TEMA 3 ACTUACIONES DE PUNTO En este curso se analizan las actuaciones de punto de aviones con turborreactor o turbofán. En el estudio de las actuaciones de punto static performance) se considera el problema casi estacionario, esto es, se desprecian las aceleraciones tangencial y normal, y se estudian las ecuaciones dinámicas, que para el vuelo en un plano vertical con ε = 0 se reducen a T h, V, π) Dh, V, L) sin γ = 0 L cos γ = 0 3.1) En estas ecuaciones hay 6 variables, por lo que dadas 4 de ellas, las otras 2 quedan definidas por las ecuaciones. 3.1 Actuaciones en vuelo horizontal En el caso de vuelo horizontal h = const) se tiene γ = 0, por lo que las ecuaciones que permiten estudiar las actuaciones de punto se reducen a T h, V, π) Dh, V, L) = 0 L = 0 3.2) En este caso se tiene n = 1. Sustituyendo la 2 a en la 1 a se tiene T h, V, π) Dh, V, ) = 0 3.3) En esta ecuación hay 4 variables, por lo que dadas 3 de ellas, la otra queda definida por la ecuación. Por ejemplo, V = V h,, π). En este caso la ecuación define 2 velocidades de vuelo ver figura 3.1): los puntos de intersección de las curvas T V ) y DV ), para h, y π dados. Las actuaciones de punto que se van a estudiar son el techo teórico y la velocidad máxima. El techo teórico Vinh lo llama propulsive ceiling) es la altitud máxima a la que es posible el vuelo horizontal, para y π fijos, en concreto para π max. Se verifica que el techo es la altitud a la cual el empuje disponible máximo es igual al empuje necesario mínimo esto es, igual a la resistencia aerodinámica mínima). La velocidad máxima es la máxima de las velocidades máximas que se tienen a cada altitud. Figura 3.1: Velocidad de vuelo 31
El techo teórico y la velocidad máxima son los elementos más relevantes del diagrama h V o envolvente de vuelo ver figura 3.2). Figura 3.2: Envolvente de vuelo En lo sucesivo se considera el modelo ISJ, y se definen las variables adimensionales u = V/V R ) 1 2 k 4 y z = T/T R, siendo la velocidad de referencia V R =, y el empuje de referencia ρs C D0 T R =. 3.1.1 Velocidad de vuelo La ecuación T = D en variables adimensionales es z 1 u 2 + 1u ) 2 2 = 0 3.4) de donde se obtienen las 2 velocidades de vuelo ver figura 3.3) u 1 = z + z 2 1 u 2 = z z 2 1 3.5) Figura 3.3: Velocidad de vuelo adimensional La ecuación L = = 1 2 ρv 2 SC L define el coeficiente de sustentación, y por tanto el ángulo de 32
ataque. Se tiene C L = 1 u 2 C L opt 3.6) 3.1.2 Techo teórico En variables adimensionales el techo teórico viene definido por z = 1, y la velocidad que se tiene en el techo por u = 1. El techo H se define en función de la densidad a) dicha altitud ρ H. ρ x Para π max se tiene el empuje máximo adimensional z max = zmax ρ, siendo zmax = T maxe max. Haciendo z max = 1 se tiene el siguiente resultado: ) 1 1/0,7 Si zmax < 1, entonces ρ H = ρ zmax, y el techo está en la troposfera. Si zmax > 1, entonces ρ H = ρ 1, y el techo está en la estratosfera. z max Para que el techo sea grande, interesa que zmax sea grande, esto es, interesa que Tmax y sean grandes y que sea pequeño. ) 1/2 ρ0 La velocidad en el techo viene dada por V H = V R = V R0, que toma distintos valores según ρ H ) 2 k 1/4 que el techo esté en la troposfera o en la estratosfera, siendo V R0 = : ρ 0 S C D0 ) 1/2 ρ0 Troposfera V H = V R0 ρ z max) 1/x Estratosfera V H = V R0 ρ0 ρ z max ) 1/2 3.7) 3.1.3 Velocidad máxima A cada altitud la velocidad máxima es u 1 la mayor de las dos posibles). Se tiene pues V 1 ρ) = ) 1/2 ρ0 [ V R u 1 ρ) = V R0 u 1 ρ), siendo, para z = z max, u 1 ρ) = z max ρ) + 1/2. z ρ maxρ) 2 1] La altitud a la cual se tiene la velocidad máxima de las máximas se define en función de la densidad a dicha altitud ρ M. La ecuación d ) 2 V1 1 = 0 tiene como solución z max = que sólo es válida en la troposfera dρ V R0 1 x 2 ) 2 V1 x < 1). Por otro lado, en la estratosfera es una función creciente con ρ decreciente con la V R0 altitud) por lo que su máximo se tiene en la tropopausa. Por tanto, se tiene el siguiente resultado: ) Si zmax 1 < 1.4, entonces ρ M = ρ 1 1/x, y está en la troposfera, siendo 1 x 2 zmax 1 x 2 x =0.7. Si zmax 1 > 1.4, entonces ρ M = ρ, esto es, está en la tropopausa, siendo x =0.7. 1 x 2 33
]1/2 ρ )1/2 0 La velocidad m axima viene dada por VM = VR0 zmax ρm ) + 1, que ρm toma distintos valores seg un que la velocidad m axima tenga lugar en la troposfera o en la tropopausa: [ )1/x ]1/2 1 + x ρ0 2 Troposfera VM = VR0 z 1 x max 1 x2 ρ 3.8) [ )]1/2 ρ0 2 Estratosfera VM = VR0 zmax + zmax 1 ρ [ 2 zmax ρm ) 3.1.4 Envolvente de vuelo De forma cualitativa se pueden definir los tres casos siguientes de envolvente de vuelo, seg un el valor del par ametro zmax : Si zmax >1.4, el techo est a en la estratosfera y la velocidad m axima en la tropopausa. Si 1 < zmax <1.4, el techo est a en la estratosfera y la velocidad m axima en la troposfera. Si zmax < 1, el techo y la velocidad m axima est an en la troposfera. La envolvente de vuelo te orica que se acaba de estudiar est a sujeta, entre otras, a limitaciones por entrada en p erdida y por compresibilidad ver figuras 3.4 y 3.5). Figura 3.4: Velocidades l ımite Figura 3.5: Envolvente de vuelo: limitaci on por p erdida y por compresibilidad 34
3.2 Actuaciones en planeo En la práctica los aviones comerciales descienden con los motores al ralentí idle rating), esto es, con un empuje mínimo. En este curso se va a estudiar el descenso con empuje nulo T = 0), es decir, el vuelo de planeo. Si se define el ángulo de planeo en inglés, glide angle) γ d = γ, las ecuaciones que permiten estudiar las actuaciones de punto en planeo son Dh, V, L) sin γ d = 0 L cos γ d = 0 3.9) En esta ecuación hay 5 variables, por lo que dadas 3 de ellas, las otras 2 quedan definidas por las ecuaciones. Por ejemplo, γ d = γ d h,, V ) y L = Lh,, V ). En general se tiene n = cos γ d. Además se tiene la ecuación que define la velocidad de descenso en inglés, rate of descent) V d = V sin γ d 3.10) 3.2.1 Ángulo de planeo y velocidad de descenso En lo sucesivo se hace la hipótesis simplificadora γ d 1. Se tienen las siguientes expresiones para el ángulo de planeo y la velocidad de descenso Dh, V, ) γ d = Dh, V, )V V d = 3.11) El ángulo de planeo mínimo es aquel que minimiza la resistencia aerodinámica D). La velocidad de descenso mínima es la que minimiza el producto DV. Se considera a continuación el modelo ISJ. En variables adimensionales u = V/V R ), se tienen los siguientes resultados γ d = 1 u 2 + 1u ) 2E 2 max V d = 1 V R 2 u 3 + 1 ) 3.12) u 3.2.2 Optimización Ángulo de planeo mínimo La velocidad adimensional que define el ángulo de planeo mínimo es u γd) min = 1 y por tanto γ d ) min = 1 3.13) que no depende de la altitud. La velocidad aerodinámica necesaria para efectuar un planeo con γ d ) min, es ) 2 k 1/4 V γd ) min = V R = 3.14) ρs 35 C D0
que disminuye al disminuir la altitud ver esquema en la figura 3.6). Con esta ley de velocidades se obtiene el planeo conocido como flattest glide. También se tiene ) 2 k 1/4 V e γd) min = V R0 = 3.15) ρ 0 S C D0 que es independiente de la altitud. Para tener γ d ) min pequeño interesa que sea grande. En los veleros puede llegar a ser = 50. La ecuación L = = 1 2 ρv 2 SC L define el coeficiente de sustentación, y por tanto el ángulo de ataque. Se tiene C L γd ) min = C Lopt 3.16) Figura 3.6: Ángulo de planeo y velocidad de descenso en planeo h 1 > h 2 > h 3 ) Velocidad de descenso mínima La velocidad adimensional que define la velocidad de descenso mínima es u γd ) min = 3 1/4 y por tanto ) 2 2 2 k 1/4 V d ) min = 3 3/4 V R = 3 3/4 3.17) ρs C D0 que disminuye al disminuir la altitud. La velocidad aerodinámica necesaria para efectuar un planeo con V d ) min, es ) V Vd ) min = 3 1/4 V R = 3 1/4 2 k 1/4 3.18) ρs que disminuye al disminuir la altitud ver esquema en la figura 3.6). Con esta ley de velocidades se obtiene el planeo conocido como slowest sink. 36 C D0
También se tiene que es independiente de la altitud. ) V e Vd) min = 3 1/4 V R0 = 3 1/4 2 k 1/4 3.19) ρ 0 S C D0 Para tener V d ) min pequeña interesa que la carga alar S sea pequeña, que sea grande y que k sea pequeño o bien, tomando k 1, que el alargamiento Λ sea grande). En los veleros puede llegar Λ a ser Λ = 25. El ángulo de ataque correspondiente es mayor que el que corresponde a ángulo de planeo mínimo, y viene definido por C L Vd) min = 3C Lopt 3.20) 3.3 Actuaciones en subida Las ecuaciones que permiten estudiar las actuaciones de punto en subida son las ecuaciones 3.1) T h, V, π) Dh, V, L) sin γ = 0 L cos γ = 0 3.21) En esta ecuación hay 6 variables, por lo que dadas 4 de ellas, las otras 2 quedan definidas por las ecuaciones. Por ejemplo, γ = γh,, V, π) y L = Lh,, V, π). En general se tiene n = cos γ. Además se tiene la ecuación que define la velocidad de subida en inglés, rate of climb) V c = V sin γ 3.22) 3.3.1 Ángulo de subida y velocidad de subida En lo sucesivo se hace la hipótesis simplificadora γ 1; en este caso se tiene n = 1. Las expresiones para el ángulo de subida y la velocidad de subida se reducen a T h, V, π) Dh, V, ) γ = T h, V, π) Dh, V, ) V c = V 3.23) En función de las variables adimensionales u = V V R y z = T T R se tiene γ = 1 [ V c V R = 1 u Recuérdese que para el modelo ISJ se tiene z 1 2 [ z 1 2 u 2 + 1u 2 )] u 2 + 1u 2 )] 3.24) z = z 0 ρ ρ 0 ) x, c E = c E0 ρ ρ 0 ) y, z 0 = T 0π), c E0 = const 3.25) 37
3.3.2 Optimización Ángulo de subida máximo La velocidad adimensional que define el ángulo de subida máximo es u γ)max = 1 y por tanto γ max = z 1 3.26) que disminuye al aumentar la altitud ver esquema en la figura 3.7). Nótese que cuando z 1 se tiene γ max 0; en el techo se tiene γ max = 0 ver figura 3.8). Para tener γ max grande interesan T/ y grandes. La velocidad aerodinámica necesaria para efectuar una subida con γ max, es ) 2 k 1/4 V γmax = V R = 3.27) ρs que aumenta al aumentar la altitud ver figura 3.7). Con esta ley de velocidades se obtiene la subida conocida como steepest climb. También se tiene ) 2 k 1/4 V e γ)max = V R0 = 3.28) ρ 0 S C D0 que es independiente de la altitud. La ecuación L = = 1 2 ρv 2 SC L define el coeficiente de sustentación, y por tanto el ángulo de ataque. Se tiene C D0 C L γ)max = C Lopt 3.29) Figura 3.7: Ángulo de subida y velocidad de subida h 1 < h 2 < h 3 ) 38
Figura 3.8: Ángulo de subida y velocidad de subida máximos Velocidad de subida máxima La velocidad adimensional que define la velocidad de subida máxima es u Vc) max = y por tanto z + ) 1/2 z 2 + 3 3 V c ) max = V R z + ) 1/2 z 2 + 3 2 2z ) z 3 3 2 + 3 3.30) que disminuye al aumentar la altitud ver esquema en la figura 3.7). Nótese que cuando z 1 se tiene V c ) max 0; en el techo se tiene V c ) max = 0 ver figura 3.8). Para tener V c ) max grande interesan T/, y /S grandes. La velocidad aerodinámica necesaria para efectuar una subida con V c ) max, es V Vc ) max = V R z + ) 1/2 z 2 + 3 3.31) 3 que aumenta al aumentar la altitud ver figura 3.7). Con esta ley de velocidades se obtiene la subida conocida como fastest climb. Se verifica V Vc) max > V γmax ver figura 3.9). El ángulo de ataque correspondiente es menor que el que corresponde a ángulo de subida máximo, y viene definido por C L Vc ) max = 3 z + z 2 + 3 C L opt 3.32) 39
Figura 3.9: Velocidades correspondientes a ángulo de subida y velocidad de subida máximos 40