Apuntes. Series. n.simo término de la sucesión, tal como se ha propuesto.

Ximo Beneyto Apunts

Antes de empezar a desarrollar el tema de las de Números Reales, es conveniente revisar a fondo el contenido y los conceptos del tema precedente (Sucesiones de Números Reales), del cual necesita todo su potencial de cálculo, así como la interiorización del concepto límite de una sucesión. Concepto éste que resulta esencial para comprender la idea de Serie de Números Reales. No es posible un desarrollo fluido del presente tema sin los conocimientos anteriores, pues iremos cayendo sucesivamente en lagunas de comprensión y de técnica, imprescindibles para seguir adelante. 1. Definición Sea una Sucesión de Números Reales, construyamos, a partir de sus términos, una nueva Sucesión, de la siguiente forma : < Cada término de esta nueva sucesión es la SUMA desde el primer término hasta el n.simo término de la sucesión, tal como se ha propuesto. A esta nueva Sucesión se le llama Sucesión de las Sumas Parciales asociada a. Cuando exista, sea o no finito, definiremos la Serie Numérica, o simplemente Serie asociada a, precisamente a este límite. A pesar de la definición anterior, para hacer referencia a la Serie Numérica asociada a la sucesión se suele recurrir a la notación, notación, por otra parte, ampliamente Tema : Numéricas. Pàgina 2

aceptada, aunque pueda resultar confusa., cuando este límite exista, sea o no finito. No obstante la relación anterior, generalizaremos el uso de la notación para indicar la Serie Numérica, o simplemente Serie asociada a la sucesión, originada por la sucesión, aun desconociendo el término general de la Suma Parcial de Orden n asociada y su comportamiento en el límite. Necesitaremos revisar el concepto de límite de una Sucesión para poder comprender el concepto de Serie, pues, ésta no representa, como en un principio podríamos pensar, la Suma de los infinitos términos de la Sucesión, sino, ese valor, único, si existe, que representa el límite de la Sucesión de Sumas Parciales. Concepto éste, FUNDAMENTAL para la comprensión y desarrollo del tema. A a n, término general de la Sucesión dada, también se le llama término general de la serie, siendo los términos de la Serie los términos de la Sucesión. y, serán, pues, formas habituales de referirnos a la Serie asociada a la Sucesión, siendo. la más adecuada. 2. Relaciones entre Conceptos : TRelación entre y : Si en la Relación (I), restamos S n y S n-1 observamos que : T Por tanto, tenemos : Relación que permite obtener a n a partir de S n. Tema : Numéricas. Pàgina 3

T Relación entre y :, cuando existe el límite, sea o no finito. A también le llamaremos Sucesión de Sumas Parciales de la Serie, sin que cause ninguna confusión. [NOTA 1: Realmente, tal como se ha definido el concepto de Serie Numérica, en adelante simplemente Serie, la expresión representa simplemente: T un número T más ó menos infinito T nada según sea, finito, infinito o no exista. Así que, realmente, a lo largo del tema deberíamos referirnos a la sumabilidad o no de los términos de la sucesión. No obstante, puesto que la notación es de uso corriente en la mayor parte de los textos de Matemáticas referidos a las, seguiremos ésta en el desarrollo del tema conscientes de su abuso en ciertos momentos.] [NOTA 2: Acerca del símbolo SUMATORIO,, sigma mayúscula del alfabeto griego, se utiliza en Matemáticas para reflejar una SUMA de elementos. Generalmente en la parte inferior de dicho símbolo indicaremos la variable respecto de la cual queremos efectuar la suma, así como el primer valor de dicha variable, en la parte superior indicaremos el valor final ésta. Siempre valores naturales. Así, ]. 3. Carácter de una Serie Numérica Dada una Serie, cuya sucesión de sumas parciales es Tema : Numéricas. Pàgina 4

Si ( es decir, existe y es finito ) decimos que es una Serie Convergente. Al número real S, le llamaremos Suma de la Serie. Escribimos = S Si decimos que es una Serie Divergente y no tiene Suma Finita. decimos que la serie No Converge y es No Sumable. Podemos, pues, comprobar la sencillez del estudio de una serie conocido el término general de su sucesión de sumas parciales, S n.cuestión ésta, que más adelante se verá, no es cuestión sencilla. Es claro, así mismo, el interés especial que nos merecen las Convergentes, al representar éstas valores finitos de la Suma. A pesar del matiz existente entre ambos conceptos, Divergencia y No Convergencia serán en ocasiones asuntos similares, al reflejar ambos que la Serie no tiene Suma Finita. Convergencia, Divergencia o No Convergencia de una Serie es el Carácter o Naturaleza de la Serie. Veamos un ejemplo que pone de manifiesto todos los conceptos expuestos y su relación: Ejemplo.- De una Serie parciales., conocemos el término general de la sucesión de sus sumas a) Hallar a n y formar la serie b) Hallar a 1 + a 2 + a 3 +AAA+a 1.000.000 = c) Estudiar si es CONVERGENTE y hallar su SUMA. a) a n? De las relaciones obtenidas anteriormente, deducimos que : Tema : Numéricas. Pàgina 5

[Observa que el sumatorio empieza desde n = 2, pues a 1 no se puede obtener mediante la expresión que acompaña al Sumatorio] b) Puesto que representa la SUMA de los 1.000.000 primeros términos de la sucesión Y, e interpretando el concepto de Suma parcial de orden n c) Convergencia, Suma? Puesto que :. Parece obvio manifestar la dificultad que entraña hallar S n a partir de a n, de lo contrario, el tema sería supersencillo. En el apartado de problemas resueltos se encuentran varias situaciones para ver y obtener la formación de S n a partir de a n.. Sigamos... Veamos un Ejemplo de formación de S n a partir de a n. Una Serie, tal que, se llama una Serie Telescópica, observemos que en una Serie Telescópica, al formar la Suma Parcial de Orden n, obtenemos: Así, pues,. La Serie Telescópica, es pues, un caso de formación sencilla de S n a partir de a n. Tema : Numéricas. Pàgina 6

Obviamente el carácter de esta Serie dependerá de la expresión de b n. Así, será Convergente, Divergente o No sumable, según sea. En caso de ser finito este límite, la Suma de una Serie Telescópica será. Ejemplo: es una Serie telescópica, siendo. Como y, la Suma de la Serie será. Son frecuentes, a la hora de plantear una Serie Numérica, las notaciones,, según sea el término de la sucesión a partir del cual queramos plantear la Serie. es un tanto abusiva según la definición de Sucesión.. 4. La Serie Geométrica Debido a su enorme importancia y trascendencia en el desarrollo del tema, dedicaremos un apartado entero al estudio de estas interesantísimas Numéricas. No resulta nada temerario afirmar que fueron las Geométricas ya en la Grecia antigua, las primeras en ser estudiadas y origen del planteamiento posterior de este tema. Servirá también de nuevo ejemplo de formación de la Sucesión de Sumas Parciales de Orden n a partir de una Sucesión. Dada la importancia del resultado para el devenir del tema, se sugiere prestar atención tanto al desarrollo como a las conclusiones obtenidas. Llamaremos Serie Geométrica a una Serie Numérica de la forma : Tema : Numéricas. Pàgina 7

En la cual S n = r + r 2 +... + r n Recordando la expresión de la Suma de los n primeros términos de una progresión Geométrica donde a 1 = r y a n = r n Y A la hora de estudiar la convergencia, esto es, hallar distinguiremos tres casos : i) *r* < 1. En cuyo caso,, por tanto. Por tanto, la Serie Converge y su Suma es ii) *r* > 1 no puede ser finito, con lo cual será: 4, si r > 1 Y La Serie Diverge. iii) *r* = 1 r = 1, si r < -1, en cuyo caso la Serie No Converge Y la Serie Diverge. r = -1 Y la Serie No Converge. Resumiendo : Dada la serie Geométrica T *r* < 1 la Serie es Convergente y su Suma es T *r* $ 1 la Serie No Converge (Diverge o es No Sumable). [Algunos textos proponen la Serie Geométrica como, cuyo carácter es el mismo, no siendo así su Suma. Veremos más adelante que es muy sencillo relacionar ambos valores] Tema : Numéricas. Pàgina 8

5. Tipos de Numéricas Atendiendo al valor de los términos de una Serie, clasificamos éstas en... O Una Serie, es de Términos Positivos, si Ejemplo : ; ; son de términos positivos ; ;, NO son series de términos positivos O Una Serie, es de Términos No Negativos, si, algún. Ejemplo : ; ; son de términos no negativos O Una Serie, es de Términos Negativos, si Ejemplo : ; son series de términos negativos O Una Serie, es Alternada, si a n, toma valores positivos y negativos (o negativos y positivos), alternativamente. Ejemplo : alternadas s o n S e r i e s O Una Serie, es de Términos Cualesquiera, si a n puede tomar valores positivos y negativos arbitrariamente. Ejemplo : ; ; son series de términos cualesquiera. Tema : Numéricas. Pàgina 9

6. Estudio de una Serie Numérica Básicamente, el estudio de una Serie Numérica, consiste en : a) Estudio del Carácter. [ Averiguar si la Serie es Convergente, Divergente o No Sumable ] b) Cálculo de la Suma. [ Obtener la Suma de la Serie en caso de ser convergente. ] Vimos anteriormente, en el Ejemplo 1, la sencillez del estudio de la Serie, conocido el término general de la suma parcial de orden n, S n, pues, tanto el análisis de convergencia como el cálculo de la Suma, se reducen al cálculo del. Pero, lo más usual, es el estudio de la serie a partir de su expresión y, desde, vamos a plantear su estudio en la continuación del tema. Veamos en primer lugar sus propiedades. [ NOTA. Salvo mención expresa, entenderemos la notación para 4 para +4, especificando +4 cuando sea necesario para una mejor comprensión ] 7. Propiedades elementales de las Numéricas. 7.1.- El carácter de una Serie no se modifica, si SUPRIMIMOS sus p primeros términos, siendo p un número natural. Demostración: a) es Convergente En efecto, consideremos las series y obtenida suprimiendo los p primeros términos de P Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a, Tema : Numéricas. Pàgina 10

PSea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a,. Sea también Observemos que: S p, n = S n - S p n > p (I). Bastará con aplicar límite a ambos lados de la igualdad Y S p, n = ( S n - S p ) = [ Como Converge Y S n = S ] = S - S p 0 œ Y Converge y además = -. Así mismo, si la serie es Convergente, llamemos S a su Suma, Y S = ( S n - S p ) Y S n = S + S p 0 œ b) es Divergente Una construcción idéntica a la efectuada en el apartado anterior, nos permite llegar a (I) S p, n = S n - S p y, en consecuencia: S p, n = ( S n - S p ) = [ Como Diverge Y S n = 4 ó -4 ] = 4 ó -4 Y es, en cualquier caso Divergente c) es No Sumable Puesto que (I) S p, n = S n - S p S p, n = ( S n - S p ); [ Como es No Sumable Y S n ] => S p,n Y es No Sumable Así, a partir de la propiedad anterior, las Tema : Numéricas. Pàgina 11

tendrán el mismo carácter, obviamente la Suma, en caso de ser Convergente, no será la misma. 7.2.- El carácter de una Serie no se modifica, si le AÑADIMOS un número finito de términos. Veamos. Si a una Serie le añadimos un número finito de términos, a 1 +...+ a p, a partir de la relación obtenida anteriormente: (I) S p, n = S n - S p n > p => S n = S p, n + S p n > p, Será Convergente, Divergente o no Sumable, según lo sea. Para demostrarlo será suficiente utilizar la misma operativa que en la demostración de la propiedad anterior. 7.3.- El carácter de una Serie no se modifica, si MODIFICAMOS un número finito de términos de la misma. (Si la Serie es CONVERGENTE, la Suma de la Serie modificada tiene como Suma la de la Serie dada incrementada en la Suma de las diferencias entre el valor del término modificado y el que tenía anteriormente ). Demostrando... Dada la Serie, modifiquemos un número finito de sus términos, por ejemplo, reemplazándolos por, obteniendo una nueva Serie. Si tanto en la Serie como en la nueva Serie obtenida, suprimimos los p m primeros términos, es claro que obtendremos la misma Serie. Tal como hemos probado anteriormente, las tres, y la Serie que hemos obtenido modificando sus elementos tendrán el mismo carácter. Además, Tema : Numéricas. Pàgina 12

Podemos establecer, pues, con carácter general que : El carácter de una Serie no varía si se le modifican, suprimen o añaden un número finito de términos. Si la Serie es CONVERGENTE, la Suma de la Serie modificada tiene como Suma la de la Serie dada incrementada en la Suma de las diferencias entre cada término y su modificado. 7.4.- Dada la serie, su carácter ( Convergente o Divergente o no Sumable ) no se modifica si se INTERCAMBIAN de lugar un número finito de sus términos. En efecto, sea la Serie : Intercambiemos de lugar los términos a p y a q, obteniendo ahora : Expresión a la que podemos llegar mediante este proceso : En ambos pasos hemos suprimido y añadido un término. Utilizando las propiedades anteriores, el carácter de la Serie no se modifica, como tampoco lo hace su Suma en caso de ser Convergente, pues la variación total de la Suma será Efectuando un número finito de pasos, el carácter, obviamente no se modifica, podemos afirmar, pues, que modificar el orden de un número finito de términos de la Serie no modifica su carácter. Tema : Numéricas. Pàgina 13

7.5.- Si y, son Convergentes y, la serie, es Convergente y se verifica la relación : [ Observa que, para " = 1 y $ = 1, y considerando " = k y $ = 0 =>, para una constante cualquiera k, propiedades éstas de enorme interés en la operativa práctica del tema ]. La demostración es muy sencilla, veamos : Sean y las Sucesiones de Sumas Parciales asociadas a y respectivamente. Puesto que ambas son convergentes Y Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a, S n = " A S n + $A S n nos dará la expresión del término general de la Suma parcial de orden n asociada a, por tanto Tema : Numéricas. Pàgina 14

Y Es Convergente y su Suma es S = " A S + $ A S. No podemos afirmar nada en el caso de Divergentes. 7.6.- Si en una Serie ( Convergente o Divergente ) se agrupan los términos de la misma, sin cambiarlos de orden, según una ley cualquiera, la serie que resulta tiene el mismo carácter. Veamos..., sea una Serie, efectuemos una agrupación de sus términos, por ejemplo: Sean: Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a, y la Sucesión de Sumas Parciales asociada a la nueva Serie obtenida agrupando los términos de. es, pues, una Subsucesión de, por lo tanto será convergente o divergente según lo sea. Así, la nueva Serie será convergente o divergente según lo sea. 8. Hallando el Carácter de una Serie Una vez estudiadas las propiedades elementales de las, nos vamos a ocupar de organizar, en primer lugar, el estudio del carácter y, en segundo lugar, dar técnicas para poder obtener, en ciertas situaciones, la Suma de la Serie. Para averiguar el Carácter de una Serie, se suelen utilizar fundamentalmente dos caminos: Tema : Numéricas. Pàgina 15

1. Aplicar a la Serie una de las llamadas Condiciones Generales de Convergencia de ó 2. Aplicar a la Serie alguno de los llamados Criterios de Convergencia de. Comencemos exponiendo las Condiciones Generales de Convergencia de. 8.1 Condiciones Generales de Convergencia de 8.1.1 Condición General de Convergencia del Resto Una Serie, es CONVERGENTE <=> = 0. Siendo el Resto de Orden n de la Serie, Demostración: es una Serie Convergente <=> <=> g > 0 n 0 (g) / si n $ n 0 Y *S n - S* < g Como S n = a 1 + a 2 +...+ a n Y *S n - S* = *S - S n * = < g n $ n 0 Definamos una Sucesión {R n } n0ø / R n = a partir de la expresión anterior, =0., es claro que, ( g > 0 n 0 (g) / si n $ n 0 => *R n * = < g ) La nueva Serie R n = recibe el nombre de Resto de Orden n asociado a la Serie 8.1.2 Condición Necesaria y Suficiente de Convergencia Una Serie es Convergente <=> g > 0 n 0 (g) / si n $ n 0, p $ 1, => < g Demostración: es una Serie Convergente <=>, por lo tanto es Convergente, puesto que en œ toda Sucesión Convergente es Regular Y será una Sucesión Regular => g > 0 n 0 (g) / si p > q $ n 0 Y S p - S q < g Tema : Numéricas. Pàgina 16

] < g ] tomando q = p, y p = n + p, p $1, ] < g. 8.1.2.1 Consecuencia La equivalencia anterior nos da lugar a una expresión muy útil para determinar si una Serie es o no Convergente. Puesto que, si es Convergente g > 0 n 0 (g) / si p $ n 0, p $1, < g, Si consideramos, en particular, cualquier valor de p, tendremos que, si es una Serie Convergente g > 0 n 0 (g) / si p $ n 0, p $1, p $1. < g es decir S n+p - S n < g, o sea Así, pues es convergente =>, p $1. Expresión de cierta utilidad para comprobar la No Convergencia de, en particular la Serie Armónica como más adelante veremos. 8.1.3 Condición Necesaria de Convergencia (Cauchy, Agustin Louis) Dada la serie si la serie CONVERGE Y. En forma de Criterio : [Nota: Cuando un criterio o condición no establezca de manera definitiva el carácter de una serie, pondremos la expresión DUDA] Tema : Numéricas. Pàgina 17

En efecto, si a 1 = S 1 a n = S n - S n-1 n $ 2 Si Converge Y Y. O también, si es una Serie Convergente p $1, en particular, tomando p=1, => =>. Ejemplo 2.- Aplicar la Condición Necesaria Convergencia de Cauchy a las siguientes ; ; En cuanto hayamos estudiado algunas más, daremos Ejemplos más concretos de cuyo término general tiende a cero, y son Convergentes o Divergentes. 8.1.4 Condición Necesaria y Suficiente de Convergencia de de Términos Positivos Una Serie de términos positivos, es Convergente <=> Su Sucesión de Sumas Parciales está acotada superiormente. Además, la Suma de la Serie S = sup. Tema : Numéricas. Pàgina 18

La demostración...al ser una equivalencia, demostraremos por doble implicación. => Sea Convergente. Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a, puesto que es una Serie Convergente, tendrá límite finito, y por lo tanto será Convergente, al tratarse de una Sucesión Convergente, según una propiedad de las Sucesiones Convergentes, está Acotada, y por el hecho de estar Acotada, está Acotada Superiormente. <= está Acotada Superiormente Al ser una Serie de términos positivos, será una Sucesión Monótona Estrictamente Creciente, junto con la hipótesis de estar Acotada Superiormente, podemos concluir, según propiedad de las Sucesiones de Números Reales, que es Convergente, por lo tanto, con lo cual es Convergente y su Suma es S. Si recordamos la construcción de la demostración que lleva a la Convergencia de una Sucesión Monótona Creciente y Acotada Superiormente, observaremos que precisamente S = sup. Con lo que concluimos la doble equivalencia. 8.1.5 Condición Necesaria y Suficiente de Divergencia de de Términos Positivos Una Serie de términos positivos,, es Divergente <=> Su Sucesión de Sumas Parciales no está acotada superiormente. => Sea Divergente. Sea la Sucesión de Sumas Parciales asociada a, puesto que es una Serie de términos positivos,, por lo tanto no está Acotada Superiormente <= Al ser no está Acotada Superiormente una Sucesión de términos Positivos no Acotada Superiormente, según propiedad de Tema : Numéricas. Pàgina 19

las Sucesiones, es claro que, y por lo tanto será Divergente. Consecuencia de ambas propiedades, es que una Serie de términos positivos, será Convergente o Divergente, pero no puede ser No Sumable. Con esta Condición finalizamos las Condiciones Generales de Convergencia. Hasta ahora, únicamente hemos estudiado a fondo la Serie Geométrica y de un modo más sencillo las Telescópicas. Sobre todo, los fundamentos aprendidos en el estudio de las Geométricas van a ser de una gran utilidad en lo que sigue del tema. Como complemento a estas, es el momento de plantear el estudio de dos de las más utilizadas en el estudio de este tema como son la Serie Armónica y la Serie Hiperarmónica. La Serie Armónica. Llamamos Serie Armónica a la Serie observemos que se trata de una Serie de términos positivos. Vamos a emplear un resultado anterior para demostrar que se trata de una Serie Divergente. Para ello, formemos en primer lugar su Sucesión de Sumas Parciales Sea. => Y, restando ambas expresiones, llegamos a:. Expresión que podemos acotar inferiormente de la siguiente manera:. Si =>. Aplicando la consecuencia 8.1.2.1 de la Condición de Convergencia 8.1.2, tomando p=n, Tema : Numéricas. Pàgina 20

concluimos que la Serie Armónica es Divergente. La Serie Hiperarmónica. Llamamos Serie Hiperarmónica a la Serie. Con los conocimientos adquiridos, estudiemos el caso Observemos que se trata de una Serie de términos positivos. Procedamos exactamente igual que con la Serie Armónica para demostrar que se trata de una Serie Divergente. Formemos en primer lugar su Sucesión de Sumas Parciales Sea. Es claro que: Y, restando ambas expresiones, llegamos a:. Al ser p < 1, podemos acotar inferiormente de la siguiente manera:. Pero, al ser p < 1, 1 - p > 0,, así, Aplicando la consecuencia 8.1.2.1 de la Condición de Convergencia 8.1.2, tomando p=n, concluimos que la Serie es Divergente. Para el estudio de la Serie Hiperarmónica, precisamos previamente de conocimientos acerca de la comparación de. Bien. Expongamos a continuación alguno de los Criterios que podemos aplicar a una Serie para poder determinar de una manera muy operativa si ésta es Convergente o no. Al finalizar la exposición Tema : Numéricas. Pàgina 21

plantearemos algún consejo acerca de la utilización de estos criterios así como de las Condiciones Generales de Convergencia. 8.2 Criterios de Convergencia Ordenemos estos Criterios según los diferentes tipos de que hemos planteado en páginas anteriores. M de Términos Positivos 8.2.1.- Criterio de Comparación ( Mediante Acotación ) Sea una Serie de Términos positivos, y una Serie ( Auxiliar ) de términos positivos de carácter conocido. O Si n 0 ø y Converge Y Converge O Si n 0 ø y Diverge Y Diverge [ Para aplicar con éxito el criterio de Comparación mediante acotación, mayoraremos la Serie con una Serie Convergente y la minoraremos con una Serie Divergente, pues de los contrario no obtendremos criterio para ]. Demostración i) Si n 0 ø y Converge Como Al ser Convergente Y Y Y Como es monótona creciente ( es de términos positivos ) y Acotada Superiormente S n # S n 0 ø Y es Convergente Y es una Serie Convergente ii) Si n 0 ø y Diverge Tema : Numéricas. Pàgina 22

Al ser Divergente y de términos positivos,, así, $ Y = +4 Y Diverge En casos de aplicación práctica de este criterio debemos indicar que, con las hipótesis del criterio * Si n 0 ø y Diverge Y el criterio no decide nada acerca de n 0 ø Diverge y también * Si n 0 ø y Converge Y el criterio no decide nada acerca de n 0 ø Converge y ( también, tal como veremos inmediatamente). [Comentar que las acotaciones también se pueden efectuar a partir de un término cualquiera, pues tal como vimos, suprimir un número finito de términos de una serie no modifica el carácter de ésta]. Estamos ya en condiciones de finalizar nuestro estudio de las Hiperarmónicas. Sea la Serie Observemos que se trata de una Serie de términos positivos... Formemos en primer lugar su Sucesión de Sumas Parciales Sea. Es claro que: Agrupemos los términos de la siguiente forma: Acotemos la expresión anterior: Tema : Numéricas. Pàgina 23

que se trata de una Serie Geométrica de razón, será pues una Serie Geométrica Convergente, por consiguiente, aplicando el Criterio de Comparación, será Convergente. Resumiendo: 8.2.2. Criterio de Comparación ( Mediante acotación del cociente) Sea una serie de términos positivos, y una Serie ( Auxiliar ) de términos positivos Si : k 0 œ + # k n 0 ø y Converge Y Converge Si : k 0 œ + $ k n 0 ø y Diverge Y Diverge Las demostraciones son muy sencillas: En efecto : i) k 0 œ + # k n 0 ø y Converge. Si k 0 œ + / # k n 0 ø Y a n # ka b n n 0 ø. Com o Converge Y Converge Y Aplicando el primer criterio de comparación Converge Tema : Numéricas. Pàgina 24

ii) k 0 œ + $ k n 0 ø y Diverge Y Diverge Si k 0 œ + / $ k n 0 ø Y a n $ ka b n n 0 ø. Como Diverge Y Diverge Y Aplicando el primer criterio de comparación Diverge. 8.2.3. Criterio de Comparación ( Mediante límite del cociente) Sea una serie de términos positivos y una Serie (Auxiliar) de términos positivos Sea 1. Si R 0, 4 y Tienen el mismo carácter 2. Si R = 0 y Converge Y Converge 3. Si R = 4 y Diverge Y Diverge Demostrando... 1.- Sea R 0, 4 y Converge Por definición de límite de una Sucesión: g> 0 n 0 ( g) / si n $n 0 Y < g ] - g < < g ] ] n $n 0. n $n 0 Y Y en virtud de la comparación mediante acotación, Converge y por tanto Converge. Tema : Numéricas. Pàgina 25

Si de la desigualdad n $n 0 elegimos, n $n 0 y Divergente Y n $n 0 a n > (R - g) b n Y Diverge y Diverge. 2.- = 0 y Converge. Por definición : g > 0 n 0 ( g) / si n $n 0 Y < g ] ( ) < g Y en virtud del criterio de comparación (mediante acotación del Cociente) Y Como Converge Y Converge Y Converge. 3.- = 4 y Diverge Por definición : k 0 œ + n 0 ( k) / si n $n 0 Y > k ] Y utilizando el criterio de comparación Y Como Diverge Y Diverge Y Diverge. 8.2.4 Criterio de Comparación con las Armónica e Hiperarmónica (Pringsheim) S e a u n a S e r i e d e t é r mi n o s p o s i t i v o s y Tema : Numéricas. Pàgina 26

Demostración. Basta con aplicar el Criterio de Comparación mediante límite a las y (Serie Armónica para p=1, e hiperarmónica si p>1) 8.2.5. Criterio del Cociente (mediante límite)( D Alembert, Jean Le Rond) Sea una Serie de términos positivos Demostración: En efecto... i) Sea, por definición de límite de una Sucesión, g > 0 n 0 ( g) / si n $n 0 Y < g ] - g < < g ] ] n $n 0 Y, en particular, tomemos un g 1 > 0 / R + g 1 < 1 Y n 1 ( g 1 ) / n $n 1. Si llamamos r = R + g 1 < 1 Y n $n 1 Y a n+1 < r A a n a n+2 < r A a n+1 < r 2 A a n... a n+p < r p A a n Tema : Numéricas. Pàgina 27

Consideremos ahora la Serie = que es una Serie Geométrica con razón r < 1 y por tanto Convergente Y Converge Y Converge Y Converge ii) Si R 0 œ por definición de límite de una Sucesión, g > 0 n 0 ( g) / si n $n 0 Y < g ] - g < < g ] ] n $n 0 Y, en particular, tomemos un g 2 > 0 / R - g 2 > 1 Y n 2 ( g 2 ) / n $n 2. Si llamamos r = R - g 1 > 1 Y n $n 2 Y a n+1 > r A a n a n+2 > r A a n+1 > r 2 A a n... a n+p > r p A a n Consideremos ahora la Serie = que es una Serie Geométrica, cuya razón r > 1, y por tanto Diverge Y Diverge Y En virtud del Criterio de Comparación, Diverge Y Diverge. iii) Si Tema : Numéricas. Pàgina 28

Apliquemos la definición de Sucesión divergente a k 0 œ + n 0 ( k) / si n $n 0 Y > k ], tomando k>1, es una Sucesión monótona creciente de términos positivos Y no puede tener límite cero, por tanto según la Condición Necesaria de Convergencia, es Divergente. iv) Si R = 1 pero R 6 1 + Y A partir de un n 0 en adelante Y a n+1 $ a n con lo cual de términos positivos Y no puede tener límite cero Y es una Sucesión monótona creciente es Divergente. 8.2.6 Criterio de la Raíz (mediante límite) (Cauchy, Agustin Louis) Sea, una Serie de términos positivos Demostración i), R < 1 Por definición de límite,, g > 0 n 0 ( g) / si n $n 0 Y < g ] - g < < g ] En particular, sea g 1 > 0 / R + g 1 < 1, n 1 si n $ n 1 ] Tema : Numéricas. Pàgina 29

Es una Serie Geométrica Convergente ( R + g 1 = R + g 1 < 1 ) Y Converge Y es Convergente. ii), R > 1 R 0 œ g > 0 n 0 ( g) / si n $n 0 Y < g ] - g < < g ] En particular, sea g 2 > 0 / R - g 2 > 1, n 2 si n $ n 2 ] Con el mismo razonamiento anterior Es una Serie Geométrica Divergente ( R - g 2 = R - g 2 > 1 ) Y aplicando el Criterio de Comparación mediante acotación, Diverge Y Diverge iii) R > 1 R = 4 k > 0 n 0 ( g) / si n $ n 0 Y > k, en particular, para un k 1 > 1 n 3 ( g) / si n $ n 3 Y > k 1 ] a n > ( k 1 ) n es una Serie Geométrica Divergente ( k 1 = k 1 > 1 ) Y mediante Criterio de Comparación Y Diverge Y Diverge. iv),r 6 1 + Si R 61 + Y $ 1 a partir de un n 0 en adelante Y a n $ 1 n Y Y Diverge, y por lo tanto Diverge. Tema : Numéricas. Pàgina 30

8.2.7 Criterio de Kummer (mediante acotación) Sea una Serie de términos positivos, y sea una Sucesión de números reales positivos. Sea si k $ 0 / K n $ k n 0 ø Y Converge si K n # 0 n 0 ø y Diverge Y Diverge Veamos : 1. k $ 0 / K n $ k n 0 ø Si K n $ k Y Y k n A a n - k n+1 A a n+1 $ k A a n+1 n 0 ø Asignando a n los valores n = 1, 2,..., p-1 k 1 A a 1 - k 2 A a 2 $ k A a 2 k 2 A a 2 - k 3 A a 3 $ k A a 3 k 3 A a 3 - k 4 A a 4 $ k A a 4... k p-1 A a p-1 - k p A a p $ k A a p Sumando k 1 A a 1 - k p A a p $ k A ( a 2 + a 3 +... + a p ) Y k ( a 2 + a 3 +... + a p ) # k 1 A a 1 - k p A a p # k 1 A a 1 p 0 ø Sea la sucesión de Sumas Parciales asociada a, tendremos que S p # p 0 ø Y es una Sucesión de términos positivos acotada Tema : Numéricas. Pàgina 31

Superiormente, por lo tanto es Convergente Y es una Serie Convergente. 2. K n # 0 n 0 ø y Diverge n 0 ø Y Y. Como Es Divergente y es de términos positivos Y k n+1 A a n+1 $ k n A a n n 0 ø Y k 2 A a 2 $ k 1 A a 1 Y k 3 A a 3 $ k 2 A a 2... Y k n+1 A a n+1 $ k n A a n Y k n+1 A a n+1 $ k 1 A a 1 Y k 1 A a 1 > 0 Como Diverge Y Aplicando el Criterio de Comparación Y Converge. 8.2.8 Criterio de Kummer (mediante límite) Sea, una Serie de términos positivos, 1. Si existe Tema : Numéricas. Pàgina 32

8.2.9 Criterio de Raabe Sea, una Serie de términos positivos Demostración : Basta con tomar k n = n en el criterio de Kummer (mediante límite) 8.2.10 Criterio de la Integral Sea f una función real, continua, positiva, monótona decreciente en un intervalo [1, +4 [, = 0, y tienen el mismo carácter. Demostración Sea " = [a] ( parte entera de a ) Y " # a < " + 1 Consideremos un intervalo de la forma [ m, m+1 ] con m $ " + 1 Como f es decreciente Y x 0 [ m, m+1 ] Además, f es POSITIVA Y f(m+1) # f(x) # f(m) Y Tema : Numéricas. Pàgina 33

Si tomamos m = " + 1, " +2,..., n... Sumando término a término : * Si es Convergente Y existirá y será Finito Y n 0 ø Y YLas Sumas parciales de la Serie están ACOTADAS superiormente Y es una Serie Convergente * Si es Divergente Y = +4 y por tanto... M de Términos Negativos Para el estudio del carácter de una Serie de términos negativos, bastará con aplicar la propiedad que nos dice que las tienen el mismo carácter. Para k=-1, reducimos una Serie de términos Negativos a una Serie de Términos Positivos, cuyo estudio podemos afrontar mediante los Criterios y técnicas expuestas anteriormente. Tema : Numéricas. Pàgina 34

M con Infinitos Términos Positivos y Negativos Una vez estudiados algunos de los principales Criterios de Convergencia para de Términos Positivos, pasemos al estudio de las de términos cualesquiera. Parece lógico comentar que, en principio para el estudio de las de términos cualesquiera, descartemos aquellas con un número finito de términos negativos, pues suprimiendo éstos obtendríamos una Serie de términos positivos, cuyo carácter sería exactamente el mismo que el de la Serie original siendo ésta una Serie de términos positivos, según propiedades estudiadas a lo largo del tema. Así mismo, un razonamiento análogo nos lleva a descartar aquellas con un número finito de términos positivos. Ocupémonos pues, de aquellas Numéricas que tengan infinitos términos negativos e infinitos términos positivos. 8.2.10. Convergencia Absoluta Decimos que una Serie es Absolutamente Convergente si la Serie formada por los valores absolutos de los términos de es una Serie Convergente. Es una Serie Absolutamente Convergente si es Convergente. Una Serie es Absolutamente Divergente si la Serie formada por los valores absolutos de los términos de es una Serie Divergente. Es una Serie Absolutamente Divergente si es Divergente. 8.2.10.1 Propiedad: Si una Serie es Absolutamente Convergente => es una Serie Convergente. Demostración: Dada la Serie a n 0 œ Formamos la serie de sus términos en valor absoluto, 8.2.11 Criterio de Abel Tema : Numéricas. Pàgina 35

Dada una Serie, cuyo término general se puede expresar de la forma, de manera que: es una Sucesión Monótona Decreciente y es una Sucesión tal que Y Es una Serie Convergente y Demostración: Consideremos la Sucesión de Sumas Parciales asociadas a,. Sea ahora la Serie auxiliar, y, a partir de ella, cuya Sucesión de Sumas Parciales,, será: Es pues, una Serie de Términos positivos cuya Sucesión de Sumas Parciales está acotada superiormente, por tanto es Convergente. Como es Convergente, será Absolutamente Convergente, y por la propiedad de la Convergencia Absoluta, es Convergente. La Convergencia de esta Serie nos lleva a que el límite de la Sucesión de Sumas Parciales, exista Tema : Numéricas. Pàgina 36

y sea finito, así : => Es Convergente y, además, tiene la misma Suma que. Por otra parte Como M es una Cota Superior de. Alternadas Un caso muy especial de las con infinitos términos positivos y negativas lo constituyen las llamadas Alternadas Llamamos Serie Alternada a una Serie, donde. negativos. Obviamente las Alternadas son con infinitos términos positivos e infinitos términos Para el estudio de su convergencia, se suelen utilizar, o bien el Criterio de Leibniz, o bien la Convergencia Absoluta. Veamos el Criterio de Leibniz 8.2.12 Criterio de Leibniz Dada una Serie Alternada,. Si: es una Sucesión Monótona Decreciente y Tema : Numéricas. Pàgina 37

Y Es una Serie Convergente y Demostración: Considerando en el Teorema de Abel La demostración es inmediata. Semiconvergentes. Una Serie, es una Serie Semiconvergente, si: * es Convergente * es Divergente. A partir de resultados obtenidos con anterioridad podemos establecer que: - Toda Serie Semiconvergente debe tener infinitos términos positivos e infinitos términos negativos. - Las auxiliares y, deberán ser ambas Divergentes. Estudiemos, en primer lugar, los problemas de Convergencia relativos a las Semiconvergentes. Para preparar su estudio, dada una Serie, a n 0 œ ( Infinitos términos positivos e infinitos términos negativos ), consideremos dos Auxiliares que podemos formar con sus términos: Formada por los términos Positivos de la serie en el mismo orden en el que se encuentran en ésta. Tema : Numéricas. Pàgina 38

Formada por los términos Negativos de la serie en el mismo orden en el que se encuentran en ésta y cambiados de signo. Ambas, y serán de términos positivos. Veamos qué propiedades infieren las y, a la serie Propiedad Si y, son Convergentes, = P y = Q = P - Q. Demostrando una vez más... Sean y su Sucesión de Sumas Parciales asociada 6 su Sucesión de Sumas Parciales asociada 6 su Sucesión de Sumas Parciales asociada n 0 ø n 1, n 2 (n) / S n = n 1, n 2 unívocamente determinados por n. Puesto que, tanto n 1 como n 2 dependen de n podemos establecer sendas funciones de variable natural D(n) y P(n) / Es claro que si es una serie convergente = P y, si Es Convergente Y = Q. Basta con aplicar en S n para llegar a S = P - Q. Resultado que nos da, por un lado, la convergencia de, y por otro lado, = P - Q. Propiedad Si una de ellas Converge y la otra Diverge Y Diverge Tema : Numéricas. Pàgina 39

Supongamos Convergente ( = P ) y Divergente ( Q n = 4 ) Y S n = -4 Y S n = -4 Y Diverge Propiedad Cuando y son ambas Divergentes Y no podemos afirmar nada acerca de la Convergencia de Volvamos al estudio de las Semiconvergentes... Dada la Serie a n 0 œ Formamos la serie de sus términos en valor absoluto, si es la Sucesión de Sumas Parciales asociada a, con las Sumas parciales anteriores, tendremos que : Podemos, pues, establecer la convergencia absoluta de estas series mediante : a) Es Absolutamente Convergente ] y son Convergentes b) Es Absolutamente Divergente ] una de las dos es Divergente. Lo demostramos a) Y es Absolutamente Convergente Y es Convergente, sea su Sucesión de Sumas Parciales asociada. De la relación anterior:, S n = S => Y S n # S n 0 ø Obviamente m 0 ø n0 ø / P m # S n # S Acotada Superiormente Y Convergente Tema : Numéricas. Pàgina 40

Análogamente Convergente Z Convergente, = P Convergente = Q n 0 ø S n # P + Q =>, Una Serie de términos positivos al fin y al cabo, será Convergente y por lo tanto Es Absolutamente Convergente b Y Es Absolutamente Divergente Y no está acotada superiormente Y si Y al menos una de ellas no estará acotada superiormente Y Al menos una de ellas deberá ser Divergente Z Exactamente el mismo razonamiento Es Semiconvergente Expongamos a continuación el efecto que produce sobre el carácter de una Serie, una reordenación cualquiera de sus términos. Dada una Serie, entenderemos por Reordenacion de sus términos a la nueva Serie que se obtiene mediante una biyección en el conjunto de los números naturales, de manera que cada término de la Serie es reemplazado por el término de la Serie que ocupa el lugar que dicha biyección asocia al orden de su posición inicial en la Serie. Así, cada biyección que definamos en N, originará una reordenación de los términos de la Serie de la siguiente manera: Sea una de tales biyecciones, llamemos a la nueva Serie Tema : Numéricas. Pàgina 41

obtenida mediante la reordenación de términos de originada por la biyección F. Ejemplo: Dada la Serie, la Serie Es una reordenación de la Serie originada por la biyección tal que: Veamos a continuación un curiosísimo comportamiento de las Semiconvergentes ante la reordenación de sus términos. Comportamiento, que como veremos un poco más adelante, es exclusivo de éstas, pues las de términos positivos no modifican su carácter ante ninguna reordenación. Teorema Una serie semiconvergente puede ser reordenada del tal modo que la serie obtenida sea : 1. Convergente y tenga por Suma un número " 0 œ 2. Divergente 3. No Sumable Es decir, reordenando convenientemente los términos de una Serie Semiconvergente, podemos obtener una nueva Serie cuyo comportamiento podemos decidir a voluntad.!!!!. Tema : Numéricas. Pàgina 42

Demostración. 1. Sea una Serie Semiconvergente y " 0 œ, un número real cualquiera, vamos a demostrar que podemos efectuar una reordenación de la Serie, para conseguir una nueva Serie cuya suma sea precisamente ". Procedamos ordenada y cuidadosamente... y sean las Auxiliares y definidas anteriormente. Ambas series son de Términos Positivos Es una Serie Divergente y de términos positivos Y la Sucesión de Sumas parciales asociada a,, no está acotada superiormente [ k 0 œ n 0 / k ] En particular, para el valor ", tomemos n 1 0 ø / p 1.+ p 2 +... + # " < p 1.+ p 2 +... +, es decir, n 1 es el primer subíndice para el cual la suma parcial asociada a es estrictamente mayor que ". Así: S 1 # S 2 #... # # " <. Como Es Divergente y de términos positivos Y Su Sucesión de Sumas Parciales no está acotada superiormente, restemos, pues de p 1.+ p 2 +... +, un número suficiente de términos q 1, q 2,... para que el valor obtenido sea estrictamente inferior a ". Sea n 2 el menor de los subíndices / p 1.+ p 2 +... + - q 1 - q 2 -... - < " # p 1.+ p 2 +... + - q 1 - q 2 -... -. Añadamos ahora los términos positivos sucesivos hasta conseguir sobrepasar de nuevo a ", sea n 1 + n 3 el menor de estos subíndices p 1.+ p 2 +... + - q 1 - q 2 -... - + # " < p 1.+ p 2 +... + - q 1 - q 2 - Tema : Numéricas. Pàgina 43

... - + Restemos ahora el número imprescindible de términos de sucesivos a los anteriores para que el número obtenido sea inferior a ", sea n 4 / p 1.+ p 2 +... + - q 1 - q 2 -... - + - < " # p 1.+ p 2 +... + - q 1 - q 2 -... - + - Prosiguiendo de manera indefinida, construimos una nueva Serie con los términos de p 1.+ p 2 +... + - q 1 - q 2 -... - + - + + Si llamamos a la Sucesión de Sumas parciales de esta nueva serie Y = - > n 1 # n # n 1 + n 2-1 = - > n 1 +n 2 # n # n 1 + n 2 +n 3-1 = - > n 1 + n 2 +n 3 # n # n 1 + n 2 +n 3 +n 4-1 Y así sucesivamente Como es una Serie Convergente=> Si, como => y. => Así pues, la Serie formada por los términos de, reordenados éstos, y cuya Sucesión de Sumas Parciales es la propuesta anteriormente tiene por suma ", con lo cual damos por concluida la demostración. 2. Tema : Numéricas. Pàgina 44

Para obtener a partir de la Serie dada una Serie divergente hacia +4 reordenando términos... Es una Serie Divergente y de términos positivos Y la Sucesión de Sumas parciales asociada a,, no está acotada superiormente [ k 0 œ n 0 / k ] En particular, tomemos n 1 0 ø / p 1.+ p 2 +... + / p 1.+ p 2 +... + > q 1 + 1 Y p 1.+ p 2 +... + - q 1 > 1 tomemos n 2 0 ø / Y p 1.+ p 2 +... + - q 1 + +... + - q 2 >2 Si llamamos a la Sucesión de Sumas parciales obtenidas, tendremos que : Y es tal que Y La Serie obtenida Diverge Análogamente podemos reordenar las términos de la Serie para obtener una Serie hacia -4 3. Para obtener una Serie No Sumable, podemos aplicar la técnica propuesta en el primer apartado, pero haciendo tender las Sumas parciales a dos número diferentes, con lo cual la Serie resultante será No Sumable. 9. Convergencia Condicional e Incondicional Definición Una Serie es Incondicionalmente Convergente si es Convergente y cualquier Serie deducida de ella mediante una reordenación cualquiera de sus términos, también lo es. Tema : Numéricas. Pàgina 45

es Condicionalmente Convergente si es Convergente, pero existe alguna reordenación de sus términos para la cual la Serie es divergente. Teorema Sea una Serie de términos positivos Y es incondicionalmente convergente. El carácter y la Suma de una Serie de términos positivos no se modifica al reordenar de cualquier manera los términos de la Serie. Demostración * Sea una Serie de términos positivos y sea la serie resultante de practicar una reordenación cualquiera de sus términos mediante una biyección F. Sean y las Sucesiones de sumas parciales asociadas a y a respectivamente. Sea m = máx { F(j) j = 1, 2,... n } S n # S m Y Como es Convergente Y está acotada superiormente por la Suma de la Serie, S Y n 0 ø m 0 ø / S n # S m # S Está acotada superiormente por S Y Es Convergente y su suma S # S Y Las de términos positivos son incondicionalmente convergentes. Como es una serie de términos positivos Convergente y con suma S podemos obtener mediante la reordenación inversa de F, F -1, cuya existencia garantiza la biyectividad de F Y S # S Y S = S Tema : Numéricas. Pàgina 46

Teorema Una Serie de términos cualesquiera es Incondicionalmente Convergente ] es Absolutamente Convergente. Y Por reducción al absurdo: Sea, a n 0 œ una serie Incondicionalmente Convergente, si No fuese absolutamente convergente Y sería una serie semiconvergente, para la cual existirían reordenaciones que la harían perder el carácter de convergente, en contra de la convergencia. Z Si es Absolutamente Convergente Y Las Asociadas y serán convergentes. Reordenando y Serán convergentes Y Convergente Y incondicionalmente convergente Teorema Una Serie de términos reales cualesquiera es Condicionalmente Convergente ] es Semiconvergente. Convergencia Condicional Dada una Serie, podemos obtener una reordenación de sus términos mediante una biyección en el conjunto de los números naturales. Así, cada biyección que definamos en N, originará una reordenación de los términos de la Serie de la siguiente manera: Sea una de tales biyecciones, llamemos a la nueva Serie obtenida mediante la reordenación de términos de originada por la biyección. El asunto que nos planteamos ahora es si una reordenación de términos en una Serie influye en su Tema : Numéricas. Pàgina 47

carácter. Definamos pues: Definición Una Serie se dice que es una Serie Incondicionalmente Convergente si: T es Convergente T es Convergente para cualquier reordenación de sus términos definida por una biyección Una Serie se dice que es una Serie Condicionalmente Convergente si: T es Convergente T es Divergente para alguna reordenación de sus términos definida por una biyección Propiedad OToda Serie de términos positivos es Incondicionalmente Convergente. O La Suma de una Serie de términos positivos NO se modifica al reordenar de cualquier forma los términos de la Serie. Demostrando... En efecto, se a, una Serie de términos positivos, y la Serie reordenada asociada a una biyección cualquiera. Designemos por y sus respectivas Sucesiones de Sumas Parciales. Tema : Numéricas. Pàgina 48

Sea m = máx { }.. Si es una Serie Convergente y de términos positivos, estará acotada Superiormente, por tanto, existe es, pues, una Sucesión de términos positivos Acotada Superiormente, es decir, Convergente, será una Serie Convergente. Además, de las acotaciones anteriores, deducimos que. Procedamos ahora en otro orden considerando que procede de reordenar la Serie, sencillamente mediante la biyección, cuya existencia garantiza la biyectividad de F. De esta manera. De ambas desigualdades concluimos que: =, con lo cual cerramos la demostración. Así, pues, las de términos positivos son invulnerables ante cualquier reordenación de sus términos, en cambio, las de términos cualesquiera no lo son, como va a quedar de manifiesto en las siguientes propiedades. Propiedad. Una Serie es Incondicionalmente Convergente <=> es Absolutamente Tema : Numéricas. Pàgina 49

Convergente. [Propiedad que nos confirma la definición que en la mayoría de textos de Cálculo se da de las Incondicionalmente Convergentes ] Demostremos ésta por doble implicación: => S i es Incondicionalmente Convergente, será Convergente, y cualquier Serie obtenida mediante la reordenación de sus términos, también lo será. Consideremos la Serie y las auxiliares definidas en apartados anteriores y. Si no fuese Convergente, sería Semiconvergente y no podría ser incondicionalmente Convergente. Así será Convergente, y por tanto será Absolutamente Convergente. <= Si es Absolutamente Convergente, y serán ambas Convergentes. Una reordenación cualquiera de términos de, produce una reordenación en las auxiliares y, pero al ser ambas de términos positivos, su carácter no se modifica, como es Absolutamente Convergente => y, serán Convergentes, así pues, la Serie reordenada, es Convergente, por lo tanto es Incondicionalmente Convergente. Tema : Numéricas. Pàgina 50

Y, para finalizar, Propiedad. Una Serie es Incondicionalmente Convergente <=> es Absolutamente Convergente. Sigamos... Sumando una Serie Veamos a continuación algunas de las técnicas utilizadas con mayor frecuencia para obtener la Suma de una Serie Convergente, en las contadas ocasiones en las que ésta se puede obtener.. Suma de la Serie Geométrica Ya en la parte de teoría hicimos una exposición técnica del concepto de Serie Geométrica, vamos a dar en esta parte un nuevo enfoque, un poco más práctico que el que ya hemos visto... Una Serie Geométrica se origina por la suma de los términos de una sucesión geométrica de primer término a 1 y razón r. Recordemos que : 1< Una colección ordenada de números a 1, a 2,..., a n,... forman una Sucesión Geométrica, si cada uno de ellos ( excepto el primero ), se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante llamado Razón de la Sucesión Geométrica. Así : 2< La SUMA de los 'n' primeros términos de una sucesión geométrica es: Tema : Numéricas. Pàgina 51

de donde, la SUMA de la correspondiente Serie Geométrica es : [ Como la Serie debe ser convergente Y ] =. Su suma es : Ejemplo 16.- Así pues, para obtener la SUMA de una Serie Geométrica bastará con obtener : 1º.- El primer término de la misma 2º.- La razón 3º.- y aplicar la fórmula anterior L NOTA : En ocasiones tiene alguna dificultad hallar el primer término y la razón de una Sucesión Geométrica. Para hallarlos, se sugiere desarrollar los tres o cuatro primeros términos de la Serie asociada, y deducirlos. <Términos <Carácter <Suma Tema : Numéricas. Pàgina 52

Suma de mediante Descomposición del término general a n Una Serie se puede sumar por descomposición, cuando su término general, a n, se puede descomponer en una suma de varias expresiones ( descomposición en suma de fracciones simples, cuando a n es un cociente de sucesiones polinómicas, propiedades de los logaritmos, raíces, etc..) Por ejemplo, se pueden sumar por descomposición de su término general a n : Como caso particular, podemos considerar las series Telescópicas en las que a n = b n+1 - b n, y en las cuales, la factorización ya está realizada.. En cualquier caso, la técnica a aplicar consiste en obtener S n a partir de la descomposición de a n. mediante cualquiera de los procedimientos conocidos. Comencemos con el más conocido Método de Descomposición en Sumas de Fracciones Simples Cuando el término general de la Serie, a n, es un cociente de Sucesiones Polinómicas, podemos obtener una descomposición de a n, en Suma de Fracciones Simples, según sean las raíces del denominador de a n. Estudiaremos el caso de que a n solo tenga raíces reales simples. En caso de raíces múltiples y raíces imaginarias utilizaremos el método de Dirichlet tal y como lo empleamos en la descomposición en Sumas de Fracciones simples para integrar una función racional. A continuación, una vez propuesta la descomposición, colocaremos unos a continuación de otros, los primeros seis o siete términos, o más si es conveniente, y los tres o cuatro últimos. Cancelar en las diferentes líneas aquellas sumas de términos que den cero, y hallar S n. Basta con aplicar límite a la expresión obtenida de S n, para hallar la suma de la serie. Ejemplo <Carácter Se trata, pues, de una Serie de términos positivos. <Suma Tema : Numéricas. Pàgina 53

Propongamos una descomposición en fracciones, según las raíces del polinomio del denominador: n = 0 y n = -2 Tema : Numéricas. Pàgina 54

Comentario : Observando la igualdad de fracciones obtenida, Y al igualar los numeradores, 1 = A (n+2) + BAn, también podemos proceder a asignar valores a "n" que nos permitan hallar A y B. Si asignamos a "n" el valor de cada una de las raíces obtenidas, lograremos A y B con suma facilidad. Así : Encontrarás más formas de sumar por descomposición en los problemas resueltos del 25 al 32. Suma de Hipergeométricas Una Serie de términos positivos, es una Serie Hipergeométrica, si el cociente es de la forma:, " 0. Si una serie es Hipergeométrica y converge su suma es Demostración: Ejemplo 19.- Estudiar el carácter y la suma de : <Carácter <Suma Es Hipergeométrica? Al ser Hipergeométrica y convergente Tema : Numéricas. Pàgina 55

Suma de Aritmético-Geométricas Llamamos serie Aritmético-Geométrica a una serie de la forma y P(n) una Sucesión Polinómica de grado p. Para sumar este tipo de, se emplea la técnica que vamos a explicar a continuación, tantas veces como indique el grado de P(n). Técnica : Ejemplo Estudiar el carácter y hallar la suma de : <Carácter Serie de Términos Positivos : <Suma Es del tipo aritmético-geométrica Tema : Numéricas. Pàgina 56

Una variante más sencilla de esta técnica de suma consiste en escribir únicamente los cuatro o cinco primeros términos de la serie, y aplicar la técnica anterior. Tengamos en cuenta que la convergencia de la serie obliga a a n a tender a cero, lo cual lógicamente obliga a tender a cero a a n-1, a n-2, etc. Sumemos la serie anterior con esta variante: Tema : Numéricas. Pàgina 57