APUNTES CRÍTICOS AL FORMALISMO MATEMÁTICO DE CURRY EMILIO MÉNDEZ PINTO 1 En su libro Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics, 2 el principal propósito de Curry fue exponer una posición formalista de las matemáticas desde un punto de vista estrictamente matemático. Para ello Curry exhibe, a modo de ejemplos, el carácter general que adquirirían diversos sistemas proposicionales matemáticos desde la aritmética elemental hasta la teoría de conversión de Church y el teorema de incompletitud de Gödel, pasando por el álgebra proposicional de dos valores y la sintaxis formalizada de Hermes si fuesen formalizados (en el sentido del formalismo como filosofía de las matemáticas). divide en: Para conseguir esto, la estructura primitiva de un sistema formal matemático la 1) términos: indicios (una lista de los términos de cada tipo), operaciones (modos de combinación para formar nuevos términos), y reglas de formación (especificaciones de cómo han de formarse los nuevos términos); 2) proposiciones elementales: una lista de predicados elementales con el número y tipo de argumentos para cada predicado elemental, y 3) teoremas elementales: axiomas (proposiciones elementales establecidas para ser verdaderas incondicionalmente) y reglas de procedimiento (reglas para la derivación de más teoremas, que son de la forma si P,..., 1, P2 Pm son teoremas elementales sujetos a tales y cuales condiciones, y si Q es una proposición elemental teniendo tal y cual relación con P,..., 1, P2 Pm, entonces Q es verdadera). Por ejemplo, la aritmética elemental (o rudimentaria) tiene: un indicio: 0, una operación unaria, una regla de formación: si a es un término, entonces a es un término, un predicado binario de la forma una regla de procedimiento: a b (donde a y b son términos), un axioma: 0 0, y a b a' b' ; la sintaxis formalizada de Hermes tiene: un indicio: 0, cinco reglas de procedimiento de la forma: a b b a, a b & b c a c, a b a b, a b c a c b, a b a c b c, i i 1 Politólogo del ITESM-CCM. 2 Haskell B. Curry, Outlines of a formalist Philosophy of Mathematics (Holanda: North-Holland Publishing Company, 1951). 1
donde 1,... n es un conjunto de operaciones unarias y es una operación binaria, etc.; la teoría de conversión de Church tiene cinco reglas de procedimiento de la forma: si a cnv b, entonces b cnv a, si a cnv b y b cnv c, entonces a cnv c, si a cnv b, entonces αac cnv αbc, si a cnv b, entonces αca cnv αcb, si a cnv b, entonces λ x i a cnv λ x i b, etc. (en donde cnv debe leerse como es convertible a ). Y de esta forma muchos etcéteras que para los fines de este artículo no hace falta ejemplificar. Por otra parte, que podríamos tomar como uno de sus propósitos secundarios o derivados y el que más nos interesa aquí, Curry establece la independencia filosófica del formalismo matemático en el sentido de que éste no está comprometido, por así decirlo, con ninguna posición filosófica particular, y por consiguiente es igualmente válido tanto para el platonismo como para el intuicionismo matemáticos (que Curry llama, indistintamente, perspectivas idealistas de las matemáticas ). 3 El formalismo matemático no está filosóficamente comprometido porque es reconciliable con estas filosofías idealistas de las matemáticas, i. e., tanto los platónicos como los intuicionistas matemáticos pueden perfectamente adoptar prácticas formalistas para sus respectivas arquitecturas matemáticas. Es claro que, desde la posición de Curry, este propósito secundario o derivado es casi una consecuencia natural del primero, porque el poder aplicar prácticas formalistas en estas filosofías idealistas de las matemáticas es una clara prueba del carácter estrictamente matemático que puede tener el formalismo, y por tanto de su independencia filosófica. Podemos conceder que lo que Curry llama perspectivas idealistas de las matemáticas están filosóficamente comprometidas (i. e., que adoptan una posición o una serie de posiciones filosóficas), pero creo que no podemos conceder que, bajo cualquier circunstancia, determinadas prácticas platónicas e intuicionistas (o, si se quiere, con un carácter platónico e intuicionista) en las matemáticas estén filosóficamente comprometidas. Es más, aquí sostendré que estas prácticas pueden ser tan filosóficamente independientes (en el sentido de Curry) 4 que difícilmente es concebible alguna construcción o entendimiento matemática real o significativa sin ellas. Pero para mostrar esto es necesario no reducir las perspectivas idealistas de las matemáticas a 3 Curry sostiene que la definición de verdad matemática es el problema par excellence de la filosofía de las matemáticas, y así descarta la perspectiva realista de las matemáticas (i. e., el punto de vista de que las proposiciones matemáticas son verdaderas en tanto que corresponden con nuestro entorno físico) no sólo porque el realismo matemático no da cuenta del infinito, sino porque tampoco lo hace con las matemáticas puras. 4 Salvo por la condición de tener un carácter estrictamente matemático. 2
filosofías de las matemáticas propiamente dichas, sino establecer que en las matemáticas existen prácticas platónicas e intuicionistas (o, de nuevo, con un carácter platónico e intuicionista) que no necesariamente conducen a la adopción de filosofías matemáticas en un sentido fuerte (justo como, siguiendo a Curry, sucede con el formalismo). Así pues, aquí consideraremos un platonismo y un intuicionismo matemáticos débiles, ingenuos, etc., que tienen un carácter, si se quiere, más psicológico que filosófico. A pesar de este carácter, o mejor dicho, precisamente por este carácter, desde las prácticas platónicas e intuicionistas puede decirse que no hay ninguna arquitectura matemática significativa, por más formalista que sea, que no esté comprometida en alguno u otro sentido con ellas (incluso si estas prácticas platónicas e intuicionistas están, a su vez, filosóficamente comprometidas en alguna forma distinta de la expuesta aquí, cuestión que no nos interesa decidir). Para el caso del platonismo matemático, no sólo rechazaremos su versión fuerte en aras de nuestros argumentos, sino también porque creo que existen razones filosóficas para rechazarlo. El problema del platonismo matemático fuerte El platonismo matemático fuerte sostiene que las entidades matemáticas existen propia y autónomamente, independientemente de toda cognición. Así, las verdades matemáticas no se crean, sino que se descubren. De esta doctrina surgen dos consecuencias naturales: las entidades matemáticas son independientes del momento y del lugar en el que se piensen y son independientes de quién o de qué las piense. Pero esta segunda consecuencia es un tanto engañosa, porque no es lo mismo decir las entidades matemáticas son independientes de toda cognición porque da lo mismo quién o qué las piense que decir las entidades matemáticas son independientes de toda cognición porque da lo mismo si hay quién o qué las piense. Si las entidades matemáticas existen independientemente de toda cognición en el segundo sentido de la segunda consecuencia, entonces están necesariamente autodefinidas. En realidad no puedo pensar en ninguna entidad matemática, por más primitiva que sea, que esté autodefinida; la realidad matemática está compuesta de conceptos y de proposiciones, y es así que no puede darse sin algún tipo de cognición. Creo que la tesis que sostiene la independencia de las entidades matemáticas sólo es defendible si sostiene, a la vez, que una entidad matemática e no depende del qué (tipo 3
de mente/estado mental) ni del a partir de qué (pensamientos, creencias, intuiciones, etc.) se dé e, y no que no exista un qué (tipo de mente/estado mental) y un a partir de qué (pensamientos, creencias, intuiciones, etc.) se dé e. Es apropiado hacer dos aclaraciones con respecto a lo que acabamos de decir. Primero, aquí no hemos distinguido entre una proposición del tipo A piensa que e o A cree que e o A intuye que e de una proposición del tipo A está convencido de que e. Segundo, del hecho de que A está convencido de que e no necesariamente se sigue que e es verdadera, i. e., no es contradictorio decir que A está convencido de que e y al mismo tiempo decir que e es falsa. Prácticas platónicas en las matemáticas En su conferencia On platonism in mathematics, 5 P. Bernays sostiene que el platonismo reina hoy en día [1934] en las matemáticas, y para mantener esta afirmación a modo de ejemplo, compara el sistema axiomático de Euclides con el de Hilbert. Euclides habla de figuras a ser construidas: uno puede unir dos puntos con una línea recta, mientras que en Hilbert los sistemas de puntos, líneas rectas, y planos existen desde el principio: dados cualesquiera dos puntos, existe una línea recta sobre la cual ambos están situados. Para Bernays, este último ejemplo muestra que la tendencia (platónica) consiste en ver los objetos como cortados de todo vínculo con el tema sobre el que se reflexiona. Si para Bernays la práctica platónica en las matemáticas consiste en ver los objetos como cortados de todo vínculo con el tema sobre el que se reflexiona, para nosotros consistirá en ver las nociones como cortadas de todo vínculo con el tema sobre el que se reflexiona. En la proposición dados cualesquiera dos puntos, existe una línea recta sobre la cual ambos están situados, la existencia y la constancia (en un sentido metafísico) de la línea recta están supuestas, dadas por sentado. La cuestión que nos interesa no es sólo si la existencia y la constancia de una noción están dadas por sentado en alguna arquitectura matemática, sino si están dadas por sentado en una arquitectura matemática formalista. 5 Pronunciada el 18 de junio de 1934 en el ciclo de Conférences internationales des Sciences mathématiques organizado por la Universidad de Ginebra. 4
Como ejemplo de sistema formalizado 6 Curry expone la teoría elemental de los polinomios, para lo que distingue tres categorías de términos, a saber, las constantes positivas, las constantes, y los polinomios, y establece las siguientes reglas: 1) Reglas para las constantes positivas en la teoría elemental de los polinomios a. Si a y b son constantes positivas, entonces a b es una constante positiva. b. Si a y b son constantes positivas, entonces a b es una constante positiva. c. Si a es una constante positiva, entonces 1 a es una constante positiva. d. Si a es una constante positiva y a b, entonces b es una constante positiva. 2) Reglas para las constantes en la teoría elemental de los polinomios a. Si a es una constante positiva, entonces a es una constante. b. Si a es una constante positiva, entonces a es una constante. c. Si a es una constante positiva, entonces ( 1 a ) es una constante. d. Si a es una constante y a b, entonces b es una constante. 3) Reglas para los polinomios en la teoría elemental de los polinomios a. Toda constante es un polinomio. b. Si a y b son polinomios, también lo es a b. c. Si a y b son polinomios, también lo es a b. d. Si a es un polinomio, también lo es a. Una vez establecidas estas reglas, y una vez que comenzamos a construir matemáticas a partir de ellas, la noción de constante, por ejemplo, permanecerá con nosotros a lo largo de toda la construcción. Esta noción se referirá tanto a los propios elementos de esta construcción matemática (por ejemplo, a b si a es una constante y es b ) como a la propia idea de lo que es constante. Así pues, esta práctica platónica consiste en ver las nociones (para este caso la noción de constante) como cortadas de todo vínculo con el tema sobre el que se reflexiona; esto es, la existencia (y la propia constancia) de lo constante está supuesta, dada por sentada. 7 6 Haskell B. Curry, Outlines of a formalist Philosophy of Mathematics (Holanda: North-Holland Publishing Company, 1951), pp. 25-26. 7 El concepto de constancia es tan necesario para nuestra posición como lo es el concepto de existencia. El que en este caso aquél haya coincidido con una aplicación específica de constancia es sólo un accidente (feliz o desafortunado, eso lo dejo a consideración del lector). 5
En su Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, 8 Schröder propone un axioma similar a nuestra posición. Este axioma, llamado de la estabilidad simbólica, garantiza que a lo largo de todos nuestros argumentos y deducciones los símbolos permanecen constantes en nuestra memoria o en el papel. Como se ve, las diferencias esenciales entre este axioma y nuestra tesis son que a nosotros nos interesan las nociones y no los símbolos y que en esto nosotros reconocemos un carácter platónico. Pero bien podríamos llamar a nuestro principio el principio de la estabilidad nocional, y no puedo imaginar una construcción matemática, por más rudimentaria que sea, en la que este principio, en una u otra de sus tantas formas posibles, no se sostenga. 9 Sobre la intuición en las matemáticas Así como acabamos de defender prácticas platónicas en las matemáticas, y no al platonismo matemático, ahora toca defender prácticas intuicionistas (o, prefiero, intuitivas) en las matemáticas, y no al intuicionismo matemático. En mi opinión, existe una diferencia esencial entre intuición en las matemáticas (o prácticas intuitivas en las matemáticas) e intuicionismo matemático: con lo primero nos referimos a un hecho esencialmente psicológico, mientras que con lo segundo aludimos a un hecho esencialmente filosófico. En sus Fundamentos de la Aritmética, 10 Frege afirma que es posible que un matemático realice cálculos muy grandes sin entender, por sus símbolos, nada intuible, y que esto no significa que los símbolos empleados no tengan sentido; aún distinguimos, dice Frege, entre los símbolos y su contenido, incluso cuando éste sólo pueda ser comprendido con la ayuda de aquellos. Este es precisamente el tipo de intuición al que no nos referimos aquí. Al igual que Curry, Frege parece reducir la intuición matemática a un tipo de intuición filosofada (y por tanto a una intuición matemática filosóficamente comprometida). Pero el matemático que imagina Frege podría, en efecto, realizar cálculos muy grandes sin atribuir ningún sentido intuible a los símbolos que utiliza y aun así no crear nada. 8 Gottlob Frege, The Foundations of Arithmetic (EEUU: Northwestern University Press, 1980), pp. VIII- IX. 9 Quizá nuestro principio se vuelve menos distinto del de Schröder en el momento en el que su estabilidad simbólica la entendemos, extensivamente, como una especie de estabilidad nocional. 10 Gottlob Frege, The Foundations of Arithmetic (EEUU: Northwestern University Press, 1980). 6
Lo que quiero decir es que lo intuitivo en las matemáticas no se reduce a (ni desde luego depende de) una sensibilidad a priori o a cualquier otra suposición epistemológica. Uno podría concatenar correctamente símbolos matemáticos por horas, incluso atribuyendo a su formación una condición a priori, sin que ello implique llegar a resultados matemáticos novedosos. El error de Frege es ningunear la condición teleológica, por así llamarle, de la actividad matemática. En este sentido (si dividimos el entendimiento matemático en dos partes necesarias), la parte lógica de las matemáticas da cuenta del porqué (o en cualquier caso del cómo) se concatenan determinados símbolos matemáticos en determinadas construcciones matemáticas, pero no da cuenta del para qué; esta cuestión sólo la resuelve la intuición. Es claro, por lo dicho inmediatamente arriba, que tampoco sucede que la intuición pueda por sí sola dar cuenta del significado completo de una proposición o de una serie de proposiciones matemáticas. Si así fuese, bastaría con comprender la finalidad (el para qué) de la concatenación de determinados símbolos matemáticos para entender, en toda la extensión de la palabra, el significado de una proposición o de una serie de proposiciones matemáticas. Pero las cosas no son así. Si la lógica es, siguiendo a Poincaré, el instrumento de la demostración y la intuición es el instrumento de la invención, entonces podemos decir que la intuición matemática sin la lógica matemática es ciega, mientras que la lógica matemática sin la intuición matemática es vacía. No puede haber, para una creación (o entendimiento) matemática real, una sin la otra: la lógica es una condición necesaria pero no suficiente, y sucede lo mismo con la intuición. Antes pudimos ofrecer una ilustración más o menos explícita de práctica platónica en las matemáticas, pero para el caso de la intuición que estamos considerando aquí esto es virtualmente imposible, porque esta intuición se siente pero no se expresa. 7