EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Espacios vectoriales. Sistemas de ecuaciones. 1. Determina cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales. Para aquellos que lo sean, halla una base. (a) S = { x R 3 x = (λ, 2λ, λ) R 3 } (b) T = {(x, y) R 2 x 2 + y = 0} (c) R = {x, y, z) R 3 x = 0, y = 2t λ, z = t + λ} (d) P = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 = 2x 2 + x 3 } (e) Q = {(x 1, x 2 ) R 2 x 1 x 2 = 1} 2. Calcula la dimensión del subespacio U generado por los vectores (1, a, 1), (1, 1, 1) y (0, 0, a) según los valores de a. Calcula las ecuaciones paramétricas y cartesianas de U para los valores de a para los que la dimensión de U es igual a 2. 3. Prueba que los vectores (2, 5, 3), (0, 1, 1) engendran el mismo subespacio que los vectores (4, 9, 5), (2, 7, 5). Expresa tres bases distintas de este subespacio. 4. Halla las inversas de las siguientes matrices mediante transformaciones elementales. ( 5 8 1 1 ) 0 1 1 1 1 1 2 3 0 5. Dado el sistema x 1 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 4 2x 1 x 2 = 2 3x 1 + 3x 2 2x 3 + x 4 = 2 (a) Resuelvelo mediante escalonamiento Gauss-Jordan. Halla una base del subespacio de sus soluciones. (b) Expresa, si es posible, la cuarta ecuación v 4, como combinación lineal de las otras tres, v 1, v 2, v 3. 6. Analiza para qué valores reales de a el siguiente sistema tiene solución y resuélvelos usando el método de eliminación de Gauss. x 1 + x 2 + x 3 = 1 2x 1 + 2x 2 + (1 a 2 )x 3 = 2a x 1 + x 2 + a 2 x 3 = 1 1
7. Estudia la compatibilidad del sistema según los valores que toman a y b: x 1 4x 2 + 3x 3 = a x 1 + 2x 2 + 7x 3 = b 2x 1 2x 2 + 10x 3 = 0 8. Dados los subespacios vectoriales U y V de R 3 U x 1 2x 2 + x 3 = 0, x 1 = 2t V x 2 = t x 3 = 3λ Calcula las ecuaciones paramétricas y cartesianas, una base y la dimensión de los subespacios U + V y U V. 9. Dados los subespacios U y V de R 4 U = {< (1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (0, 1, 2, 1) >} V = {x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 x 3 x 4 = 0, x 2 + x 3 = 0} Da unas bases y calcula las ecuaciones cartesianas y paramétricas de U, V, U +V y U V. 2
2. Aplicaciones lineales. Diagonalización de endomorfismos. 1. Determina si las siguientes aplicaciones son o no lineales. (a) f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3, 2x 1 x 2 ) (b) f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 2 1 x 2 2, 2x 3, 0) (c) f(x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 + 2, x 1 + x 2 ) (d) f(x 1, x 2 ) = (x 1 + 2x 2, 0, x 1 x 2 ) 2. Dada la aplicación lineal f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + 2x 2 4x 3, 2x 1 + 3x 2 + x 3 ) (a) Calcula la matriz A de f respecto a las bases canónicas. (b) Calcula las ecuaciones cartesianas si las hubiera y paramétricas del núcleo y de la imagen de f. Indicar si f es entonces inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. (c) Buscar la relación entre la matriz A y aquella otra B de f que está expresada respecto a las bases {1, 1, 0), ( 2, 0, 1), (0, 0, 2)}, {( 1, 0), ( 2, 1)} 3. La matriz de la transformación ( ) lineal en R 2 expresada respecto a las bases {(3, 1), (1, 1)} 2 0 y {(0, 2), ( 1, 1)} es, Determina matricialmente cual sería la matriz respecto 0 1 a las bases canónicas. 4. Dada la aplicación lineal f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3, x 1 + x 2, x 3 ) (a) Halla las ecuaciones paramétricas y cartesianas del Núcleo y de la Imagen de f y clasifícala. (b) Halla una base de f(v ) siendo V el subespacio cuya ecuación cartesiana es x 3 = 0 (c) Halla las coordenadas de f(2, 3, 0) en la base de f(v ) obtenida anteriormente. (d) determina f 1 (3, 2, 1) 5. Sabiendo que la aplicación lineal f tiene a ( 2, 0) como autovector asociado al autovalor λ = 2 y que el vector (0, 5) pertenece a Kerf. Calcula la fórmula de f. ( ) 1 2 6. Diagonalizar la matriz A =, dando la matriz de paso, la base de vectores propios 3 2 y la relación entre la matriz dada y la diagonal. Calcular A 3. 7. Estudiar para qué valores del parámetro a es diagonalizable el siguiente endomorfismo f : R 3 R 3, donde f(x, y, z) = (x, ax + y, x + y + 2z) 3
8. Se considera la matriz A = 1 0 0 a a 0 2 b 2, siendo a y b números reales. (a) Calcula el polinomio característico de A, así como sus autovalores. (b) Para qué valores de a y b la matriz A es diagonalizable? 9. Consideremos el endomorfismo f : R 3 R 3 cuya matriz asociada respecto de la base 1 3 3 canónica es A = 3 5 3 6 6 4 (a) Determina los valores y vectores propios de f (b) Calcula las dimensiones y determinar una base de los subespacios propios asociados a los valores propios. (c) Es posible caracterizar el endomorfismo f mediante una matriz diagonal? 10. Sea f un endomorfismo en R 3 cuya matriz asociada respecto de la base canónica es 1 2 a A = 0 1 2 0 4 3 (a) Determina para que valor de a es A diagonalizable. (b) En el caso en que sea posible, halla una base de autovectores B. (c) Da una matriz diagonal D que represente a f respecto de la base B. (d) Qué relación existe entre las matrices A y D? (e) Usa la relación anterior para calcular A 6. 11. La sucesión a n satisface la relación a n = a n 1 + 2a n 2 que matricialmente es expresada como: ( ) ( ) ( ) an 1 2 an 1 = a n 1 1 0 a n 2 Si a 0 = 1 y a 1 = 1, calcula a 200. Calcula el término general de la sucesión. 4
12. Consideremos la base canónica de R 3 y A la matriz del endomorfismo referida a dicha base. En dicho endomorfismo, los subespacios V 1 = {(x, y, z) R 3 x + y + z = 0} V 2 = {(x, y, z) R 3 x y = 0, x z = 0} están asociados respectivamentes a los autovalores λ 1 = 1 y λ 2 = 1 2 (a) Diagonaliza el endomorfismo. (b) Determina una base de vectores propios. (c) Calcula la matriz A. 5
3. Espacio afín y euclídeo. 1. Dada la recta { x + y z = 2 x y + z = 0 y sobre ella el punto A(1, 1, 0), halla los puntos que están situados sobre la recta y que están a una distancia de 3 2 unidades de A. 2. Calcular el plano que pasa por los puntos P = (3, 2, 1) y Q = (3, 1, 5) y es perpendicular al plano 6x + 7y + 2z = 10 3. Resuelve vectorialmente el ángulo entre una de las diagonales de un cubo, y una de sus caras. 4. Sean los puntos A(1, 0, 1) y B(2, 1, 3). (a) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y B. (b) Calcula el área del paralelogramo de vértices consecutivos ABCD sabiendo que la recta determinada por los vértices C y D pasa por el origen de coordenadas. 5. Halla el volumen del prisma cuya base es el paralelogramo de vértices (1, 0, 1), (3, 1, 4), (0, 2, 9) y ( 2, 1, 6), y cuya altura es 2. 6. Dadas las rectas { x1 x r 1 2 2x 3 = 2 3x 1 x 2 = 1 y r 2 x 1 = t, x 2 = 1 + 2t, x 3 = 0 (a) Halla la recta que pasa por (1, 0, 1) y por r 1 y r 2. (b) Halla la recta que pasa por (1, 0, 1) y es perpendicular a r 1 y r 2. (c) Halla la distancia entre r 1 y r 2. 7. Sean los planos: Π 1 2x + y z + 5 = 0 Π 2 x + 2y + z + 2 = 0 Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que está en el plano Π 1 y que su proyección ortogonal sobre el plano Π 2 es el punto (1, 0 3). 6
8. El punto M(1, 1, 0) es el centro de un paralelogramo y A(2, 1, 1) y B(0, 2, 3) son dos vértices consecutivos del mismo. (a) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo. (b) Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo. 9. Sean los puntos A(0, 0, 1), B(1, 0, 1), C(0, 1, 2) y D(1, 2, 0). (a) Halla la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C. (b) Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios. (c) Calcula la distancia del punto D al plano π. 10. Determina el punto P de la recta r x+3 coordenadas y del punto A(3, 2, 1). = y+5 = z+4 2 3 11. Considera el punto P (1, 0, 2) y la recta r dada por las ecuaciones r 3 que equidista del origen de (a) Calcula la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r. (b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r. { 2x y 4 = 0 y + 2z 8 = 0. 7
4. Geometría Ortogonal 1. En el espacio vectorial euclídeo R 3 se pide: (a) Determinar un vector unitario que sea ortogonal a los vectores (1, 2, 1), (0, 1, 1). (b) Obtener una base de vectores ortonormales para el subespacio: V =< (1, 2, 1), (0, 1, 1) > (c) Definir en R 3 un producto escalar que no sea el usual y encontrar una base ortonormal respecto de dicho producto escalar. 2. Se define para f, g P 1 (R) el siguiente producto escalar : Calcular: f, g = 1 0 f(t)g(t) dt (a) La matriz del producto escalar referida a la base {1, t} (b) El coseno del ángulo que forman p(t) = t + 3; q(t) = 2t + 4 (c) Una base ortonormal a partir de la base {1, t} 3. Diagonalizar las matrices simétricas siguientes, calculando una matriz de paso ortogonal: A = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 B = 0 1 1 1 0 0 1 0 0 4. Dada la matriz 1 1 1 A = 1 1 1 1 1 1 (a) Estudiar si existe una matriz diagonal, D, que sea semejante a A. (b) Encontrar una matriz P tal que P 1 AP = D. (c) Existe una matriz de paso ortogonal? Si es así, calcúlala. Calcula, si es posible, A 1 y A 2002. 5. (Proyección Ortogonal.) Halla la matriz de la transformación lineal que transforma un punto del espacio en su proyección sobre el subespacio (plano) que generan los vectores (1, 0, 1), (2, 1, 0). Halla la proyección de la recta r 2 sobre ese plano. 6. En R 3 con el producto escalar usual, se considera el subespacio U generado por los vectores u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (1, 2, 1). 8
(a) Calcula una base ortonormal {e 1, e 2 } para U. (b) Amplia la base anterior para obtener una base ortonormal {e 1, e 2, e 3 } de R 3. (c) Calcula U el complemento ortogonal de U. (d) Calcula la proyección ortogonal del vector (1, 0, 4) sobre U y sobre U. 7. (Giro alrededor de un eje) Calcula la matriz A respecto a la base canónica de la isometría que realiza un giro de ángulo π alrededor del vector (1, 2, 2) 6 8. (Semejanza en R 2 ) Con respecto a la base canńica, halla las ecuaciones de la transformación afín que transforma los vértices A(1, 1), B(1, 2), C(2, 2) de un triángulo en otro triángulo de vértices respectivos A (1, 1), B (2, 0), C (3 1). Determina si tiene puntos fijos. Qué relación hay entre las áreas de los triángulos? 9. Justifica que la transformación afín, ( ) ( ) ( y1 1/2 3/2 = x1 3/2 1/2 y 2 es un giro. Halla el punto alrededor del cual gira. x 2 ) + ( 2 4 ) 10. En el espacio afín R 3 se considera la transformación afín Θ cuyas ecuaciones son: y 1 = 1 + x 2 y 2 = 3 5 x 1 4 5 x 3 y 3 = 2 + 4 5 x 1 + 3 5 x 3 siendo (x 1, x 2, x 3 ) las coordenadas de un punto de R 3 y (y 1, y 2, y 3 ) las de su transformado. Es Θ un movimiento? Cúal es el transformado del (0, 0, 0)? 11. Una afinidad transforma P 1 = (0, 0, 0), P 2 = (1, 0, 0), P 3 = (1, 1, 0), P 4 = (1, 1, 1) en los puntos (1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (0, 0, 0), respectivamente. Hallar las ecuaciones de dicha transformación respecto a la canónica. Si es un movimiento, describe cuál. 12. Halla las ecuaciones de los movimientos en R 2 : (a) La que a cada punto le corresponde su giro de ángulo π/3 respecto al centro (3, 5). (b) La que al realizar un giro de ángulo π lleva el punto (2, 2) al punto (0, 2). Calcular 2 también el centro de giro. (c) La que a cada punto le hace corresponder su simétrico respecto a la recta x 1 +2x 2 = 2 13. (Simetría en R 3.) Con respecto a la base canónica, halla la ecuación de la transformación afín que en R 3 transforma un punto en su simétrico (reflexión) respecto al plano x+y z = 1. Halla sus puntos fijos si los hubiera. 9
5. Cónicas y cuádricas 1. Dada la cónica 2x 1 x 2 + 2 2x 1 = 1 (a) Expresa la cónica matricialmente como X t AX + BX = 1. (b) Diagonaliza A ortogonalmente, A = QDQ t con Q matriz de paso ortogonal y mediante la sustitución X = QT en la anterior expresión halla la ecuación reducida de la cónica en posición estándar con los nuevos ejes T. Clasifícala. (c) Calcula el centro con respecto a las variables T. original con respecto a sus variables X. Calcula el centro de la cónica (d) Halla la ecuación de la transformación afín que transforma la cónica original a su forma reducida estándar y centrada en (0, 0) 2. Procede como en el ejercicio anterior para cada cónica o cuádrica: (a) 2x 2 + 2y 2 + 10z 2 + 6yz = 9 (b) x 2 y 2 + z 2 + 4xz 12x + 6y 4 = 0 (c) 3x 2 3y 2 8xy + 2x 4y + 4 = 0 (d) 2x 2 1 + 4x 2 2 4x 2 3 + 6x 2 x 3 5x 1 + 3x 2 = 2 (e) x 2 2xy + y 2 + 4 2x = 4 (f) x 2 8xy + 16x 3z = 8 (g) 2xy + 2xz = 1 (h) 4x 2 + 4y 2 + 4z 2 + 4xy + 4xz + 4yz 3 = 0 (i) xy 2x y z + 2 = 0 10
6. Ecuaciones Diferenciales Lineales. 1. El volumen de cierta sustancia tiene un crecimiento relativo constante de un 20% cada año. Si ahora el volumen es 2, calcula la función de crecimiento en cualquier tiempo t. 2. Cálculo de la matriz exponencial. Calcula la matriz exponencial e A para cada una de las matrices, ( ) ( ) 1 0 a 1 A=, A=. 0 3 0 a 3. Resolución de sistemas. Para cada sistema que sigue, halla la matriz de paso P con los vectores propios por columnas. Calcula la solución general x = e At c = P( e Dt P 1 c, ) x1 (0) con c vector constante. Calcula la solución particular para los valores de c = x 2 (0) indicados. (a) Aparecen raíces distintas reales. { x 1 (t) = 3x 1 (t) x 2 (t) x c = 2(t) = 2x 1 (t) + 2x 2 (t) (b) Raíces complejas. { x 1 (t) = x 1 (t) + x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t) + x 2 (t) (c) Raíces dobles. { x 1 (t) = 2x 1 (t) x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t) + 4x 2 (t) c = c = ( 90 150 ( 1000 1000 ( 500 100 ) Indicación: Aquí la matriz no es diagonalizable y sólo puede obtenerse un vector propio, el teorema siguiente proporciona una forma de calcular la exponencial. TEOREMA: Si A matriz 2 2 no diagonalizable, con valor propio λ, y único vector propio independiente v 1, C( es la matriz ) ( v 1, v 2 ), donde v 2 es el vector que satisface (A λi) v 2 = v 1, entonces A = CJC 1 con λ 1 J =. 0 λ 4. Una leve modificación del problema anterior para que las raíces sean distintas reales. ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 (t) 2 1 x1 (t) 500 x =, c =. Compara la solución con la del 2(t) 0.99 4 x 2 (t) 100 problema anterior. ) ) 5. Sistema 3 3. x 1(t) = x 1 (t) x 2 (t) + 4x 3 (t) x 2(t) = 3x 1 (t) + 2x 2 (t) x 3 (t) x 3(t) = 2x 1 (t) + x 2 (t) x 3 (t) c = 1 2 5 11
6. Resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales lineales: { x 1 (t) = 1 2 x 1(t)+ x 2 (t) x 2(t) = 1 4 x 1(t)+ 1 2 x 2(t) que corresponde con un modelo de especies en cooperación. 7. Sea A = 1 2 3 2 1 3 3 3 0 Sabiendo que (λ 6)(λ + 1)(λ + 3) es su polinomio característico, calcular e A. 8. Problema de mezcla de fluidos. En un tanque 1, hay 1000 litros de agua salada con 100 kilos de sal en ella disuelta. En un segundo tanque 2, hay 1000 litros de agua pura. Se hace fluir agua pura hacia el tanque 1 a razón constante de 20 litros por minuto al mismo tiempo que la mezcla fluye del tanque 1 al 2 a razón de 30 litros por minuto. El tanque 2 a su vez, vuelve a mandar al tanque 1, 10 litros por minuto (se retroalimenta) y otros 20 por minuto hacia afuera del tanque. Halla la cantidad de sal que hay en cada instante t en cada tanque. Indicación: Considera que x 1 (t), x 2 (t) representan la cantidad de sal en los respectivos tanques en un tiempo t, siendo x 1 (0) = 100, x 2 (0) = 0. 9. Una placa rectangular 4 metros de ancha por 2 de alta centrada en (0, 0) con sus lados paralelos a los ejes (el lado más largo es paralelo al eje 0X) se dilata por minuto en la dirección del eje OX un 20% y en la dirección del eje OY un 50%. Calcula las medidas del rectángulo en el minuto t. Determina dónde de encuentra el punto (1, 1) de la placa al cabo de 6 minutos. Nota: Considerar x 1 (t), x 2 (t) las longitudes de la placa en el tiempo t en las direcciones OX y OY respectivamente. 10. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) x + 5x + 6x = 0; x(0) = 1, x (0) = 0; (b) x + 6x + 9x = 0; x(0) = 1, x (0) = 2; (c) x + 4x = 0; x(0) = 0, x (0) = 1; (d) x 3x 10x = 0; x(0) = 3, x (0) = 2. 12