Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Año 2016-2017. 1 GEOMETRÍA AFÍN Y PROYECTIVA Espacios Vectoriales. 1. Determinar si los siguientes conjuntos de vectores son subespacios vectoriales de R 4. A = {(x, y, z, t)/2x 7z = 0}, B = {(x, y, z, t)/2x + y = 0, z 6t = 0} C = {(x, y, z, t)/5x + y = 8}, D = {(x, y, z, t)/2x + y = 0 ó z 6t = 0} E = {(x, y, z, t)/t > 0}, F = {(x, y, z, t)/x = y, z = 2t, x + y = 0} G = {(x, y, z, t)/xy = 0}, H = {(a, a, a, a)/a R} I = {(a, b, a, b)/a, b R}, J = {(x 1, x 2, x 3, x 4 )/x 1 x 2 = 4x 3 } 2. Sea Ax = b un sistema no homogéneo de ecuaciones lineales (b vector no nulo de términos independientes) con n variables y coeficientes en R. Probar que el conjunto de soluciones no es un subespacio vectorial de R n. 3. Probar que < u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (0, 1, 0) >=< u 3 = (2, 3, 2), u 4 = (1, 0, 1) >, es decir, que los conjuntos de vectores {u 1, u 2 } y {u 3, u 4 } son equivalentes. 4. Comprobar que el conjunto de vectores {(1, 1,2), ( 1, 1, 2), (0, 0, 1)} genera R 3. Es una base de R 3? 5. Son los vetores (1, 2, 3), (1, 1, 1) combinación lineal de los vectores de S = {(1, 0, 2), (0, 2, 2)}? 6. Consideremos las siguientes bases de R 2 : B = {u 1 = (1, 2), u 2 = (2, 3)} y B = {v 1 = (1, 3), v 2 = (1, 4)}. Calcular las coordenadas de los vectores de la base B en la base B y las coordenadas de los vectores de la base B en la base B. 7. Dados los siguientes subespacios vectoriales de R 4 : V 1 = {(x, y, z, t) x + y z = 0}, V 2 =< (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4) >, V 3 =< (1, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1) >. Pertenece el vector w = (1, 0, 1, 2) a alguno de estos subespacios? En caso afirmativo calcular las coordenadas de w con respecto a una base de cada uno de dichos subespacios.
Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Geometría, 2016-2017. 2 8. Probar que si W es un subespacio vectorial generado por los vectores u 1, u 2, u 3 R 4 y el vector v R 4 verifica que v = u 1 + u 2 + u 3 y v = 2u 1 u 3, entonces podemos concluir que dimw 2. 9. Calcular una base del conjunto de vectores de R 3 que pertenecen al plano x + 2y + z = 0. 10. Las ecuaciones cartesianas de un subespacio vectorial de R 5 son 3x 1 2x 2 + x 3 x 5 = 0 y 2x 1 + x 2 3x 4 + 7x 5 = 0. Determinar sus ecuaciones paramétricas y una base. 11. Probar que W 1 y W 2 son subespacios vectoriales de R 3 determinar: W 1 W 2, W 1 + W 2 siendo W 1 = {(x, y, z) R 3 / x = 0} W 2 = {(x, y, z) R 3 / y z = 0, 3x+2y 2z = 0}. 12. Probar que S y T son subespacios vectoriales de R 3 y determinar S T, S + T. S = {(a, a + b, b)/ a, b R} T = {( c + d, d, d + c) c, d R}. 13. Probar que R 3 es suma directa de los subespacios: S = {(a, a, 0) / a R}, T = {(0, b, b) / b R} and W = {(c, c, c) / c R} 14. Probar que los subespacios S y T de R 3 son subespacios complementarios. S = {(x 1, x 2, x 3 ) / x 1 + x 2 + x 3 = 0} y T = {(a, 2a, 3a) / a R}. 15. Consideremos los subespacios de R 4 definidos por U = {(x, y, z, t) R 4 y 2z + t = 0} y V = {(x, y, z, t) R 4 x = t, y = 2z}. Calcular una base y la dimensión de U, V, U V y U + V. 16. Sea H = {(x, y, z, t) R 4 x + y = 0, z + t = 0} y sea L el subespacio de R 4 generado por (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1). Calcular una base y la dimensión de H y L. Determinar las ecuaciones cartesianas y paramétricas, una base y la dimensión de H L and H + L. 17. Consideremos en R 4 los subespacios vectoriales S y T definidos por las ecuaciones S x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0; x 1 x 2 x 3 = 0 T x 1 + x 2 x 4 = 0; 2x 1 x 4 = 0. Determinar las ecuaciones cartesianas y paramétricas, una base y la dimensión de S + T y S T.
Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Geometría, 2016-2017. 3 18. Encontrar un sistema homogéneos de ecuaciones lineales cuyas soluciones son todos los vectores proporcionales a u = (3, 0, 1, 5, 0) R 5. 19. Consideremos los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 2x + 3y + 2z = 0 x y + z t = 0 i) 5x + y + 3z = 0 ii) 2x 2z + 6t = 0 x + 7y + 7z = 0 x + y 3z + 7t = 0. Determinar en R 4 : a) El conjunto de las soluciones comunes a ambos sistemas (subespacio interseción). b) Un sistema de ecuaciones cuyo conjunto de soluciones contenga a las soluciones de ambos sistemas (subespacio suma). 20. Consideremos los siguientes subespacios vectoriales de R 4 H = {(x, y, z, t)/ 2x + 3y z + 5t = 0, 3x y + 2z 7t = 0, 4x + y 3z + 6t = 0} W = {(x, y, z, t)/3x + 4y 5z + 7t = 0, 2x 3y + 3z 2t = 0, Determinar: a) La dimensión de cada subespacio. b) Ecuaciones cartesianas y paramétricas. c) La dimensión de H W. x 10y + 11z 11t = 0}. d) Es H + W una suma directa? Calcular las ecuaciones cartesianas de H + W. 21. Consideramos en R 4 los subespacios vectoriales S con ecuaciones cartesianas 3 = 0 x { x 1 = λ µ + 2ρ x1 + x y T con ecuaciones paramétricas 2 = λ µ + ρ x 2 + x 3 = 0 x 3 = λ + µ x 4 = 2µ + ρ Determinar:. a) Las ecuaciones cartesianas de T. b) Las ecuaciones paramétricas de S. c) Las ecuaciones paramétricas de S T. d) Las ecuaciones cartesianas de S + T.
Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Geometría, 2016-2017. 4 22. En un espacio vectorial V se consideran dos subespacios vectoriales S y H. Puede ser S H vacío? Justifica tu respuesta. 23. En R 3 consideramos la base B = {e 1, e 2, e 3 },. Sea S el subespacio generado por u = e 1 2e 3 y v = e 2 e 3, y H el subespacio con ecuación cartesiana x 1 x 2 + 3x 3 = 0. a) Determinar las ecuaciones paramétricas y cartesianas de S, y una base y ecuaciones paramétricas de H en la base B. b) Calcular una base de los subespacios S + H y S H. Es S + H suma directa? Justica tu respuesta. 24. En el espacio vectorial M 2 2 (R) de las matrices 2 2 con elementos reales fijamos la base [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 0 1 0 0 0 0 B = {E 11 =, E 0 0 12 =, E 0 0 21 =, E 1 0 22 = }. 0 1 y el subconjunto W := {M M 2 2 (R) [ a 0 a 0 a) Es W un subespacio de M 2 2 (R)? En caso afirmativo pruébese. ] }. b) Calcular una base y las ecuaciones cartesianas de W. c) Obtener las ecuaciones y del subespacio complementario de W. 25. En el espacio vectorial real R 2 [x] de los polinomios de grado menor o igual que 2 fijamos la base estándar B R2 [x] = {1, x, x 2 }, estudiar la independencia linear de los siguientes polinomios x 2 +2x+3, x 2 1, x 2 +6x+11. Calcular la dimensión, una base y las ecuaciones del subespacio generado por dichos polinomios. 26. Obtener las ecuaciones cartesianas del subespacio S R 2 [x] generado por los vectores p 1 (x) = x 2 1 y p 2 (x) = x 2 + x con respecto a la base estándar B R2 [x] = {1, x, x 2 }. 27. En el espacio vectorial R 4 se dan los vectores: u 1 = (1, 2, 1, 1, ), u 2 = (1, 1, 0, 2),u 3 = (1, 1, 2, 0), v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 0, 2, 2) y v 3 = (0, 3, 3, 0) Se pide: a) Hallar una base que contenga al vector u 1. b) Hallar una base que contenga a los vectores u 2 y u 3. c) Hallar una base que contenga a los vectores v 1, v 2 y v 3.
Sonia L. Rueda. ETS Arquitectura. UPM Geometría, 2016-2017. 5 28. En el espacio vectorial R 3 se consideran los subespacios definidos por: U = {(a, b, c) a + b + c = 0} V = {(a, b, c) a = c} W = {(0, 0, c)} Se pide: a) Demostrar que se verifica: U + V = R 3 U + W = R 3 W + V = R 3 b) En cuál de los tres casos se trata de suma directa?