FISICA I Unidad N : 3 - Cinemática

La clave para la inortalidad e principalente vivir una vida que valga la pena recordar (Bruce Lee) Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 1 de 6

Cineática La cineática e la raa de de la ecánica cláica que etudia la leye del oviiento de lo cuerpo in tener en cuenta la caua que lo producen, liitándoe, eencialente, al etudio de la trayectoria en función del tiepo. En cineática e utiliza un itea de coordenada para decribir la trayectoria, denoinado itea de referencia. La velocidad e el rito con que cabia la poición un cuerpo. La aceleración e el rito con que cabia u velocidad. La velocidad y la aceleración on la do principale cantidade que decriben cóo cabia u poición en función del tiepo. Un poco de hitoria Lo priero concepto obre Cineática e reontan al iglo XIV, particularente aquello que foran parte de la doctrina de la intenidad de la fora o teoría de lo cálculo. Eto dearrollo e deben a científico coo Willia Heytebury y Richard Swinehead, en Inglaterra, y a otro, coo Nicolá Oree, de la ecuela francea. Hacia el 1604, Galileo Galilei hizo u faoo etudio del oviiento de caída libre y de efera en plano inclinado a fin de coprender apecto del oviiento relevante en u tiepo, coo el oviiento de lo planeta y de la bala de cañón. Poteriorente, el etudio de la cicloide realizado por Evangelita Torricelli (1608-47), va configurando lo que e conocería coo Geoetría del Moviiento. El naciiento de la cineática oderna tiene lugar con la alocución de Pierre Varignon el 0 de enero de 1700 ante la Acadeia Real de la Ciencia de Parí. En eta ocaión define la noción de aceleración y uetra cóo e poible deducirla de la velocidad intantánea con la ayuda de un iple procediiento de cálculo diferencial. En la egunda itad del iglo XVIII e produjeron á contribucione por Jean Le Rond d'alebert, Leonhard Euler y André-Marie Apère, continuando con el enunciado de la ley fundaental del centro intantáneo de rotación en el oviiento plano, de Daniel Bernoulli (1700-178). El vocablo Cineática fue creado por André-Marie Apère (1775-1836), quien deliitó el contenido de la cineática y aclaró u poición dentro del capo de la ecánica. Dede entonce y hata nuetro día la cineática ha continuado u dearrollo hata adquirir una etructura propia. Con la teoría de la relatividad epecial de Albert Eintein en 1905 e inició una nueva etapa, la cineática relativita, donde el tiepo y el epacio no on aboluto, y í lo e la velocidad de la luz. El repoo y el oviiento Decio que un cuerpo eta en repoo, cuando antiene una poición invariable en el epacio repecto de un punto de referencia, a travé de un cierto tiepo. Decio que un cuerpo etá en oviiento cuando cabia de poición o de lugar en el epacio repecto de un punto de referencia, a travé de cierto tiepo. Diálogo en un tren: Do aigo viajan en el rápido de Bueno Aire a Roario. Uno de ello dice: - En que etará penando ee eñor, que dede que alio de Bueno Aire ira por la ventanilla y no e ha ovido para nada? El otro e un fíico y iente guto por la dicuión, por la definicione precia, y un poco tabién por la broa. Le reponde: Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. de 6

- Cóo que no e ha ovido? Lleva recorrido uno 30K a razón de 100 kilóetro por hora! - Vao! Quiero decir que él no e ha ovido, que dede que epezó el viaje, ha etado clavado en u aiento, irando por la ventanilla, in overe una ola vez para nada. Etá claro? - No te enoje. Má bien debería avergonzarte de eplear la palabra tan a la ligera. - No entiendo - Eto de hablar de overe o no overe en coa peligroa; la palabra deben epleare con uo cuidado. En prier lugar, fíjate que la dicuión epezó porque olvidate decir algo uy, pero uy iportante. - De qué e olvidé? - Te olvidate de aclarar con repecto a qué, oye bien, con repecto a qué ee eñor no e había ovido. Reflexiona, que ee detalle e de iportancia deciiva. En efecto: el eñor no e ha ovido repecto del vagón, con relación al vagón, a u aiento, a la ventanilla, i quiere. Pero en cabio e ha ovido, y de qué anera!, con relación a la ciudad de Bueno Aire. Se ha ovido por lo eno 30 kilóetro, o ya 34, porque eta dicuión debe de llevar ya uno 4 kilóetro, i i reloj y i ojo no e engañan. - Bah! todo eo on utileza y afán de dicutir porque í. No e va a decir que toda ea palabrería tiene iportancia. - cuidado! Mucho grande decubriiento de la fíica fueron hecho gracia a análii coo eté, que tú califica de palabrería. Si upiera lo que Galileo y Newton y Eintein aprovecharon de dicuione aí...! - Bien, eñor profeor, gracia por la lección. Quiere decire, entonce, de que anera hay que expreare para no ucitar la ira de fíico o ingeniero o atrónoo? - No tengo ningún inconveniente. Má, todavía: etoy dipueto a confear que experientaré un gran placer, pero con la condición de que reponda cada vez que te haga una pregunta. Te quiero probar que tú io ere capaz de acar conecuencia intereante. - A ver... - Priero, upongao que etá en un andén de una etación, adonde ha ido para depedir a tu failia. Cóo abe que el tren e pone en oviiento? - Pue, porque veo que la rueda epiezan a overe. - No hay neceidad de ver la rueda. Eo no e lo iportante. Adeá, la rueda podrían girar y patinar en el io lugar, de odo que el tren quedaría en repoo. - Pue... ipleente, porque e aleja. - Etao de acuerdo, pero i agrega un detalle. Se aleja de quien? Repecto a qué? Con relación a qué? - Pue, porque e aleja de í, con repecto a í, con relación a í. - Muy bien; progrea. Veao i ere capaz, ahora, de decire Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 3 de 6

cuándo un cuerpo cualquiera etá en oviiento. - Muy encillo. Un cuerpo etá en oviiento cuando auenta u ditancia repecto a un hobre que etá en un lugar. - Batante bien, pero con do defecto. - Cuále on? - Prier defecto: egún tu definición, el tren e overía cuando e va, pero no cuando viene. - Me olvidé, claro. Habría que decir cuando auenta o diinuye u ditancia. - Sí. Pero, ahora viene el egundo defecto. Según tu definición, el tren ólo e ueve i hay un hobre parado en la etación. Y i no hubiera nadie, el tren no e overía lo io? - Bueno, claro que no e neceario que haya ningún hobre allí. - Entonce, cóo te parece que ería correcto decir? - Un cuerpo etá en oviiento, cuando auenta o diinuye u ditancia repecto a un punto fijo. - Muy bien, batante bien para un aficionado. Fíjate, in ebargo, que el problea no queda todavía reuelto. Hay ucho que hablar. - Cóo! Todavía? - Ya lo creo. Queda algo uy iportante, de enore iportancia, Quién e ueve, el tren o la etación? - Etá broeando...! - Hablo en erio. - No é adonde quiere ir a parar con ea pregunta de loco, pero te reponderá coo i fuera una pregunta cuerda. E el tren el que e ueve. - Aí que la etación etá en repoo, no? - Por upueto. - Y no e te ha ocurrido penar que la etación etá intalada en un planeta que e ueve vertiginoaente por lo epacio iderale? Aquí el aigo del fíico e llevó la ano derecha al entón, frunció el entrecejo, reflexionó, y finalente dijo, cai con pavor: - Caraba! Me parece que lo ejor en la vida ería no pronunciar una ola palabra. Creo que todo e terribleente difícil. Me acaba de hacer ver algo increíble... En efecto... claro... Entonce, i la etación etá obre la Tierra, y i la Tierra gira y e tralada vertiginoaente en el epacio... diablo... E la ia coa de hoy, con el eñor ée y la ventanilla y la etación... Etao coo al coienzo... Por el aor de Dio! Me puede decir qué e lo verdadero y qué e lo falo? Quién e ueve? Quién etá en repoo? Ya no entiendo nada. - Ahora tiene un verdadero interé; ahora no etá fatidiado por la palabrería, no e aí? - Lo confieo. Me uero de curioidad. - Muy bien. Coo decía un filóofo griego, el aobro e la adre de la abiduría. Hay que epezar por aobrare y preguntar, coo lo chico, por qué?, por qué? - Bueno; reponde de una buena vez. - Pue, en cierto odo, la repueta e uy iple. Todo lo oviiento on relativo, e decir, con relación a algo, a un punto. Por ejeplo, para epezar con nuetro eñor, el que originó la dicuión, ee eñor etá en repoo con relación al vagón, pero tabién podeo invertir la frae diciendo que el vagón etá en repoo con relación al eñor. Pero ee eñor etá en oviiento con repecto a la etación... - De odo que alguien puede etar a la vez en repoo y en oviiento? - Exacto. Todo depende del punto de referencia que e elija coo fijo. Coo decía ee eñor e ueve repecto a la etación, coniderada coo fija, pero Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 4 de 6

tabién e lícito decir lo invero: que la etación e ueve repecto a ee eñor, coniderándolo a él coo fijo. No hay á derecho a decir lo priero que lo egundo, pue la etación no e ningún ente privilegiado, ya que pierde inediataente u jerarquía o u iportancia en cuanto penao en el Sol o la etrella. Acao la etación etá en repoo repecto al Sol? De ningún odo. - Entonce? - Entonce, i quereo er verídico y no decir á que lo que debeo decir, habrá que definir el oviiento de eta anera... - Un oento, intentaré hacerlo yo. - Veao... - Yo diría que un cuerpo etá en oviiento con relación a un punto elegido coo fijo, cuando auenta o diinuye u ditancia repecto a ee punto. - Magnífico! Se puede todavía hacer una iplificación. En fíica hay que eplear iepre el ínio de palabra, y acá obran do. - A ver... Ya é!: Un cuerpo etá en oviiento con relación a un punto fijo, cuando varía e ditancia a ee punto. - Muy bien. Ahora tú io puede extraer alguna concluione batante curioa obre fenóeno que on bien conocido. Qué e podría decir obre do trene expreo que corren el uno al lado del otro, en la ia dirección, en el io entido, y con la ia velocidad? - Que un tren etá en repoo con repecto al otro. - Perfecto. Qué e podría decir i uno de eo trene e ueve a 100 kilóetro por hora y el otro a 90? - Que el priero e ueve 10 kilóetro por hora con relación al egundo. - Magnífico! Creo que la lección ha ido provechoa. Puede entare, joven. Le pondré diez punto. - Un oento eñor profeor! Me parece que la definición que uted acepta tiene un defecto. - Eto í eta bueno! Aí e, tiene un defecto. Si ha dado en el clavo, reultará ejor aluno de lo que yo eperaba. Cuál e el defecto? - Qué paa i revoleo una piedra y elijo coo punto fijo i hobro? La piedra recorre una circunferencia cuyo centro e i hobro. La ditancia de la piedra a i hobro no varía, y in ebargo, la piedra e ueve... - Ée e el defecto. Para definir el oviiento con toda preciión, debe elegir, no un punto de referencia, ino un itea de coordenada. Pero, recuerda lo que e un itea de coordenada? - Sí... tre recta que e cortan en un io punto. - Y cada una perpendicular a la otra do. Coo la arita de la parede de una habitación que concurren a un io rincón. Y ahora, en lugar de decir: Un cuerpo etá en oviiento con relación a un punto cuando varía u ditancia repecto a ee punto. - Déjaelo decir a í: Un cuerpo etá en oviiento con repecto a un itea de coordenada, elegido coo fijo, cuando varían... u coordenada! - Bueno, hobre, ahora tendría que ponerte diez y felicitarte... Definición de oviiento: Un cuerpo etá en oviiento con repecto a un itea de coordenada elegido coo fijo, cuando u coordenada varían a edida que trancurre el tiepo. Trayectoria La ditinta poicione que un cuerpo va ocupando a travé del tiepo, e denoina trayectoria eguida por un cuerpo. Se puede definir tabién coo la figura forada por lo ditinto punto que va ocupando el cuerpo a edida que trancurre el tiepo. Lo cuerpo (o óvile), pueden realizar divera clae de trayectoria, por ejeplo: Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 5 de 6

- Rectilínea. - Parabólica. - Circular. - Elíptica. - Irregular. Moviiento de tralación Un cuerpo tiene un oviiento de tralación, cuando un egento de él e antiene paralelo a i io durante todo el oviiento. Z B A Y B X A Moviiento de rotación Un cuerpo tiene un oviiento de rotación cuando: a) Su punto decriben circunferencia. b) La circunferencia tienen u centro obre una ia recta. c) Eta recta, llaada eje de rotación, e perpendicular a lo plano de la circunferencia. Si e trata de una figura plana que gira en u propio plano, la circunferencia on concéntrica. Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 6 de 6

Rapidez E el ódulo del vector velocidad, e una cantidad ecalar. No poee dirección ni entido. Rapidez intantánea: Un auto no e deplaza iepre con la ia rapidez. El auto puede recorrer cierta calle a 40 K/h, reducir u velocidad hata 0K/h en un eáforo y luego auentarla a ólo 30K/h a caua del tráfico. Se puede aber la rapidez de un vehículo en cualquier oento irando el velocíetro del io. La rapidez en cualquier intante e conoce coo rapidez intantánea. Rapidez proedio: Cuando alguien planea realizar un viaje en auto, a enudo le interea aber cuanto tiepo le toará recorrer cierta ditancia. Dede luego, el auto no viajará con la ia rapidez durante todo el recorrido. Al conductor le interea ólo la rapidez proedio para la totalidad de trayecto. La rapidez proedio e define de la iguiente anera: Rapidez. Pr oedio = Di tan cia. total. recorrida Intervalo. de. tiepo. epleado Por ejeplo i recorreo 50K en 5 hora vereo que: Rapidez proedio = 50K = 50K/h 5h Velocidad La rapidez proedio uele er uy diferente a la rapidez intantánea. En el lenguaje diario epleao la palabra rapidez y velocidad en fora inditinta. En fíica haceo una ditinción entre ella. Cuando decio que un auto viaja a 60K/h etao indicando u rapidez. Pero i decio que un vehículo e deplaza a 60K/h hacia el norte obre la ruta 8, etao epecificando u velocidad. La rapidez qué tan a pria e deplaza un objeto; la velocidad no indica qué tan a pria lo hace y en qué dirección y entido. La velocidad e nuéricaente igual al cociente entre la ditancia recorrida por el óvil (o epacio) y el tiepo epleado en recorrerla. E una agnitud vectorial cuyo ódulo e la velocidad nuérica, u dirección e tangente a la trayectoria y u entido e el del oviiento en el punto coniderado y e repreenta con la letra v. e v = t Dependiendo de la caracterítica de la velocidad y la trayectoria que igue un cuerpo e pueden preentar ditinto tipo de oviiento. Por ejeplo para oviiento rectilíneo, e decir, para oviiento cuya trayectoria igue línea recta, podeo ditinguir en principio do tipo en función de la caracterítica de u velocidad: - Moviiento Rectilíneo Unifore (MRU). - Moviiento Rectilíneo Uniforeente Variado (MRUV). Moviiento Rectilíneo Unifore (MRU) Se denoina rectilíneo porque u trayectoria e correponde con una línea recta y unifore porque u velocidad no varía repecto al tiepo. Se dice que un oviiento e unifore cuando el óvil recorre ditancia iguale en tiepo iguale. Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 7 de 6

Coo e indicó en la fórula anterior la velocidad e directaente proporcional a la ditancia recorrida e inveraente proporcional al tiepo epleado en recorrerla y que ea relación e iepre contante. La única fora en ete tipo de oviiento e: e v = t Unidade de la velocidad: k c v = ; ; h Equivalencia entre unidade y paaje de unidade Una de la fora para paar entre unidade, e aplicando la regla que uetra la iguiente gráfica: Donde: Si no piden paar de c 1 a, debeo ultiplicar por y i de no piden paar a 100 k debeo ultiplicar por 3,6, coo uetra la gráfica. h Ejeplo de aplicación 1: Paar c k 10 a y a. h 1) Siguiendo lo que no indica el gráfico, debeo ultiplicar a lo c 10. 1 100 = 0,1 ) El egundo punto no pide paar lo 0,1.3,6 = k 0,36 h c 10 a c 1 10 por : 100 k, entonce aprovechando el paaje anterior haceo: h Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 8 de 6

Exite otra anera que no perite realizar lo diferente paaje de unidade, in tener que recurrir a la eoria o a la gráfica. Eta otra fora e realiza iguiendo eto pao: Ejeplo de aplicación : Paar k 100 a. h k Coo no pide paar de a, vao a dividir por 1 Kilóetro y ultiplicar por u equivalente h en etro (1k = 1000); de eta anera e iplifican lo k y obteneo. Pero aún eguio teniendo en el denoinador la hora (h); para iplificarla debereo ultiplicar por 1 hora y dividir por el equivalente de 1 hora en egundo (1h = 3600), ahora í la unidad final e la que no pide el enunciado del ejercicio. k 1000 1h 100.. h 1k 3600 = 7,78 coo reultado Se puede verificar con la gráfica la cual no indica ultiplicar lo 7,78. k 100 por h En í el procediiento del étodo e puede reuir de la iguiente anera: 1, lo que no dará 3,6 - Para el nuerador: Multiplico por la unidad que quiero obtener y divido por la que tengo, iepre repetando la equivalencia (1k = 1000; 1 = 100c). - Para el denoinador: Divido por la unidad que quiero obtener y ultiplico por la unidad que tengo, iepre repetando la equivalencia (1h = 60in; 1in=60; 1h=3600). Velocidad intantánea E la velocidad que poee un cuerpo en un intervalo de tiepo uy pequeño, cuando t 0 variación de tiepo) t = tf ti donde: tf= tiepo final. ti= tiepo inicial. Leye del oviiento unifore 1) La velocidad peranece contante a lo largo del tiepo. ) El epacio recorrido e directaente proporcional al tiepo. Gráfico caracterítico del oviiento ( t e Todo lo tipo de oviiento e pueden graficar en lo eje carteiano. Lo gráfico correpondiente a ete oviiento (MRU) on: Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 9 de 6

- v(t) Velocidad en función del tiepo. - e(t) Epacio en función del tiepo. (en alguna bibliografía aparece coo d(t); ditancia en función del tiepo, por coodidad nootro utilizareo e(t)). En el eje de la abcia o de la x e coloca el tiepo, ya que t e la variable independiente en Fíica, pue e la única agnitud que nootro no podeo odificar. Ejeplo: Hareo la gráfica correpondiente a un óvil que e deplaza con una inuto. v = 10 durante un Obervacione: - El área encerrada entre la recta de la gráfica (de velocidad en función del tiepo) y el eje de la abcia en el intervalo coprendido entre 0 y 60, repreenta el epacio recorrido por el óvil en el encionado intervalo de tiepo. - La inclinación (α ) de la recta en la gráfica de epacio (o ditancia) en función del tiepo, edida por el cociente t e, caracteriza a la velocidad. Cuanto ayor ea el ánguloα, ayor erá la velocidad y vicevera. Tabla de velocidade proedio: Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 10 de 6

Ejeplo de aplicación 3: Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 11 de 6

Problea de encuentro Son problea en donde intervienen do o á cuerpo y poeen la dificultad de tener que calcular lo tiepo y ditancia recorrida por á de un cuerpo iultáneaente, por lo general en eto problea e dan una deterinada cantidad de dato y e uele pedir que e calcule el oento en que e encuentran lo cuerpo o bien el lugar de encuentro. Se podrían hacer varia ditincione entre lo diferente tipo de problea de encuentro, por ahora, olo en MRU, vao a ver do tipo de problea de encuentro: Cuando lo cuerpo van en la ia dirección y entido. (Perecución). Cuando lo cuerpo tienen velocidade con entido contrario. (Tipo choque) Para reolver ete tipo de problea debeo plantear lo que e conoce coo la ecuacione horaria del oviiento. Eta ecuacione parten de la fórula ya vita e v = e = v. t t Lo que cabia, e que al epacio e lo expreareo coo: poición inicial (eo). Y al tiepo trancurrido t lo expreareo coo: inicial (to). Por lo que la ecuación horaria en MRU erá: ef eo = v.( tf to) Si depejao ef queda: ef = eo + v.( tf to) ef eo ; o ea poición final (ef) eno tf to ; o ea tiepo final (tf) eno tiepo Por últio, cabe aclarar que en lo problea de encuentro, la poicione finale de lo óvile deben coincidir, ya que uponeo que en ee io intante etán en el io lugar. Por lo tanto lo procediiento ateático para reolver eto problea e baarán ayoritariaente en igualar ef y tf. Veao entonce coo e reuelve un problea típico de encuentro. Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 1 de 6

Ejeplo de aplicación 4: Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 13 de 6

Moviiento Rectilíneo Uniforeente Variado (MRUV) Se denoina rectilíneo porque u trayectoria e una línea recta y e denoina uniforeente variado porque u velocidad varía en fora contante. Podeo odificar el etado de oviiento de un objeto cabiando u rapidez, u dirección de oviiento, o aba coa. Cualquiera de eto cabio contituye un cabio de velocidad. En ocaione no interea aber que tan a pria cabia la velocidad. Velocidad edia Se la define coo el valor del cociente entre el epacio recorrido en un intervalo cualquiera y el tiepo epleado en recorrerlo. ef V = tf e t 0 0 La velocidad edia de un oviiento variado e la velocidad del óvil que, con oviiento unifore, recorrería el io epacio total en el io intervalo de tiepo. Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 14 de 6

Aceleración Se la define coo la rapidez con que cabia la velocidad de un óvil, y e calcula de la iguiente anera: Vf a = tf V t 0 0 V a = t Donde: a: aceleración. Vf: velocidad final. Vo: velocidad inicial. tf: tiepo final. to: tiepo inicial. La unidade de la aceleración urgen de efectuar el cociente entre la unidade de velocidad y la unidade de tiepo: c k ; ;. h Con la expreión que no perite calcular la aceleración podeo realizar el iguiente razonaiento: - Si Vf > Vo entonce a + (oviiento acelerado). - Si Vf < Vo entonce a (oviiento retardado o deacelerado). E uy coún utilizar la fórula de velocidad final, abiendo la aceleración, la velocidad inicial y el tiepo trancurrido. Vf = Vo+a.t Por otro lado partiendo de la expreión para el cálculo de la aceleración podeo decir que: - Si Vi = 0 y ti = 0 => V a =, depejando V no queda: V = a. t t Para calcular epacio o ditancia en ete oviiento e utiliza la expreión: 1 e = Vo. t + a. t Si el problea indica que e parte del repoo, e conidera que la velocidad inicial Vo e nula o ea: Vo = 0 y en ee cao e anula el prier térino de la ecuación de epacio. Gráfica del MRUV 1 1 1 e = Vo t =. + a. t e = 0 + a. t e a t En ete oviiento e pueden repreentar tre gráfica diferente: a(t) aceleración en función del tiepo. Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 15 de 6.

v(t) velocidad en función del tiepo. e(t) epacio en función del tiepo. Gráfica de la aceleración Gráfica de la velocidad Gráfica del epacio Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 16 de 6

Ejeplo de aplicación 5: Un conductor e encuentra parado con u vehículo en un eáforo en rojo, al ver la luz verde aprieta el acelerador y produce durante 4 egundo una aceleración contante de Se pide: 5. a) Qué epacio recorrió en eo 4 egundo? b) Qué velocidad alcanzó al cabo de eo 4 egundo? c) Si luego de eo 4 egundo, antuvo la velocidad alcanzada durante 10 egundo. Cuánto epacio recorrió en lo 14 egundo totale? d) Graficar el epacio y la velocidad en función del tiepo del punto c. Coo prier pao debeo entender de qué tipo de oviiento etao hablando, egún el enunciado e claro que e trata de MRUV, ya que e rectilíneo y la velocidad auenta en fora contante. El punto a, no pide hallar el epacio recorrido en 4 egundo, entonce debeo aplicar la fórula para el cálculo del epacio en MRUV, que coo ya vio e: 1 e = v0. t + a. t Reeplazando en la ia lo valore de a, de t y de Vo (e 0 porque parte del repoo) que on dato: 1 1 5 e = v0. t + a. t e = 0.4 +.5.(4) e =.. 16 e = 40 Para el punto b, no pide calcular la velocidad adquirida por el vehículo al cabo de eo 4 egundo. Para ello utilizareo la fórula de velocidad para MRUV. Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 17 de 6

vf = vo + a. t reeplazando lo valore de a de Vo y de t dado no queda: vf = 0 + 5. 4 vf = 0 Por últio vao a calcular lo que no pide en el punto c, abeo que durante lo priero 4 egundo el vehículo e deplazó con MRUV, luego lo próxio 10 egundo e deplazó con velocidad contante o ea con MRU, por lo que la velocidad del MRU erá la velocidad final alcanzada en el MRUV, que coo e calculó en el punto anterior e de 0. Calculeo entonce el epacio recorrido en ete últio trao, utilizando la fórula de epacio para MRU: e = v. t e = 0. 10 e = 00 Lo que no pide el ejercicio e calcular el epacio recorrido total durante lo 14 egundo, e decir, el recorrido en el MRUV y en el MRU, para ello debeo uar abo epacio. et = eruv + eru et = 40 + 00 e t = 40 Por últio para verlo ejor, graficareo el epacio y la velocidad en función del tiepo coo no pide el punto d. Leye del oviiento uniforeente variado 1) La aceleración e única y no varía a lo largo del tiepo. Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 18 de 6

) La velocidad e directaente proporcional al tiepo. 3) El epacio e directaente proporcional al cuadrado del tiepo. Caída libre de lo cuerpo Una anzana cae de un árbol Se acelera durante la caída? Sabeo que parte del repoo y adquiere rapidez confore cae. Lo intuio porque podríao atraparla in hacerno daño depué de una caída de uno o do etro, pero no i cae dede un helicóptero que vuela a gran altura. Aí pue, la anzana adquiere á rapidez durante el tiepo en que cae dede una gran altura que durante el tiepo á breve que le toa caer dede un etro. Ete auento de rapidez indica que la anzana e acelera al caer. La caída libre de lo cuerpo e un ejeplo concreto de oviiento uniforeente acelerado, donde la velocidad inicial iepre e cero. Todo lo cuerpo on atraído por la Tierra con una cierta fuerza que e denoina fuerza de gravedad. Eta fuerza contante, origina obre lo cuerpo al caer, una aceleración tabién contante denoinada aceleración del capo gravitatorio terretre o ipleente aceleración de la gravedad, ibolizándola con la letra g. En la vida real la reitencia del aire afecta la aceleración de un objeto que cae. Iagineo que el aire no opone reitencia y que la fuerza de gravedad e el único factor que afecta la caída de un cuerpo, decio entonce que el cuerpo eta en caída libre. Generalizando, podríao decir que el valor de la aceleración de la gravedad depende de la latitud del lugar donde no encontreo. En el Ecuador el valor e: g 9,78 En lo polo e valor e: g 9,83 En Bueno Aire puede toare con batante aproxiación el valor de g 9,80. Por otro lado e ha convenido en toar coo valor noralizado al que correpondería a 45 de latitud a nivel del ar, iendo ete valor g 9,81. Tabién podeo decir que la aceleración de la gravedad varía con la altura a la cual e realiza la experiencia. Peneo que la aceleración de la gravedad e una conecuencia de la fuerza de atracción que ejerce la Tierra obre lo cuerpo, cuanto á no alejao de la uperficie terretre enor erá el valor de dicha fuerza y por lo tanto tabién erá enor la aceleración de la gravedad. Coo la aceleración e la de la gravedad y la velocidad inicial e cero, la fórula para la caída libre on: vf g = y t 1 t h = g. donde h: e la altura en lugar de epacio. Otra fórula útil en caída libre e la que no poibilita calcular el tiepo: t =. h g Experiencia de Galileo Dede la cia de la torre de Pia Gaileo, deja caer do cuerpo con idéntica fora pero de diferente peo, uno de ello peaba 1 libra y el otro peaba 10 libra. Lo aitente de Galileo que e encontraban en la bae de la torre, vieron con aobro coo lo do cuerpo tocaban tierra en el io intante. Alguno adverario de Galileo forularon la iguiente pregunta: Por qué una plua de ave cae á lentaente que una piedra? Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 19 de 6

A lo que Galileo repondió, que la caua de la deigualdad de velocidade e la preencia de aire, que opone reitencia a la caída de todo lo cuerpo. Por eta razón lo do cuerpo que él arrojó dede la torre de Pia tenían idéntica fora y taaño, pue eran do efera de igual radio. Má adelante e pudo realizar la experiencia en la boba de vacío y e pudo coprobar que galileo tenía razón. En el vacío, una plua y una piedra caen con la ia velocidad En reuen podeo decir: Do cuerpo cualequiera, que e dejen caer iultáneaente en el vacío, van cayendo iepre junto, con velocidade iguale Ejeplo de aplicación 6: Calcular el tiepo que tarda en llegar al pio un cuerpo que e deja caer dede la terraza de una caa a una altura de 1. Calcular tabién la velocidad con la que cae al pio. t = Coo prier pao para calcula el tiepo que tarda el cuerpo en llegar al pio utilizao la fórula:. h.1 4 t = t = t = 1, 56 g 9,81 9, 81 Luego para calcular la velocidad final con la que llega al pio aplicao: vf = g. t vf = 9,81.1, 56 vf = 15, 3 Tiro vertical Se denoina aí al oviiento que decribe un objeto que e lanza verticalente hacia arriba. Para que un objeto uba e neceario ipriirle una velocidad, denoinada velocidad inicial (vo), la ia va diinuyendo hata llegar a er cero o nula (vf= 0), cuando el cuerpo alcanza lo que e denoina altura áxia. Se trata de un oviiento rectilíneo uniforeente deacelerado, ya que u dirección e contraria a la de la fuerza de la gravedad. Su fórula on: ( vf v0 ) g =, donde g e negativa porque la gravedad va en contra del oviiento. t 1 h = v0. t g. t, exite una fórula derivada de eta do que no perite calcular el tiepo que tarda el cuerpo en alcanzar la altura áxia (háx). v 0 t háx =, por últio i no conoceo el tiepo y e quiere averiguar la altura áxia alcanzada por el g objeto, e pueden utilizar la iguiente fórula: Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 0 de 6

v0 h áx =. g. h v0. g áx = Ejeplo de aplicación 7: Con qué velocidad debeo lanzar verticalente una piedra hacia arriba para que alcance una altura de 0? En ete ejeplo podeo aplicar directaente la fórula de vo en función de la altura áxia: Ejeplo de aplicación 8: v = = 0. g. háx v0.9,81. 0 v0 = 19, 8 Qué altura alcanza una piedra lanzada verticalente hacia arriba con una velocidad de 100 K/h? Lo priero que hago e paar el dato velocidad a /: Moviiento circular unifore (MCU) Un cuerpo decribe un oviiento circular unifore (MCU), cuando u trayectoria e una circunferencia y recorre arco iguale en tiepo iguale (rapidez contante). Cabe recordar que arco iguale correponden a ángulo centrale iguale. Ete oviiento tabién recibe el nobre de oviiento de rotación o oviiento angular. Ejeplo: La rotación de la tierra alrededor de u eje. Una piedra atada al extreo de una oga y que e hace girar con velocidad contante. El tabor de un lavarropa centrífugo. Para poder dearrollar la fórula de ete oviiento repaareo lo itea de edición de ángulo á utilizado; el itea exageial donde lo ángulo e iden en grado y el itea de radiane, donde lo ángulo e iden en radián. Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 1 de 6

El itea que utilizao uualente e el itea exageial donde una vuelta copleta o giro equivale a 360, en fíica habitualente e utiliza el radián, que e la unidad angular en el Sitea Internacional. Mateáticaente el ángulo radián e calcula coo: l α = r Donde l e la longitud del arco de circunferencia, r e el radio de la circunferencia y α e el ángulo central. Un radián e el ángulo cuyo radio e igual a la longitud de arco y correponde a un ángulo de aproxiadaente 57 17 44. El radián no poee unidade ya que e el cociente entre do longitude que deben etar expreada en la ia unidade. En alguno cao e iboliza al radián coo rad. En una circunferencia copleta l = π. r y i lo utituio en la fórula anterior no queda: Período. π.r 360 = r 360 =. π.rad Se denoina período al tiepo que eplea un objeto con MCU en decribir una circunferencia copleta. Se lo deterina con la letra T. T e una agnitud que e ide con la ia unidade del tiepo, para la ejercitación la á utilizada e el egundo. Ejeplo de aplicación 9: La tierra eplea 4h en realizar una rotación copleta obre u propio eje. Calcular el período de un punto obre la uperficie de la tierra en egundo. T 3600 = 4h. T = 86400 h Frecuencia Se denoina frecuencia a la cantidad de vuelta (tabién llaada revolucione) que recorre un objeto dotado con MCU en cada unidad de tiepo (egundo) y e la deigna con la letra f. 1 Su unidad e: f = La fórula que relaciona eta do agnitude e: T 1 = ó f f 1 =. T Ejeplo de aplicación 10: Un otor gira a razón de 400 rp (revolucione por inuto), cóo e debe exprear en egundo? f n. de. vuelta = egundo f 400. vuelta = 60 1 f = 40 Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. de 6

T = 1 T f Tarda en dar una vuelta copleta 0,05. Velocidad 1 = 40 1 T = 0, 05 Ete tipo de oviiento tiene en cuenta do tipo de velocidad diferente: velocidad angular y velocidad tangencial o lineal. Coo abeo la velocidad e la variación del epacio en la unidad de tiepo, entonce podeo definir de la iguiente anera lo diferente tipo de velocidad: a) Velocidad angular: e obtiene efectuando el cociente entre el ángulo decripto y el tiepo epleado en decribirlo. α ω =, u unidade on: t rad 1,,. Tabién puede epleare en lugar de grado, vuelta o revolucione por unidad de tiepo: Ejeplo de aplicación 11: Calcular la velocidad angular de la Tierra. vuelta revolucione ω = ; ω =. ó. RPM in uto 1/ Repreentación vectorial de la velocidad angular Eta velocidad en MCU, e puede repreentar por edio de un vector coincidente o paralelo al eje de rotación (W) y cuyo entido e el que tendrá un tirabuzón que avanza cuando e lo hace girar en el entido de la velocidad angular, ete vector poee la iguiente caracterítica: - Dirección: Perpendicular al plano de la trayectoria. - Sentido: Igual al del avance de un tirabuzón que gira en el entido en que gira el óvil. - Intenidad: un valor que repreenta la velocidad angular del oviiento. b) Velocidad tangencial: e la que repreenta la velocidad del óvil en cada intante, ediante un vector cuya dirección e tangente a la trayectoria, cuyo ódulo e igual a la velocidad nuérica y u entido e coincidente con el del oviiento. Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 3 de 6

v = arco tiepo Podeo calcular la velocidad tangencial o lineal y angular en función del período y la frecuencia. arco Sabiendo que: v = y teniendo en cuenta que el arco de circunferencia e. π. r y que el tiepo tiepo epleado en recorrerlo e el período, podeo ecribir:. π. r v = ó v. π. r. f T = (1) Cuando un óvil realiza un giro copleto, el ángulo barrido por el radio e de 360 ó π radiane y por lo tanto tabién podeo exprear la velocidad angular en función del período y la frecuencia. ángulo ω =, teniendo en cuenta que el ángulo barrido por el radio en una circunferencia e igual a π y tiepo que el tiepo epleado en recorrerlo e el período, podeo ecribir: ω = π ó ω =. π. f () T Reeplazando la expreión () en (1) podeo ecribir: v = ω.r en. Relación entre la do velocidade del oviiento E intereante detacar que en ete oviiento e decriben arco iguale en tiepo iguale, por lo que la velocidad nuérica peranece contante y en conecuencia la aceleración nuérica o tangencial e nula. Pero el vector velocidad no e contante, pue i bien el ódulo no varía, i e odifica peranenteente u dirección. Ejeplo de aplicación 1: 4c. Calcular la velocidad tangencial o lineal de un cuerpo que gira con un período de 0,8 iendo u radio Repreentación vectorial de la velocidad tangencial La velocidad lineal (v) e una agnitud vectorial, tangente a la trayectoria, en cada intante cabia de dirección. - Dirección: perpendicular al radio en cada punto. Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 4 de 6

- Intenidad: un valor que repreenta la velocidad lineal o tangencial del oviiento. - Sentido: igual al del avance de un tirabuzón que gira en el io entido en que gira el óvil. Aceleración Si bien la rapidez de un objeto con MCU e contante, por lo expueto anteriorente, u velocidad lineal no lo e, no varía el ódulo pero í u dirección. Eta circuntancia iplica la exitencia de una aceleración. Para que e odifique la dirección de la velocidad tangencial en cada punto de la trayectoria debe haber actuado otra velocidad con dirección y entido hacia el centro, que repreentao con el vector v, ete no indica que hay una variación de velocidad, y que i e toan arco lo uficienteente pequeño vereo que e perpendicular a la trayectoria, e decir dirigido hacia el centro de la curvatura. Por lo tanto exite una aceleración noral o centrípeta (hacia el centro), eta aceleración e calcula coo: a c = ω.r Otra expreione de la aceleración centrípeta e pueden hallar reeplazando la otra fórula del oviiento, obteniéndoe: v = ó a v r c = ω. a c E iportante rearcar que eta aceleración no odifica el ódulo, ino la dirección del vector velocidad. Repreentación gráfica del oviiento circular Fuerza centrípeta Si exite una aceleración centrípeta e porque exite una fuerza contante hacia el centro de rotación denoinada fuerza centrípeta actuando obre el óvil. Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 5 de 6

A eta fuerza centrípeta e le opone otra de igual intenidad y de entido contrario llaada fuerza centrífuga. En el cao de un autoóvil que toa una curva, la acción iultánea de aba fuerza, centrípeta y centrífuga, le periten recorrerla in inconveniente. En el cao de la piedra que gira atada al extreo de una oga, i eta e rope, la piedra no igue la dirección del radio, ino que ale depedida tangencialente a la circunferencia. Eto ocurre ya que al cortare la oga, cea la fuerza centrípeta y, por lo tanto, tabién la centrífuga, provocando que el cuerpo por inercia alga depedido tangencialente a u trayectoria. Web de interé y conulta: - http://www.educaplu.org/ovi/4_caidalibre.htl - http://www.walter-fendt.de/ph14/circotion_.ht - http://www.lawebdefiica.co/nivel/ecundaria.php Lo que abeo e una gota de agua; lo que ignorao e el océano (Iaac Newton) Profeor: Cazzaniga, Alejandro J. Fíica I E.T.N : 8 - República Francea Pág. 6 de 6