Análisis Numérico: Soluciones de ecuaciones en una variable MA2008
Contexto Uno de los problemas básicos en el área de Ingeniería es el de la búsqueda de raíces: Dada una función o expresión matemática y = f (x), el problema consiste en determinar un valor x o dentro del dominio de la función tal que f (x o ) = 0. En términos gráficos, el problema consiste en determinar un punto donde la gráfica de y = f (x) corte el eje de las x. y y = f (x) x
Método de Bisección Hipótesis: Idea La función y = f (x) es continua en el intervalo [a, b] La función y = f (x) cambia de signo: f (a) f (b) < 0 1 Tomar el punto medio c = (a + b)/2 y determinar f (c). 2 Si (f (c) = 0) ó el valor (b a)/2 es menor que una tolerancia dada, entonces el proceso termina. 3 Si f (a) f (c) < 0, entonces debe buscar en [a, c] haciendo b = c y reiniciando en el paso 1. 4 Debe ocurrir que f (c) f (b) < 0; se debe buscar en [c, b] haciendo a = c y reiniciando en el paso 1.
Método de Bisección Ventajas y desventajas Conocido el intervalo [a, b] donde se localiza la raíz, se puede calcular en cuántas iteraciones se aproxima a la raíz para una tolerancia dada: La raíz siempre se encuentra en el intervalo de trabajo y en cada iteración la longitud del intervalo se reduce a la mitad del anterior. Así, el número de iteraciones para el cual se tiene ubicada la raíz con una tolerancia (tol) dada es: ln ( b a tol ln(2) ) n Localizar el intervalo donde se encuentra la raíz puede ser una tarea complicada.
Método de Newton También conocido como el método de Newton-Raphson es quizá la técnica más popular y adecuada para encontrar una raíz de y = f (x). Se basa en la idea de la aproximación lineal a una función mediante los primeros términos del desarrollo de Taylor: si la función admite segundas derivadas continuas en el punto x o cualquiera f (x) = f (x o ) + (x x o ) f (x o ) + 1 2 (x x o) 2 f (ξ(x)) Donde ξ(x) está entre x y x o. Si x = r es la raíz buscada entonces para x = r la expresión anterior queda 0 = f (r) = f (x o ) + (r x o ) f (x o ) + 1 2 (r x o) 2 f (ξ(x)) Suponiendo que 1 2 (r x o) 2 f (ξ(x)) es pequeño se obtiene de donde si f (x o ) 0 se obtiene: 0 = f (x o ) + (r x o ) f (x o ) r = x o f (x o) f (x o )
Observaciones El método de Newton-Raphson es un método iterativo: Inicialmente se parte de una aproximación x o y a partir de ella y de la fórmua de recurrencia: x 1 = x o f (x o) f (x o ) se determina una mejor aproximación. La idea geométrica detrás del método de Newton-Raphson es hacer una aproximación de la función por medio de la recta tangente en el punto (x o, f (x o )) y ver donde tal recta corta el eje de las x; ese valor de x es la siguiente aproximación. A diferencia del método de bisección, no hay una medida de en cuánto se mejora cada aproximación. En general, es más rápido que el método de bisección cuando parte de una buena aproximación. Hay problemas cuando f (x o ) = 0; es decir, cuando la tangente es horizontal.
Ecuaciones polinimiales P(x) = 0 Un polinomio de grado n es una expresión de la forma: P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 donde los a i son llamados coeficientes de P(x) y a n 0. La función cero, P(x) = 0 para todos los valores de x se considera un polinomio de grado 0.
Teorema Fundamental del Álgebra Si P(x) es un polinomio de grado n 1 con coeficientes reales o complejos, entonces P(x) = 0 tiene al menos una raíz (posiblemente compleja). Corolario Si P(x) es un polinomio de grado n 1 con coeficientes reales o complejos, entonces existen constantes únicas x 1, x 2,...,x k, posiblemente complejas, y enteros positivos m 1, m 2,...,m k tales que k i=1 m i = n y P(x) = a n (x x 1 ) m 1 (x x 2 ) m2 (x x k ) m k
Método de Horner o División Sintética Sea P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0. Si b n = a n y b k = a k + b k+1 x 0, para k = n 1, n 2,..., 1, 0 entonces b 0 = P(x 0 ). Más aún, si Q(x) = b n x n 1 + b n 1 x n 2 + + b 2 x + b 1 entonces P(x) = (x x 0 ) Q(x) + b 0 y como P (x) = (x x 0 ) Q (x) + Q(x) 1 + 0 se tiene P (x 0 ) = Q(x 0 )
Ejemplo Aplique el método de división sintética para evaluar en x = 2 el polinomio: P(x) = 2 x 4 3 x 2 + 3 x 4
Ejemplo Tomando como primera aproximación x o = 2, aplique el método de Newton-Raphson para aproximar una raíz del polinomio: P(x) = 2 x 4 3 x 2 + 3 x 4
Idea del método de Muller Para resolver f (x) = 0, en el método de Newton se aproximó la función f (x) por medio de una recta en un punto conocido (x o, f (x o )) y se una mejor aproximación determinando dónde la recta corta el eje x. En el método Muller, la función polinomial P(x) se aproxima por una cuadrática (parábola) usando tres puntos y se determina una mejor aproximación determinado dónde esa parábola corta el eje x.
Detalle del método de Muller Suponga que desea aproximar una raíz de la ecuación polinomial P(x) = 0. Suponga también que tiene tres valores diferentes de x: x 0, x 1 y x 2. Con esos tres valores encuentre los tres puntos de la gráfica de P(x): (x 0, P(x 0 )), (x 1, P(x 1 )) y (x 2, P(x 2 )). Determine el polinomio de grado dos de la forma Q(x) = a (x x 2 ) 2 + b (x x 2 ) + c que pasa por esos tres puntos. Las constantes a, b y c se obtienen resolviendo las ecuaciones: P(x 0 ) = a (x 0 x 2 ) 2 + b (x 0 x 2 ) + c P(x 1 ) = a (x 1 x 2 ) 2 + b (x 1 x 2 ) + c P(x 2 ) = a 0 2 + b 0 + c
Detalle del método de Muller (Continuación) Las fórmulas para a, b y c son: c = P(x 2 ) b = (x 0 x 2 ) 2 (P(x 1 ) P(x 2 )) (x 1 x 2 ) 2 (P(x 0 ) P(x 2 )) (x o x 2 )(x 1 x 2 )(x 0 x 1 ) a = (x 1 x 2 )(P(x 0 ) P(x 2 )) (x 0 x 2 )(P(x 1 ) P(x 2 )) (x o x 2 )(x 1 x 2 )(x 0 x 1 ) Ahora, resuelva la ecuación cuadrática Q(x) = 0 para x obteniendo una raíz x 3. Por cuestiones de error numérico vistas, elija: 2 c x 3 = x 2 b + signo(b) b 2 4 a c
Definición de variables en el código h 1 = x 1 x 0 h 2 = x 2 x 1 δ 1 = (P(x 1 ) P(x 0 ))/h 1 δ 2 = (P(x 2 ) P(x 1 ))/h 1 a = (δ 2 δ 1 )/(h 1 + h 2 ) b = δ 2 + h 2 a c = P(x 2 ) D = { b 2 4 a c b + D si b D < b + D e = b D otro caso s = 2 c/e forma alterna de una raíz de la cuadrática x 3 = x 2 + s recuerde la forma del polinomio de grado 2 propuesto
Observaciones Felizmente, en el método de Muller pueden salir las raices complejas que tiene el polinomio gracias a las raíces cuadradas que aparecen en la fórmula general de segundo grado (usada al determinar una raíz de la parábola). El método es tan conveniente que en general no requiere buenas aproximaciones iniciales. Aunque se pueden construir funciones donde no se aproxima a las raíces. Note que uno de los problemas ocurre cuando las tres aproximaciones uniciales para x tienen la misma evaluación.
Ejemplo Suponga que dos escaleras inclinadas se cruzan en un pasillo. Cada una de las escaleras está inclinada y su base se atora en la parte inferior de una pared del pasillo y la parte superior de la escalera se recarga en la otra pared. Si las escaleras tiene de largo 20 y 30 pies; y el punto de cruce está a 8 pies de alto, cuál será el ancho del pasillo?