FUNCIONES Una función real de variable real es una relación de dependencia entre dos variables numéricas x e y, en la que a cada valor de la variable x le corresponde un único valor de la variable y. La variable x se denomina variable independiente y la variable y es la variable dependiente. Para indicar que y está en función de x escribiremos y = f(x) Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos o, simplemente, para expresar relaciones matemáticas: El espacio recorrido por un móvil al pasar el tiempo tiempo = v.i. espacio = v.d. La presión del aire al variar la altura altura = v.i. presión = v.d. El área de un cuadrado al variar la longitud de su lado lado = v.i. área = v.d. Formas de expresar una función Enunciado verbal: en una frase se dice cuáles son las variables dependiente e independiente, y qué dependencia hay entre ellas. Tabla de valores: con una tabla damos los valores de la variable dependiente correspondientes a distintos valores de la variable independiente. Expresión algebraica: fórmula que indica las operaciones que debemos efectuar con cada valor de la variable independiente (x) para obtener el correspondiente valor de la variable dependiente (y). Gráfica: es la representación en un sistema de coordenadas cartesianas de todos los pares de la forma ( x, ), siendo x un valor de la variable independiente de la función. Enunciado Expresión algebraica En una frutería venden las manzanas a 1,5 el kg. Consideremos la función que relaciona el coste ( ) con la cantidad de manzanas (kg) que compramos. variable independiente x = manzanas (kg) variable dependiente y = coste ( ) 1, 5x Tabla de valores x 0 y 0 1, 5 3 4, 5 1 3 eje x eje de abscisas eje y eje de ordenadas Gráfica
Imágenes y antiimágenes La imagen de un valor x por una función f es el valor que toma la variable y para dicho valor de la variable x. La antiimagen de un valor y para una función f es el valor o valores de la variable x cuya imagen por la función f es dicho valor y. Se denota por. f 1 ( y) Imagen x y Antiimagen Ejemplo 1: la siguiente gráfica muestra la altura en función del tiempo de una piedra lanzada verticalmente y hacia arriba. variable independiente x = tiempo (segundos) variable dependiente y = altura (metros) x 4 La imagen de es altura de la piedra es 16 m f ( 4) 16, es decir, a los 4 segundos la La antiimagen de 1 f 1 (1), 6, es decir, la altura de la piedra es 1 m a los segundos y a los 6 segundos de su lanzamiento. y es Ejemplo : Dada la función x 1 a) Halla la imagen de 1 b) Halla la antiimagen de 10 Solución a) x 1 f ( 1) ( 1) 111 f ( 1) 1 b) y 10 x 1 10 x 9 x 9 x 3 f (10) 3, 3
1. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES 1.1. DOMINIO El dominio de una función f es el conjunto de valores que toma la variable independiente x, es decir, el conjunto de valores para los que está definida la función. Se denota por Dom( f ). Obtención del dominio a partir de la gráfica Cuando una función se presenta a través de su gráfica, con proyectar ésta sobre el eje de abscisas (eje OX) conseguimos su dominio de definición. De una manera no formal, podríamos decir que si aplastamos la gráfica de sobre el eje de abscisas y ésta estuviese manchada de tinta, quedaría manchado sobre el eje justo el dominio de definición de la función. En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio (está dibujado un poco más abajo para que sea bien visible la escala del eje de abscisas). En este caso tenemos que: Dom( f ) (,0) (0,4) (4,8] ò equivalentemente Dom( f ) (,8] 0,4 1.. RECORRIDO El recorrido de una función f es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y, es decir, el conjunto de números reales que son imagen de algún elemento del dominio de f. Se denota por Rec( f ). Obtención del recorrido a partir de la gráfica Procedemos igual que en el dominio, pero ahora proyectamos sobre el eje de ordenadas. Rec( f ) [1, )
1.3. CONTINUIDAD De forma intuitiva, una función continua en todo su dominio es aquella que se puede dibujar de un sólo trazo sin levantar el lápiz del papel. Por ejemplo, la siguiente función es continua en todo su dominio: Sin embargo, la mayoría de las funciones van a presentar discontinuidades, o sea, van a ser continuas sólo en algunos "trozos" (intervalos) de su dominio y en los límites de éstos presentarán discontinuidades. Dom( f ) {} Dominio de continuidad {,0,} En x hay una discontinuidad de salto finito En x 0 hay una discontinuidad evitable En x hay una discontinuidad de salto infinito TIPOS DE DISCONTINUIDADES Discontinuidad de salto finito Una función tiene una discontinuidad de salto finito en x = a si, en dicho punto, observamos una separación o salto entre dos trozos de su gráfica que puede medirse. Esto es debido a que la tendencia de la función a la izquierda del punto x = a es diferente de la que tiene a la derecha. xa xa 3 1 xa xa
Discontinuidad asintótica (o de salto infinito) Cuando en un punto x = a observamos que la tendencia de la función a la izquierda, a la derecha o a ambos lados de dicho punto es alejarse al infinito (más infinito o menos infinito), entonces nos encontramos con una discontinuidad de salto infinito en el punto x = a. x a x a Discontinuidad evitable Si nos encontramos que la continuidad de la función en un punto x = a se interrumpe porque no hay imagen, o la imagen está desplazada del resto de la gráfica, tendremos una discontinuidad evitable en el punto x = a. En este caso la tendencia de la función a la izquierda de x=a y a la derecha de x=a sí coincide, sin embargo es f (a) el valor que no coincide con dicha tendencia o que ni siquiera existe. existe x a y no existe f ( a) x a pero f ( a) xa f ( a) 1.4. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES Los puntos de corte con los ejes son los puntos de la función que están sobre los ejes de coordenadas. Los puntos de corte con el eje de abscisas son de la forma (x,0) Los puntos de corte con el eje de ordenadas son de la forma (0, y) Una función puede cortar al eje de abscisas en varios puntos. Al eje de ordenadas como máximo puede cortarlo en un punto.
Puntos de corte con el eje de abscisas: Puntos de corte con el eje de ordenadas: ( 0, 5) ( 3,0) ) ( 1,0 (5,0) Cómo hallar los puntos de corte con los ejes a partir de la expresión analítica de la función? Puntos de corte con el eje de abscisas Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas (eje OX) se resuelve el sistema: Puntos de corte con el eje de ordenadas Para hallar los puntos de corte con el eje de ordenadas (eje OY) se resuelve el sistema: Ejemplo: Halla los puntos de corte con los ejes de la función x 4 Puntos de corte con el eje de abscisas (eje OX) y x 4 x 4 0 x 4 x 4 x y 0 La función corta al eje de abscisas en (,0) y (,0) Puntos de corte con el eje de ordenadas (eje OY) y x 4 y 0 4 4 y x 0 4 La función corta al eje de ordenadas es ( 0, 4) 1.5. SIGNO DE UNA FUNCIÓN y y 0 y x 0 Dada una función, determinar su signo es hallar para qué valores de su dominio es 0 y 0. A partir de su representación gráfica 0 en el conjunto de puntos de su dominio para los que la gráfica está situada por encima del eje de abscisas. 0 en el conjunto de puntos de su dominio para los que la gráfica está situada por debajo del eje de abscisas.
0 si x [ 6, ] (, 4) 0 si x (, 0) (1, 3) 0 si x (, ) (4, ) 0 si x (0,1) (3, ) A partir de su expresión analítica 1) Hallamos ) Hallamos los ceros de = x Dom( f )/ 0 3) Con estos datos determinamos los intervalos en los que el signo de la función es constante. Dom( f ) Ejemplo: Estudiar el signo de la función Dom( f ) {0} x x 4 0 x 4 x 0 x 4 0 x ò x SIGNO DE 0 0 si x(, ) (0,) 0 si x(,0) (, )
1.6. SIMETRÍA es par si f ( x). En tal caso, la gráfica de es simétrica respecto al eje de ordenadas. Una función presenta simetría par si para valores opuestos de x toma el mismo valor; es decir se verifica f ( x) f ( ) 0 f () f ( 3) 3 f (3) f ( 4) 4 f (4) f ( 5) 3 f (5) es impar si f ( x) En tal caso, la gráfica de coordenadas. (0, 0) Una función presenta simetría impar si para valores opuestos de x toma valores opuestos; es decir se verifica f ( x) f ( ) 4 f () 4 f ( 1) 3 f (1) 3 f ( 3) 3 f (3) 3 f ( 5) 5 f (5) 5 es simétrica respecto al origen de Ejemplo: Estudiar la simetría de las siguientes funciones 4 a) x x b) 4x 3 5x 3 c) x x d) f Solución x x) x 1 ( 4 4 4 ( x) ( x) x x a) es PAR 4 x x 3 3 4( x) 5( x) 4x 5x b) es IMPAR 3 4x 5x 3 3 c) f ( x) ( x) ( x) x x no es par ni impar ( x) x 4 4 ( x) 1 x 1 d) es PAR x 4 x 1
1.7. PERIODICIDAD es una función periódica de periodo T si f ( x T) x Dom( f ), siendo T el menor número real que verifica esta propiedad. Calculemos algunas imágenes: f ( 8) f ( 4) f (0) f (4) 0 f ( 6) f ( ) f () f (6) 4 Si tomamos un valor para la variable independiente x y le vamos sumando 4 unidades los valores correspondientes de sus imágenes son iguales,es decir, f ( x 4) x Dom( f ). Por tanto, es una función periódica de periodo T = 4. 1.8. ASÍNTOTAS En el estudio de funciones llamamos así a una recta hacia la que se aproxima infinitamente la gráfica de la función, pero sin llegar a encontrarse ambas durante dicha aproximación infinita. Asíntotas verticales Cuando una función no está definida en un punto x a, pero para valores cercanos a dicho punto (por la derecha, por la izquierda o por ambos lados), las correspondientes imágenes se hacen cada vez más grandes o más pequeñas diremos que la recta x a es una asíntota vertical de f (x ). Se dice que en dicho punto la función "tiende a infinito". La recta "a" es infinito. x a es una ASÍNTOTA VERTICAL de la función si el límite de la función en el punto x a x a x a x a es x a x a es es asíntota vertical por la izquierda asíntota vertical por la derecha asíntota vertical
x1 x1 x1 x 1es asíntota vertical x 0 x 0 es asíntota vertical por la derecha de Observaciones 1) Una función puede tener varias asíntotas verticales, incluso infinitas. ) La gráfica de una función nunca corta a una asíntota vertical. 3) La tendencia hacia infinito a ambos lados del punto de discontinuidad puede ser idéntica u opuesta. Asíntotas horizontales Si estudiamos lo que ocurre con la gráfica de una función cuando los valores de la variable independiente "x" se hacen muy grandes o muy pequeños (tienden a más o menos infinito), puede ocurrir que la gráfica se vaya acercando cada vez más a un valor determinado ( y k ) sin llegar nunca a alcanzarlo. En tal caso, la recta y k es una asíntota horizontal de, dado que la función tiende a "pegarse" a dicha recta "en el infinito".
La recta y k de la función en es una ASÍNTOTA HORIZONTAL POR LA DERECHA de la función es el número "k". k y k es x asíntota horizontal por la derecha si el límite La recta y k límite de la función en es una ASÍNTOTA HORIZONTAL POR LA IZQUIERDA de la función es el número "k". si el x k y k es asíntota horizontalpor la izquierda La recta infinito ( y k es una ASÍNTOTA HORIZONTAL de la función ) es el número "k". k x si el límite de la función en el y k es asíntota horizontalde por la derecha x x y es asíntota horizontal de por la derecha y es asíntota horizontal de por la izquierda x x 1 1 x 1 y 1 es asíntota horizontal de Observaciones 1) Una función puede tener como máximo asíntotas horizontales (en este último caso, una de ellas es asíntota por la derecha y la otra lo es por la izquierda). Hay funciones que sólo tienen asíntota horizontal por la derecha o por la izquierda. ) La gráfica de una función puede cortar a una asíntota horizontal. 3) Una función no tiene por qué tener los dos tipos de asíntotas que hemos visto (verticales y horizontales). Puede no tener ninguna (cualquier función polinómica), tener sólo asíntotas verticales (una o más) o sólo asíntotas horizontales (una o dos como mucho).
Asíntotas oblicuas Una recta de ecuación y mx n ( si para valores de x cada vez más grandes o más pequeños, los puntos de la recta y los de la gráfica de la función están cada vez más próximos. Es decir una función tiene una asíntota oblicua del tipo y mx n cuando la función se va acercando cada vez más a la recta asíntota en el infinito. m 0 ) es asíntota oblicua de una función y x es asíntota oblicua de Observaciones 1) Si una función tiene asíntotas horizontales no tiene oblicuas y viceversa ) La gráfica de una función puede cortar a una asíntota oblicua. 1.9. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. a) Una función f es creciente en un intervalo si, al aumentar el valor de la variable x dentro de ese intervalo, aumenta el valor de la variable y. Es decir, si x1 x se cumple que f ( x1 ) f ( x). b) Una función f es decreciente en un intervalo si, al aumentar el valor de la variable x dentro de ese intervalo, disminuye el valor de la variable y. Es decir, si x1 x se cumple que f ( x1) f ( x). c) Una función f es constante en un intervalo si, para todo valor de la variable x dentro de ese intervalo, el valor de la variable y no varía.
Para definir los intervalos de crecimiento, decrecimiento y constante utilizaremos la variable x crece si x ( 9, 6) (0,3) decrece si x (,0) (3,6) es constantesi x ( 6, ) 1.10. CURVATURA Una función es CÓNCAVA HACIA ARRIBA en un intervalo, si para cualquier par de puntos del intervalo el segmento que los une queda por encima de la gráfica de en ese intervalo. Una función es CÓNCAVA HACIA ABAJO en un intervalo, si para cualquier par de puntos del intervalo el segmento que los une queda por debajo de la gráfica de en ese intervalo. a b a b Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
cóncava hacia arriba si x( 1, ) cóncava hacia abajo si x(, 1) 1.11. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS a) Una función tiene un máximo relativo o local en un punto valor mayor o igual que en los puntos próximos. En caso de que pasa de ser creciente a decreciente en dicho punto. b) Una función tiene un mínimo relativo o local en un punto x 0 x 0 cuando en él la función toma un sea continua en x 0, la función cuando en él la función toma un valor menor o igual que en los puntos próximos. En caso de que sea continua en x 0, la función pasa de ser decreciente a creciente en dicho punto. En caso de que sea continua en, la función pasa de ser decreciente a creciente en dicho punto. c) Una función f tiene un máximo absoluto en un punto si f ( x 0 ) para todo x Dom( f ). d) Una función f tiene un mínimo absoluto en un punto x 0 x 0 si f ( x 0 ) para todo x Dom( f ). x 0 Máximos relativos ( 1,5 ), (,4) Mínimo relativo ( 1,3) El máximo absoluto es 5 y lo alcanza en x 1 El mínimo absoluto es 1 y lo alcanza en x 3 1.1. ACOTACIÓN Una funci ón está acotada superiormente si existe un número real k tal que x Dom ( f ) se tiene k. A cualquier k que verifique esta condición lo llamamos cota superior de la función. Si está acotada superiormente, la menor de sus cotas inferiores recibe el nombre de supremo y si además pertenece al recorrido de la función es su máximo absoluto.
Una función está acotada inferiormente si existe un número real k tal que x Dom ( f ) se tiene k.a cualquier k que verifique esta condición lo llamamos cota inferior de la función. Si está acotada inferiormente, la mayor de sus cotas inferiores recibe el nombre de ínfimo y si además pertenece al recorrido de la función es su mínimo absoluto. Una función decir, x Dom ( f ) se tiene M está acotada si lo está a la vez inferiormente y superiormente, es está acotada si existe un número real M tal que está acotada superiormente está acotada inferiormente Máximo absoluto 8 y lo alcanza en x Mínimo absoluto 0 y lo alcanza en x 4 está acotada inferiormente. Ínfimo = 0; no tiene mínimo absoluto
está acotada (es decir está acotada superior e inferiormente) Mínimo absoluto y lo alcanza en Máximo absoluto y lo alcanza en x 1 x 1 está acotada (es decir está acotada superior e inferiormente) Mínimo absoluto 1 y máximo absoluto 1 * está acotada (es decir está acotada superior e inferiormente) Supremo ; no tiene máximo absoluto Ínfimo ; no tiene mínimo absoluto