Matemáticas. Grado 9º. Unidad 2. Sistemas de ecuaciones Lineales de 3 x 3, Números irracionales

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1 1 Franklin Eduardo Pérez Quintero Matemáticas Grado 9º Unidad 2 Sistemas de ecuaciones Lineales de 3 x 3, Números irracionales 1

2 2 Franklin Eduardo Pérez Quintero LOGRO: Reconocer el método más utilizado para resolver sistemas de n ecuaciones con n incógnitas y comprender el conjunto de los números irracionales y como estos terminan de conformar el conjunto de los números Reales. INDICADORES DE LOGRO: Reconoce el método apropiado para hallar un determinante de 2 x 2 Identifica el procedimiento adecuado para resolver de dos y tres ecuaciones dos y tres incógnitas respectivamente. Resuelve sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por el método de Cramer. Resuelve sistemas de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas por el método de Sarrus. Reconoce la formación de los números irracionales. Identifica la ubicación de un número irracional en la recta numérica Establece las diferencias entre los diferentes conjuntos numéricos existentes. Aplica las diferentes operaciones que se pueden llevar a cabo al interior de los números Reales en general 2

3 3 Franklin Eduardo Pérez Quintero NÚMEROS IRRACIONALES! ESTÁN LOCOS? Resolución de sistemas de ecuaciones mediante determinantes Hasta este momento has visto cuatro métodos para resolver ecuaciones lineales en dos variables: gráfico, por sustitución, igualación y reducción. A continuación un método que te puede ser de utilidad para el mismo tipo de ejercicio que los métodos anteriores. La regla de Cramer. Este es un método que permitirá generalizar la teoría para la resolución de ecuaciones de n x n con n Є N. y por eso decidimos dejarlo para estudiarlo de último; sin embargo, por ahora, en primer lugar trabajaremos este método para la resolución de ecuaciones de 2 x 2: Para poder aplicar la regla de Cramer es buena idea comenzar con una explicación sobre cómo calcular los determinantes. Determinantes 2 x 2 Si a, b, c y d son cuatro números reales, a la expresión D = se le llama un determinante 2 x 2. D= = Su valor se determina con la expresión ad - bc. Es decir, multiplicamos en forma cruzada y restamos los productos. Es importante que lleves a cabo la multiplicación como se ilustra. 3

4 4 Franklin Eduardo Pérez Quintero Ejemplo: Cuál es el determinante para la matriz siguiente? Observa el procedimiento para hallar el determinante. D= (3) (1) - (6) ( 2) = 15 La regla de Cramer es un proceso que te ayuda a resolver sistemas de ecuaciones lineales que tengan la misma cantidad de ecuaciones y variables. Es un método que aplica los determinantes. Veamos un ejemplo con todos sus pasos. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 3x - 2y = 4 6x + y = 13 Hallas primero el determinante de los coeficientes de las variables. Lo llamas el determinante principal y lo nombras con una D. D = = (3) (1) - (6) ( 2) = 15 Observa el procedimiento para hallar el valor del determinante para la variable x. Remplazas la columna de coeficientes de la variable x con los valores de las constantes. Observa a continuación el proceso: 4

5 5 Franklin Eduardo Pérez Quintero Dx = = (4) (1) - (13) ( 2) = = 30 Para hallar el valor de x, divides el valor determinado Dx por el determinante principal D, es decir 30 15= 2 Dy se calcula con el determinante Dy = = (3) (13) - (6) (4) = = 15. Fíjate que en este determinante cambias la segunda columna por las constantes. Para hallar el valor de y divides el valor hallado para Dy por el determinante principal D, es decir: = 1 Concluyes que la solución del sistema es (2,1). Esto significa que las dos rectas representadas por las ecuaciones originales se intersecan en el punto con coordenadas (2,1). TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Resuelve en tu cuaderno por el método de cramer los siguientes ejercicios: a) 4x y 2 10x 2y 13 5

6 6 Franklin Eduardo Pérez Quintero b) 2x 5y 0 3x 2y 19 f) 5x 3y 0 8x y 29 c) 4x 13 3y 2x 5y 13 g) x y 2 5 x y d) x 6y 1 3y 2x 12 h) 2x y 3 5 3x 4y e) 2x 2y 3 6x 7y 10 La Regla de Cramer aplicada a determinantes de matrices 3 x 3, también es llamado método de Sarrus: Primero aprendamos a hallar un determinante para una matriz de 3x3: Dada la matriz: A= El determinante de esta matriz puede hallarse si se añaden las dos primeras filas en el final y se suman los productos de las diagonales de izquierda a derecha y a ese resultado se le resta la suma de los productos de las diagonales de derecha a izquierda, es decir: 6

7 7 Franklin Eduardo Pérez Quintero 7

8 8 Franklin Eduardo Pérez Quintero a b c d e f g h I D (A)= (aei + dhc + gbf) (ceg + fha + ibd) a b c d e f Observa un sistema de ecuaciones lineales que consta de tres ecuaciones lineales y las variables x, y, z. 2x + y - z = 3 -x +2y +4z = 3 x- 2y - 3z = 4 Primero hallamos el determinante de los coeficientes de las variables, que es: La siguiente es una forma de hallar este determinante: D = {[(2.2.(-3)]+[(-1).(-2).(-1)]+[1.1.4]} {[(-1).2.1]+[4.(-2).2]+[(- 3).1.(-1)]} D= {[-12]+[-2]+[4]} {[-2]+[-16]+[3]} D={-10} {-15} D = 5 Sigues un procedimiento parecido para hallar el determinante en x, y, z. Recuerda que cada vez que vas a hallar un determinante, sustituyes la 8

9 9 Franklin Eduardo Pérez Quintero columna de coeficientes de la variable bajo estudio por las constantes. Estudia ahora este proceso aplicado para hallar el determinante en x. Dx = [(3)(2)( 3)+(1)(4)(4)+( 1)( 3)( 2)] - [(4)(2)( 1) + ( 2)(4)(3) + ( 3)( 3)(1)] Dx= [ ] [ ] Dx= 8 - ( 23) Dx = 15 Dy=[(2)( 3)( 3)+(3)(4)(1)+( 1)( 1)(4)]- [(1)( 3)( 1)+(4)(4)(2)+( 3)( 1)(3)] Dy = [ ] - [ ] Dy= Dy = 10 Dz =[(2)(2)(4) + (1)( 3)(1) + (3)( 1)( 2)] - [(1)(2)(3) + ( 2)( 3)(2) + (4)( 1)(1)] Dz = [ ] - [ ] Dz = Dz = 5 En resumen: D = 5,Dx = 15, Dy = 10, Dz = 5. Para determinar los valores de las variables llevas a cabo el proceso siguiente: x = 3, y = 2, z = 1 La solución de este sistema es (3, 2,1). Lo cual significa que las tres rectas representadas por las ecuaciones del sistema se intersecan en este punto. 9

10 10 Franklin Eduardo Pérez Quintero TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: Utiliza la regla de Sarrus para resolver cada sistema de ecuaciones: 1. x + y - z = 2 -x +2y +3z = 1 x - 4y - 2z = x + z = 4 -x +2y + 3z = 6 2x + y + 4z = X+Y+Z= 9 X+2Y+Z= 8 X+Y+2Z= X-2Y+Z= 3 2X+Y-3Z=-12 X + Y - Z= 0 5. x + 2y + 3z = 9 4x + 5y + 6z = 24 3x + y - 2z = 4 6. x + 2y +3 z =-1 2x -3 = y-z 3x - 26 = 2z-y 7. a + c-3(b + 2 ) = 0 a/2-35/3+2 (b + c) = 0 3(a - 3b) = 8-c 8. 3x -5 y + z = -8 x +2y -z = 16/3 6 x - y - 2z = 2 10

11 11 Franklin Eduardo Pérez Quintero Aprendamos algo nuevo EXPRESIONES IRRACIONALES Expresiones como: -0, , 6,17163,, -,, En donde las cifras decimales se repiten infinitamente, conforma el sistema de numeración de los irracionales. Este grupo unido al de los números racionales constituye otro gran grupo llamadosistema de numeración de los reales R, el cual también posee todas las propiedades que se han visto anteriormente en otros sistemas de numeración como el de los naturales (N), los enteros (Z), racionales (Q). En el sistema de numeración de los reales, en una recta numérica, a cada número real le corresponde un punto de la recta y viceversa. Representación gráfica de irracionales Para representar gráficamente en la recta numérica: Se traza la recta y se ubica el punto cero; a cada punto de la recta se le asocia un número real. Sobre la recta numérica se traza un cuadrado de 11

12 12 Franklin Eduardo Pérez Quintero lado uno, y una diagonal al cuadrado partiendo desde el punto cero al vértice opuesto. Al trazar una diagonal, el cuadrado queda dividido en dos triángulos rectángulos isósceles (2 lados iguales), en el cual se conoce el valor de sus lados, y se desconoce el valor de la hipotenusa. En el triángulo se puede hallar el valor de la hipotenusa c, mediante el teorema de Pitágoras. Se recuerda que el teorema relaciona los lados (catetos) con la hipotenusa. En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa se encuentra en el lado opuesto del ángulo recto. C 2 = a 2 + b 2 con los valores dados a = 1 y b = 1, tenemos: 12

13 13 Franklin Eduardo Pérez Quintero C 2 = C = C = Entonces si recostamos la hipotenusa en la recta numérica podemos decir que ese es el punto que corresponde al número. Con un compás se hace centro en el punto de referencia cero y se traza un arco de circunferencia con una abertura igual a la longitud de la diagonal del cuadrado, se hace pasar por la recta numérica y se marca el punto.ahora teniendo localizado el punto, se toma como base para construir un rectángulo de base y altura igual a 1. Luego se traza una diagonal al rectángulo para conformar dos triángulos rectángulos. 13

14 14 Franklin Eduardo Pérez Quintero Siguiendo este mismo procedimiento, se logra ubicar en la recta numérica diferentes puntos correspondientes a números irracionales. TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: En tu cuaderno intenta graficar 3 números irracionales de la misma forma como lo hemos realizado en los ejemplos anteriores. CONJUNTOS DE NÚMEROS En la recta numérica se observa que en los puntos en donde no es posible ubicar o relacionar un número racional, hay un número irracional. Por consiguiente, si se unen los dos sistemas de numeración, se completa la recta numérica, formando así los números reales. Se recuerda que N Z y Z Q luego se puede afirmar que N Q y la unión de Qe I conforman el conjunto de los números reales R. R = {Q U I} Para hacer la diferencia entre los conjuntos de números se tiene que: Naturales N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.} 14

15 15 Franklin Eduardo Pérez Quintero Enteros... Z = {., -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4...} Racionales. Q = {., -2, -2/3, -1/2, -1/3, -1/4, 0, ¼, 1/3...} Irracionales... I = Reales.. R = {, -3/2, -1, -1/2, 0, ½, 1, 3/2 } TRABAJEMOS EN NUESTRO APRENDIZAJE ACTIVIDAD: En frente de cada número determina a cuales conjuntos de números pertenece: 5: Naturales, enteros, racionales y reales -7: : : - : : 2 : 15

16 16 Franklin Eduardo Pérez Quintero 0: - : Operaciones con los números reales: Aprendamos algo nuevo En el conjunto de los números reales se encuentran definidos dos operaciones básicas que son: la adición (sustracción) y la multiplicación (la división). Adición de números reales: La adición de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados sumandos, un único número real c, llamado suma de a y b- la adición es una función definida así: +:R x R R (a, b) c = a + b Suma sumandos Propiedades de los números reales (en la adición): a.-) Propiedad conmutativa: En la adición de números reales, el orden del os sumandos no altera la suma. Es decir, si a y b son los números reales, entonces = a + b = b + a, por lo anterior se dice que la adición de números reales tiene la propiedad conmutativa. b.-) Propiedad asociativa: En la adición de números reales, la forma de agrupar los sumandos no altera la suma. Es decir, si a, b y c son 16

17 17 Franklin Eduardo Pérez Quintero números reales, entonces a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c), por lo anterior, se dice, que la adición de números reales tiene la propiedad asociativa. c.-) Existencia de elemento neutro: En el conjunto R de los números reales, el número real cero (0) es el elemento identidad o neutro para la adición porque la suma de cualquier número a y 0 es 0. es decir, si a es un número real, entonces: a + 0 = 0 + a = a. d.-) Existencia de elementos simétricos opuestos: Para cualquier número real existe otro número real a, llamado opuesto de a, tal que: a + (-a) = 0. Así: la suma de un número real y su opuesto es igual a cero (0), el elemento identidad o neutro para la adición. Por ejemplo: 2 = ( 2) = 2. Sustracción de números reales: Es la operación inversa de la adición. Mientras en la adición se dan los sumandos y se trata de calcular la suma: a + d = m sumandos suma En la sustracción se da la suma, llamada ahora minuendo y un sumando llamado sustraendo y se trata de calcular el otro sumando llamado diferencia: m a = d minuendo diferencia sustraendo la diferencia d = m a se calcula sumando al minuendo m el opuesto del sustraendo a: 17

18 18 Franklin Eduardo Pérez Quintero d = m a = m + ( a) Las propiedades de los números reales (en la sustracción): a.-) Si a y b son números reales, entonces su diferencia a- b es un número real. Por satisfacer esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la sustracción. b.-) La sustracción de números Reales no es conmutativa. Observa la localización de 3 2 y 2 3 en la recta real. c.-) La sustracción de números reales no es asociativa. Observa: (3 2 2) 3 2 = 2 2 = = ( 2 3 2) = 3 2 ( 2 2) = 5 2 como 2 5 2, entonces (3 2 2) ( 2 3 2) d.-) El número real cero (0) es un elemento identidad o neutro por la derecha para la sustracción. Observa que la diferencia de cualquier número a menos 0 es igual al número a: 2 0 = 2; - 0 = ; (3 2 2) 0 = (3 2 2). Pero cero no es elemento identidad o neutro por la izquierda. En efecto, 0 a a; 0 2 2, Multiplicación: La multiplicación de números reales es una operación que asocia a cada par de números reales a y b, llamados factores; un único número real c, llamado producto de a y b. La multiplicación es una función definida así: R x R R (a, b) c= a. b producto factores 18

19 19 Franklin Eduardo Pérez Quintero Propiedades de los números reales (en la multiplicación): a.-) si a y b son números reales, entonces su producto a b es un número real. Por satisfacer esta propiedad, se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la multiplicación. b.-) Propiedad conmutativa: En la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces: a b = b a. c.-) Propiedad asociativa: En la multiplicación de números reales, la forma de agrupar los factores no altera el producto. Es decir, si a y b son dos números reales, entonces: a b c = (a b) c = a (b c) d.-) Existencia de elemento identidad o elemento neutro: en el conjunto R de los números reales, el número real uno (1) es el elemento identidad o neutro para la multiplicación porque el producto de cualquier número a por 1 es a. Es decir, si a es un número real, entonces: a 1 = 1 a = a. e.-) Existencia de elemento simétrico o inverso: para cualquier número real no nulo a, existe otro número real 1/a = a -1, llamamos inverso de a tal que: a 1 / a = 1 ó a a -1 = 1. f.-) Propiedad distributiva con respecto a la adición: así, multiplicar un número real por una suma indicada de números por cada uno de los sumandos y luego sumar los productos obtenidos. Es decir, si a, b y c son números reales, entonces: (a + b) c = a c + b c a c + b c = (a +b) c 19

20 20 Franklin Eduardo Pérez Quintero g.-) Factor cero: Todo número multiplicado por cero da cero. Es decir, si a es un número real entonces: a 0 = 0; 3 0 = 0; 5 0 = 0, = 0, (-4) 0 = 0. División de números reales: la división es la operación inversa de la multiplicación, mientras en la multiplicación se dan los factores y se trata de calcular el producto: a. b = c factores producto En la división se da el producto llamado ahora dividendo y un factor llamado ahora divisor y se trata de calcular el otro factor, llamado cociente: c a c a c b, ( a 0) ó c b a,( b b 0) En la división tenemos que: a b c si y sólo si a c * b Propiedades de los números reales en la división: a.-) si a y b son números reales, con b no nulo (b 0), entonces su cociente a / b ó a b es un número real. Por satisfacer esta propiedad se dice que el conjunto de números reales es cerrado respecto a la división, con divisor no nulo. b.-) La división de números reales no es conmutativa. Observe que: c.-) La división de números reales no es asociativa: observa que: (16 4) 2 = 4 2 = 2 20

21 21 Franklin Eduardo Pérez Quintero 16 (4 2) = 16 2 = 8 y como 2 8 entonces: (16 4) 2 16 (4 2) d.-) El número real uno (1) es elemento identidad por la derecha para la división. Observa que el cociente de cualquier número real a entre 1 es igual al número a: a 1 = a ; 2 3; (2 - ) 1 (2-1 pero 1 no es elemento identidad por la izquierda: ; 2 2;. 2-2 ) e.-) El divisor en una división siempre debe ser diferente de cero. Potenciación de números reales: Una adición de sumandos iguales, se conviene en escribirlo en forma de producto, así tenemos: cuatro 3 4 * 3; cinco 7 5* 7 En forma similar, una multiplicación de factores iguales se conviene escribirlo en forma exponencial. Así tenemos: = 3 4 ; = 7 5 El pequeño número colocado en la parte superior derecha del factor que se repite es denominado exponente. El exponente indica el número de veces que el factor se repite. El factor que se repite recibe el nombre de base. 21

22 22 Franklin Eduardo Pérez Quintero El símbolo completo de base y exponente: base exponente, recibe el nombre de potencia. Así, 3 4 es la cuarta potencia de tres y 7 5 es la quinta potencia de siete. En general, si b es un número real y n un número entero positivo, entonces b n se le llama una potencia de base b y significa el producto de b por sí mismo n veces, es decir: Ejemplo: b n b b b... b n veces 5 2 = 5 5 = 25 la base 5 se multiplica por si misma 2 veces La potencia de exponente 2 recibe el nombre de cuadrado. Así: 3 2 se lee tres al cuadrado o el cuadrado de tres. La potencia de exponente 3 recibe el nombre de cubo. Así ³ se lee pi al cubo ó el cubo de pi. La potencias de exponentes 4, 5, 6... reciben el nombre de cuarta, quinta, sexta,... potencia. Así: (2-5) 4 : cuarta potencia de2-5 ó 2-5 a la cuarta. Se conviene en lo siguiente: 1. La potencia de base un número real no nulo y de exponente cero es uno : a 0 = 1, a La potencia de base un número real y exponente uno es el mismo número real: b 1 = b Así: 10 1 = 10; ( 2 3) 1 = 2 3; 1 =. Propiedades: a- Todo número real negativo elevado a un exponente impar, nos da como resultado una potencia negativa. 22

23 23 Franklin Eduardo Pérez Quintero Si: (- a) impar = - b Ejemplo: (- 8) 3 = (- 8) x (- 8) x (- 8) =- 512 b- Todo número real negativo elevado a un exponente par, nos da como resultado una potencia positiva. Si: (-a) par = +b Ejemplo: (- 8) 2 = (- 8) x (- 8) = +64 c- Todo número elevado a una potencia cero es igual a uno. Si a y a pertenecen a los Reales, entonces a 0 =1 y (-a) 0 =1 d- Potencias de bases iguales: Si a Є R, a 0 y m, n Є N, a m x a n = a m+n Ejemplo: = = 2 3 = 2 x 2 x 2 = 8 e- División de bases iguales: Para la división se deben hacer varias consideraciones: 23

24 24 Franklin Eduardo Pérez Quintero f- Potencia de una potencia: Si a Є R, a 0 y m, n Є N, (a m ) n = a m x n Ejemplo: (2 2 ) 3 = 2 2 x 3 = 2 6 = 2x2x2x2x2x2 = 64 g- Todo número elevado a la potencia -1, es igual a su recíproco Si a -1 Є R entonces a -1 = h- Potencia de un fraccionario: Si a, b Є R, b 0 y m Є N. ( ) m = a m /b m Radicación de Números Reales: La radicación es uno de las operaciones inversas de la potenciación. Mientras en la potenciación se dan la base y el exponente y se trata de calcular la potencia: base b n exponente = a potencia En la radicación se da el índice de la raíz, la cantidad subradical y se halla la raíz: 24

25 25 Franklin Eduardo Pérez Quintero = b Índice raíz cantidad subradical Dados dos números racionales cualquiera a, b y n un número natural, entonces la raíz enésima de a es b si y sólo si b n = a, se denota: = b si y solo si b n = a Recolectemos lo aprendido En la siguiente tabla encontrarás algunos números y la posibilidad de distinguirlos entre racionales e irracionales, luego de cada uno hay una casilla para la autoevaluación para lo cual debe confrontar si tu respuesta es buna o mala, al final podrás analizar el porcentaje de dominio del tema Número Racional Irracional Auto evaluación % Dominio π

26 26 Franklin Eduardo Pérez Quintero ⅝ Escribe dos ejemplos inventados por ti de números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Luego, que el maestro discuta los resultados auto evalúate en la casilla siguiente e infórmale al maestro el grado de dominio que mostraste en ambas actividades. Números Ejemplo 1 Ejemplo 2 Auto evaluación % Dominio Naturales Enteros Racionales Irracionales Reales Determinar la propiedad asociativa de estos números racionales 6 7 ( ( 3) 5 3) (-21) Determinar las siguientes potencias 26

27 27 Franklin Eduardo Pérez Quintero a ² 8² 9 64 b ³ 5³ c ( 5) d La siguiente actividad debes realizarla en grupos, preferiblemente de tres personas, con tus compañeros de clase. Materiales Tres objetos circulares a cada grupo que pueden ser latas de galletas, platos, tapas de envases, latas de habichuelas, etc. Los objetos por grupo pueden ser distintos. Cinta métrica (preferiblemente una para cada estudiante) Calculadora Procedimiento: Mide, en centímetros, la circunferencia de cada objeto circular que se te ha dado y anótalo en la columna 2 de la tabla. Mide en centímetros el diámetro de cada objeto circular que se te ha dado y anótalo en la columna 3 de la tabla. 27

28 28 Franklin Eduardo Pérez Quintero Utilizando la calculadora aproxima, a dos lugares decimales, la razón entre la circunferencia y el diámetro. Anótalo en la columna 4. Objeto Medida Circunferencia Medida Diámetro Circunferencia / Diámetro 28