INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION Nombre de la alumna: Área: MATEMATICAS Asignatura: Matemáticas Docente: Luis López Zuleta Tipo de Guía: Conceptual PERIODO GRADO FECHA DURACION DOS 6º 04 de mayo de 2012 30 unid INDICADORES DE DESEMPEÑO 1. Reconoce los números enteros en la recta numérica y sus características, aplicándolos en problemas prácticos. 2. Aplica las operaciones básicas con números enteros para resolver situaciones problemas. 3. Resuelve ejercicios de ecuaciones, potencias, raíces y logaritmos en forma eficiente. 4. Favorece con su actitud un ambiente de trabajo adecuado. 5. Asume con responsabilidad el desarrollo y presentación de las guías y actividades propuestas.. Las operaciones de los números y sus propiedades han sido un tema de constante estudio por parte de las matemáticas, cada vez mas ayudan ha simplificar procesos para poder entender con facilidad los procedimientos y hacerlos más cortos. Así mismo, puede verse como en las matemáticas se presentan operaciones inversas, las cuales constan de los mismos elementos pero ubicados en diferente posición y con nombre diferente, como lo veremos en el desarrollo de esta guía. También, se presentan operaciones que son la abreviación de otras, tal como ocurre con la potenciación, que es la operación abreviada de la multiplicación. Con la potenciación se han podido explicar un sinnúmero de sucesos de la vida cotidiana, como el caso de la producción de conejos en madrigueras o la propagación de bacterias en determinados medios, así mismo, sean podido encontrar respuesta a cálculos con soluciones de números de una gran cantidad de dígitos, ya que se muestra la respuesta de manera simplificada y aproximada y es por ello que han podido establecer la distancia de la tierra a una variedad de planetas. Es la operación inversa a la multiplicación, aquí conocido el producto, la división permite encontrar el otro factor. En la división los elementos se denominan así. Dividendo 3 9 7 1 9 Divisor 1 7 2 0 cociente Residuo 1 7 En la división se cumple la siguiente condición Divisor * Cociente + Residuo = Dividendo Lo que se realiza aquí es expresar la división como un producto y una suma La división se puede indicar de diferentes maneras, pero ellas siempre darán el mismo resultado 34/19 34 19 1
Si el residuo en una división es igual a cero, la división es exacta, si es diferente de cero la división es inexacta. (Realizar la actividad 1, 2, 3, 4) En la división de números naturales se cumplen las siguientes propiedades o condiciones Propiedad distributiva con respecto a la adición y sustracción: en la división se cumple Para todo a, b, c 14 7 = 7 6 2 = 2 En una división exacta al multiplicar el dividendo y el divisor por un mismo numero, el cociente no cambia 4 = 4 (Realizar la actividad 5, 6, 7, 8, 9) Si el dividendo es igual a cero y el divisor es un número, el cociente será igual a cero. ; Donde Si el dividendo es un número y el divisor es igual a cero, la división no se puede realizar. ; Donde Si tanto el dividendo como el divisor son iguales a cero, la división se dice que es indeterminada. Propiedad modulativa: tanto para la multiplicación como para la división el módulo es el uno. En la división el modulo solo puede ser el divisor, para que la propiedad modulativa se cumpla. ; donde Es una operación que combina las cuatro operaciones (la adición, la sustracción, la multiplicación y la división de números). En general la puedo definir así. Es una opera que permite escribir la multiplicación en forma abreviada, siempre y cuando los factores sean iguales. 5 veces n veces Se puede escribir como: a n = b y se lee a a la n es igual a b La a es un factor que se repite n cantidad de veces. 2 5 = 32 Se lee 2 a la 5 es igual a 32 Regla general: para encontrar el resultado, se debe multiplicar el factor tantas veces como se repite Se nombran o se les llama así. Base potencia Exponente Base: se le denomina así al factor que se repite Exponente: es el numero de veces que se repite el factor (Realizar la actividad 10, 11, 12) Potencia: es el resultado de hacer la multiplicación Regla general: para encontrar la potencia, se debe multiplicar por si misma la base, tantas veces como indica el exponente 4 3, el cuatro se debe multiplicar por si mismo tres veces, lo cual da como resultado 64 2
La potencia como ya se dijo hace uso de las cuatro primeras operaciones estudiadas, y esto se observara a continuación. Se debe tener presente que los números a, b, c, n, m 1) El cero elevado a cualquier exponente da CERO 0 n = 0 0 34 = 0 2) El cero elevado a la cero, NO ESTA DEFIIDO 0 0 = no esta definido 3) Todo número natural elevado al exponente cero, da como resultado UNO a 0 = 1 56 0 = 1 4) Todo número natural elevado al exponente uno, da como resultado EL MISMO NUMERO a 1 = a 342 1 = 342 5) El uno elevado a cualquier exponente, da como resultado UNO 1 n = 1 1 34 = 1 6) Producto de potencias de igual base: el resultado se obtiene, elevando la base a la suma de los dos exponentes. a n * a m = a n + m 4 6 * 4 7 = 4 6+7 = 4 13 7) Cociente de potencias de igual base: el resultado se obtiene, elevando la base a la sustracción de los dos exponentes. a n / a m = a n-m 5 6 * 5 2 = 5 6-2 = 5 4 8) Potencia de una potencia: se deja la misma base y se eleva al producto de los exponentes ( a n ) m = a n*m (5 6 ) 2 = 5 6*2 = 5 12 9) Potencia de un producto: a cada factor se le asigna el exponente que tiene el producto. ( a * b) n = a n b n (5 * 7) 2 = 5 2 * 7 2 10) Potencia de un cociente: a cada uno de los factores se le asigna el exponente que tiene el cociente. ( a / b) n = a n / b n (9 / 3) 5 = 9 5 * 3 5 11) Potencias de diez: el resultado de una potencia de diez es un uno seguido de tantos ceros como indican el exponente 10 4 = 1 0000 Indicar en potencias de 10 los siguientes números: 100 000 = 10 5 134000 = 134 * 10 3 1 600 000 = 16 * 10 5 (Realizar la actividad 13) Es una operación inversa a la potenciación. Puedo definirla como: La radicación permite encontrar la base, conociendo el exponente y la potencia. Para extraer la raíz de un numero natural, se busca un numero tal que elevado al índice de la raíz de como resultado el valor que hay dentro del signo de la raíz Defino cada uno de los elementos de la radicación. Indice raiz. Radical radicando Cuando nos referimos a estos términos queremos decir. Índice: Numero de veces que se repite la raíz para obtener el radicando. Este termino es igual al exponente en la potenciación Radical: El signo de operación de la radicación. Radicando: Junto con el índice permite encontrar la raíz (o numero equivalente a la base en la potenciación). De modo general, el radicando es equivalente al resultado de la potenciación. 3
Raíz: es el término equivalente a la base en la potenciación. Cuando en la radicación el radical no tiene el índice, se toma el índice como dos y se lee raíz cuadrada. (Realizar la actividad 14, 15 y 16) La radicación en los números naturales cumple con las siguientes propiedades. 1) Raíz n-enésima de un producto: cada uno de los factores se coloca en un radical 2) Raíz n-enésima de un cociente: es igual que el anterior pero con la división 3) Raíz n-enésima de uno, da como resultado uno 4) Raíz n-enésima de cero, da como resultado cero En la radicación al igual que en la división, se presentan resultados (raíces) exactos e inexactos (Realizar la actividad 17, 18 y 19) La potenciación tiene dos operaciones inversas, las cuales son la radicación y la logaritmación. La logaritmación la definimos así. Es la operación inversa a la potenciación que permite encontrar el exponente de la potenciación, conocidas la base y la potencia. Sean a, b, n entonces se cumple. Esta expresión se lee: logaritmo en base a de b es igual a n Se lee: logaritmo en base 2 de 32 es igual a 5 Lo anterior significa: se debe encontrar el exponente del 2 para que el resultado en la potenciación 32. Esto seria 2 5 = 32 (Realizar la actividad 20, 21, 22) Es el conjunto de los números naturales cumplen con la siguientes propiedades 1) Logaritmo de un producto: es igual a la suma de los logaritmos de cada factor. = 3 + 4 = 7 2) Logaritmo de un cociente: es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo menos el divisor. = 6 + 2 = 7 3) Logaritmo de una potencia: es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. = 4 * 3 = 12 4) Logaritmo de uno: en cualquier base siempre dará cero 5) Logaritmo de cero: no tiene solución 4
6) Logaritmo base X de X: en cualquier base siempre dará uno (Realizar la actividad 20, 21, 22) 7) logaritmo sin subíndice: se debe tomar como logaritmo base dos 1) Realizo tres divisiones que den exactas 2) Realizo tres divisiones que den inexactas 3) Expresar las siguientes divisiones como productos 56 5 25 7 67 8 4) Cuantas naranjas se pueden comprar $6570, si cada naranja tiene un valor de $650. 5) Encuentro el término faltante usando la división. 36 * = 72 38 * = 342 * 75 = 375 * 21 = 1323 6) Usando la propiedad distributiva encuentro el resultado 7) Encuentro el menor número que debo sumar al dividendo, para que la división de exacta. ACTIVIDAD 8) Doy tres ejemplos de cada una de las propiedades del numeral 1.1.3 Propiedades 9) Se quieren colocar 353 fotos en un álbum, si en cada página del álbum puedo colocar 8 fotos. Cuantas paginas puedo llenar y cuantas fotos mas se necesitan para llenar otra pagina? 10) Lleno la tabla Expresión producto Base exponente potencia lectura 5 2 3*3*3 6 3 7 al cubo 11) Doy cinco ejemplos similares al punto diez 12) Escribo los siguientes resultados en forma de potenciación * Doy tres ejemplos mas 13) Escribo tres ejemplos de cada una de las propiedades del numeral 1.2.3 Propiedades de la potenciación 14) Escribo como se leen los siguientes radicales Como se lee la expresión : Como se lee la expresión : Como se lee la expresión : 15) Calculo las siguientes raíces 16) Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 17) Escribo cinco ejemplos de cada una de las propiedades de la radicación. 18) Doy ejemplos donde se obtengan raíces exactas e inexactas ( tres de cada una, diferentes a las ya dadas) 19) Calculo las siguientes raíces 20) Completar la información de la tabla base Expon Poten Potenciación Raíz logaritmación ente cia 2 6 64 3 5 = 243 =5 Log 1000 =3 5
21) Completo la siguiente información, dando el valor de cada letra porque a n = b porque 100 n = b porque a 3 = 125 porque a n = 216 22) Escribo cinco ejercicios para cada una de las propiedades de los logaritmos. 23) Escribo como leo los siguientes logarítmicos y escribo su resultado 24) Indico cual de las operaciones es > ó < 10 0 11 3 3 1 25) Identifico que tipo de operación se aplica en los siguientes enunciados. Cuántas veces se debe multiplicar el número 5 para que de 625? Qué numero multiplicado por cinco da 20? Qué numero multiplicado por si mismo 4 veces da 64? Realizo cada uno de los ejercicios planteados en la actividad, ya que sirven para estudiar para la evaluación de estos temas. 6