. Aproximación de Controladores Continuos. Aproximación de Controladores Continuos..... Introducción..... Aproximación Basada en la Función de Transferencia...... Aproximación de Tustin...... Problemas en el dominio Frecuencia...6..3. Respuestas Equivalentes...9.3. Aproximación Basada en Variables de Estado... 5.4. Métodos Basados en Respuesta en Frecuencia....4.. Método de la Transformada w...
.. Introducción Muchas veces ya existe un controlador analógico Se intenta reproducir su comportamiento Con un período de muestreo pequeño se puede solucionar... Aproximación Basada en la Función de Transferencia Se intenta aproximar G( s ) u(t) CAD u(kt) y(kt) y(t) Algoritmo CDA text Reloj px... Aproximación de Tustin aproximación de derivada como una diferencia en adelanto (método de Euler) ( ) ( ) ( ) dx t x t + T x t q = = x () t [.] dt T T como una diferencia hacia atrás
( ) ( ) ( ) dx t x t x t T q px = = x () t [.] dt T qt s en transformadas significa reemplazar z T = o s z zt = [.3] que corresponden a un desarrollo en serie truncado Para el método de Euler st z = e + st [.4] para la diferencia hacia atrás st z = e [.5] st Otra aproximación: el método trapezoidal o método de Tustin + st z = e st st [.6] 3
Se reemplaza directamente s por alguna de sus aproximaciones: Euler z s = [.7] T diferencia hacia atrás z s = [.8] zt s = Tustin o bilineal z Tz+ de este modo se obtiene H( z) = G( s ) [.0] La figura muestra el mapeo del semiplano negativo de s [.9] 4
Plano Z Diferencia en Adelanto Diferencia en Atraso Tustin 5
... Problemas en el dominio Frecuencia Con estas aproximaciones se distorsiona la escala de frecuencias. Si se quiere digitalizar un filtro pasa banda o notch puede haber distorsiones. Ejemplo: transmisión de una senoide a través de un filtro con BO0 jωt jωt jωt e H( e ) = ( e ) G jωt jωt T e + el factor anterior es debido al bloqueador el argumento de G es jωt jωt jωt jωt jωt jωt tan e e e j ωt = = Te + T e + e T la escala de frecuencias no es lineal. Si el sistema continuo no deja pasar ω, la frecuencia bloqueada en el discreto será [.] [.] 6
ω ω = tan T T o sea ( ω T ) tan ω T ω = ω T [.3] [.4] No hay distorsión para ω = 0 y la distorsión es baja para bajas frecuencias. Para eliminar esta distorsión, a una determinada frecuencia ω se puede introducir una nueva transformación: ω z s = ( ) [.5] ω tan T z + ahora se cumple jωt ( ) G( jω ) H e = [.6] para esa frecuencia son iguales, pero hay distorsión para otras frecuencias. 7
Ejemplo. Integrador ( ) G s H H H T M M s = [.7] su versión digital según Tustin Tz+ z = = z z Tz+ ( ) la versión modificada para ω ( ω T ) tan ( z) = ω z + z en función de la frecuencia jωt ( e ) ( ω T ) ( ω T ) ω tan tan j T e + = = jωt ω e ω j tan para ω = ω continua y discreta, coinciden. [.8] [.9] ( ωt ) [.0] 8
..3. Respuestas Equivalentes Se puede calcular una función de transferencia discreta para que tengan igual respuesta al escalón o a una rampa. Ejemplo. Comparación de Aproximaciones ( ) G s = ( s+ ) ( s + s+ 400) ( s+ 5) ( s + s+ 00)( s + 3s+ 500) se muestrea con T = 0,03s o sea ω = 05rad s N [.] con un bloqueador de orden cero resulta ˆ st st G( s) = ( e ) H( e ) [.] st 9
Bode Diagrams 0 From: U() -50 Phase (deg); Magnitude (db) To: Y() -00-50 00 0-00 -00-300 0-0 0 0 0 0 3 Frequency (rad/sec) Sistema continuo, Aproximación de Tustin, BO0 0
Ejemplo 3. Motor con compensador en adelanto ( ) G s G k Glc Motor: ( s) = s s ( + ) compensador en adelanto s + = 4 s + función de transferencia en lazo cerrado ( s) = s 4 + s + 4 tiene un factor de amortiguamiento ξ = 0,5 y una frecuencia natural ω 0 = rad s El objetivo es encontrar una función de transferencia que aproxime la respuesta en lazo cerrado según el esquema de la figura [.3] [.4] [.5]
e k u k u(t) y(t) r(t) CAD H(z) CDA s( s+) - H H H Ek Tk La aproximación de Euler resulta ( z) Tustin ( z) z + 4 T z + T z = = 4 = 4 z + z + T z T T ( T) ( ) [.6] ( T ) ( ) ( T ) ( + ) z + z ( ) 4 Tz + T z + T + T + T = + = 4 = 4 z ( ) + + T z + T + T z Tz+ T La transformación con un bloqueador de orden cero del regulador resulta ( z) T T ( ) ( ) 4z + e z 0,5 + e = = 4 z e z e BO0k T T [.8] [.7]
H k todas las aproximaciones tienen la forma bz+ b z+ a 0 ( z) = [.9] La frecuencia de corte del sistema continuo esω c =,6 rad y una buena elección del s período de muestreo es T = 0, 0,3s.4. 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 4 6 8 0 3
4 3 0 - - 0 4 6 8 0 Discretización de Euler para diferentes períodos de Muestreo y el Control Continuo 4
.3. Aproximación Basada en Variables de Estado La realimentación del estado puede verse como un controlador proporcional generalizado. Proceso dx = Ax+ Bu dt y = Cx se suponen medibles todos los estados Controlador [.30] u( t) = Mr( t) Lx( t) [.3] La versión discreta será u kt = Mr kt Lx kt [.3] ( ) ( ) ( ) Se trata de obtener las matrices aproximando las continuas El estado en lazo cerrado evoluciona 5
dx = ( A BL) x + BMr = Alcx + BMr dt y = Cx si la referencia se mantiene constante durante el período de muestreo se puede integrar en el período resultando [.33] xk+ =Φ lcxk +Γ lcrk [.34] Φ = donde e AT lc lc T As lc Γ lc = e 0 dsb [.35] el controlador discreto deberá dar la misma respuesta, o sea ( ) xk+ = Φ Γ L xk +ΓMr k [.36] lc donde Φ y Γson las matrices en lazo abierto En general no es posible elegir L tal que Φ =Φ ΓL [.37] 6
Se divide = T 0 + [.38] L L L Se puede hacer un desarrollo en serie ( ) ( ) ( ) Φ T lc I + A BL T + A BLA ABL + BL + [.39] y T Φ I + AT + A + [.40] ( )( ) ΓL BT + AB T + L T 0 + L = BL T 0T + BL + ABL T 0 + [.4] ( ) ( ) Φ ΓL I + A BL T + A ABL BL T + igualando término a término ( ( ) T ) L= L I + A BL 0 0 [.4] [.43] Para calcular M se supone que en régimen estacionario las ecuaciones [.34] y [.36] deben dar el mismo valor 7
según el continuo el valor final es ( ) 0 I Φ x =Γ Mr [.44] lc lc y en el discreto ( ( )) 0 I Φ Γ L x =ΓMr [.45] suponiendo = T 0 + [.46] M M M ( ) ΓlcM BMT + A BL BMT + [.47] ( ) ΓM BM T + BM + ABM T + [.48] esto da 0 0 ( T ) [.49] M = I LB M 8
Ejemplo 4. Doble integrador. Aproximación de Realimentación del Estado dx 0 0 = x u dt 0 0 + y = [ 0] x sea el controlador continuo ( ) ( ) [ ] ( ) [.50] u t = r t x t [.5] L se utiliza T = 0,5 las matrices discretas resultan [ 0,5T ] [.5] M = [.53] = 0,5T 9
. 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4 0 5 0 5 0
.4. Métodos Basados en Respuesta en Frecuencia Bode y Nyquist son métodos frecuenciales adecuados para Sistemas expresados como entrada-salida..4.. Método de la Transformada w Pasos - Obtener una H( z) muestreando el sistema continuo con un BO0. - Definir la variable w z = Tz +. 3- Transformar H( z ) obteniendo ( ) = ( ) H w H z + wt z= wt 4- Dibujar el Bode y utilizar los métodos convencionales. 5- Retransformar el controlador al plano z.