EXAMEN ORDINARIO DE FÍSICA I 23-ENERO-2015 TEORÍA

Transcripción

1 EXMEN ORDINRIO DE FÍSIC I 3-ENERO-015 TEORÍ 1. - a) Defnr la agntud pulso y epresar su relacón con la cantdad de ovento de una partícula. b) En el caso de dos partículas que chocan, eplcar qué se entende por pulso (o percusón) de deforacón y por pulso (o percusón) de recuperacón y la relacón que hay entre abos. c) partr de dcha relacón, eplcar qué característcas tenen los choques perfectaente elástcos y los choques perfectaente nelástcos. teneos: a) El pulso es una agntud vectoral que se defne coo: t I = f t F dt de fora que el pulso es la ntegral de la fuerza en el tepo (area bajo la curva F-t), dando cuenta así de la efcaca de una fuerza. Tenendo en cuenta la segunda ley de Newton: dp F = dt t I = f p F dt = f t p dp = p f p = Δp de fora que el pulso corresponde con la varacón de la cantdad de ovento de la partícula entre los nstantes ncal y fnal. b) En una colsón o pacto entre dos partículas y, con velocdades ncales v y v, durante un certo ntervalo de tepo (perodo de deforacón) la partícula golpea o nteraccona con la (al fnal de dcho perodo las dos tenen la sa velocdad). Posterorente, durante otro ntervalo de tepo (perodo de recuperacón) las partículas se recuperan, alcanzando al fnal de dcho ntervalo velocdades fnales v y v. En los perodos de deforacón y recuperacón actúan las fuerzas de nteraccón (nternas) entre las dos partículas. El pulso (aquí llaado tabén percusón) en cada uno de los ntervalos vene dado por la accón ntegrada de la fuerza en dcho ntervalo, de fora que teneos el pulso (o percusón) de deforacón y el pulso (o percusón) de recuperacón. Podeos ver en la gráfca las dos partes del choque, deforacón y restauracón (D son las fuerzas de deforacón y R las de restauracón), y los correspondentes pulsos. En un choque o colsón, las fuerzas recuperadoras son guales o enores que las de deforacón, por lo que se tene que I I, de fora que escrbreos que: I =ei La relacón entre el pulso de restauracón y el pulso de deforacón se denona coefcente de resttucón del choque, e, y puesto que I I se tene que e 1. I= p [Tenendo en cuenta que el coefcente de resttucón se puede relaconar con las velocdades de las partículas en el choque, se obtene que:

2 v' v' e = v v c) Para choques perfectaente elástcos, los cuerpos recuperan copletaente la fora tras el choque, de fora que el pulso de deforacón es gual al de restauracón, y por tanto el coefcente de resttucón es la undad: I' I ' = ei e = = 1 I En este caso, puesto que las fuerzas de deforacón y recuperacón son guales, las fuerzas son conservatvas y no hay pérddas de energía, conservándose la energía ecánca total. De esta fora, en los choques perfectaente elástcos se verfca la conservacón de la cantdad de ovento y de la energía ecánca. En el choque perfectaente nelástco los cuerpos quedan totalente deforados tras el choque, lo que se traduce en que los dos cuerpos salen juntos y por tanto con la sa velocdad. El pulso de recuperacón es por tanto nulo y el coefcente de resttucón es cero. Puesto que las fuerzas de recuperacón son nulas, hay pérdda de energía del sstea (fuerzas no conservatvas) y en este tpo de choques no se verfca la conservacón de la energía ecánca, sólo se verfca la conservacón de la cantdad de ovento.. - a) Para una asa unda a un uelle, cuál es la energía potencal elástca Ep elástca ()? Eplcar cóo se relacona con la fuerza elástca. Representar la curva Ep elástca (). b) Para una energía ecánca dada (constante), eplcar sobre la curva Ep elástca () qué se entende por los conceptos puntos de retorno, zonas de pozo de potencal y zonas de barrera de potencal. c) partr del análss de dcha curva, eplcar cóo es el ovento posble de la partícula. a) Para una asa unda a un resorte, la energía potencal elástca es: 1 U () = k sendo la elongacón del resorte. Dcha energía potencal elástca es el trabajo que realza la fuerza elástca cabado de sgno. Para un uelle la fuerza elástca es: F=-k El trabajo en un desplazaento fnto, de (= ) a (= ), será: k k W = Fd = kd = k d = k = + = 1 1 k k = U() = La representacón de la funcón energía potencal nos da una parábola centrada, ya que es una funcón de. b) Sobre dcha gráfca, la energía total vendrá representada por una horzontal (azul), ya que es constante. Dcha energía será sua de la potencal (U=E p ) ás la cnétca: E Total =E C +U Podeos ver por tanto que en cada poscón, la dstanca hasta la curva de

3 potencal representa la energía potencal y de ahí a la energía total tendreos la cnétca. La energía cnétca es sepre una cantdad postva, por lo que tendreos que: E C >0 E Total =E C +U E C =E Total +U E Total +U>0 E Total >U La energía total tene que ser sepre ayor que la potencal, de odo que sólo está pertdo el ovento dentro del llaado pozo de potencal, es decr aquellos puntos donde E Total > U. Esta zona está acotada por los puntos de la gráfca donde se cortan la energía ecánca total y la funcón energía potencal (puntos = 0 y = 0 ). Para valores de enores que 0 y ayores que 0 la energía potencal es ayor que la energía ecánca total, por lo que se dce que este una barrera de potencal, lo que pde el ovento en dchas regones. En los puntos donde se cortan la energía ecánca total y la funcón energía potencal la energía total y la potencal concden, lo que plca que la energía cnétca es nula. En dchos puntos la partícula se detene nstantáneaente y sólo puede nvertr el sentdo del ovento, por lo que se denonan puntos de retorno. c) Veaos cóo es el ovento de la partícula. Consdereos que la partícula parte del punto de retorno de la zquerda (=- o ) con velocdad nula. l overse haca la derecha (no puede overse haca la zquerda) veos que dsnuye la energía potencal, auentándo la cnétca (recuérdese que la sua debe ser constante), y por tanto la partícula acelera, hasta pasar por el orgen de coordenadas con la áa velocdad (ína energía potencal). partr de este punto la energía potencal coenza a auentar, dsnuyéndo la energía cnétca y la velocdad, hasta llegar al punto de retorno de la derecha (= o ), donde toda la energía es potencal y por tanto la cnétca es nula. La partícula se detene oentáneaente, y sólo puede nvertr el sentdo del ovento, repténdose el razonaento. De esta fora, la partícula oscla entre las poscones etreas o y o El péndulo balístco es un nstruento uy sencllo utlzado por la polcía centífca para deternar la velocdad de una bala o proyectl. a) Eplcar con detalle en qué consste. b) Qué agntudes se deben conocer (edr) para deternar la velocdad del proyectl? c) Eplctar las ecuacones que perten deducr dcha velocdad del proyectl. a) Un péndulo balístco es un dspostvo que perte deternar la velocdad de un proyectl. Este péndulo está consttudo por un bloque grande de adera, de asa M, suspenddo vertcalente. El proyectl, de asa, cuya velocdad v 0 se quere deternar, se dspara horzontalente de odo que choque y quede ncrustado en el bloque de adera (choque perfectaente nelástco por tanto). Tras el choque, el conjunto bloque/bala (con velocdad v) ascende una deternada altura (ángulo θ) hasta que se para. Mdendo dcha altura (o el ángulo θ) se puede deternar la velocdad de la bala. b) En el péndulo balístco se deben conocen las asas tanto del bloque de adera coo del proyectl (se pesan), y se debe edr la altura a la que ascende el conjunto tras el choque (desplazaento áo del péndulo, relaconado con el ángulo áo θ). c) Llaeos h a la altura áa a la que ascende el péndulo y v a la velocdad del conjunto (M+) tras el choque nelástco. Por conservacón de la energía ecánca entre la poscón vertcal (altura ínna, velocdad v) y la poscón de áa altura (velocdad nula) teneos:

4 1 ( + M)gh = ( + M)v v = gh Tenendo en cuenta que en el pacto (copletaente nelástco) se conserva el oento lneal: + M M pantes = pdespués v0 = ( + M)v v0 = v = 1 + gh pudendo deternar así v 0 a partr de M, y h a) Obtener la epresón del oento de nerca de un sóldo rígdo a partr de la epresón del oento angular. b) Ctar las propedades del oento de nerca. c) Defnr y epresar ateátca el concepto de rado de gro. a) Vaos a evaluar el oento angular de un dsco delgado (sóldo rígdo) grando en torno a un eje perpendcular que pasa por su centro. Para una partícula () de dcho dsco, tenendo en cuenta que gra en torno a dcho eje con una certa velocdad angular ω, tendreos que: L r = r v = r ( ω r ) = ω El oento angular del sstea (S.R.) es la sua de los oentos angulares de todas las partículas. Tenendo en cuenta que la velocdad angular es la sa para todas las partículas del dsco, se tene: N N N L = L = r ω = r ω = Iω = 1 = 1 = 1 donde se defne una nueva agntud físca, el oento de nerca I (con respecto al eje de rotacón): I N = r = 1 donde las dstancas r están eddas con respecto al eje de gro. b) Por la defncón de oento de nerca se tenen las sguentes propedades: Es una agntud escalar Depende de la dstrbucón de las asas Va a jugar el so papel en la rotacón que la asa en el ovento de traslacón Depende del eje de rotacón Sus undades son asa por longtud al cuadrado (kg. en el SI). c) Sepre es posble epresar el oento de nerca de un cuerpo respecto de cualquer eje de la fora: I=k sendo k el denonado rado de gro del sóldo rígdo correspondente respecto a dcho eje. De esta fora, el rado de gro se defne coo la dstanca desde el eje de gro a un punto donde podríaos suponer concentrada toda la asa del cuerpo, de odo que el oento de nerca respecto a dcho eje se obtenga coo el producto de la asa del cuerpo por el cuadrado del rado de gro.

5 Conocdos I y la asa total del cuerpo,, el rado de gro vene dado coo: k = I 5. Detallar las ecuacones dferencales del ovento de una partícula en los casos de ovento arónco sple, aortguado y forzado (asa unda a un uelle), defnendo cada uno de los paráetros que ntervengan en ellas. Interpretar físcaente las solucones en cada una de las tres stuacones. 1.- Para una asa () unda a un uelle, en el caso de un ovento arónco sple la únca fuerza que actúa es la del resorte (de constante k). De la segunda ley de Newton: k ΣF X = k = + k = 0 + = 0 Dcha ecuacón tene la fora + ω 0 = 0, donde la frecuenca angular natural será: k k ω 0 = ω0 = La solucón de esta ecuacón es: = 0 sen(ω 0 t+ϕ) sendo 0 la apltud del ovento (desplazaento áo) y ϕ el desfase ncal (ángulo cuando t=0). ( 0 y ϕ son funcón de las condcones ncales { 0, v 0 })..- S el ovento es aortguado aparece una fuerza resstente. Esta fuerza puede tener uchas foras, pero nos centrareos en la llaada resstenca vscosa, donde la fuerza que se opone al ovento es proporconal a la velocdad de la partícula, sendo el coefcente de proporconaldad la llaada constante de aortguaento (γ): F R = γ sí, la ecuacón nos queda ahora: γ k ΣF X = k γ = + γ + k = = 0 + β + ω 0 = 0 γ El paráetro β = recbe el nobre de paráetro de aortguaento. Este paráetro es fundaental ya que la solucón de la ecuacón dferencal depende del valor de β frente a ω o, tenendo tres casos dferentes: a) S β<ω 0 el aortguaento es débl y la solucón de la ecuacón es: = 0 e -βt sen(ω t+ϕ) con ω ' = ω 0 β.( o y ϕ son funcón de las condcones ncales { o, v o }). La apltud no es constante y ya no es un ovento arónco sple, sno que dcha apltud decrece eponencalente con el tepo: = 0 e -βt El ovento no es estrctaente peródco y no este un período estrcto, aunque se puede consderar: π T = ω'

6 Mateátcaente la apltud se hace nula en el nfnto, pero en la realdad se observa que el sstea perde toda la energía y acaba parándose en un ntervalo de tepo fnto. b) S β=ω 0 el aortguaento es crítco, la frecuenca ω es nula y la solucón no es osclatora: =( t)e -βt (o y 1 son constantes de ntegracón que dependen de las condcones ncales). Esta stuacón tene nterés para el dseño de ssteas en que no se desean vbracones y se pretenda tender rápdaente a una stuacón de equlbro, por ejeplo, aortguadores. c) Por últo, s β>ω 0 el aortguaento es supercrítco o se dce que el ovento es sobreaortguado. La frecuenca ω sería agnara, y la solucón no tene funcones snusodales, sno hperbólcas (en esenca, eponencales): ω t ω t ω1 = β + β ω = + 0 1e 1 e con ω = β β ω 0 ( 1 y son constantes de ntegracón que dependen de las condcones ncales). 3.- En la stuacón real la osclacón de la partícula no se antene ndefndaente ncluso aunque aplqueos una fuerza oentánea, por lo que s quereos antener la osclacón teneos que antener tabén la fuerza, y el ovento se denona forzado. Un caso de nterés ocurre s la fuerza es snusodal: F=F 0 senωt La ecuacón dnáca ahora será: F ΣF k F sen t 0 X = + γ + = 0 ω + β + ω 0 = senωt La solucón de esta ecuacón consta de dos partes, en prer lugar la solucón de la parte hoogénea: + β + ω 0 = 0 Ya heos vsto que la solucón de esta ecuacón depende del tpo de aortguaento. Consdereos el aortguaento débl, cuya solucón sería: h = 0 e -βt sen(ω t+ϕ) con ω ' = ω 0 β Y tendríaos adeás la solucón partcular, que es de la fora: p =sen(ωt-δ) donde depende de las característcas del sstea que oscla (ω o, ), del aortguaento (β) y de la fuerza pulsora (Fo, ω). Esta solucón ndca un ovento osclatoro snusodal de frecuenca ω. La solucón general será entonces: = h + p = 0 e -βt sen(ω t+ϕ)+sen(ωt-δ) La prera parte de la ecuacón es teporal y desaparece con el tepo, y peranece la solucón partcular o parte estaconara o peranente. sí, la frecuenca estaconara o peranente es la de la fuerza aplcada ω.