Aˆ Aˆ Aˆ? Souón.- a S b S n n- n 35
.35 Supongaos que a funón e ona para un sstea en un estao puee esrbrse oo 3 3 4 4 Done 3 son funones propas noraaas e operaor Ĥ on vaores propos E 3E 7E respetvaente. a Verfa que a funón e ona está noraaa. b Cuáes son os vaores posbes que poríaos obtener eno a energía e sstea preparao en éntas onones? Cuá es a probaba e er aa uno e esos vaores propos? Cuá es e vaor proeo e a energía que obtenríaos reaano un gran núero e eas? Souón.- /4 /6 /6 E 5.5E.36 Una ona que se propaga a o argo e eje e quera a erea on ongtu e ona λ freuena ν está esrta por a funón t Aep π / λ ν t. Coprueba que: a Esa funón e ona es souón e a euaón e Srönger nepenente e tepo e una partíua bre por tanto esrbe un estao estaonaro e a sa. b La reaón e e Broge entre a ongtu e ona asoaa a una partíua su oento nea está ontena en a euaón e Srönger. Esa funón tabén es souón e a euaón e Srönger epenente e tepo e eo e que a energía e una partíua on una ona asoaa e freuena ν sea E ν tabén está ontena en a euaón e Srönger..37 Sean N e N e os onas panas sea a funón e ona one son onstantes reaes. Se pe: a Noraa en e ntervao [ a / a / ]. b Coprueba que son funones propas e operaor oento nea pˆ. Cuáes son sus vaores propos? Es una funón propa e operaor pˆ? Noraa a funón en e ntervao [ a / a / ]. e S a partíua se enuentra en e estao qué vaores poríaos en una ea nvua e pˆ? f Cuá es e vaor proeo e p en e estao? Souón.- a N N / a b p p No e 36
.38 a Deuestra que s V es rea t satsfae a euaón e Srönger epenente e tepo entones t es tabén souón e a euaón esto es o que se onoe oo nvarana bajo a nversón e tepo. b Deuestra que para estaos estaonaros a nvarana bajo a nversón e tepo pa que H ˆ E s se upe H ˆ E s V es rea. Deuestra a partr e b que as funones propas no egeneraas e Ĥ on V rea eben ser reaes..39 Noraa as funones no ortogonaes χ e r χ r e onstrue otra funón que sea ortogona a χ. Nota.- ver e apéne : Métoo e ortogonaaón e St r r Souón.- a χ e χ r e b 0.97705 e π 3π r r. A partr e eas 0.6547 r e.40 Dao un operaor Bˆ ta que [ B ˆ Hˆ ] 0 one Ĥ es e operaor atonano e sstea suponeno que H ˆ a H ˆ b H ˆ3 b3 H ˆ4 4 one a b son stntos entre s Qué ntegraes e as sguentes sabeos on segura que son ero? 4 4 3 3 4 3 4 5 H ˆ 3 6 H ˆ 3 7 B ˆ 4 8 B ˆ 3 9 ˆ 3 B 3 0 ˆ 3 H 3 3 3 r 37