Introducción a la Programación Lineal

Introducción a la Programación Lineal J. Montealegre I. Flores Febrero de 2015 1. Desigualdades en el plano cartesiano Si en un plano P consideramos una recta L éste queda dividido en tres conjuntos: el conjunto de puntos que están en la recta misma, y los semiplanos P 1 y P 2 formados por los puntos que están a uno y otro lado de la recta L. Consideremos la recta vertical x = a. Y x a x a X Los puntos que están en la recta son aquellos que satisfacen su ecuación. Los puntos que están a la izquierda satisfacen la inecuación x < a, y los puntos que están a la derecha satisfacen la inecuación x > a. Ejemplo 1.1. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad y < x + 1. Solución. Primero graficamos a la recta y = x + 1. Y y x 1 X Luego verificamos si las coordenadas del punto (0, 0) satisfacen la desigualdad. Como este es el caso, entonces el semiplano que representa gráficamente a la inecuación es el que contiene

al origen. Y y x 1 X Notar que los puntos que están en la recta satisfacen y = x + 1, lo que se indica con un trazo discontinuo. Ejemplo 1.2. Graficar en un mismo sistema de coordenadas el conjunto determinado por las siguientes desigualdades: x + 2y 6 x + y 4 x 0 y 0. Indicar los vértices del polígono formado. Solución. Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la intersección de las regiones correspondientes a cada una de ellas. La inecuación x + 2y 6 es equivalente a la inecuación x 6 + y 1, por lo que en este caso 3 la región a considerar se encuentra abajo de la recta (incluyendo a la recta) x 6 + y = 1. Por 3 otro lado, la inecuación x + y 4 es equivalente a la inecuación x 4 + y 1 y la región que le 4 corresponde también se ubica debajo de la recta x 4 + y 4 = 1. Es claro que la región que corresponde a x 0 es el semiplano ubicado a la derecha del eje Y, y la que corresponde a y 0 es el semiplano ubicado arriba del eje X. De lo anterior se concluye que la región buscada es la que se muestra en el gráfico Y x y 4 x 2y 6 X 2

2. Programación lineal La teoría de la programación lineal fue desarrollada en la década 1940-1950 por matemáticos tales como John von Neumann, George Dantzig, T. Koopmans, etc. La programación lineal sirve para encontrar el valor máximo o el valor mínimo de una expresión lineal sujeta a un conjunto de desigualdades lineales. La aplicación más común abarca el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible, esto es, en forma óptima. Tiene aplicaciones en la investigación de operaciones, ciencias administrativas, física y biología. Veamos el ejemplo de una fábrica que produce una gama de artículos y que dispone de una variedad de recursos (personal, materias primas, máquinas, créditos, etc.) cada uno de los cuales supone un costo a considerar. Cuál debe ser la política a seguir si se quieren conseguir los máximos beneficios? Ejemplo 2.1. Supongamos que una compañia fabrica dos tipos de artefactos, manuales y eléctricos. Cada uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres máquinas: A, B y C. Un artefacto manual requiere del empleo de la máquina A durante dos horas, de una hora en la máquina B y de una hora en la máquina C. Un artefacto eléctrico requiere de una hora en A, dos horas en B y una hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas disponibles por mes para el uso de las tres máquinas es 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y de $6 para los eléctricos. Si la compañia vende todos los artefactos que fabrica cuántos de ellos de cada tipo se deben elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual? Solución. Un resumen de los datos se presenta en la siguiente tabla Consideremos La utilidad es A B C Utilidad Unidad Manual 2 h 1 h 1 h $4 Eléctrico 1 h 2 h 1 h $6 Horas disponibles 180 160 100 x : número de artefactos manuales que se fabrican en el mes. y : número de artefactos eléctricos que se fabrican en el mes. p : utilidad mensual. P = 4x + 6y y la función objetivo es maximizar P sujeta a la condición de que x e y deben ser una solución para el sistema de inecuaciones 2x + y 180, (1) x + 2y 160, (2) x + y 100, (3) x 0, (4) y 0. (5) A las restricciones (4) y (5) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que satisface simultáneamente las condiciones (1) a (5) se denomina región factible. 3

Formulación del problema de programación lineal Del ejemplo anterior podemos establecer que la formulación general de un problema de programación lineal es la siguiente: Obtener los valores x 1, x 2, x 3,..., x n que maximicen o minimicen la llamada función objetivo z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + + c n x n Sujeta a las condiciones a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n ( ) b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + + a 2n x n ( ) b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + + a mn x n ( ) b m Con x 1 0, x 2 0, x 3 0,, x n 0 llamadas las condiciones de no negatividad. Ejemplo 2.2. Una fábrica produce tres productos de caucho: A, B y C y los tres productos requieren de cuatro materias primas diferentes. La cantidad de cada materia prima usada por libra del producto final se muestra en la tabla Cantidad (onz/lb) Producto Mat. Prima 1 Mat. Prima 2 Mat. Prima 3 Mat. Prima 4 A 4 2 4 6 B 3 2 2 9 C 6 3 5 2 La fábrica debe producir al menos 1000 libras de A, 500 libras de B y 400 libras de C para el fin de mes, pero se sabe que se pueden vender más de cada uno de los tres productos. Los inventarios de los que dispone la fábrica son: 500 libras de la materia prima 1, 425 libras de la materia prima 2, 650 libras de la materia prima 3 y 1100 libras de la materia prima 4. Cada libra de A produce a la fábrica una ganancia de $7, cada libra de B una ganancia de $7 y cada libra de C una ganancia de $6. Se deberá establecer un plan de producción de modo que las ganancias sean máximas. Solución. 1. Determinación de las variables. Sean x : número de libras de A y : número de libras de B z : número de libras de C u : la ganancia al mes 2. Determinación de la función objetivo. Del enunciado se tendrá que la ganancia total deberá ser igual a la suma de las ganancias obtenidas por los tres productos. Así, la función objetivo es máx u = 7x + 7y + 6z. 4

3. Determinación de las restricciones. Identificamos restricciones de a) Cantidad de materia prima. Primero tenemos que cada libra tiene 16 onzas y así tenemos de la tabla que 4x + 3y + 6z 8000 2x + 2y + 3z 6800 4x + 2y + 5z 10400 6x + 9y + 2z 17600 b) Demanda de los productos. De los datos tenemos que x 1000 y 500 z 400 c) De no negatividad. x 0, y 0, z 0. Así, nuestro problema de Programación lineal es máx 7x + 7y + 6z sujeta a 4x + 3y + 6z 8000 2x + 2y + 3z 6800 4x + 2y + 5z 10400 6x + 9y + 2z 17600 x 1000 y 500 z 400 con x 0, y 0, z 0. Ejemplo 2.3. Un fabricante produce dos tipos de parrillas para asar, Tipo I y Tipo II. Durante la producción las parrillas requieren del uso de dos máquinas A y B. El número de horas necesarias en ambas está indicado en la tabla siguiente. Máquina A Máquina B Tipo I 2 horas 4 horas Tipo II 4 horas 2 horas Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las utilidades en los modelos son de $4 y $6, respectivamente, cuántas parrillas de cada tipo deben producirse por día para obtener una utilidad máxima? Cuál es la utilidad máxima? 5

Solución. Construimos la siguiente tabla Máquina A Máquina B Utilidades Tipo I 2 horas 4 horas 4 Tipo II 4 horas 2 horas 6 Total horas a usar 24 24 Sea x el número de parrillas del Tipo I, y el número de parrillas del Tipo II y u la utilidad por producir parrillas Tipo I y Tipo II, con u = 4x + 6y. Entonces el problema es equivalente a Maximizar 4x + 6y sujeta a 2x + 4y 24 4x + 2y 24 x 0, y 0. Ejemplo 2.4. Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A tiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el B $0.80 por unidad, cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo? Cuál es el costo mínimo? Solución. De los datos se tiene la siguiente tabla Carbohidratos Proteínas Costo Alimento A 2 4 1.20 Alimento B 2 1 0.80 Total 16 20 Sean x : unidades en el alimento A, y : unidades en el alimento B, C : costo por la compra de x unidades de A y y unidades de B. Tenemos entonces donde C 1 = C. Problema original Problema equivalente Minimizar C = 1,20x + 0,80y Maximizar C 1 = 1,20x 0,80y sujeto a sujeto a 2x + 2y 16 2x + 2y 16 4x + y 20 2x + 2y 16 x 0, y 0 x 0, y 0 Ejemplo 2.5. Un fabricante produce un artículo en dos presentaciones: A y B, usando las materias primas m 1 y m 2. Diariamente se necesita por lo menos 18 kg. de m 1 y 12 kg. de m 2 ; y como máximo 34 horas de mano de obra. Se requiere 2 kg. de m 1 para cada artículo A y 1 kg. de m 1 para cada artículo B. Para cada artículo de A y B se requiere 1 kg. de m 2. Además en la fabricación de un artículo de A se emplean 3 horas y 2 horas en un artículo de B. Si la utilidad por artículo en el modelo A es de $5 y $3 por el artículo B, cuántos artículos de cada modelo deben producirse para maximizar la utilidad y cuál es ésta utilidad máxima? Solución. Se tiene la tabla m 1 m 2 Horas Utilidad A 2 1 3 5 B 1 1 2 3 El problema es Maximizar z = 5x + 3y, sujeta a: 2x + y 18 x + y 12 3x + 2y 34 6

3. Método gráfico de resolución de un PPL Ejemplo 3.1. Supongamos que una compañia fabrica dos tipos de artefactos, manuales y eléctricos. Cada uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres máquinas: A, B y C. Un artefacto manual requiere del empleo de la máquina A durante dos horas, de una hora en la máquina B y de una hora en la máquina C. Un artefacto eléctrico requiere de una hora en A, dos horas en B y una hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas disponibles por mes para el uso de las tres máquinas es 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y de $6 para los eléctricos. Si la compañia vende todos los artefactos que fabrica cuántos de ellos de cada tipo se deben elaborar con el objeto de maximizar la utilidad mensual? Solución. Según sabemos del ejemplo 2.1, si consideramos x : número de artefactos manuales que se fabrican en el mes. y : número de artefactos eléctricos que se fabrican en el mes. p : utilidad mensual. el Problema de Programación Lineal es máx P = 4x + 6y sujeta a 2x + y 180, x + 2y 160, x + y 100, x 0, y 0. Aunque existen una cantidad infinita de soluciones, se debe hallar la que maximice a la función de utilidad. Usaremos el geogebra como una herramienta para resolver el problema, siguiendo los siguientes pasos: 1. Trazar las rectas y L 1 : 2x + y = 180, L 2 : x + 2y = 160, L 3 : x + y = 100, L 4 : x = 0 L 5 : y = 0. Para graficar una recta en geogebra se puede hacer de varias maneras: i. Una manera es digitar en la barra de entrada la ecuación de la recta, por ejemplo para la recta L 1 se digitará tal cual la ecuación 2x+y = 180 y luego presionar enter. ii. También podemos etiquetar la recta, darle color, modificar su grosor, cambiar el estilo del trazo, etc. Esto es importante porque en el método gráfico al trabajar con muchas rectas es necesario diferenciarlas. iii. La forma de poder editar una recta es seleccionarla, ya sea en la vista gráfica o en la vista algebraica. Una vez seleccionada, presionar el botón derecho del mouse 7

y elegir propiedades de la lista desplegada. Se abrirá una ventana donde se puede seleccionar qué características de la recta se desean modificar. 2. Graficar las regiones que representan las inecuaciones y 2x + y 180, x + 2y 160, x + y 100, x 0 y 0. La intersección de éstas regiones será la región factible, pues los puntos (x, y) que están en ella satisfacen las restricciones del problema. Luego hallamos los vértices de la región factible intersectando las rectas que forman los lados de dicha región. Por ejemplo, para hallar el vértice C se intersectan las rectas L 2 y L 3. En geogebra se intersecta de la siguiente manera: de la barra de herramientas elegimos el botón intersección, una vez activado éste botón hacemos clic en las rectas L 2 y L 3 y como resultado se obtiene el punto C. En nuestro caso, tenemos A (40, 60) B (80, 20) C (90, 0) D (0, 0) E (0, 80). 8

3. Se sabe, por el teorema de Weierstrass que una función lineal afín definida sobre una región factible acotada y no vacía tiene un valor máximo (o mínimo) y se puede encontrar este valor en un vértice de la región factible. Esta afirmación permite hallar soluciones óptimas, para lo cual usaremos la herramienta deslizador del geogebra, de la siguiente manera: Seleccionamos el botón deslizador de la barra de herramientas y hacemos clic en un espacio vacío de la vista gráfica, aparece una ventana donde daremos el nombre k (arbitrario) al deslizador, además ingresamos los valores mínimo y máximo del intervalo del deslizador, de tal manera que al deslizar la función objetivo U, ésta comprenda todos los puntos de la región factible. En nuestro caso el valor mínimo es 0 y el valor máximo 520. El tercer paso del método descrito, es equivalente a evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y después elegir aquel en que la función objetivo resulte óptima. En nuestro caso, si evaluamos la función objetivo en cada punto, se tiene: P (40, 60) = 4 (40) + 6 (60) = 520 P (80, 20) = 4 (80) + 6 (20) = 440 P (90, 0) = 4 (90) + 6 (0) = 360 P (0, 0) = 4 (0) + 6 (0) = 0 P (0, 80) = 4 (0) + 6 (80) = 480. Por consiguiente, P tiene un valor máximo de $520 en A, en donde x = 40 e y = 60. Observación 3.1. Cuando la región factible no está acotada, la función objetivo P puede no tener un valor máximo o mínimo. Ejemplo 3.2. Un fabricante produce dos tipos de parrillas para asar, Tipo I y Tipo II. Durante la producción las parrillas requieren del uso de dos máquinas A y B. El número de horas necesarias en ambas está indicado en la tabla siguiente. Máquina A Máquina B Tipo I 2 horas 4 horas Tipo II 4 horas 2 horas Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las utilidades en los modelos son de $4 y $6, respectivamente, cuántas parrillas de cada tipo deben producirse por día para obtener una utilidad máxima? Cuál es la utilidad máxima? Solución. Como en el ejemplo 2.3, si x es el número de parrillas del Tipo I, y el número de parrillas del Tipo II y u la utilidad por producir parrillas Tipo I y Tipo II, entonces el 9

problema es equivalente a máx 4x + 6y sujeta a 2x + 4y 24 4x + 2y 24 x 0, y 0. El máximo valor de u se da en el punto A (4, 4), u = 40. Ejemplo 3.3 (Ejemplo 2.3). Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A tiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el B $0.80 por unidad, cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo? Cuál es el costo mínimo? Solución. Sean x : unidades en el alimento A, y : unidades en el alimento B, C : costo por comprar x unidades de A, y y unidades de B. Tenemos, ejemplo 2.4, que el problema es equivalente a máx C 1 = 1,20x 0,80y sujeto a 2x + 2y 16 2x + 2y 16 x 0, y 0. C 1 será máximo cuando x e y asumen (ambos) valores más pequeños. Este valor máximo de C 1 se dará en el punto E. Las coordenadas de E se determinan resolviendo el sistema 2x + 2y = 16 4x + y = 20 de donde se obtiene E (4, 4). Así, C 1 = 1,20 (4) 0,80 (4) = 8, pero como C 1 = C = 8, entonces C = 8. Por tanto, el mínimo de C = 8, se da en E (4, 4). 10

Ejemplo 3.4. Un fabricante produce un artículo en dos presentaciones: A y B, usando las materias primas m 1 y m 2. Diariamente se necesita por lo menos 18 kg. de m 1 y 12 kg. de m 2 ; y como máximo 34 horas de mano de obra. Se requiere 2 kg. de m 1 para cada artículo A y 1 kg. de m 1 para cada artículo B. Para cada artículo de A y B se requiere 1 kg. de m 2. Además en la fabricación de un artículo de A se emplean 3 horas y 2 horas en un artículo de B. Si la utilidad por artículo en el modelo A es de $5 y $3 por el artículo B, cuántos artículos de cada modelo deben producirse para maximizar la utilidad y cuál es ésta utilidad máxima? Solución. Como en el ejemplo 2.5, el problema es máx 5x + 3y, sujeta a: 2x + y 18 x + y 12 3x + 2y 34 Resolviendo el sistema correspondiente a las restricciones anteriores, se tiene 2x + y = 18 x + y = 12 3x + 2y = 34 A (6, 6), B (2, 14) y C (10, 2). La gráfica correspondiente es En el punto A (6, 6) se tiene que z = 48, en el punto B (2, 14) se tiene que z = 52 y en el punto C (10, 2) z = 56. Por tanto, del modelo A se deben producir 10, del modelo B se deben producir 2 y la utilidad máxima es de $56. 4. Ejercicios propuestos 1. Un fabricante produce dos productos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempo en tres máquinas, I, II y III. Los requerimientos (en horas) y la utilidad (en dólares) de cada unidad de A y B, así como, la disponibilidad mensual (en horas) de cada máquina, están dados en el siguiente cuadro. I II III Utilidad por producto A 2 4 3 $250 B 5 1 2 $300 Disponibilidad mensual 200 240 190 Determine cuántas unidades de cada producto deben producirse a fin de maximizar la utilidad total. 2. Un agricultor comprará fertilizantes que contienen tres nutrientes:a, B y C. Los requerimientos mínimos semanales son 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos mezclas populares de fertilizantes en el mercado. La mezcla I cuesta $4 por bolsa, con dos unidades de A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $5 por bolsa, con 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. Cuántas bolsas de cada mezcla debe comprar el agricultor para minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de nutrientes? 3. Una compañía extrae minerales de un yacimiento. Del número de libras de minerales A y B que puede ser extraído por cada tonelada de los filones I y II está dado en la tabla 11

siguiente junto con los costos por tonelada. Si la compañía debe extraer al menos 3000 libras de A y 2500 de B, cuántas toneladas de cada filón deben ser procesados con el fin de minimizar el costo? Cuál es el costo mínimo? Filón I Filón II Mineral A 110 lb 200 lb Mineral B 200 lb 50 lb Costo por tonelada $50 $60 4. Una compañía petrolera, que tiene dos refinerías, necesita al menos 800, 1400 y 500 barriles de petróleo de grados bajo, medio y alto, respectivamente. Cada día, la refinería I produce 200 barriles de grado bajo, 300 de medio y 100 de alto grado, mientras que la refinería II produce 100 barriles de grado alto, 100 de bajo y 200 de grado medio. Si los costos diarios son de $2500 para operar la refinería I y de $2000 para la refinería II, cuantos días debe ser operada cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo? Cuál es el costo mínimo? (Suponga que existe un costo mínimo). 5. Una persona posee un capital de 10 millones de soles y le aconsejan que los invierta en dos tipos de acciones A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras pero producen solo el 7 % anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones de soles en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. Cómo deberá invertir su capital para que el beneficio anual sea máximo? 6. Una empresa fabrica tres tipos de alimentos para animales: A, B y C. Para tal efecto, necesita dos fases, la primera (I) de fabricación en máquina, y una segunda fase (II) de mano de obra. Dispone de 120 horas mensuales en la fase I y de 260 en la II, y para su fabricación necesita para cada alimento las siguientes horas en cada una de las fases Horas I Horas II A 0.1 0.2 B 0.25 0.3 C 0.4 Si el beneficio que se obtiene por cada tipo de alimento es de $3, $5 y $4, respectivamente, establecer un programa de fabricación en el mes para que la utilidad sea máxima. 7. Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender toda su producción a los siguientes precios: el producto A a $700 por unidad, el producto B a $3500 y el producto C a $7000. Producir cada unidad de A requiere de 1 hora de trabajo, 2 de acabado y 3 unidades de materia prima. Producir una unidad de B requiere de 2 horas de trabajo, 3 de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una unidad de C requiere 3 horas de trabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materia prima. Para este periodo de planificación se dispone de 100 horas de trabajo, 200 horas de acabado y 600 unidades de materia prima. Formule y construya el modelo lineal que maximice los ingresos de la empresa. 8. Una máquina de fabricar papel produce rollos de 82 cm de ancho. Se han recibido los 12

siguientes pedidos: 60 rollos de 58 cm 85 rollos de 26 cm 85 rollos de 24 cm 50 rollos de 23 cm Plantear el problema de cómo cortar los rollos de 82 cm, a fin de satisfacer los pedidos y minimizar el desperdicio. 9. Una compañía promueve periódicamente servicios públicos, seminarios y programas. Actualmente los planes de promoción para este año están en marcha. Los medios alternativos para realizar la publicidad así como los costos y la audiencia estimados por unidad de publicidad, además de la cantidad máxima de unidades de publicidad en que puede ser usado cada medio se dan en la tabla siguiente Restricciones TV Radio Prensa Audiencia por unidad de publicidad 100000 18000 40000 Costo por unidad de publicidad $2000 $300 $600 Uso máximo del medio 10 20 10 Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exceder el 50 % del total de unidades de publicidad autorizados. Además la cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10 % del total autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado a $18500. Formular un programa lineal que optimice la audiencia total o la cantidad de personas que vean la publicidad. 10. Un Banco abre de Lunes a Viernes de 8 a.m. a 4p.m. De experiencias anteriores se sabe que va a necesitar la cantidad de cajeros señaladas en la tabla siguiente Periodo de tiempo 8 9 9 10 10 11 11 12 12 1 1 2 2 3 3 4 Cajeros requeridos 4 3 4 6 5 6 8 8 Hay dos tipos de cajeros: los que trabajan tiempo completo de 8 a.m. a 4 p.m., los 5 días, excepto la hora de almuerzo. El Banco determina cuando debe almorzar cada cajero, pero debe ser entre las 12 m y 1 pm o entre la 1 pm y las 2 pm. A los empleados a tiempo completo se les paga S/.180 la hora (incluida la de almuerzo). También hay trabajadores a tiempo parcial que deben trabajar exactamente 3 horas consecutivas cada día y se les paga S/. 110 la hora, sin ningún otro pago. A fin de mantener la calidad del servicio el Banco desea tener un máximo de 5 cajeros contratados a tiempo parcial. Se desea minimizar los costos de empleados contratados. 13