Teoría de Circuitos: circuitos RLC Pablo Monzón Instituto de Ingeniería Eléctrica (IIE) Facultad de Ingeniería-Universidad de la República Uruguay Segundo semestre - 2017
Contenido 1 Introducción 2 Respuesta natural 3 Respuesta al escalón
Circuitos RLC Consideremos el circuito de la gura Circuito de segundo orden, conformado por una fuente alimentando la serie de una resistencia, una bobina y un condensador. Trataremos de hallar la salida v o (t) en función del tiempo, para una entrada de tipo escalón. Las conclusiones que obtendremos tienen alcance más general, para circuitos RLC de distintas conguraciones.
Escalón de Heaviside (no está denido en el origen) 0, t < 0 Y (t) = 1, t > 0
Circuitos RLC Escribamos las ecuaciones del circuito v i (t) = v R (t) + v L (t) + v C (t) con v C = v o, v R = R.i, v L = L di dt y i = C dvo dt. v i = RC dv o dt + LC d2 v o dt 2 + v o
Circuitos RLC Ecuación diferencial del circuito d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 1 LC v i con condición inicial v o (0) = v Co (condición inicial del condensador) y dv dt (0) = i L0 C (condición inicial de la bobina).
Circuitos RLC Resolución del circuito d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 1 LC v i Para hallar la respuesta completa del circuito, tenemos que ver los efectos de las condiciones iniciales y el efecto de la entrada. Aplicamos superposición. Primero miramos cómo actúan las condiciones iniciales (respuesta natural o propia).
Respuesta natural d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 0 Planteamos la ecuación característica de la ecuación diferencial λ 2 + R L λ + 1 LC = 0 λ 1,2 = R 2L ± 1 2 que puede re-escribirse como (R L ) 2 4 LC λ 1,2 = R 2L ± ( R 2L con α = R 2L rad/s y ω n = 1 LC rad/s. La solución es ) 2 1 LC = α ± α 2 ω 2 n v o (t) = Y (t). [ A 1 e λ1t + A 2 e λ2t]
Respuesta natural d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 0 λ 1,2 = α ± α 2 ω 2 n, α = R 2L rad/s, ω n = 1 LC rad/s α > ω n Dos raíces reales distintas, negativas. [ ( ) ( ) ] α+ α v o (t) = Y (t). A 1 e 2 ωn 2 t α α + A2 e 2 ωn 2 t La tensión se va a cero exponencialmente, sin oscilaciones. Decimos que el sistema es sobreamortiguado.
Sistema sobreamortiguado
Respuesta natural d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 0 λ 1,2 = α ± α 2 ω 2 n, α = R 2L rad/s, ω n = 1 LC rad/s α = ω n Una raiz real doble, negativa. v o (t) = Y (t). [ A 1 e αt + A 2 t.e αt] La tensión se va a cero exponencialmente, sin oscilaciones. Decimos que el sistema es críticamente amortiguado.
Sistema críticamente amortiguado
Respuesta natural d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 0 λ 1,2 = α ± α 2 ω 2 n, α = R 2L rad/s, ω n = 1 LC rad/s α < ω n Dos raíces complejas conjugadas, con parte real negativa. [ ( α+j ) ωn v o (t) = Y (t). A 1 e 2 α2 t ( α j ) ] ω + n A2 e 2 α2 t v o (t) = Y (t).e αt [ A 1 e j ω 2 n α2t + A 2 e j ω 2 n α2 t ] La tensión se va a cero exponencialmente, con oscilaciones!! Decimos que el sistema es subamortiguado.
Sistema subamortiguado
Respuesta natural
Respuesta natural - diagramas de Bode
Respuesta el escalón Resolución del circuito d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 1 LC v i Hallemos ahora la respuesta al escalón, asumiendo condiciones iniciales nulas. La respuesta completa será la suma de las respuestas natural y forzada.
Respuesta el escalón Resolución del circuito d 2 v o dt 2 + R L dv o dt + 1 LC v o = 1 LC v i Observemos que la solución v op (t) = Y (t) verica la ecuación diferencial para t positivo. v o (t) = Y (t) [ 1 + A 1 e λ1t + A 2 e λ2t]
Respuesta al escalón v i (t) = K.Y (t)
Comentarios Comentarios Los sistemas de segundo orden, como los del circuito RLC, tiene una dinámica relativamente sencilla de estudiar. Son representativos de muchas otras dinámicas, por lo que conocerlos aporta a analizar otros circuitos más complejos. Para conocer la respuesta a otras entradas distintas de la del escalón la cosa se complica y se precisan herramientas más potentes.