Los experimentos aleatorios originan resultados y los resultados nos permiten tomar decisiones Por ejemplo, en un partido de fútbol si se lanza una moneda y sale cara parte la visita, de lo contrario parte el local Por otro lado, del resultado del lanzamiento de una moneda se puede definir qué candidato debe declararse ganador en caso de que hayan obtenido igual votación Sin embargo, a pesar de que el propósito sea distinto cuando se lleva a cabo un experimento aleatorio, éste no cambia su comportamiento por el simple hecho que los propósitos cambien
Así, al llevar a cabo un experimento aleatorio, nuestro interés está en lo que denominaremos variable aleatoria Una variable aleatoria es aquella que asume valores de acuerdo con los resultados de un experimento aleatorio Por ejemplo, si lanzamos una moneda dos veces sabemos que el espacio muestral correspondiente a este experimento aleatorio es S = {cc, cs, sc, ss} Si de los resultados del lanzamiento de la moneda nos interesa el número de caras que se obtienen en los lanzamientos, entonces, definimos la variable aleatoria X = número de caras en los dos lanzamientos
Los valores posibles de esta variable son: X = 0, que se identifica con ss o lo que es lo mismo con el evento, A: se obtienen dos sellos X = 1, que se identifica con cs, sc o lo que es lo mismo con el evento, B: se obtiene una cara X = 2, que se identifica con cc o lo que es lo mismo con el evento, C: se obtienen dos caras Por lo anterior, se tiene que P(X = 0) = P(A) = 1/4, P(X = 1) = P(B) = 1/2, P(X = 2) = P(C) = 1/4 Estos resultados se pueden resumir en una tabla denominada distribución de probabilidad
En general, una distribución de probabilidad relaciona los valores que toma la variable aleatoria (X) con sus probabilidades respectivas (P) X 0 1 2 P = P(X = x) 1/4 1/2 1/4 En general, para cualquier distribución de probabilidad discreta, la suma de las probabilidades de todos los valores que pueda asumir la variable debe ser igual a 1 Una variable aleatoria discreta es aquella asociada a experimentos en que los distintos resultados se pueden dar de manera discreta, por lo tanto, sólo puede tomar algunos valores entre dos números dados
Por ejemplo, son variables aleatorias discretas: X = número de puntos que muestra la cara superior de un dado después de su lanzamiento Y = número de trabajadores que registran atrasos durante un mes determinado La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una tabla, gráfica, fórmula o cualquier otro medio que se usa para especificar todos los valores posibles de la variable, junto con sus respectivas probabilidades La tabla del ejemplo de la moneda que se lanza dos veces es una ilustración de este tipo de distribuciones
Una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X, que puede tomar los valores x i, i = 1,..., n; debe satisfacer lo siguiente: Todos los P i = P(X = x i ) 0 Y, como ya se había planteado, La probabilidad P(X x) = P(X i n = P 1 i 1 i = = x ); x Por ejemplo, la probabilidad de obtener 1 cara o menos es P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1/4 + 1/2 = 3/4 Esta probabilidad motiva el concepto de función de distribución acumulada (F X (x)), que es de suma importancia, especialmente cuando se estudian variables aleatorias continuas, y se define como: F X (x) = P(X x) k k k x i
La distribución de las variables discretas que se emplean en el estudio de problemas de interés se da generalmente mediante una fórmula y, en particular, la más frecuentemente usada es la distribución binomial Una variable aleatoria continua es aquella asociada a experimentos cuyos resultados se pueden dar de forma continua, por ejemplo, el peso de los seres humanos Por lo tanto, a diferencia de una variable aleatoria discreta, que puede tomar un número finito de valores, una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado
Para el ejemplo de los pesos de los seres humanos, al tomar X como la variable aleatoria que representa el peso de una persona escogida al azar, su peso real puede ser cualquier número perteneciente al rango entre 0 y 200 kg. (problemas de medición) Como la variable aleatoria continua puede tomar un infinito número de valores, la probabilidad no se puede obtener por conteo (n = P(X = x) = 0) Así, es necesario recurrir a otros niveles superiores de la matemática para estudiar el comportamiento de la variable, con lo cual se obtienen distintos modelos
Estos modelos indican que para hacer tales cálculos debemos evaluar la integral definida de una cierta función (una diferente para cada modelo) llamada función de densidad La función de densidad (f X (x)) se dice que es la distribución de probabilidad de la variable aleatoria continua X La función de densidad f X (x) de una variable aleatoria continua X [a, b] debe satisfacer las siguientes propiedades básicas: No puede tomar valores negativos, i.e. f X (x) 0; x
El área total bajo la curva debe igualar a 1, i.e. b fx(x) dx= a P(a X b) = 1 P(X = c) = c fx(x) dx= 0 c P(X c) = P(X < c) = c fx(x) dx = F X (c) a P(c < X < d) = P(c X d) = P(c < X d) = P(c X < d) = P(X d) - P(X c) = F X (d) - F X (c) = f (x) dx Cuando trabajamos con variables aleatorias continuas, sólo tiene sentido la probabilidad que X caiga dentro de algún rango particular y no que tome un valor dado Es importante resaltar que la distribución de probabilidad de una población es análoga a la distribución de frecuencia relativa de los datos muestrales d c X
Por lo tanto, cada distribución de probabilidad tiene asociada medidas (parámetros) similares a las medidas descriptivas que se han señalado para los datos muestrales (estadísticas) Así, la distribución de probabilidad de una población posee una medida que es equivalente al concepto de media muestral y se denomina valor esperado, además, el equivalente de la varianza también existe y la llamamos varianza poblacional El valor esperado de una variable aleatoria discreta X que asume los valores x 1,..., x n con probabilidades respectivas P 1,...,P n es: n E (X) = µ X = = xi P(X = xi) i 1
En el ejemplo del lanzamiento de la moneda dos veces se tiene que µ X = 0(1/4) + 1(1/2) + 2(1/4) = 1 La interpretación de este valor esperado es: Si lanzamos dos veces la moneda un número grande de veces y tomamos la media del número de caras que se van obteniendo, entonces la media tenderá a 1 Por otro lado, la varianza de una variable aleatoria discreta X que asume los valores x 1,..., x n con probabilidades respectivas P 1,...,P n es: 2 2 n 2 σx = V (X) = E[(X µ X) ] = = (xi µ X) P(X = xi) La desviación estándar (σ X ) está dada por i 1 σ = 2 X σ X
En el ejemplo del lanzamiento de la moneda dos veces tenemos que la varianza de X es: V(X) = (0-1) 2 (1/4) + (1-1) 2 (1/2) + (2-1) 2 (1/4) = 0,5 La desviación estándar es σ X = 0,5 = 0,71 La varianza es una medida del grado de concentración de los valores de la variable aleatoria alrededor de su media µ X, mientras más dispersos estén éstos respecto de la media, mayor será la varianza La distribución binomial está ligada los experimentos aleatorios llamados ensayos de Bernoulli, los cuales pueden sólo concluir de 2 formas distintas mutuamente excluyentes e independientes (éxito o fracaso)
Ejemplos de ensayos de Bernoulli son: Seleccionar un artículo para clasificarlo como bueno o defectuoso Seleccionar una persona para clasificarla como apta o no apta para algún trabajo de acuerdo con algún criterio Los ensayos de Bernoulli dan origen a un variable aleatoria (Y) que sólo toma dos valores y cuyas probabilidades (distribución de Bernoulli) son: p, y = 1 P(Y = y) = q = 1 p, y = 0 0, otro caso
Donde, p es la probabilidad de que se dé un éxito y q la probabilidad de que ocurra un fracaso Un proceso de Bernoulli es una sucesión de ensayos de Bernoulli con las características siguientes: En cada ensayo, el éxito tiene una probabilidad p y el fracaso una probabilidad q = 1 - p de ocurrir Las probabilidades de éxito y fracaso permanecen constantes durante el proceso Los ensayos son independientes, es decir, el resultado de un ensayo no es afectado por el resultado de otro Supongamos que se lleva a cabo un proceso de Bernoulli y sea la variable X = número de éxitos en n ensayos
Como la sucesión de éxitos (E) y fracasos (F) puede expresarse mediante la sucesión y 1,..., y n de valores de una variable con distribución de Bernoulli, se tiene que X = Y 1 +...+ Y n = Número de veces que se da 1 (i.e., el número de éxitos) Pero, existen distintas formas en que x unos pueden aparecer al realizar n experimentos Por ejemplo, si tenemos n = 2 y x = 1, existen 2 resultados posibles, éstos son EF y FE Por lo tanto, debemos determinar de cuántas formas pueden aparecer x unos en n experimentos?
Así, en general, se puede determinar que el número de formas como pueden colocarse x unos dentro de n espacios está dado por: n n! = x (n x)!(x)! Donde, n! = n n 1 n 2... 1 Por ejemplo, si x = 3 y n = 10 se tiene que: 10 = 10! 720 6 120 3 (10 3)!(3)! (7)!(3 2 1) Por lo tanto, existen 120 resultados posibles en que x = 3 cuando n = 10 = 10 9 8 (7)! = =
Cada uno de estos resultados del proceso son independientes entre sí y tienen asignada una probabilidad, resultante del producto de x factores iguales a p y (n - x) factores iguales a q Así, la variable aleatoria, X = número de éxitos en los n ensayos de Bernoulli, tiene una distribución binomial, dada como sigue: P(X = x) = n x n x p q, x = 0,1, K,n x 0, para cualquier otro valor de x
Por ejemplo, si el 10% de las piezas que produce una máquina automática es defectuoso y se toma al azar una muestra de 20 piezas cuál es la probabilidad de encontrar 2 piezas defectuosas? Definiendo la variable aleatoria X = número de piezas defectuosas y dado que p = 0,1, la respuesta es: 20 2 20 2 2 18 P(X = 2) = (0,1) (0,9) = 190 0,1 0,9 = 0,285 2 La media y la varianza de una variable que sigue una 2 distribución binomial son µ X = np y σx = npq = np(1 p) respectivamente
Respecto del ejemplo anterior, cuántas piezas defectuosas se espera encontrar en la muestra? Esta información la proporciona el valor esperado, por lo tanto, la respuesta es np = 20(0,1) = 2 Ya vista la distribución binomial, en el contexto de las variables aleatorias discretas, ahora dirigimos la mirada hacia las variables aleatorias continuas Una de las distribuciones continuas, y tal vez la más importante, es la distribución normal, la cual ocupa un lugar destacado en la inferencia estadística La gráfica de la función de densidad normal se llama curva normal y tiene forma de campana
La curva normal describe de forma aproximada muchos fenómenos que suceden en la naturaleza, tales como la estatura de los seres humanos y el cociente de inteligencia de los niños, la industria y la investigación Respecto a la inferencia estadística, las distribuciones de muchas estadísticas muestrales tienden a la distribución normal conforme crece el tamaño de la muestra Así, muchas distribuciones en economía, control de calidad y ciencias sociales, no se asemejan a la normal; pero en todo caso la distribución de la media muestral se puede tratar como normal, y así se hace por lo general siempre y cuando la muestra sea grande
La función de densidad de la variable aleatoria normal X, con media µ y varianza σ 2, es: 1 2 (x µ ) f (x) e 2 2σ X = ; x R 2πσ Cuando nos referimos a una variable aleatoria con distribución normal de media µ y varianza σ 2, escribimos de manera simbólica X ~ N(µ, σ 2 ) La curva normal presenta la siguiente apariencia: σ µ x
La curva normal posee las siguientes propiedades: La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva tiene su máximo, ocurre en x = µ La curva es simétrica, por lo tanto, en x = µ también se encuentra la mediana La curva tiene sus puntos de inflexión en x = µ ± σ, fuera del intervalo [µ - σ, µ + σ] es convexa, y es cóncava dentro de ese intervalo La curva normal se acerca al eje horizontal en forma asintótica en cualquiera de las dos direcciones El área total limitada por la curva y el eje horizontal es igual a 1
Aunque teóricamente el dominio de la función de densidad normal es infinito, en la práctica los valores de la variable se consideran reducidos a un intervalo finito De hecho el 99,73% de las observaciones quedan incluidas en el intervalo [µ - 3σ, µ + 3σ], esto es, P(µ - 3σ < X < µ + 3σ) = 0,9973 Además, el 68,45% de las observaciones quedan incluidas en el intervalo [µ - σ, µ + σ], mientras que el intervalo [µ - 2σ, µ + 2σ] incluye el 95,45% de ellas Como la curva normal depende de µ y σ, las probabilidades asociadas a cada distribución normal dependerán del valor de estos parámetros
Sin embargo, esta tarea se ve simplificada por la estandarización Es decir, una variable aleatoria X distribuida normalmente con media µ y varianza σ 2 (X ~ N(µ, σ 2 )) siempre puede transformarse en una Z que posea una distribución normal estándar, esto es, Z ~ N(0, 1) La estandarización consiste en la transformación: Z = X µ σ De esta forma, todo cálculo de probabilidades puede ser realizado usando la distribución normal estándar solamente, una vez hecha la estandarización requerida
Por ejemplo, supongamos que cierta pieza de automóvil tiene un promedio de duración de 3 años, con desviación estándar de 0,5 años. Si las duraciones de las piezas son normalmente distribuidas cuál es la probabilidad de que una pieza tenga una duración de 3,5 años? Definiendo la variable aleatoria X = años de duración de una pieza, se pide P(X > 3,5) dado que X ~ N(3, 0,5) P(X > 3,5) 3 3,5 x
Si empleamos la distribución normal estándar debemos encontrar el valor estandarizado Z = (3,5-3)/0,5 = 1 Ahora el problema se reduce a encontrar P(Z > 1), dado que Z ~ N(0, 1) Luego, la probabilidad P(Z 1) = 0,8413, por lo tanto, P(Z > 1) = 1-0,8413 = 0,1587 Cuál es la probabilidad de que una pieza tenga una duración entre 2,5 y 3,75 años? Se está pidiendo P(2,5 < X < 3,75) = P(X < 3,75) - P(X < 2,5) = 0,9332-0,1587 = 0,7745 En términos de la distribución normal estándar tenemos P(-1 < X < 1,5) = P(X < 1,5) - P(X < -1) = 0,7745
Gráficamente se tiene: P(2,5 < X < 3,75) 2,5 3 3,75 Qué duración debe tener una pieza que dura más que el 80% de las piezas actuales? En este caso no se pregunta la probabilidad a partir de un valor de la variable, sino por el contrario, partiendo de una probabilidad se debe determinar el valor de la variable x
Es decir, se pide P(X < x p ) = 0,80 x p = 3,42, por lo tanto, una pieza debe tener una duración de 3,42 años para durar más que el 80% de las piezas Empleando la distribución normal estandarizada tenemos que resolver P(Z < z p ) = 0,80 z p = 0,84 y, dado que x p = z p σ + µ, se tiene que x p = 3,42 En términos gráficos se tiene: P(X < x p ) 3 3,42 x
Las probabilidades asociadas con experimentos binomiales se pueden obtener fácilmente cuando n es pequeño, mediante la distribución binomial Cuando n es grande resulta más práctico calcular las probabilidades asociadas a una variable aleatoria binomial por procedimientos de aproximación, empleando la distribución normal Si X es una variable aleatoria con distribución binomial de media µ = np y varianza σ 2 = npq, entonces la distribución límite (cuando n ) de X está dada por: Z = X np npq ~N(0,1)
Por ejemplo, si se seleccionan aleatoriamente 100 artículos de un proceso que produce el 10% de artículos defectuosos, cuál es la probabilidad de que el número de defectuosos exceda de 10? Dado que n = 100, se tiene que µ = np = 100(0,1) = 10 y σ 2 = npq = 100(0,1)(0,9) = 9 Así, el valor de la variable normal estandarizada, considerando la corrección por continuidad (P(X = a) es aproximada por P(a - 0,5 < X < a + 0,5)), es: 10,5 10 0,5 z = = = 0,17 P(Z > 0,17) = 1 P(Z 0,17) = 9 3 0,43