EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I NOTAS REPASAR TODAS LAS DEMOSTRACIONES DE LOS TEMAS, Y ESTE TRABAJO NO ES OBLIGATORIO.. Efectúa: a) 6 6 b) 5 6 50. Racionaliza:. Epresa en forma de una potencia única 5 6.. Toma logaritmos en los dos miembros de las siguientes epresiones y desarróllalos: 5 a) y zt b) 5 a y c b 5. Resolver ecuaciones de distintos tipos. b) log log 6 log a) 6. El producto de dos números es 5 y la diferencia de sus cuadrados es 6. Averigua cuáles son dichos números. 7. Una escalera de bomberos de 0 m de longitud, se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 5 y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 0. Halla la anchura de la calle. A qué altura se alcanza con la escalera sobre cada una de las fachadas? 8. Demuestra que cualesquiera que sean los ángulos a, b y c se verifica: sen a sen(b-c)+sen b sen(c-a)+sen c sen(a-b)= 0 Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato -
9. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, calculando sólo aquellas soluciones tales que 0 < < 60 y 0 < y < 60 con una precisión de segundos. senseny cos cosy 0. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos ( Â = 90 ). a) Datos: b = m; c = 7 m b) Datos: a = 0 m; Ĉ = ' 7. Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60 y cada rama tiene cm de longitud, halla el radio de la circunferencia que puede trazarse.. Un hombre que está situado al oeste de una emisora de radio observa que su ángulo de elevación es de 5. Camina 50 metros hacia el sur y observa que su ángulo de elevación es ahora de 0. Halla la altura de la antena. Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato -
. Un barco situado en el punto A pide socorro y las señales son recibidas por dos estaciones de radio enclavadas, respectivamente, en los puntos B y C, y que distan entre sí 80 km. La recta que une B y C forma con la dirección Norte un ángulo de 8. B recibe señales con una dirección de 5 con el Norte, mientras que C las recibe con una dirección de 96 con el Norte. A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?. Si tga, halla tg(a + 0 ) y tg(5 a). 5. Si a, b y c son los tres ángulos de un triángulo cualquiera, prueba que se verifica la siguiente igualdad: cos(a-b)- cos c = cos b cos a 6. Prueba las igualdades siguientes: Nota. En un triángulo, sus tres ángulos suman 80º. sena sen a) a cosa tg( a) cosa b) sen( a) senacos a sen a y z 7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss: y z 5 y z y z 8. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss: y z y 6z 9. Halla un número de dos cifras, sabiendo que éstas suman 7 unidades y que si sumamos unidades al número que resulta de intercambiar el orden de las cifras, su raíz cuadrada es el doble de la raíz del número inicial. Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato -
0. Un granjero compra en una feria 60 animales entre pollos, conejos y patos y paga, en total, una factura de 55 euros. Cada pollo le ha costado euros, cada conejo euros y cada pato,5 euros. Si el número de pollos representa los siete novenos del total de conejos y patos comprados. Cuántos animales compró de cada clase?. La suma de tres números es 7. Dos veces el primero menos tres veces el segundo es igual a y el primero más el doble del segundo menos tres veces el tercero es igual a 6. Averigua cuáles son estos números.. Resuelve la ecuación A( ). 0 y descompón en factores el polinomio. Opera y simplifica la epresión 9 0 0. 0. Resuelve la ecuación 0. 5. Resuelve la siguiente ecuación con radicales: 5 0 8. 6. Resuelve la ecuación log log log 7. Resuelve la siguiente inecuación quitando previamente los denominadores por cualquier método. 5 8 8. Resuelve la inecuación 0. 9. Representa gráficamente el sistema de inecuaciones y. y 0. Sin utilizar la calculadora, halla el valor de los siguientes logaritmos: a) log 8 b) log c) log9 d) log 7. Halla el valor de, sabiendo que: log log 6 6 Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato -
Soluciones. Efectúa: 6 6 6 6 6 8 0 a) b) 5 6 50 5 5. Racionaliza: 6 6 6 6 9. Epresa en forma de una potencia única 6 5 5 0 6 6 0. Toma logaritmos en los dos miembros de las siguientes epresiones y desarróllalos: 5 5 5 a) y zt log( y) log( zt ) log( ) log( z) log( t ) log( ) log( z) 5log( t ) b) 5 a y c 5 / b a b 5 / log( y) log loga b log( c ) 5log( a) log( b) log( c) c 5. Resolver ecuaciones de distintos tipos. a) b) log log 6 log log log 8 8 6 6 6 8 6 8 6 ( 8) 8 6 9 8 56 8 8 0 8 6 8 Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato - 5
6. El producto de dos números es 5 y la diferencia de sus cuadrados es 6. Averigua cuáles son dichos números. Despejando y en la primera ecuación: y 5 tiene: 5 6 6 05 0., y sustituyendo su valor en la segunda, se Haciendo el cambio z, se trata de resolver la ecuación: z 6z 05 0 6 6 ( 05) 6 6656 800 6 z 6z 05 0 6 50 z 5 y 5 5 y 6 8 z 9 7. Una escalera de bomberos de 0 m de longitud, se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya sobre una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 5 y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 0. Halla la anchura de la calle. A qué altura se alcanza con la escalera sobre cada una de las fachadas? Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo ABC, se obtiene: h h 00; h 00; h 50 7,07 m. Aplicando la definición de coseno al triángulo CDE, se obtiene: cos0 5 8,66 m. 0 La anchura de la calle es: AD = h + = 7,07 + 8,66 = 5,7 m. La altura que alcanza la escalera sobre la fachada de la izquierda es h = 7,07 m. La altura que alcanza la escalera sobre la fachada de la derecha es y = 0 sen 0 = 5 m. Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato - 6
8. Demuestra que cualesquiera que sean los ángulos a, b y c se verifica: sen a sen(b-c)+sen b sen(c-a)+sen c sen(a-b)= 0 Si en el lado izquierdo de la epresión dada se desarrollan los senos de las diferencias de ángulos se tiene: sen asen bcos c -cos bsen c +sen bsen ccos a-cos csen a +sen csen acos b-cos asen b = sen asen bcos c - sen acos bsen c + sen bsen ccos a - sen bcos csen a + + sen csen acos b - sen c cos asen b =0 9. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, calculando sólo aquellas soluciones tales que 0 < < 60 y 0 < y < 60 con una precisión de segundos. senseny cos cosy cos( y) cos( y) Pasando los productos a sumas, se tiene: cos( y) cos( y) cos( y) y 0 Sumando y restando ecuaciones, se tiene: y 60 cos( y) y 00 Resolviendo los sistemas: y 0 y 60 y y 0 y 00 Se obtienen las soluciones: ª: = y = 0 ; ª: = y = 50. Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato - 7
0. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos ( Â = 90 ). a) Datos: b = m; c = 7m b) Datos: a = 0 m; Ĉ = 7 a) a b c 9 9 58 a 58 m ˆ c 7 senc Cˆ 668'5" a 58 ˆ b senb Bˆ '55". a 58 b) ˆ c c senc sen('7") c 6.759 m a 0 ˆB = 90 ( ' 7 ) = 7 8' ˆ b b senb sen(78'") b 7,69 m a 0. Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60 y cada rama tiene cm de longitud, halla el radio de la circunferencia que puede trazarse. Se considera el triángulo ABC de la figura. El radio de la circunferencia que puede trazarse con el compás de ramas AB y BC es AC. Teniendo en cuenta que el triángulo ABC es equilátero, se tiene: r AC sen0 cm Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato - 8
. Un hombre que está situado al oeste de una emisora de radio observa que su ángulo de elevación es de 5. Camina 50 metros hacia el sur y observa que su ángulo de elevación es ahora de 0. Halla la altura de la antena. De la figura adjunta se deduce: h tg0 BC h BC tg0 BC BC 500 50 h BC h BC 500 Elevando ambos miembros al cuadrado, se tiene: BC 500 BC 500 BC 500 BC 6, m Y, finalmente, la altura de la antena es h BC tg0 6, 5,6 m Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato - 9
. Un barco situado en el punto A pide socorro y las señales son recibidas por dos estaciones de radio enclavadas, respectivamente, en los puntos B y C, y que distan entre sí 80 km. La recta que une B y C forma con la dirección Norte un ángulo de 8. B recibe señales con una dirección de 5 con el Norte, mientras que C las recibe con una dirección de 96 con el Norte. A qué distancia de cada estación se encuentra el barco? Observa la figura adjunta: ˆB = 8 + 5 = 9 ; Ĉ = 96 8 = 8 ; Â = 80 (9 + 8 ) = 9 Aplicando el teorema de los senos al triángulo ABC, se tiene: senb sen9 AC BC 80 6,95 km sena sen9 sen(c) sen(8 ) AB BC 80 9,7 km sen(a) sen(9 ) Así que el barco se encuentra a 6,95 km de la estación C y a 9,7 km de la estación B.. Si tgα=, halla tg(α + 0 ) y tg(5 α). tg tg(0 ) 9 tg( 0 ),... tgtg(0 ) tg5 tg tg(5 ) 0,8... tg5tg 7 Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato - 0
5. Si a, b y c son los tres ángulos de un triángulo cualquiera, prueba que se verifica la siguiente igualdad: cos(a-b)- cos c = cos b cos a Nota. En un triángulo, sus tres ángulos suman 80º. La epresión que da la diferencia de cosenos: X Y X Y cos X cosy sen sen, se puede aplicar al numerador de la parte izquierda de la igualdad dada: a b c a b c sen sen cos( a b) cosc cosa cosa () a b c Como se sabe que a + b + c = 80 se tiene que: 90, y si ahora se restan en los dos lados de esta igualdad primero b y luego a se obtienen las siguientes epresiones: a b c a b c b 90 b 90 b a b c a b c a 90 a 90 a Substituyendo en la igualdad () y recordando que sen ( a) = sen a, se tiene: cos( a b) cosc cosa sen(90 b) sen( a 90 ) sen(90 b) sen(90 a) cosbcosa cosb cosa cosa cosa 6. Prueba las igualdades siguientes: sena sen a) cos a a tg( a) cosa sena senacos( a) sena cos a sen a cos a sen a sen cos a a tg( a) sen( a) senacosa cosa cosa. b) sen( a) senacos a sen a sen( a) sen( a a) senacos( a) cosasen( a) sena cos a sen a senacos a Y si se etrae ahora factor común sen a, se tiene: sen( a) senacos a sen a Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato -
y z 7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss: y z 5 y z Eliminamos la incógnita z sumando la primera ecuación con la segunda y multiplicando la primera ecuación por y sumándola con la tercera, obteniendo el sistema: + y -z = + y - z = + y - z = F+F +y +z = F+F +y = -F+7F +y = 5 +y + z = 9 +7y = 6 = - de donde y =6, z =. y z 8. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss: y z y 6z + y + z = + y +z = + y +z = F-F -y +z = F-6F - y = - F-F - y = - + y + 6z = - +y =5 +9y =9 y = de donde =, z =. 9. Halla un número de dos cifras, sabiendo que éstas suman 7 unidades y que si sumamos unidades al número que resulta de intercambiar el orden de las cifras, su raíz cuadrada es el doble de la raíz del número inicial. Sea 0+y el número que queremos calcular, se puede plantear el siguiente sistema: y 7 0y 0 y y 7 0y ( y 0 ) 7 y 7 y 0y ( y 70 0 y) Operando la última ecuación, se tiene: 5y 70 y 70 6 7 6 5 El número es 6. Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato -
0. Un granjero compra en una feria 60 animales entre pollos, conejos y patos y paga, en total, una factura de 55 euros. Cada pollo le ha costado euros, cada conejo euros y cada pato,5 euros. Si el número de pollos representa los siete novenos del total de conejos y patos comprados. Cuántos animales compró de cada clase? Si llamamos al número de pollos comprados, y al de los conejos y z al de los patos, se trata de resolver el sistema: y z 60 y,5z 55 7 ( y z ) 9 Ordenando el sistema se obtiene: + y + z = 60 +y +,5z = 55 9-7y - 7z = 0 resolviéndolo resulta: = 80, y = 50, z = 0.. La suma de tres números es 7. Dos veces el primero menos tres veces el segundo es igual a y el primero más el doble del segundo menos tres veces el tercero es igual a 6. Averigua cuáles son estos números. Llamando al primero, y al segundo y z al tercero, se trata de resolver el sistema: y z 7 y y z 6 Eliminando z entre la primera y la tercera ecuaciones, se tiene: 5y57 y Resolviéndolo, se obtiene 8, y 5, z. Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato -
. Resuelve la ecuación 0 y descompón en factores el polinomio P( ). Al usar Ruffini, obtenemos los valores =, =, =-. Por tanto la descomposición del polinomio: P( ). Opera y simplifica la epresión 9 0 0. 0 Factorización de denominadores: 9 0 ( )( 5) 0 ( 5)( 6) 0 ( )( 6) Por tanto: 9 0 0 0 ( )( 5) ( 5)( 6) ( )( 6) 6 ( ) 5 7 ( )( 5)( 6) ( )( 5)( 6). Resuelve la ecuación 0. Factorizando po Ruffini: ( ) ( ) 0 Por tanto las soluciones son: = (doble), = Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato -
5. Resuelve la siguiente ecuación con radicales: 5 0 8. Despejamos el radical: 50 8 Elevando al cuadrado: 5 0 6 6 Pasando los términos al segundo miembro: 5 0 Al resolver la ecuación de segundo grado se obtiene: =, = 8 La segunda solución no es válida, ya que no verifica la ecuación inicial, por lo que la solución es =. 6. Resuelve la ecuación log log log log log Al sustituir en la ecuación inicial se comprueba que la solución obtenida es válida. 7. Resuelve la siguiente inecuación quitando previamente los denominadores por cualquier método. 5 8 Eliminando denominadores: 0 8 6 8 Operando: > De donde: > La solución es el intervalo,. Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato - 5
8. Resuelve la inecuación 0. Factorizando: ( )( ) 0 ( )( ) Solución < < o < < que, escrita como unión de intervalos se epresa como,, 9. Representa gráficamente el sistema de inecuaciones y. y 0. Sin utilizar la calculadora, halla el valor de los siguientes logaritmos: a) log 8 log log 5 b) log log log 5log 5 5 / c) log9 log9 9 log9 9 log9 9 log 7 tendremos: 7 d) Si es. Halla el valor de, sabiendo que: log log 6 6 / / 6 6 log log 6 log 6 log 6 6 6 Trimestre temas,, Matemáticas I -.º Bachillerato - 6