Capítulo Orientación. Campos vectoriales formas diferenciales En este capítulo introduciremos el concepto de orientación, mu importante en el análisis de variedades, en particular la teoriá de integración. Iniciamos esta sección con extender las definiciones de campo vectorial forma diferencial en R n, a una variedad diferenciable. Definición.. Sea M una variedad diferenciable de dimensión k en R n (posiblemenete con frontera). Un campo vectorial en M es una función F : M TM tal que, para cada x M, F(x) M x, el espacio tangente en x. Si f : U V es un sistema de coordenadas, existe un (único) campo vectorial G : U TR k tal que F(f(a)) = f (G(a)) para cada a U. Decimos que el campo F es continuo (diferenciable, C k, etc.) si G es continuo (diferenciable, C k, etc., respectivamente). Por el teorema.6, la diferenciabilidad del campo F es independiente del sistema de coordenadas elegido alrededor de cualquier punto particular en M. Ejemplo.2. Consideremos la esfera S 2 en R 3. Definimos la función F dada por xz F = z. z 2 Verificaremos que F es un campo vectorial en S 2. Como a habíamos visto, el espacio tangente en un punto (x,,z ) S 2 es el plano normal al vector 2
22. Orientación n = x z que pasa por el punto (x,,z ), por lo que tenemos que verificar que F(x,,z ) es ortogonal a n. Pero F(x,,z ) n = x 2 z + z 2 + z 3 z = (x 2 + 2 + z)z 2 z =, porque x 2 + 2 + z2 =. Figura. Representación del campo (x,, z) (xz,z, z 2 ) en la esfera S 2. Consideramos ahora el sistema de coordenadas f : U V alrededor del punto (x,,z ) S 2, con z >, definido por U = {(x,) R 2 : x 2 + 2 < }, V = R 3 + f(x,) = (x,, (x 2 + 2 )). El Jacobiano de f en cada (x,) U está dado por f (x,) = x = x 2 2 x 2 2 x z z, por lo que el campo G : U TR k debe satisfacer entonces, en cada (x,), ( G ) xz (x,) x G 2 = z. (x,) z 2 z z
. Campos vectoriales formas diferenciales 23 Entonces, G está dado por ( x ) x G(x,) = 2 2 x 2 2 (x,) Nota que hemos usado el hecho que x 2 2 = z 2 que z >. Definición.3. Sea M una variedad diferenciable de dimensión k en R n (posiblemenete con frontera). Una p-forma diferencial en M es una función x ω(x) tal que, para cada x M, ω(x) Λ p (M x ). Es decir, ω(x) es una función multilineal alternante de p variables que actúa en el espacio tangente M x. Si f : U V es un sistema de coordenadas, f ω, el levantamiento de ω con respecto a f, es entonces una p-forma diferencial en U. Decimos que ω es una continua (diferenciable, C k, etc.) si f ω es continua (diferenciable, C k, etc., respectivamente). Si ω es una p-forma diferencial en M k, entonces ω = ω I dx I, I donde las funciones ω I estás definidas solamente en M. Enntonces, si f : U V es un sistema de coordenadas, entonces f ω = ω I f df I. De nuevo, por el teorema.6, la diferenciabilidad de ω está bien definida, independiente del sistema de coordenadas elegido alrededor de un punto. Más aún, tenemos la siguiente observación. Consideramos x M v,...,v p M x. Si f : U V es un sistema coordenado alrededor de x tal que f(a) = x, existen u,...,u p R k a tales que f (a)(u i ) = v i para cada i =,... p, porque f es un isomorfismo de R k a a M x. Entonces f ω(a)(u,...,u p ) = ω(x)(v,...,v p ). Ahora bien, si g : U V es otro sistema de oordenadas alrededor de x, tal que g(b) = x, entonces existen w,...,w p R k b tales que para cada i =,... p. Entonces Nota que, para cada i =,... p, g (b)(w i ) = v i, ω(x)(v,...,v p ) = g (ω)(w,...,w p ). u i = (f (a)) (v i ) = (f (a)) g (b)(w i ) = (f g) (b)(w i ),.
24. Orientación, además, a = f g(b). Por lo tanto, tenemos que f ω g ω están relacionadas por (.) g ω = (f g) f ω por lo que entonces f ω g ω son iguales módulo el isomorfismo (f g) : Λ p (R k a) Λ p (R k b ) dentre p-formas en R k a p-formas en R k b. El siguiente teorema nos permitirá extender la definición del operador diferencial de formas en M. Teorema.4. Sea ω una p-forma diferencial en la variedad diferenciable M. Entonces existe una única (p+)-forma diferencial dω tal que, para todo sistema de coordenadas f : U V alrededor de un punto en M, f (dω) = d(f ω). Demostración. Sean x M, v,...,v p+ M x, un sistema de coordenadas f : U V alrededor de x tal que f(a) = a. Entonces existen u,...,u p+ R k a tales que f (u i ) = v i para cada i =,... p +. Definimos entonces dω(x)(v,...,v p+ ) = d(f ω)(a)(u,...,u p+ ), Claramente, esta definición satisface que f (dω) = d(f ω), por lo que sólo es necesario mostrar que está bien definida. Si g : U V es otro sistema de coordenadas alrededor de x, digamos g(b) = x, sean w,...,w p+ R k b tales que g (w i ) = v i para cada i =,..., p +. Entonces por la ecuación (.) se tiene que d(g ω)(b)(w,...,w p+ ) = d ( (f g) f ω ) (b)(w,...,w p+ ) = (f g) d(f ω)(b)(w,...,w p+ ) = d(f ω)(a)(u,...,u p+ ), así que la definición de dω es independiente del sistema de coordenadas. 2. Orientación En esta sección definimos una orientación en una variedad diferenciable, extendiendo el concepto de orientación en R n. Recordemos que una orientación en un espacio vectorial V de dimensión n es una clase de equivalencia de bases ordenadas [v,...,v n ], donde si sólo si [v,...,v n ] [u,...,u n ] Φ(v,...,v n ) Φ(u,...,u n )
2. Orientación 25 para toda Φ Λ n (V ); es decir, Φ(v,...,v n ) Φ(u,...,u n ) tienen el mismo signo para cualquier Φ Λ n (V ). Entonces, cada espacio vectorial V tiene dos orientaciones posibles. Definición.5. Sea M una variedad diferenciable en R n de dimensión k. Para cada x M, escogemos una orientación de M x, la cual denotaremos por µ x. Decimos que la selección {µ x } x M es consistente si, para cada x M, existe un sistema coordenado f : U V tal que, para cada U, µ f() = [f ((e ) ),...,f ((e k ) )]. Si es posible elegir orientaciones consistentes en M, decimos que M es orientable, una particular selección {µ x } se le denomina orientación de M, la cual denotaremos simplemente por µ. Si µ es una orientación de M el sistema coordenado f : U V satisface µ f() = [f ((e ) ),...,f ((e k ) )] para todo U, decimos que f preserva orientación. Ejemplo.6 (La esfera S 2 ). Consideremos la esfera S 2 en R 3. Para cada punto S 2, z ±, escogemos la orientación [ xz ] µ = x, z z 2 En los polos (,, ) (,, ) escogemos [ µ (,,) =, [ µ (,, ) = (,,) (,, ), (,,) ] (,, ) Mostraremos que esta selección de orientaciones en S 2 es consistente, por lo tanto, S 2 es orientable. Sea (x,,z ) S 2. Supondremos, sin pérdida de generalidad, que z >. Sea f : U V el sistema coordenado en S 2, definido en el ejemplo.9, con U = {(x,) R 2 : x 2 + 2 < }, V = R 3, f(x,) = (x,, (x 2 + 2 )). ].
26. Orientación Entonces, para cada (x,) U, tenemos que comparar [ D f (x,) D 2 f (x,) [f ((e ) (x,) ),f ((e 2 ) (x,) )] = D f 2 (x,), D 2 f 2 (x,) D f 3 (x,) D 2 f 3 (x,) con µ f(x,) definida anteriormente. f(x,) Para esto, escogemos la 2-forma diferencial ω dada por ω = xd dz + dz dx + zdx d, para cada S 2. Notamos que, si u,v S 2, entonces Si z ±, entonces ω( x mientras que x u v ω(u,v) = det u 2 v 2. z u 3 v 3 ( ω(,,) = ( ω(,, ) =, xz z z 2 (,,) (,, ),, ) (,,) = x 2 + 2 >, ) (,, ) = 2 ) = 2, f(x,) por lo que, en particular, ω es positiva en las orientaciones µ f(x,), para todo (x, ) U. Por lo tanto, tenemos que mostrar que ω es positiva en en [f ((e ) (x,) ),f ((e 2 ) (x,) )], es decir ω(f(x,))(f ((e ) (x,) ),f ((e 2 ) (x,) )) para todo (x, ) U. Pero, f ((e ) (x,) ) = x,f ((e 2 ) (x,) ) = (x 2 + 2 ) (x 2 + 2 ) ]
2. Orientación 27 por lo tanto w(f(x,))(f ((e ) (x,) ),f ((e 2 ) (x,) )) x = det (x 2 + 2 x ) (x 2 + 2 ) (x 2 + 2 ) = (x 2 + 2 ) >. Ejemplo.7 (Banda de Möbius). La banda de Möbius es el conjunto M = f([,] [,2π]), donde f : [,] [,2π] R 3 está dada por f(r,θ) = ( (4 + r cos(θ/2))cos θ,(4 + r cos(θ/2))sen θ,r sen(θ/2) ). M no es una variedad orientable. Figura 2. La banda de Möbius no es una variedad orientable Si f : U V g : U V, son dos sistemas coordenados que preservan orientación f(a) = g(b) = x, entonces [f (e ) a,...,f (e k ) a ] = [g (e ) b,...,g (e k ) b ]. Es decir, si escribimos cada vector g (e i ) b M x en la base [f (e ) a,..., f (e k ) a ], digamos k g (e i ) b = α i j f (e j ) a, j=
28. Orientación entonces det(α i j ) >. Sin embargo, para cada i, (e i ) b = k j= α i j g f (e j ) a = por la regla de la cadena, entonces k α i j (g f) (e j ) a, j= [(e ) b,...,(e k ) b ] = [(g f) (e ) a,...,(g f) (e k ) a ], es decir, det(g f) (a) >. Esto motiva el siguiente teorema. Teorema.8. Sea M R n una variedad diferenciable de dimensión k. Si existe una colección f α : U α V α de sistemas coordenados en M tal que. la colección {V α } es una cubierta de M; 2. si V α V β, entonces det(f β f α ) () > para cada fα (U β), entonces M es orientable. Demostración. Construímos la orientación µ en M de la siguiente forma: para x M, escogemos α tal que x V α, lo cual es posible porque {V α } es una cubierta de M, entonces seleccionamos la orientación de M x dada por, si x = f α (a), µ x = [(f α ) (e ) a,...,(f α ) (e k ) a ]. Sólo tenemos que mostrar que µ x está bien definida, es decir, si β es tal que x V β, entonces [(f α ) (e ) a,...,(f α ) (e k ) a ] = [(f β ) (e ) b,...,(f β ) (e k ) b ], si x = f β (b). Pero, por las observaciones anteriores, esto es equivalente a det(f β f α ) (a) >, lo cual es una de las hipótesis del teorema. Entonces µ está bien definida, obviamente es consistente, por su construcción. 3. Orientación inducida en M En esta sección estudiaremos la orientación inducida en la frontera de una variedad. En particular, mostraremos que, si M es una variedad orientable con frontera M, entonces M es también orientable. Sea M R n una variedad diferenciable de dimensión k con frontera M, sea x M. ( M) x es un subespacio de dimensión k de M x, así que ( M) x es de dimensión. Entonces existen 2 vectores u,v ( M) x tales que u = v =, de hecho u = v.
3. Orientación inducida en M 29 Sea f : U V un sistema de coordenadas alrededor de x, f(a) = x sean û, ˆv R k a tales que f (û) = u f (ˆv) = v. Como û = ˆv, sólo uno de ellos satisface û k < ó v k <, como se ve en la figura 3. f M V u v U ^v u^ Figura 3. Definición del vector normal en x M. u, v ( M) x, û, ˆv satisfacen f (û) = u f (ˆv) = v. Si ˆv k <, entonces definimos el vector unitario normal en x como f (ˆv) = v, lo denotamos por ν x. Proposición.9. La definición del vector unitario nomral ν x es independiente del sistema de coordendas. Demostración. Sean f : U V g : U V dos sistemas coordenados alrededor de x M, x = f(a) = g(b), suponemos que f (ˆv) = v ( M) x ˆv k <. Sea w = g (v). Vamos a demostrar que w k <. Primero, observamos que entonces w = g w k = f (ˆv) = (g f) (ˆv), k D j (g f) kˆv j. j= Pero, para todo (,..., k,) U, (g f) k (,..., k,) =, así que, para j =,...,k, D j (g f) k (a) =. Ahora bien, como (g f)(u H k ) H k, entonces por lo tanto D k (g f) k (a) > w k = D k (g f) k (a)v k <.
2. Orientación Sea M R n una variedad orientable de dimensión con frontera M, sea µ una orientación en M. Para cada x M, sea ν x el vector unitario normal en x tomamos una base ordenada {v,...,v k } de M x tal que [ν x,v,...,v k ] = µ x. Entonces [v,...,v k ] define una orientación en M x. A esta orientación la llamamos µ x. Observación.. La orientación µ x definida anteriormente es independiente de la base v,...,v k. Es deir, si escogemos otra base w,...,w k de M x tal que [ν x,w,...,w k ] = µ x, entonces (Ejercicio 8.) [w,...,w k ] = [v,...,v k ]. Ejemplo. (La bola B 3 ). La bola B 3 R 3 es una variedad diferenciable de dimensión 3 con frontera B 3 = S 2, como lo habíamos observado anteriormente. Además, en el ejemplo.9, observamos que x (S 2 ) = gen z. Entonces, si escogemos en cada B 3 = R3 la orientación estándar de R 3 (regla de la mano derecha), entonces, como x xz det x z = x 2 + 2 > z z 2 si z ±, det = det = 2 >, entonces, la orientación del ejemplo.6 es la orientación inducida en S 2 = B 3 por la regla de la mano derecha en B 3. La orientación inducida en la esfera en el ejemplo anterior es consistente, como lo verificamos en el ejemplo.6. En general, la orientación inducida en M es consistente, como lo muestra la siguiente proposición. Proposición.2. Sea M R n una variedad diferenciable de dimensión k con frontera M, sea µ una orientación en M. Entonces la selección { µ x } es consistente en M. En otras palabras, M es orientable, con orientación µ.
Ejercicios 2 Proposición.4. Para cada x M, escogemos un sistema de coordenadas f x : U x V x, U R k, alrededor de x que preserva orientación. Es decir, para cada U. [(f x ) (e ),...,(f x ) (e k ) ] = µ f(), Entonces, los f x, x M, inducen sistemas coordenados f x : Ũx Ṽx tales que {Ṽx} x M es una cubierta de M, si Ṽx Ṽx 2 M, det((f x 2 f x ) ()) > para todo f x (U x2 ). Entonces, por el teorema.8, M es orientable, basta con observar que µ fx() = ( ) k [(f x ) (e ),...,(f x ) (e k ) ], para cada V x M. Ejercicios En los ejercicios -5, considera el cilindro infinito. Muestra que la función F = x es un campo vectorial en C. 2. Muestra que la selección µ = define una orientación en C. C = { R 3 : x 2 + 2 = }. 3. Muestra que C es la frontera del tubo, C, x T = { R 3 : x 2 + 2 }. 4. Calcula ν para cada C = T. 5. Muestra que la orientación estándar (regla de la mano derecha) en el tubo T induce en C = T la orientación µ del ejercicio 2.
22. Orientación 6. Considera ahora el cilindro finito C dado por C = { R 3 : x 2 + 2 =, z }. (Cf. ejercicio 2 del capítulo.) Calcula la orientación inducida en C por la orientación µ del ejercicio 2. (Nota que C no es conexa.) 7. Da un ejemplo de una variedad M no orientable tal que su frontera M es orientable. 8. Sea V un espacio vectorial de dimensión n, u V W = {u}. Muestra que si {u,...,u n } {v,...,v n } son dos bases de W tales que entonces [u,u,...,u n ] = [u,v,...,v n ], [u,...,u n ] = [v,...,v n ]. (Sugerencia: Escribe cada v i en la base {u j } muestra que el determinante de la matriz de cambio de base es positivo.)