El Algoritmo Round-Trip para el Operador de Elasticidad Posgrado en Ciencia e Ingeniería de la Computación. Unión Geofísica Mexicana, Octubre 2008.
Introducción Descripción La paralelización del cálculo de la solución numérica de EDPP ha propiciado el desarrollo de diversos métodos que, utilizando la idea original de Descomposición de Dominio, mejoren la calidad de la solución disminuyendo el tiempo de procesamiento y la utilización de memoria. Es decir que tengan beneficios a priori de su implementación computacional. Algunos de estos métodos son
Introducción Descripción La paralelización del cálculo de la solución numérica de EDPP ha propiciado el desarrollo de diversos métodos que, utilizando la idea original de Descomposición de Dominio, mejoren la calidad de la solución disminuyendo el tiempo de procesamiento y la utilización de memoria. Es decir que tengan beneficios a priori de su implementación computacional. Algunos de estos métodos son Los métodos de Schwarz
Introducción Descripción La paralelización del cálculo de la solución numérica de EDPP ha propiciado el desarrollo de diversos métodos que, utilizando la idea original de Descomposición de Dominio, mejoren la calidad de la solución disminuyendo el tiempo de procesamiento y la utilización de memoria. Es decir que tengan beneficios a priori de su implementación computacional. Algunos de estos métodos son Los métodos de Schwarz FETI
Introducción Descripción La paralelización del cálculo de la solución numérica de EDPP ha propiciado el desarrollo de diversos métodos que, utilizando la idea original de Descomposición de Dominio, mejoren la calidad de la solución disminuyendo el tiempo de procesamiento y la utilización de memoria. Es decir que tengan beneficios a priori de su implementación computacional. Algunos de estos métodos son Los métodos de Schwarz FETI Libres de Multiplicadores de Lagrange
Descomposición de Dominio
Descomposición de Dominio Lu = f en Ω (1) u = g en Ω (2) Sea u 0 una función inicial definida en Ω y que se anula en Ω y establecemos que û 0 := u 0. Para k 0 definimos dos secuencias i \Ω i û k+1 y û k+1 y resolvemos respectivamente 1 2 junto con Lu n 1 = f en Ω 1 (3) u n 1 = g en Ω 1 \ Γ 1 (4) u n 1 = un 1 2\Γ 1 en Γ 1 (5) Lu n 2 = f en Ω 2 (6) u n 2 = g en Ω 2 \ Γ 2 (7) u n 2 = un 1\Γ 2 en Γ 2 (8)
Complemento de Schur Dado que la matriz A se obtiene de un método de discretización podemos descomponer dicha matriz en bloques donde se identifiquen los subdominios y los nodos que estan involucrados. de esta manera el sistema de ecuaciones queda representado como A 1 ΠΠ A 2 ΠΠ A 1 Π A 2 Π..... A n ΠΠ A 1 Π A2 Π... A u Π u = f Π f
Complemento de Schur El sistema anterior se puede resolver obteniendo el complemento de Schur de forma tal que (A n i=1 Donde identificamos A (i) Π A(i) 1 ΠΠ A(i) Π )u = f S = (A como el complemento de Schur. n i=1 n i=1 A (i) Π A(i) 1 ΠΠ A(i) Π ) A (i) Π A(i) ΠΠ f (i) (9) Π
Operador de Elasticidad Sea el operador diferencial de elasticidad Dado el operador diferencial L u = f Ω (10) con condiciones L u = (λ + µ) ( u) µ u (11) u u en Ω (12)
FEM aplicado a la ecuación de Elasticidad Si w es una función en Ω tal que w existe, entonces wl u = (λ + µ)(w ( u)) µw u (13) Desarrollando e integrando por partes {(λ + µ)( w)( u) + µ w : u}dx = Ω w f Ω dx (14) Ω
Espacios Dual-Primal De manera análoga al procedimiento de incluir una frontera interior, en este desarrollo además de considerar la diferencia entre los nodos interiores y los que estan en Γ, vamos a partir los nodos que estan en esta última frontera. Cada partición esta identificada como Z i. Generamos un conjunto Ω el cual contendrá a todos los nodos(grados de libertad) una vez hecha la partición P = Z 1, Z 2,, Z n (15) Así Z i Ω y denominamos como Z al conjunto total después de dividir. Ω = Zi PZ i Distinguimos a los nodos como duales, aquellos que se dividen, y como primales aquellos que no se dividen. De manera concreta, los primales tienen cardinalidad uno y los duales cardinalidad mayor a uno.
Descomposición de Dominio
Proyecciones Definimos a : D( Ω) D( Ω) (16) a es la proyección en D( Ω) Dado u D( Ω) su proyección au D( Ω) es tal que u v = (au) v (17) Definimos j : D( Ω) D( Ω) (18) donde u = au + ju por lo que a + j = I (19) j es el complemento ortogonal del espacio de las continuas denotado como D( Ω).
Fórmulas Green-Herrera para Matrices Introducimos la siguiente igualdad A = L + R tal que Aplicando (19) L = [ ] [ ] AΠΠ A Π 0 0 R = 0 0 A Π A (20) R = ar + jr (21) podemos decir que L + ar + jr = L T + R T a + R T j (22) asumiendo que son simétricos. Así reordenando L + ar R T j = L T + R T a jr (23) tendrá una equivalencia con la formulación introducida por Herrera para EDP.
Fórmulas Green-Herrera para Matrices Ahora introducimos una formulación del problema usando el enfoque anterior, Encontrar una u D( Ω) que satisfaga Si utilizamos funciones armónicas, es decir (L + ar R T j)u = f (24) Lu = 0 La formulación (24) puede ser reescrita como (ar R T j)u = f 2 (25)
Algoritmos Round-Trip Algoritmo Neumann-Neumann Encontrar una u D 12 ( ) tal que as 1 asu = as 1 f 1 (26) Algoritmo FETI precondicionado Encontrar una u D 22 ( ) tal que S 1 jsju FT = S 1 jsjs 1 f 1 (27)
El caso del Laplaciano Dominios Flotantes Revisamos la forma de proceder en caso de que la matriz A no sea positiva definida y en consecuencia el complemento de Schur,S, tampoco lo sea. Un subdominio sin las condiciones de frontera suficientes para prevenir que S i sea singular es llamado un subdominio flotante. Para solucionar esta situación se propone la matriz con columnas linealmente independientes I C que genera el nulo de S denotado S como N S.
Problemas mal planteados Mientras que el espacio nulo de un problema elíptico escalar consiste de constantes, para el problema de elasticidad se tiene un espacio nulo de seis dimensiones conformado los modos rígidos de un cuerpo. El espacio de los modos rígidos de un cuerpo esta generado por tres traslaciones y tres rotaciones 1 0 0 r 1 = 0 ; r 2 = 1 ; r 3 = 0 0 0 1 0 x 3 x 2 r 4 = x 3 ; r 5 = 0 ; r 6 = x 1 x 2 x 1 0
Problemas mal planteados Los modos rígidos de un cuerpo son funciones lineales y estan contenidas en el espacio polinomial. Una consecuencia de lo anterior es que el espacio nulo de la matriz A (i) de cualquier subdominio flotante Ω i es el mismo. De manera similar, dado que los modos rígidos de un cuerpo no tienen energía elástica, el complemento de Schur S de cualquier subdominio tiene el mismo espacio nulo. Así, para construir un algoritmo de Descomposición de Dominio debemos incluir completamente el espacio nulo del operador.
El caso no positivo definido Operador Positivo Definido D w 11 jn S (28) Definimos los operadores I = a w + j w (29) Construimos la matriz M = S + j w (30)
El caso no positivo definido La inversa de M Para cualquier u N S definimos a k w como la inversa de I C, esto es S que satisface I C S k w u = u (31) Mientras que para cualquier u D( ) este operador k w se define k w u k w I C S u (32) El operador k w esta definido de manera única cuando se aplica en el espacio N S ya que I C S u N S
El caso no positivo definido Para u D( ) se tiene que I C k w u = I C u (33) S S Si asumimos que v = M 1 u. Entonces Sv + j w v = u (34) Si aplicamos I C S a la ecuación (34) obtenemos I C S Sv + jw v = I C S u = IC S k w u (35)
El caso no positivo definido Dado que j w v D w 11 ( ) y k w v D w ( ) deducimos que 11 j w v = k w u (36) Si consideramos que el operador I C es uno a uno y sustituyendo en S (34) tenemos Sv + k w u = u (37) La aplicación de I R genera S Sv = I R (u k w u) (38) S Lo anterior es equivalente a (S + I C )v = S IR(u k w u) (39) S
Conclusiones El enfoque de un método de descomposición de dominio libre de multiplicadores de Lagrange disminuye el número de grados de libertad. Para elasticidad esto es significativo dado que las funciones son valuadas vectorialmente. El precondicionamiento de las matrices es más sencillo. Además de que con esta formulación se pueden obtener métodos equivalentes a los más representativos de la literatura actual.
Fin de la presentación Muchas Gracias