ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID FÍSICA I. CURSO TEMA 4. Dinámica de los sistemas de partículas

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1 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO TEM 4 Dnáca de los ssteas de partículas Introduccón: generalzacón de la ª ley de ewton.- Moento lneal de un sstea de partículas: prncpo de conservacón.- Moento angular de un sstea de partículas: prncpo de conservacón 3.- Centro de asas de un sstea de partículas 4.- Energía cnétca y energía total de un sstea de partículas 5.- Colsones TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS

2 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Introduccón: generalzacón de la ª ley de ewton Quereos extender en este tea los conceptos que heos vsto en los teas anterores, pasando del caso de una sola partícula a un sstea con varas () partículas. Tratareos de extender los conceptos vstos así coo los teoreas a aplcar. Para una sola partícula () heos vsto: r F p v a v a CIEMÁTIC ª LEY DE EWTO MOMETO LIEL L r x v MOMETO GULR S L M r x F M 0 Ec v L cte PPO. COSERVCIÓ DEL MOMETO GULR EERGÍ CIÉTIC TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Introduccón: generalzacón de la ª ley de ewton

3 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Generalceos para el caso de un sstea forado por partículas. Lo que quereos hacer es ver qué expresón, equvalente a la ª ley de ewton, debeos aplcar: Para cada partícula () tendreos: r v a En cuanto a las fuerzas, debeos consderar dos tpos: Fuerzas externas: Fuerzas nternas debdas a las nteraccones con otras partículas F T cte Consdereos estas fuerzas nternas coo fuerzas a pares: F + f j f 0 j f j TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Introduccón: generalzacón de la ª ley de ewton 3

4 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO sí, la ª ley de ewton se escrbrá: F + fj a j Esto da lugar a ecuacones vectorales dferencales (3 ecuacones dferencales de º orden). La resolucón es copleja y se usan étodos estadístcos o nuércos y solucones aproxadas. S en la expresón anteror toaos oentos (respecto un certo punto O): r x F + ( r x fj) r x a j (teneos tabén ecuacones) TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Introduccón: generalzacón de la ª ley de ewton 4

5 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO S suaos para las partículas: F j j + f a ( r x F) + ( r j x f j ) ( r x a ) Estas ecuacones se splfcan debdo al carácter de las f j En concreto: j fj j j f f 0 (ley de accón y reaccón) TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Introduccón: generalzacón de la ª ley de ewton 5

6 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO deás, las f j ncluye térnos: son fuerzas drgdas en la dreccón j. sí, la suatora: r x f j j r x fj+ rj x fj r x ( fj+ fj ) + ( rj r ) x fj 0 Por tanto: f j fj f j // r r j r x fj j 0 sí, nos queda: F a [] ( r x F) ( r x a ) [] TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Introduccón: generalzacón de la ª ley de ewton 6

7 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Moento lneal de un sstea de partículas: prncpo de conservacón..- Generalzacón del oento lneal..- Prncpo de conservacón del oento lneal TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Moento lneal de un sstea de partículas: prncpo de conservacón 7

8 Generalceos ahora los conceptos de cantdad de ovento y oento angular para el sstea de partículas. v p v p P Dervando esta expresón y utlzando la relacón [] deducda anterorente: F a v P dt P d En cuanto al oento lneal (o cantdad de ovento), para una partícula (): Para un sstea de partículas defnos :..- Generalzacón del oento lneal P ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Moento lneal de un sstea de partículas: prncpo de conservacón 8

9 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Prncpo de conservacón del oento lneal La relacón anteror nos da un prncpo de conservacón, ya que: S: F F 0 P 0 P cte Conservacón del oento lneal: S la resultante de las fuerzas exterores es nula, el oento lneal (o cantdad de ovento) del sstea peranece constante. (Sólo las fuerzas exterores pueden odfcar la cantdad de ovento) TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Moento lneal de un sstea de partículas: prncpo de conservacón 9

10 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Cuestón 4. En rápda sucesón, un epleado de una aerolínea lanza dos aletas, con una velocdad horzontal de.4 /s, sobre un carro portaequpajes de 5 kg. a) Sabendo que la velocdad fnal del carro es de. /s y que la prera aleta que el epleado lanza tene una asa de 5 kg, hallar la asa de la otra aleta; b) cuál sería la velocdad fnal del carro s el epleado nvrtera el orden en que lanza las aletas? TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Moento lneal de un sstea de partículas: prncpo de conservacón 0

11 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Moento angular de un sstea de partículas: prncpo de conservacón..- Generalzacón del oento angular..- Prncpo de conservacón del oento angular TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Moento angular de un sstea de partículas: prncpo de conservacón

12 ..- Generalzacón del oento angular En cuanto al oento angular, para una partícula (): v x r L x v ) r ( L L + x a r x v r L M F x r L r v Para un sstea de partículas defnos : Dervando y utlzando la relacón [] deducda anterorente: L ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Moento angular de un sstea de partículas: prncpo de conservacón

13 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Prncpo de conservacón del oento angular Esto nos da un segundo prncpo de conservacón, ya que: S: M 0 L 0 L M cte Conservacón del oento angular: S la resultante de los oentos es nula, el oento angular peranece constante. L TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Moento angular de un sstea de partículas: prncpo de conservacón 3

14 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Centro de asas de un sstea de partículas 3..- Defncón de centro de asas 3..- Sstea de referenca centro de asas TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Centro de asas de un sstea de partículas 4

15 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Defncón de centro de asas Dado un sstea de partículas, defnreos la poscón del centro de asas: r CM r r Es nteresante notar que la poscón del centro de asas (CM) es ndependente del sstea con respecto al cual está calculado Ejeplo: consdereos dos partículas de asas guales separadas una dstanca d: TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Centro de asas de un sstea de partículas 5

16 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Para un cuerpo con una dstrbucón contnua de asa, tendreos que susttur la suatora por una ntegral: r d r CM r d d Se debe notar que: S un cuerpo tene un centro geoétrco y la dstrbucón de asas es hoogénea, el C.M. concde con el centro geoétrco (C.G.) S un cuerpo tene un eje de setría y una dstrbucón hoogénea de asas, el C.M. está stuado sobre el eje de setría Ejeplo: varlla de longtud L (dstrbucón hoogénea de asa) L x CM ½ L TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Centro de asas de un sstea de partículas 6

17 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Veaos la portanca que puede tener el C.M. Para ello, derveos la expresón que defne su poscón: dr CM dt En un sstea aslado la velocdad del C.M. peranece cte. Dervando de nuevo la expresón encontrada: vcm v P oteos que s un sstea está aslado: P P v F 0 P cte v cte F d P vcm acm F dt CM F El C.M. se ueve coo s la asa total estuvera concentrada en ese punto y todas las fuerzas exterores tabén CM a CM TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Centro de asas de un sstea de partículas 7

18 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Cuestón 4. Dos boltas de etal déntcas están undas por un resorte y suspenddas edante un cordel atado a una de las boltas coo se ndca en la fgura. Cuando el sstea está en equlbro se corta el cordel. a) Cuál es la aceleracón ncal de cada una de las boltas? b) Descrbr el ovento ulteror del sstea. TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Centro de asas de un sstea de partículas 8

19 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Sstea de referenca C.M. Supongaos que todas las partículas del sstea sufresen los sos desplazaentos. Este tpo de ovento se denona ovento de traslacón. En esta stuacón la poscón relatva del centro de asas no caba (respecto a las partículas del sstea). Por ello, el ovento del centro de asas suele recbr el nobre de ovento de traslacón del sstea. TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Centro de asas de un sstea de partículas 9

20 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO El ovento general del sstea de partículas se suele poner entonces coo el ovento del centro de asas (traslacón) ás el ovento nterno del sstea (ovento de las partículas respecto al C.M.) (rotacón en el caso de un sóldo rígdo) ovento general ovento C.M + ovento nterno Se denona Sstea Centro de Masas a un sstea de referenca con ejes que antenen constante su dreccón y cuyo orgen concde en todo oento con el C.M. del Sstea. Este sstea no tene porque ser nercal. oteos que, respecto al C.M.: CM + r r r r r rcm (*) r r CM (CM) 0 0 ya que: r TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Centro de asas de un sstea de partículas 0

21 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO (*) Dervando en la expresón anteror: d dt r v 0 P (CM) P v 0 Respecto al C.M., la cantdad de ovento es sepre nula Puesto que: r r rcm teneos tabén: v v vcm a a acm S calculaos el oento angular respecto al C.M. y dervaos: L r x v TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Centro de asas de un sstea de partículas

22 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO L r x a r x a r r x a x a CM r a CM x a Ya vos que: a F + fj j y que las fuerzas nternas no contrbuyen. Por tanto: L (CM) L r x F M (CM) M El oento de las fuerzas externas respecto al C.M. es gual a la razón de cabo del oento angular respecto al C.M. TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Centro de asas de un sstea de partículas

23 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Cuestón 4.3 Una partícula de 4 kg se aproxa a otra de kg coo se uestra en la fgura. a) Con qué velocdad se aproxa cada una al centro de asas? b) coprobar que el oento lneal es cero en el sstea de referenca del centro de asas. TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Centro de asas de un sstea de partículas 3

24 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Energía cnétca y energía total de un sstea de partículas 4..- Generalzacón de la energía cnétca 4..- Generalzacón de la conservacón de la energía TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Energía cnétca y energía total de un sstea de partículas 4

25 4..- Generalzacón de la energía cnétca Extendaos tabén el concepto de Energía cnétca: v Ec v v Ec Ec S ntroducos el sstea C.M.: CM CM CM CM v' v') ( v )v ( ') +v v')( v ( v.v ) ( v v Ec ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Energía cnétca y energía total de un sstea de partículas 5

26 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Por tanto: Ec vcm + v energía cnétca del C.M. (suponendo toda la asa concentrada en él) energía cnétca del sstea relatva al C.M. (energía cnétca nterna) Ec Ec C.M. + Ec nterna sí, aunque antes heos vsto que las fuerzas nternas no odfcan la cantdad de ovento (por ejeplo), veos que las fuerzas nternas sí que pueden odfcar la energía cnétca total (y vceversa) TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Energía cnétca y energía total de un sstea de partículas 6

27 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Generalzacón de la conservacón de la energía Consdereos el trabajo realzado por las fuerzas (nternas y externas) en un sstea de partículas. Por sencllez veáoslo para el caso de un sstea forado por dos partículas. En esta caso sobre la partícula teneos la fuerza externa F y la fuerza nterna debda a la partícula f, sendo el trabajo eleental sobre la partícula : dw F f + dr De la sa fora, sobre la partícula, teneos la fuerza externa F y la fuerza nterna debda a la partícula f, sendo el trabajo eleental sobre la partícula : dw F f + dr TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Energía cnétca y energía total de un sstea de partículas 7

28 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula odfca su energía cnétca. Por tanto: W F f + dr ΔEc Suando abos trabajos teneos el trabajo total: W F f + dr ΔEc WTotal W W F dr F dr f dr dr ΔEc + ΔEc (se ha hecho uso de que f - f ) ΔEc Total El trabajo total ncluye trabajos de las fuerzas externas y el de las fuerzas nternas, de fora que: W nt ext Total W + W ΔEc Total Generalzacón del teorea trabajo-energía cnétca: La varacón de energía cnétca es gual al trabajo realzado por todas las fuerzas que actúan sobre el sstea, tanto nternas coo externas TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Energía cnétca y energía total de un sstea de partículas 8

29 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO El trabajo de las fuerzas nternas vene dado por la expresón: nt W f dr dr fd r r fdr de fora que es no nulo sepre que haya un desplazaento relatvo de la partícula respecto a la Generalente las fuerzas nternas son conservatvas (son de tpo gravtatoro, electrostátco, etc.), de fora que es posble expresar que: W nt U nt U nt f ΔU nt (es decr, exste la funcón energía potenca nterna, U nt ) De esta fora: W nt ext nt ext Total W + W ΔU + W ext nt W ΔU + ΔEc Δ U + Total ΔEc nt ( Ec ) Total Total E propa TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Energía cnétca y energía total de un sstea de partículas 9

30 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Denonareos energía propa del sstea de partículas a la cantdad: propa nt Total nt C.M. E U + Ec U + Ec + Ec nt erna De esta fora se tene que: ext W ΔE propa La varacón de la energía propa es gual al trabajo de las fuerzas externas oteos que s la resultante de las fuerzas externas es nula, su trabajo es nulo y se tene que: ΔE propa 0 E propa cte TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Energía cnétca y energía total de un sstea de partículas 30

31 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO S las fuerzas externas no son nulas, pero son todas ellas conservatvas, es posble escrbr entonces: W ext U ext U ext f ΔU ext (es decr, exste una funcón energía potencal externa para cada fuerza externa conservatva, U ext ) En esta stuacón: E Total ext ext W ΔU ΔE ΔU + ΔE Δ( U + E ) 0 propa Conservacón de la energía ecánca total: propa propa De fora que se antene cte la energía ecánca total del sstea de partículas: Total ext E U + E S todas las fuerzas (nternas y externas) son conservatvas, se conserva la energía ecánca total del sstea de partículas ext propa ext TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Energía cnétca y energía total de un sstea de partículas 3

32 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO S no todas las fuerzas externas son conservatvas, tendreos: En esta stuacón: ext ext (c) ext (nc) ext W W + W ΔU + W ext ext ext (nc) W ΔU + W ΔE ext (nc) ext propa propa W ΔU + ΔE Δ U + ext (nc) ext ( E ) propa De esta fora, la energía ecánca total del sstea de partículas caba por accón de las fuerzas exterores no conservatvas: ΔE Total W ext (nc) TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Energía cnétca y energía total de un sstea de partículas 3

33 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Colsones (o pactos) 5..- Defncón general de colsón 5..- Ipacto frontal Choque perfectaente elástco Choque perfectaente nelástco TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 33

34 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Defncón general de colsón Defnreos colsón o pacto coo la nteraccón entre dos cuerpos en un ntervalo uy corto de tepo en el que se ejercen fuerzas (nternas) uy grandes (fuerzas externas desprecables). (o es precso contacto físco entra las partículas). osotros consderaos: dos partículas contacto físco conservacón del núero de partículas (no hay fragentacón) pacto central (en la línea que une los centros), frontal (velocdades en la sa línea) TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 34

35 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Ipacto frontal Consdereos la stuacón ás senclla en la que la que tengaos pacto central y las velocdades estén drgdas en la línea que une los centros de las partículas pacto frontal (o pacto central en línea): En esta stuacón, solo hay una dreccón de ovento, por lo que podeos trabajar con escalares. Consdereos sentdo postvo haca la derecha, con lo que las velocdades serán postvas o negatvas s apuntan a la derecha o a la zquerda. En la stuacón dbujada, se va a producr pacto sólo s v > v sí, la partícula alcanzará a la. Durante un certo ntervalo de tepo (perodo de deforacón) la partícula golpea o nteraccona con la. l fnal de dcho perodo las dos tenen la sa velocdad (u). Posterorente, durante otro ntervalo de tepo (perodo de recuperacón) las partículas se recuperan. l fnal de dcho nstante cada una tene una velocdad dferente: v, v TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 35

36 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 36

37 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 37

38 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO En los perodos de deforacón y recuperacón actúan las fuerzas de nteraccón (nternas) entra las dos partículas. Puesto que sólo hay fuerzas nternas (F ext ~ desprecables): P cte Por tanto: v + v v + v Recordeos que el pulso (tabén llaado aquí percusón) venía dado por: I t t f F dt ΔP TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 38

39 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO oteos que desde t a a τ (perodo de deforacón): - Sobre la partícula : I τ () t Ddt a I - Sobre la partícula : I () τ t a ( D)dt I sí, desde t a a τ: - sobre : - sobre : ΔP ΔP u u v v I I TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 39

40 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO De la sa fora, desde τ a t b (perodo de recuperacón): - Sobre la partícula : () t τ b I Rdt I - Sobre la partícula : t τ b I () ( R)dt I sí, desde τ a t b : - sobre : - sobre : ΔP' v' u I' ΔP' v' u I' TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 40

41 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Se tene sepre que I I (las fuerzas recuperadoras son enores o guales que las deforadoras), de fora que escrbreos que: I ei (e coefcente de resttucón) El coefcente de resttucón verfca: Magntud adensonal Funcón de uchos paráetros Coprenddo entre 0 y e 0 pacto plástco (nelástco) e pacto elástco Medda del grado de elastcdad (recuperacón) Se debe edr experentalente TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 4

42 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO S operaos con las ecuacones anterores: - (sobre ): v' u v u I' I (v' (u v u) ) e e u v' v u - (sobre ): u v I v' u I' e v' u u v TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 4

43 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Elnando u: e u v' v u e.v e.v e.u + v' u v' e.u + u u.(e + ) u ev + v' + e e v' u u v e.u e.v ( + e).u v' v' u + e.v ev + v' ( + e) v' + ev ev + v' v' + + e ev v' v' e(v v ) e v' v v' v (0 e ) TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 43

44 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Veaos dos casos de nterés: e : Choque perfectaente elástco En este caso: I I de fora que las fuerzas recuperadoras son guales a las de deforacón. Teneos, según la ecuacón anteror: v' v' v v (es decr, las velocdades relatvas antes y después del choque son guales) En esta stuacón, las fuerzas son conservatvas, no hay dspacón de energía y por tanto: E cte Ec cte (s la energía potencal no varía) TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 44

45 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO En este caso, se conserva la cantdad de ovento y la energía: P cte Ec cte v + v v' + v' v + v v' + v' Equvalenteente, podeos escrbr las ecuacones: v + v v' + v' v' v' v v Cualquera de los dos conjuntos de ecuacones consttuye un conjunto de dos ecuacones con dos ncógntas, lo que nos perte resolver todos los probleas de choques elástcos (es decr, deternar las velocdades fnales conocdas las ncales y las asas) TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 45

46 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Veaos la resolucón de un caso concreto. Consdereos v 0 Según las ecuacones vstas: v v' + v' v' v v' Despejando obtendreos v y v en funcón de v y las asas: v v + v v + TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 46

47 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO sí: (*) S << v ~ v v ~0 (*) S >> v ~v v ~v (*) S v v 0 v TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 47

48 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO e 0 : Choque perfectaente nelástco plcando la ecuacón anterorente vsta: v' v' e(v v) 0 v' v' (las partículas salen con la sa velocdad y por tanto salen juntas) En esta stuacón, las fuerzas restauradoras son nulas y por tanto se dspa energía. Las fuerzas no son conservatvas. Sólo podeos aplcar la conservacón de la cantdad de ovento, que en esta stuacón nos quedará: v + v ( + )v' Veaos tabén un caso concreto. Consdereos v 0 v' + v TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 48

49 Calculeos en esta stuacón el cabo en las energías cnétcas: c c v ) ( )v ( E v E sí: v v E E c c + + Veos entonces que E c < Ec (se perde energía cnétca). ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 49

50 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO sí: (*) S << E Ec c ~0 (por ejeplo, choque de un eteorto con la Terra) (*) S >> E Ec c ~ (por ejeplo, choque de un coche con un osquto) (*) S E Ec c ~ TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 50

51 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Cuestón 4.4 Un bloque de kg que se ueve haca la derecha con velocdad de 5 /s choca con un bloque de 3 kg que se ueve en la sa dreccón a /s coo se ndca en la fgura. Después del choque el bloque de 3 kg se ueve a 4. /s. Deternar la velocdad del bloque de kg después del choque y el coefcente de resttucón de la colsón. TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 5

52 ESCUEL DE IGEIERÍS IDUSTRILES. UIVERSIDD DE VLLDOLID FÍSIC I. CURSO Cuestón 4.5 En un experento de péndulo balístco la altura a la que sube el bloque de adera tras el pacto es de 5 c. La asa de la bala es 5 g y la del bloque de adera es kg. Encuentra: a) la velocdad ncal del proyectl? b) la pérdda de energía por el choque. TEM 4: DIÁMIC DE LOS SISTEMS DE PRTÍCULS. Colsones (o pactos) 5