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.- SEPTIEMBRE 01 _ DÍA 4 PÁGINAS y 3.- SEPTIEMBRE 01 _ DÍA 5 PÁGINA 4.- SEPTIEMBRE 01 _ DÍA 8 PÁGINA 5, 6 y 7.- SEPTIEMBRE 01 _ DÍA 16 PÁGINA 8.- OCTUBRE 01 _ DÍA 1 PÁGINA 9.- OCTUBRE 01 _ DÍA 16 PÁGINA 10 1

.- SEPTIEMBRE 01 _ 4 Calcula los valores posibles de A y de B para que A31B sea múltiplo de 6 y de 11. Para comprobar si un número es múltiplo de 6 y de 11 a la vez, debemos recordar las reglas de divisibilidad de 6 y de 11: - Un número es divisible por 6 si es divisible por y por 3, a su vez: - un número es divisible por, si termina en cifra par o cero. - un número es divisible por 3, si la suma de sus cifras es tres o múltiplo de tres. - Un número es divisible por 11, si sumando las cifras que están en lugar impar y las que están en lugar par, la diferencia entre esas cantidades es cero, once o múltiplo de once. Podemos comenzar por ver las posibilidades de A y de B para ser múltiplo de 6, y después de 11 o viceversa, optamos por lo primero:.- B, tendrá que ser 0,, 4, 6 u 8, para ser múltiplo de dos:.- Si B=0, se tiene: + A + 3 + 1 + 0, luego 6 + A, debe ser múltiplo de tres, por lo que A puede valer 0, 3, 6 o 9. Entonces vemos si es múltiplo de once:.- A=0, el número será 0.310 y por tanto no es múltiplo de once pues (+3+0) (0+1) da 4, que no es cero, once o múltiplo de once..- A=3, el número será 3.310 y por tanto no es múltiplo de once pues (+3+0) (3+1) da 1, que no es cero, once o múltiplo de once..- A=6, el número será 6.310 y por tanto no es múltiplo de once pues (6+1) (+3+0) da, que no es cero, once o múltiplo de once..- A=9, el número será 9.310 y por tanto no es múltiplo de once pues (9+1) (+3+0) da 5, que no es cero, once o múltiplo de once..- Si B=, se tiene: + A + 3 + 1 +, luego 8 + A, debe ser múltiplo de tres, por lo que A puede valer 1, 4, o 7. Entonces vemos si es múltiplo de once:.- A=1, el número será 1.31 y por tanto no es múltiplo de once pues (+3+) (1+1) da 5, que no es cero, once o múltiplo de once..- A=4, el número será 4.31 y por tanto no es múltiplo de once pues (+3+) (4+1) da, que no es cero, once o múltiplo de once..- A=7, el número será 7.31 y por tanto no es múltiplo de once pues (7+1) (+3+) da 1, que no es cero, once o múltiplo de once.

.- Si B=4, se tiene: + A + 3 + 1 + 4, luego 10 + A, debe ser múltiplo de tres, por lo que A puede valer, 5, u 8. Entonces vemos si es múltiplo de once:.- A=, el número será.314 y por tanto no es múltiplo de once pues (+3+4) (+1) da 6, que no es cero, once o múltiplo de once..- A=5, el número será 5.314 y por tanto no es múltiplo de once pues (+3+4) (5+1) da 3, que no es cero, once o múltiplo de once..- A=8, el número será 8.314 y por tanto sí es múltiplo de once pues (+3+4) (8+1) da 0..- Si B=6, se tiene: + A + 3 + 1 + 6, luego 1 + A, debe ser múltiplo de tres, por lo que A puede valer 0, 3, 6 o 9. Entonces vemos si es múltiplo de once:.- A=0, el número será 0.316 y por tanto no es múltiplo de once pues (+3+6) (0+1) da 10, que no es cero, once o múltiplo de once..- A=3, el número será 3.316 y por tanto no es múltiplo de once pues (+3+6) (3+1) da 7, que no es cero, once o múltiplo de once..- A=6, el número será 6.316 y por tanto no es múltiplo de once pues (+3+6) (6+1) da 4, que no es cero, once o múltiplo de once..- A=9, el número será 9.316 y por tanto no es múltiplo de once pues (+3+6) (9+1) da 1, que no es cero, once o múltiplo de once..- Si B=8, se tiene: + A + 3 + 1 + 8, luego 14 + A, debe ser múltiplo de tres, por lo que A puede valer 1, 4, o 7. Entonces vemos si es múltiplo de once:.- A=1, el número será 1.318 y por tanto sí es múltiplo de once pues (+3+8) (1+1) da 11..- A=4, el número será 4.318 y por tanto no es múltiplo de once pues (+3+8) (4+1) da 8, que no es cero, once o múltiplo de once..- A=7, el número será 7.318 y por tanto no es múltiplo de once pues (+3+8) (7+1) da 5, que no es cero, once o múltiplo de once. Luego, eisten dos números que cumplen todas las condiciones: 8.314 y 1318. 3

.- SEPTIEMBRE 01 _ 5 En qué cifra termina 7 83578? Comenzamos calculando las potencias de 7: 7 0 = 1 7 1 = 7 7 = 49 7 3 = 343 7 4 =.401 7 5 = 16.807 7 6 = 117.649 7 7 = 83.543 7 8 = 5.764.8401 7 9 = 40.353.607 7 10 = 8.475.49 7 11 =1.977.36.743 Observamos que cada cuatro potencias se repiten las terminaciones: 1, 7, 9, y 3, y que se relacionan con los restos de dividir el eponente entre cuatro: 0 4 1 4 4 3 4 0 0 1 0 0 3 0 4 4 5 4 6 4 7 4 0 1 1 1 1 3 1 8 4 9 4 10 4 11 4 0 1 3 RESTO 0 TERMINACIÓN 1 RESTO 1 TERMINACIÓN 7 RESTO TERMINACIÓN 9 RESTO 3 TERMINACIÓN 3 Por lo tanto, para calcular la cifra en la que va a terminar la potencia 7 83578, haremos la siguiente división y según el valor que se obtiene del resto tendremos una u otra terminación. 8,3,5,7,8 4 0 3 5 0894 3 7 1 8 Como el resto es, concluimos que la terminación será 9. 4

.- SEPTIEMBRE 01 _ 8 El código de mi tarjeta es un cuadrado perfecto. Si su raíz cuadrada se reduce una unidad el código se reduce 73 unidades. Cuál es el código de la tarjeta? El cálculo del código se puede plantear desde un punto de vista algebraico, por ecuaciones, o por un punto de vista aritmético, cálculo numérico. Comenzamos aplicando ecuaciones: Llamamos, al código, por lo que la ecuación se plantea, (aquí se debe dar una eplicación de por qué se hace el planteamiento elegido, en nuestro caso), como llamamos al código que nos piden y nos dicen que si su raíz cuadrada, se reduce en una unidad, 1, entonces el código se reduce en 73 unidades, significa que si hacemos el cuadrado de 1, se obtendrá el código menos 73 unidades (en origen se obtenía el código si se elevaba al cuadrado su propia raíz cuadrada): 1 73 Una vez planteada la ecuación se resuelve, en este caso es el desarrollo de una epresión notable (cuadrado de una diferencia): 1 73 1 73 74 37 37 1369 Por tanto el código será: 1.369 Por último, hacemos la comprobación para asegurarnos de que se cumple el enunciado correctamente, si el código es 1.369, su raíz cuadrada es 37, si a 37 se le resta una unidad se obtiene 36, si hacemos el cuadrado de 36 conseguimos 1.96 que son eactamente 73 unidades menos que el código solicitado 1.369. 5

También podemos llamar, al código, por lo que su raíz cuadrada será (, la raíz cuadrada de cuadrado es ), y la ecuación se plantea, (aquí se debe dar una eplicación de por qué se hace el planteamiento elegido, en nuestro caso), como llamamos al código que nos piden y nos dicen que si su raíz cuadrada se reduce en una unidad, 1, entonces el código se reduce en 73 unidades, significa que si hacemos el cuadrado de 1, se obtendrá el código menos 73 unidades (en origen se obtenía el código si se elevaba al cuadrado su propia raíz cuadrada): 1 73 Una vez planteada la ecuación se resuelve, en este caso es el desarrollo de una epresión notable (cuadrado de una diferencia): 1 73 1 73 74 37 Por tanto el código será: 1.369 Por último, hacemos la comprobación para asegurarnos de que se cumple el enunciado correctamente, si el código es 1.369, su raíz cuadrada es 37, si a 37 se le resta una unidad se obtiene 36, si hacemos el cuadrado de 36 conseguimos 1.96 que son eactamente 73 unidades menos que el código solicitado 1.369. 6

Si consideramos la realización aritmética del problema, se reduce a ir probando con números de una forma razonada. El enunciado dice que el código debe ser un cuadrado perfecto, no sabemos de cuántas cifras pero siendo un código podemos pensar que tendrá cuatro o cinco cifras (esto no es determinante pero nos puede ayudar, para empezar a probar con cuadrados no muy pequeños), a continuación indica que si se reduce una unidad a la raíz cuadrada del código, éste se reduce en 73 unidades, veamos casos posibles: Elevamos 100 = 10.000, si el código es 10.000 y su raíz es 100, al restar 1 a la raíz nos queda 99, cuyo cuadrado será 99 = 9.801, por lo que el código se ha reducido en 199 unidades (10.000 9.801 = 199 unidades), que es mucho mayor que 73 unidades, por lo que el código será más pequeño. Ahora elevamos 50 =.500, si el código es.500 y su raíz es 50, al restar 1 a la raíz nos queda 49, cuyo cuadrado será 49 =.401, por lo que el código se ha reducido en 99 unidades (.500.401 = 99 unidades), que es algo mayor que 73 unidades, por lo que el código será más pequeño, pero nos estamos acercando. Esta vez probamos con 30 = 900, si el código es 900 y su raíz es 30, al restar 1 a la raíz nos queda 9, cuyo cuadrado será 9 = 841, por lo que el código se ha reducido en 59 unidades (900 841 = 59 unidades), que es algo menor que 73 unidades, por lo que el código será más grande, seguimos acercándonos. Esta vez probamos con 40 = 1.600, si el código es 1.600 y su raíz es 40, al restar 1 a la raíz nos queda 39, cuyo cuadrado será 39 = 1.51, por lo que el código se ha reducido en 79 unidades (1.600 1.51 = 79 unidades), que vuelve a ser mayor que 73 unidades, por lo que el código será más pequeño, ahora sí que estamos cerca. Llegados a este punto, podemos observar que cuando tomamos 30, la reducción es de 59 unidades, mientras que cuando tomamos 40, la reducción es de 79 unidades, por lo que se reduce dos unidades por cada uno que aumenta la raíz del código elegido, así visto desde 59 hasta 73 se necesitan 14 unidades o lo que es lo mismo aumentar 7 números la raíz, o enfocado desde 79 se necesitan 6 unidades menos o lo que es lo mismo disminuir 3 números la raíz, sea como sea, ambos razonamientos nos llevan a probar con 37 = 1.369, si el código es 1.369 y su raíz es 37, al restar 1 a la raíz nos queda 36, cuyo cuadrado será 36 = 1.96, por lo que el código se ha reducido en 73 unidades (1.369 1.96 = 73 unidades), que es lo que nos pedía el ejercicio. Por tanto el código será: 1.369 7

.- SEPTIEMBRE 01 _ 16 René Descartes: Algunos problemas de aritmética se resuelven mediante números racionales, otros mediante números irracionales y otros sólo pueden imaginarse y rehúyen toda solución René Descartes nació en La Haye (Francia) en 1596 y murió en Estocolmo (Suecia) en 1650, su vida transcurrió por diferentes países de Europa, sobre todo Francia y Los Países Bajos (Holanda). Durante su juventud estudió en el colegio jesuita de La Flèche, posteriormente se trasladó a la Universidad de Poitiers, donde cursó estudios de derecho, pero finalmente se convenció que lo que realmente quería, era dedicarse al conocimiento en sí mismo, de tal forma que comenzó a trabajar en todas las ciencias. Su fama principal, por la que ha transcendido, es como filósofo, pero Descartes se dedicó tanto a la física como a las matemáticas, esta frase que se le atribuye a Descartes lo ejemplariza: "Consideraría que no sé nada de Física, si tan sólo fuese capaz de epresar cómo deben ser las cosas, pero fuese incapaz de demostrar que no pueden ser de otra manera. No obstante, habiendo logrado reducir la Física a las Matemáticas, la demostración es entonces posible, y pienso que puedo realizarla con el reducido alcance de mi conocimiento." En el campo de la matemáticas, su mayor aportación fue la sistematización de la geometría analítica, donde se utilizan las coordenadas cartesianas (en honor a Descartes) para poder representar la geometría plana conocida, contribuyó también a la elaboración de la teoría de las ecuaciones, así, fue Descartes el responsable de la utilización de las últimas letras del alfabeto para designar las cantidades desconocidas (, y, z). También inventó el método de los eponentes, para indicar las potencias de los números. Además, formuló la regla, conocida como la ley cartesiana de los signos, para descifrar el número de raíces negativas y positivas de cualquier ecuación algebraica. En el teto que da pie a esta actividad, Descartes se refiere a los tipos de números, los racionales, que incluyen los naturales y enteros, los irracionales (que estudiamos en 3º ESO y 4º ESO) y los complejos o imaginarios (que se estudian en la modalidad de Bachillerato de Ciencias y Tecnología) y a los que nosotros no sabemos dar solución, como por ejemplo - 4. Bibliografía: http://es.wikipedia.org/wiki/ren%c3%a9_descartes http://fermat.usach.cl/histmat/html/desc.html http://www.biografiasyvidas.com/biografia/d/descartes.htm http://thales.cica.es/rd/recursos/rd97/biografias/14-1-b-descartes.html http://www.alipso.com/monografias/448_descartes/ 8

.- OCTUBRE 01 _ 1 Cuántos grados mide? Para calcular el valor de, basta con ir deduciendo los valores de los ángulos marcados en la figura con las letras â, ê e î:.- â + = 180º, por ser suplementarios, por tanto, â â = 180º - = 40º.- ê + = 180º, por ser suplementarios, por tanto, 180º ê = 180º - = 40º ê î.- î + = 180º, por ser suplementarios, por tanto, î = 180º - = 40º A continuación calculamos la suma de los ángulos interiores de un polígono de cuatro lados por medio de la fórmula: S n = 180 (n ) que para el caso de un cuadrilátero n=4 será: S 4 = 180 (4 ) = 180 = 360º Por tanto, el valor de, se puede obtener resolviendo la siguiente ecuación: + â + ê + î + 180 = 360 + 40 +40 + 40 + 180 = 360 = 360 40 40 40 180 Luego el valor del ángulo será: = 60º 9

.- OCTUBRE 01 _ 16 1 3 4 5 Horizontales: 1.- Cuadrado de un primo 4.- Primo 5.- Cuadrado Verticales: 1.- Cuadrado de otro primo.- Cuadrado 3.- Primo Cuál es la suma de todos los dígitos de este crucigrama? Comenzamos con el 1.horizontal, tiene que ser el cuadrado de un número primo, que comience por la misma cifra que el 1.vertical, que también es el cuadrado de otro primo y que tenga tres cifras, podría ser: 11 = 11 13 = 169 17 = 86 19 = 361 3 = 59 9 = 841 31 = 961 Vemos que la única opción es que sean 11 y 169, que comienzan ambos por 1. Por tanto probamos con 11 en el 1.horizontal, si es así, el 169 debe ir en el 1.vertical, 1 1 6 9 1 6 9 1 1 6 9 7 7 1 6 pero nos encontramos que el 5.horizontal debe ser un cuadrado que comienza por 9, y de la decena del 90, 91, 9, 93, 94, 95, 96, 97, 98 y 99, no hay ningún número que sea un cuadrado, por lo que la opción elegida es imposible y debemos optar por el 169 en el 1.horizontal y el 11 en el 1.vertical. Como únicamente hay un cuadrado que comienza por 1, en la celda del 5.horizontal debe ir el número 16. 1 6 9 7 1 6 Para ir finalizando, en la.vertical debe ir un cuadrado del tipo 6n6, y el único cuadrado que encaja es 6 = 676. Por último nos queda el 4.horizontal, en este tenemos que poner un número primo de la forma 7n, y tenemos dos posibilidades, descartamos los pares, 70, 7, 74, 76 y 78, 73 no es primo, es múltiplo de 3, 75 no es primo, acaba en 5 y 79 no es primo, es múltiplo de 9. Luego los únicos primos son 71 y 77. Pero en el 3.vertical debe colocarse un número primo y si atendemos a que comienza por 9, puede acabar en 1 o 7, nos queda el 91 (que no es primo 91 = 713), y el 97, que es la solución. Por tanto la suma pedida será: 1 + 6 + 9 + + 7 + 7 + 1 + 6 = 39. 10