Funciones elementales

Funciones elementales

Funciones lineales (I) En este grupo incluimos todas las funciones cuya varaible independiente, x, está afectada solo por sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces. Funciones polinómicas Son aquellas funciones cuya expresión analítica viene dada por un polinomio. Vamos a ver los casos más representativos. Función constante f(x)=k Sea cual sea el valor de x, f(x) siempre valdrá k donde k simboliza un número cualquiera. f (x)=3

Funciones lineales (II) Función afín f(x)=mx+n Las funciones polinómicas de grado 1 tienen como gráfica una recta. Si n=0 se les llama funciones lineales. La función identidad f(x)=x es una función lineal. Para representarla basta con hacer una tabla de valores con dos pares de ellos ya que su dibujo es una recta. f (x)= 2 3 x+3 x y=f(x) 0 3 3 5 Llamamos m a la pendiente. Si es positiva la recta es creciente, si es negativa la recta es decreciente. Llamamos n a la ordenada en el origen. Este valor nos indica a que altura corta la función cuando la x=0

Ecuación de la recta dados dos puntos. x y 3 5 Vamos a calcular la ecuación de una recta a través de dos puntos de ella. En este ejemplo los puntos (3,5) y (6,7) y=mx+n 6 7 1º Paso: Utilizando los puntos (3,5) y (6,7) sacamos el valor de la pendiente m. (Es igual que hacer la TVM). m= y 2 y 1 x 2 x 1 m= 7 5 6 3 = 2 3 1º Paso: Una vez que tenemos el valor de m, vamos a sacar el valor de la ordenada en el origen, la n. Para ello podemos usar cualquiera de los dos puntos, en este caso el (3,5). Una vez elegido solo tenemos que sustituir y despejar el valor de n. y=mx+n y= 2 3 x+n 5= 2 3 3+n 5=2+n n=3 y= 2 3 x+3

Funciones definidas a trozos(i) En ocasiones las funciones no vienen dadas por una única expresión y su expresión es diferente según la zona de su dominio que se considere. Cuando queremos evaluar un número tenemos que ver a que función le toca. f (x)= { 3 x 2 si x 3 x si x>3 Vamos a probar, por ejemplo, con los números 2, 3 y 5. f (2)=3 2 2=4 f (3)=3 3 2=7 f (5)=5=5 Como el 2 es menor que el 3 utilizamos la primera función. Como el 3 es igual que el 3 utilizamos la primera función. Como el 5 es mayor que el 3 utilizamos la segunda función. Cómo se representa una función a trozos? Para dibujar funciones a trozos se dibuja cada trozo de forma independiente. Para dibujar rectas hay que dar al menos dos puntos y los extremos tienen que estar incluidos. Para dibujar parábolas es necesario hallar su vértice, sus cortes con los ejes y su valor en los extremos para realizar un dibujo preciso.

Funciones definidas a trozos(ii) Dada una función a trozos lineal también podemos obtener su expresión analítica. Veamos un ejemplo: 1º Paso. En este tipo de problemas debemos de obtener la expresión analítica de cada recta por separado. Como hay dos rectas distintas debemos de obtener dos expresiones. La primera recta pasa, por ejemplo, por los puntos (1,-1) y (2,1). Aplicando lo que hemos visto anteriormente obtenemos: y=2 x 3 La segunda recta es constante por tanto su expresión es directa: y=2 2º Paso. Finalmente toca ver en que intervalos de la x es válida cada función. En este caso la primera recta es válida para todas las x menores o iguales que 2, y la segunda recta para los valores mayores que dos. Analíticamente esto se expresa de la siguiente forma: f (x)= { 3 x 2 si x 2 2 si x>2

Parábolas (I) Función cuadrática f(x)=ax² + bx + c Las funciones polinómicas de grado 2 tienen como gráfica una parábola. Si a es positiva la parábola irá hacia arriba mientras que si es negativa irá hacia abajo. a positiva Ejemplo: f(x)=x² Nota: El vértice es el máximo o el mínimo de la parábola. a negativa Ejemplo: f(x)=-x²

Parábolas (II) Para representarla de una manera aproximada es necesario hallar su vértice así como los puntos de corte con los ejes. Vértice Para obtener la coordenada x del vértice utilizaremos la siguiente expresión. x= b 2 a La coordenada y se obtiene sustituyendo el valor de x anterior en la función. y=f ( b 2 a ) x= 6 2 1 =3 y=f (3)=3 2 6 3+5= 4 f (x)=x 2 6 x+5 Cortes con el eje x (y=0) En este caso, la y, es decir, la f(x) vale 0. Por tanto tenemos que resolver la ecuación de segundo grado que nos aparece. 1 x 2 6 x+5=0 5 `Por tanto cortaremos el eje x en los puntos (1,0) y (5,0) Por tanto el vértice de la parábola se encontrará en el punto (3,-4) Corte con el eje y (x=0) Cuando nos encontramos en un eje el otro vale 0. Por tanto si estamos en el eje y la x será 0 y tan solo tenemos que sustituir. y=f (0)=(0) 2 6(0)+5=5 `Por tanto cortaremos el eje y en el punto (0,5)

Función racional e inversa (I) Funciones racionales o de proporcionalidad inversa Son funciones de la forma: f (x)= P(x) Q(x) f (x)= 1 x A este tipo de funciones, donde P(x) es una constante se le denomina funciones de proporcionalidad inversa. Si el numerador es positivo la función estará en el primer y tercer cuadrante. Si es negativo en el segundo y cuarto cuadrante. Nota: Recordemos que hay que excluir de su dominio todos los puntos que hacen que Q(x) valga 0. f (x)= 1 x f (x)= 1 x 1 f (x)= 1 x +2

Función racional e inversa (II) La expresión básica de una función inversa puede expresar también de esta otra forma, la cual nos será útil para resolver problemas. f (x)= a x y= a x x y=a Mediante estas funciones podemos representar que sucede con dos magnitudes inversamente proporcionales. Unos de los ejemplos más habituales es la velocidad y el tiempo. Si queremos recorrer 300 km podemos hacerlo a distintas velocidades, cuanto más rápido vayamos (mayor velocidad) menos tiempo tardaremos. Es decir al aumentar una disminuye la otra. Vamos a hacer una pequeña tabla utilizando valores al azar para la velocidad (x): Velocidad (x) 1 km/h 2 km/h 3 km/h 50 km/h 300 km/h Tiempo(f(x)) 300 h 150 h 100 h 6 h 1 h Cuando dos magnitudes son inversamente proporcionales su producto es siempre constante. Basta entonces con escoger una pareja para resolver el problema en cuestión. Por ejemplo la segunda columna. 2 150=300=a f (x)= 300 x De esta forma hemos obtenido la expresión analítica de la función que nos relaciona la velocidad (x) con el tiempo (f(x)) para una distancia de 300 km.

Funciones radicales Funciones radicales Son funciones donde la x aparece dentro de una raíz de grado n. Recordemos que el dominio de estas funciones son aquellos intervalos donde la raíz tiene sentido. f (x)= x f (x)= x f (x)= x f (x)= x f (x)= x +4 f (x)= x+2

Funciones exponenciales (I) Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma y=a x, siendo a un número real positivo distinto de 1. Si es mayor que 1 la función será creciente. Si es menor que 1 la función será descendiente. Las funciones exponenciales de este tipo siempre valen 1 cuando x=0. f (x)=( 1 2 ) x f (x)=2 x

Funciones exponenciales (II) Cuanto mayor es el valor de a, para a mayor que 1, más rápido crece la función. f (x)=10 x f (x)=3 x f (x)=2 x f (x)=100 x

Funciones exponenciales (III) Cuando a es menor que 1, cuanto mas pequeña sea, más rápido decrece la función. f (x)=( 1 2 ) x f (x)=( 1 3 ) x f (x)=( 1 10 ) x f (x)=( 1 100 ) x

Funciones exponenciales (IV) Las funciones exponenciales tienen algunos problemas típicos: a) Tenemos 3 células y estas se duplican cada día. Obtén su expresión algebraica y el valor para dentro de 48 horas días. f (x)=3 2 x f (2)=3 2 2 =12 Es muy importante meter los datos en las unidades correctas. Si la expresión es para días debemos pasar primero las 48 horas a días. 48H=2 días. b)tenemos 100 y los metemos en un depósito que hace que se incremente un 6% cada año. Obtén su expresión algebraica. Y el valor para dentro de 2 años. f (x)=100(1+0,06) x f (2)=100(1+0,06) 2 =112,36 c)un bosque de 1 hectárea duplica su tamaño cada dos años. Obtén su expresión algebraica y su valor para dentro de 3 años. x f (x)=1 2 Cuando el crecimiento no es cada año, día, hora etc, basta con dividir el exponente por el dato que nos 2 f (3)=1 2 2 =2,82hectáreas dan. En este caso se duplica CADA 2 AÑOS. d)una población de 1000 habitantes disminuye un 10% cada año. Obtén su expresión algebraica y calcula cuanto tiempo tardará en haber 500 habitantes. 3 f (x)=1000(1 0,1) x 500=1000(1 0,1) x En ocasiones nos darán el valor de f(x) y querremos sacar la x. Para ello necesitaremos utilizar la función inversa de la exponencial. La función logarítmica.

Funciones logartítmicas (I) Son las funciones inversas a las funciones exponenciales del tipo y=log a x. Su dominio es de (0,+ ). Pasa por los puntos (1,0) y (a,1). Su gráfica es simétrica con respecto a la recta y=x de una función exponencial del tipo a x. f (x)=2 x f (x)=( 1 2 ) x f (x)=log 2 x f (x)=log 1 x 2

Funciones logartítmicas (II) Para despejar la x e una función exponencial necesitamos utilizar su correspondiente logarítmica de la siguiente forma: x= tiempo f(x)= cantidad f (x)=k a x f (x)=log a x k x= cantidad f(x)= tiempo f (x)=2 3 x f (x)=log 3 x 2 Ahora ya podemos resolver el apartado que nos habíamos dejado antes: d)una población de 1000 habitantes disminuye un 10% cada año. Obtén su expresión algebraica y calcula cuanto tiempo tardará en haber 500 habitantes. x= años f(x)= población f (x)=1000(1 0,1) x x f (x)=1000(0,9) x f (x)=log 0,9 ( 1000 ) x= población f(x)= años f (500)=log 0,9 ( 500 )=6,57 años 1000

Puntos de corte entre funciones. Para hallar los puntos de corte entre funciones es necesario resolver un sistema de ecuaciones. Por lo general se resuelve rápidamente mediante el método de igualación ya que tenemos la y, f(x), despejada. Veamos un ejemplo: { f (x)=x+1 f (x)=x 2 { y=x+2 y=x 2 x+2=x 2 x 2 x 2=0 x=2 x= 1 y=4 y=1

Funciones con valor absoluto Una función con un valor absoluto se puede expresar como una función definida a trozos. Recordemos que el valor absoluto no afecta a las expresiones que contiene si estas son positivas. Sin embargo les cambia el signo si son negativas. f (x)= x 2 1 x 2 1=0 x 2 =1 x=±1 + - + + -1 1 x f (x)={ 2 1 si x 1 (x 2 1) si 1< x<1 x 2 +1 si x 1

Modificaciones: traslaciones Si sumamos un número a a la función está se desplazará sobre el eje y hacia arriba si a es positivo o hacia abajo si a es negativo. f (x)=x 2 f (x)=x 2 +2 f (x)=x 2 2 Si sumamos un número a a la variable la gráfica se desplazará sobre el eje x hacia la izquierda si es positiva y hacia la derecha si es negativa, en contra de lo que la intuición pudiese decirnos en un principio. f (x)=x 2 f (x)=(x+2) 2 f (x)=(x 2) 2