Bioestadística
Probabilidad Experimento: Desde el punto de vista de probabilidades será "cualquier acto que pueda repetirse en igualdad de condiciones, que arroje resultados medibles". Ej. Arrojar un dado o una moneda. Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se denomina con S ( ), en los ejemplos S={1,,3,4,5,6}.o S={cara, seca}
Probabilidad Evento o Suceso: Es un subconjunto de resultados de un experimento, puede estar formado por uno o más elementos del espacio muestral (puntos muestrales). Se denotaran con letras mayúsculas, de manera similar a la teoría de conjuntos. En el ejemplo del dado: A={sale par}={,4,6}. Sucesos mutuamente excluyentes Son aquellos en que la presencia de uno impide la del otro, es decir no pueden ocurrir simultáneamente. Ejemplo: A={sale par}, B={sale impar}. En terminos de conjuntos: A B
Probabilidad Definición clásica de Probabilidades (Def. a priori): Si un experimento aleatorio puede producir n resultados mutuamente excluyentes, siendo todos igualmente probables y si f de estos resultados se consideran favorables, la probabilidad de que aparezca un resultado favorable es el número de casos favorables dividido el número de casos posibles. P( A) f n nº de casos favorables nº de casos posibles
Probabilidad Teoría del límite de la frecuencia relativa (Def. posteriori): "Si un experimento aleatorio se realiza n veces con f éxitos, luego la frecuencia relativa, cuando n aumenta, tiende al valor de la probabilidad". Entonces la probabilidad de éxito será: P( A) = Lim f n = p n A
Probabilidad Teoría Axiomática de la Probabilidad (Kolmogorov, 1937): "Esta definición enuncia 3 axiomas que debe cumplir una función de probabilidad. Sea A un suceso en un espacio muestral se cumple: 1) P(A) 0 ) P( S ) = 1 Siempre que sean excluyentes. para todosuceso A 3) P(A 1 A... A k)= P(A 1)+ P(A )+...+ P(A k)
Probabilidad Consecuencias de la Teoría Axiomática: 1 era Ley Los valores que puede tomar la probabilidad están entre 0 y 1. 0 P( ) 1
Probabilidad Consecuencias de la Teoría Axiomática: da Ley (ley de la suma) Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes la probabilidad de obtener el suceso A o B es igual a la suma de la probabilidad de A más la probabilidad de B P ( A o B ) = P ( A) + P ( B ) si A y B no son mutuamente excluyentes P ( A o B ) = P ( A) + P ( B ) - P( A B )
Probabilidad Consecuencias de la Teoría Axiomática: 3 era Ley (ley de la multiplicación) Dos sucesos A y B pertenecientes a S son "estadísticamente independientes" si: P (A y B) = P (A B) = P (A) Si A y B no son "estadísticamente independientes" P (B). P (A y B) = P (A B) = P (A) P ( B )= P (B) P( A A ) B
Variable Aleatoria Es una función que asigna un valor a cada elemento del espacio muestral Al arrojar un dado, se puede definir una variable aleatoria X como: X = resultados posibles al arrojar un dado. Los valores posibles para X son: x 1 =1; x =; x 3 =3; x 4 =4; x 5 =5; x 6 =6. Variable aleatoria X: longitud de las patas de cierto tipo de abejas, los valores de la v.a.: x 1 =35,6 ; x =38,5 ;...; x i =40 ;...; x n =38,, etc.
Variable Aleatoria Variables Aleatorias Continuas: Funciones de probabilidad: función densidad de probabilidad: f(x) Variables Aleatorias Discretas: Funciones de probabilidad: función distribución de probabilidad: p(x) En ambos casos la función acumulada se designa con F(x)=P(X x)
Variable aleatoria: Cantidad de machos producto de una gestación de 3 cachorros MMM MHH HMH HHM MMH MHM HMM HHH 3 1 0
0.4 fdp 0.3 0. 0.1 0 0 1 3 Núm.de hembras
Funciones de Probabilidad (fdp) Función a partir de la cual se obtienen las probabilidades para los posibles valores de la variable 1) p(xi) o f(x i) 0 ) n p(x ) 1 o i 1 i f (x) dx 1 3) F (x i )= P (X x i )= i j1 p (x j ) o = x i f (x)dx
Ejemplo: Experimento de arrojar simultáneamente dos dados. Espacio muestral:s = {(1,1), (1,), (1,3),..., (6,6)} con 36 puntos muestrales. X v.a. suma de los dados. x Sucesos P(x) P(x) F(x) {(1,1)} 1/36 =0.08 1/36 3 {(1,), (,1)} /36 =0.056 3/36 4 {(1,3), (,), (3,1)} 3/36 =0.083 6/36 5 {(1,4), (,3), (3,), (4,1)} 4/36 =0.111 10/36 6 {(1,5), (,4), (3,3), (4,), (5,1)} 5/36 =0.139 15/36 7 {(1,6), (,5), (3,4), (4,3), (5,), (6,1)} 6/36 =0.167 1/36 8 {(,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,)} 5/36 =0.139 6/36 9 {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} 4/36 =0.111 30/36 10 {(4,6), (5,5), (6,4)} 3/36 =0.083 33/36 11 {(5,6), (6,5)} /36 =0.056 35/36 1 {(6,6)} 1/36 =0.08 36/36
0.0 fdp 0.15 0.10 0.05 0.00 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 X
1.00 F(x) 0.80 0.60 0.40 0.0 0.00 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 X
Ejemplo: Experimento de arrojar simultáneamente 3 dados. Espacio muestral:s = {(1,1,1),..., (6,6,6)} con 16 puntos muestrales. X v.a. suma de las 3 caras superiores. X frec. P(x) F(x) 3 1 0.005 0.005 4 3 0.014 0.019 5 6 0.08 0.046 6 10 0.046 0.093 7 15 0.069 0.16 8 1 0.097 0.59 9 5 0.116 0.375 10 7 0.15 0.500 11 7 0.15 0.65 1 5 0.116 0.741 13 1 0.097 0.838 14 15 0.069 0.907 15 10 0.046 0.954 16 6 0.08 0.981 17 3 0.014 0.995 18 1 0.005 1.000
fdp 0.14 0.1 0.10 0.08 0.06 0.04 0.0 0.00 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 X
F(x) 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.0 0.10 0.00 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 X
fdp 0.18 0.16 0.14 0.1 0.10 0.08 0.06 0.04 0.0 0.00 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 X
PARÁMETROS Esperanza Matemática Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(x). La esperanza matemática de X es: Varianza Matemática V(x) E (X)= n 1 i= E(x x i p(xi ) ) E(x) Donde E(X )= Asimetría Curtosis x i i p(x i )
Variables discretas Distribución de probabilidades Binomial Poisson Variables continuas Distribución de frecuencias Normal (Gauss) Student (Gosset) Chi (Pearson) F de Snedecor
Modelos Probabilísticos Distribución Binomial P( X k) n p k k (1 p) nk n! k!( n k)! p k q nk, 0 k n E(X)=np, Var(X)=npq Características solo dos resultados posibles: éxito y fracaso p y q contantes en cada prueba. que el experimento pueda repetirse (n pruebas ) independencia de los experimentos
Ejemplo Se sabe que una perra Ovejero Alemán tendrá 6 cachorros en una misma gestación: Calcular la probabilidad de que solo sean macho.. n=6, X= (cantidad de machos) p=0.5 (probabilidad de macho) q=0.5 P 6!!(6 65 43 1 1 43 1 6 ( x ) 0.5 0.5 0.5 )! 0.5 4 P( x ) 15 0.5 0.065 0.344
Modelos Probabilísticos Distribución de Poisson f ( X k, ) k e k! 0 si en X 0, 1,,... otro caso Características E(x)= y Var(x)= la variable aleatoria es conteo en una unidad de tiempo o espacio la probabilidad de ocurrencia es baja el número de experiencias es alto
Ejemplo En una experiencia realizada en una plantación de girasol sometida a polinización un investigador estimó que el promedio de visitas fue de 15 abejas por hora y por capítulo, utilizando,5 colmenas por ha. Calcular la probabilidad de que una planta reciba 40 abejas en 3 horas Si en una hora una planta recibe 15 visitas en 3 horas recibe en promedio 45 visitas, entonces: P( x k) k e k! P( x 40) 40 45 e 40! 45 0.04716
Distribuciones continuas Distribución Normal ( z ) Distribución t de Student. Distribución de Pearson Distribución F de Snedecor
PARÁMETROS Esperanza Matemática Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(x). La esperanza matemática de X es: E (X)= Varianza Matemática V ( x)
Distribución normal Distribución Normal o de Gauss ( z ) f ( x) 1 e 1 x Donde y son los parámetros de la distribución << y >0
Distribución normal -5 0 5 10 15 0 5 30 N(0,1) N(0,1) N(0,4)
Distribución normal Si X se distribuye normal
Distribución normal P(X x 0 ) P(X x 0 ) x 0
Distribución normal P(X x 0 ) P(X x 0 ) x 0
Distribución normal Si X~N(, ) z x, luego Z~N(0,1), -5 0 5 10 15 0 5 30 N(0,1) N(0,4)
Ejemplo: Distribución normal Se sabe que la longitud del cuerpo de las abejas reinas de un determinado apiario sigue una distribución aproximadamente normal con una media de cm. y una desviación estándar de 0.046cm, Cual es la probabilidad de que una abeja reina elegida al azar mida más de.1cm? Sea X la variable aleatoria longitud de las abejas reinas en esa población, X~(;0.00116), luego, P( X. 1) P( X. 1 ) 0. 046 P( Z. 17 ) 0. 015
Distribución Si X 1, X, X n son distribuciones normales independientes cada una con su media y variancia: Luego U n X i ~N( i, i) n X i i Z i1 i1 i i Tiene distribución con n grados de libertad
Distribución P(X n<x p,n)=p X (p,n)
Distribución t de Student Si luego X~N(, ) y U (gl) con gl=n-1 t X U n Tiene distribución t con n-1 grados de libertad
Distribución t de Student P(t< t o )= 1- t o
Distribución F de Snedecor Si luego V (n 1-1) y U (n -1) independientes F V n 1 U n 1 Tiene distribución F con n 1-1 y n -1 gl. 1
Distribución F de Snedecor P(F<Fo n1,n )=p Fo (n1,n)
Estadística analítica o inferencial
Estadística analítica o inferencial Inferencia obtener conclusiones validas para una población a partir de la información que nos brinda una porción pequeña de ella (muestra).
Estadística analítica o inferencial Estimación Puntual Intervalos de confianza Test de Hipótesis
Estadística analítica o inferencial Tipos de estudios Experimentales: Se asigna aleatoriamente el tratamiento Observacionales: La unidad experimental o unidad observacional ya tiene el tratamiento asignado.
Estimación Puntual Promedio Parámetro Estimador
Estimación Puntual Parámetro Estimador Promedio x
Estimación Puntual Parámetro Promedio Variancia Estimador x
Estimación Puntual Promedio Parámetro Estimador Variancia S x
Estimación Puntual Promedio Parámetro Estimador Variancia S Proporción x
Estimación Puntual Promedio Parámetro Estimador Variancia S Proporción p x
Estimación Puntual Promedio Parámetro Estimador Variancia S Proporción p Correlación x
Estimación Puntual Promedio Parámetro Estimador Variancia S Proporción p Correlación r x
Estimación Puntual Promedio Parámetro Estimador Variancia S Proporción p Correlación r Regresión: ordenada al origen x pendiente
Estimación Puntual Promedio Parámetro Estimador Variancia S Proporción p Correlación r Regresión: ordenada al origen a pendiente b x
Estimación por Intervalos P( Li Ls) 1 Cada intervalo particular dependerá del parámetro y de la distribución estadística asociada (Normal, t, Chi ). Nivel de confianza
Estimación por interv. de confianza Para el promedio, con varianza conocida: Para el promedio con varianza desconocida: 1.. 1, 1, n S t x n S t x P gl gl 1 1 1 n ˆ. Z x n ˆ. Z x P
Estimación por interv. de confianza Para la diferencia de medias, con varianzas conocidas 1.. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n Z x x n n Z x x P 1.. 1 1 ;1 1 1 1 ;1 1 1 1 1 n S n S t x x n S n S t x x P n n n n Para la diferencia de medias, con varianzas desconocidas
Estimación por interv. de confianza Para la varianza con distribución normal: 1. 1.. 1. 1 gl x S n gl x S n P
Estimación por interv. de confianza Para la proporción (o prevalencia): P p Z. p( 1 n p ) P p Z p( 1 p ) 1 1 1 n.
Ejemplos Para estimar el contenido vitamínico de un alimento se tomó una muestra de tamaño 30 y se determinó que 35 g y S =7. a) Construir un intervalo de confianza del 95% para. P x t S. x t. 1 gl, gl, 1 1 n n S 7 7 35. 045. 35. 045. 30 5. 477 35. 045. 1. 78 35. 614 3. 386 37. 614
b) Construir los un intervalo de confianza del 95%. para. P X n 1.S n 1 ( gl, 1 X.S ) ( gl, ) 17 9 30 45. 7 49 16. 047 1 141 45. 7 141 16. 047 31. 079 88. 55
Estadística
Estadística analítica o inferencial Estimación Puntual Intervalos de confianza Test de Hipótesis
Estadística analítica o inferencial Tipos de estudios Experimentales: Se asigna aleatoriamente el tratamiento Observacionales: La unidad experimental o unidad observacional ya tiene el tratamiento asignado. Retrospectivos: Casos y controles Prospectivos: Cohorte Transversal:
Ensayos comparativos Cuál es mi objetivo? Qué es lo que quiero saber? Por qué quiero saberlo?
Ensayos comparativos Identificar los factores que influyen Cuales son variables Cuales hay que mantener constantes Identificar las características a medir Procedimiento de medición de la ó las características Determinar el número de repeticiones Precisar los recursos y materiales
Experimento es una investigación que establece un particular conjunto de circunstancias bajo un protocolo especifico con motivo de observar y evaluar los resultados.
Experimento comparativo: Es el experimento típico en el campo de la biología, medicina veterinaria, agricultura. El objetivo comparativo implica establecer más de una circunstancia y las respuestas observadas resultan de las diferentes circunstancias y pueden ser comparados unos con otros. La unidad básica de estudio se denomina unidad experimental.
Estudio observacional comparativo: Cuando la experiencia no puede llevarse a cabo por razones éticas o prácticas. La unidad básica de estudio tiene el mismo rol que la unidad experimental y se la denomina unidad observacional.
Tratamiento: es el conjunto de circunstancias creadas por el experimentador en respuesta a la hipótesis a investigar y ellos son el foco de la investigación. Tratamiento control o testigo Tratamiento placebo
Test de Hipótesis Plantear las hipótesis (nula y alternativa) Elección del estadístico Determinar el nivel de confianza: (1-)100 Determinar la zona de rechazo Cálculo del estadístico Conclusión
Hipótesis Bilateral Unilateral derecha Unilateral izquierda H 0 : 0 H 0 : 0 H 0 : 0 H 1 : 0 H 1 : > 0 H 1 : 0
Tipos de errores Acepto H 0 Rechazo H 0 H 0 verdadera No hay error Error de Tipo I () H 0 Falsa Error de Tipo II () No hay error
Test de Hipótesis Una población Test t y z Dos poblaciones Test t Chi (nominales) Más de dos poblaciones ANOVA (DCA) Datos pareados Test t ANOVA (DBCA)
Ejemplo Un vendedor de semen asegura que un toro produce terneros con un peso al nacimiento menor a 4 Kg. Para probarlo se inseminaron las vaquillonas de un establecimiento y se registró el peso de los terneros al nacimiento. De un total de 100 terneros se obtuvo un peso promedio de 41.3 Kg. Sabiendo que la variancia de la población es de 9 Kg, es cierto lo que afirma el vendedor, con un 95 % de confianza?
Test de hipótesis 1) Planteo de la hipótesis: H0: 4 H1: < 4 ) Estadístico: Test de z x z Ho 0 n 0
Test de hipótesis 3) Nivel de confianza: (1-) 100 95 % 0.05 4) Regla de decisión: z Ho z 0.05 1. 64
Test de hipótesis 5) Cálculo: z H 41.3 4 3 100 0.7 0.3 0.333 (P= 0.0098) 6) Conclusión: La evidencia estadística permite rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto el toro al cual hace referencia el vendedor, produce terneros con un peso al nacimiento significativamente menor a 4 Kg.
Test de hipótesis Test t para comparar una media desconociendo x t 0 H 0 S n
Test de hipótesis Test t para comparar dos medias desconociendo las variancias t Ho x x 1 S 1 n 1 S 1 n
Test de hipótesis Test t para datos apareados t H 0 d S D D n
Test de hipótesis Test F para comparar variancias F H 0 Mayor Menor