Boletines de problemas de Matemáticas II Problemas resueltos del Boletín Problema. Dada la curva r (t) = t [0, π], parametrizarla naturalmente. ( (cos t + t sen t), (sen t t cos t), t ), con En primer lugar, veamos si la curva está ya parametrizada naturalmente. Para ello, hay que comprobar si r (t) =, para todo t [0, π]. ( ) r (t) = t cos t, t sen t, t r (t) = t cos t + t sen t + t = 4t = t Por tanto, la curva no está parametrizada naturalmente. Para parametrizarla naturalmente, en primer lugar, hallamos la relación entre los parámetros s y t: s = t dt = t = t = s Por tanto, la curva parametrizada naturalmente nos queda r (s) = ( ( cos s + s sen s ), ( sen s s cos s ), s ), con s [0, 4π].
Problema. Dada la curva r (t) = Frenet cuando t = 0. ( e t, e t, ) t, hallar los elementos del triedro de Vemos que el valor t = 0 define el punto P = (,, 0). Obsérvese que para hallar los elementos del triedro de Frenet, no necesitamos conocer los vectores del triedro de Frenet, sino sus respectivas direcciones. En efecto, sabemos que el vector tangente unitario en P es paralelo a r (0). Sabemos que el vector binormal es paralelo a r (0) r (0). Por último, sabemos que el vector normal principal es paralelo al vector que resulta de multiplicar vectorialmente r (0) r (0) por r (0). Calculamos dichos vectores: r (t) = ( e t, e t, ) = r (0) = (,, ) r (t) = (e t, e t, 0) = r (0) = (,, 0) r (0) r (0) = i j k 0 ( r (0) r (0) ) r (0) = Elementos del triedro de Frenet: Recta tangente: x = y = z = = i j k { (, ) (,,, ) = x + y = y + z = Plano normal: (x ) (y ) + z = 0. Recta binormal: x = y = z { = x + y = y z = Plano osculador: (x ) + (y ) + z = 0. ( 4, 4, 0 ) (,, 0) Recta normal principal: x = y = z 0 = { x y = 0 z = 0 Plano rectificante: (x ) + (y ) = 0
Problema 3. Dada la curva r (t) = (t cos t, sen t, t), hallar los elementos del triedro de Frenet en el punto (, 0, 0). En primer lugar, veamos qué valor del parámetro t define el punto P. Para ello, basta resolver el sistema t 0 cos t 0 = sen t 0 = 0 t 0 = 0 de donde deducimos claramente que t 0 = 0. De igual modo que en el problema anterior, debemos notar que para hallar los elementos del triedro de Frenet, no necesitamos conocer los vectores del triedro de Frenet, sino sus respectivas direcciones. Sabemos que el vector tangente unitario en P es paralelo a r (0). Sabemos que el vector binormal es paralelo a r (0) r (0). Por último, sabemos que el vector normal principal es paralelo al vector que resulta de multiplicar vectorialmente r (0) r (0) por r (0). Calculamos dichos vectores: r (t) = ( + sen t, cos t, ) = r (0) = (,, ) r (t) = (cos t, sen t, 0) = r (0) = (, 0, 0) r (0) r (0) = ( r (0) r (0) ) r (0) = Elementos del triedro de Frenet: Recta tangente: x + Plano normal: x + + y + z = 0. Recta binormal: x + 0 Plano osculador: y z = 0. = y = z = { x y = y z = 0 = y = z = { i j k = (0,, ) 0 0 i j k 0 = (,, ) x = y + z = 0 Recta normal principal: x + = y = z = { x + y = y z = 0 Plano rectificante: (x + ) y z = 0. 3
Problema 4. Dada la curva r (t) = ( t, (t + ), t 3 ), hallar los elementos del triedro de Frenet en el punto de intersección de dicha curva con el plano z = 0. El punto intersección de la curva con el plano z = 0 se obtiene imponiendo que se anule la tercera componente del vector r (t), de modo que t 3 = 0 t =. Esto significa que trabajamos con el punto P = (, 4, 0). Una vez más, debemos notar que para hallar los elementos del triedro de Frenet, no necesitamos conocer los vectores del triedro de Frenet, sino sus respectivas direcciones. Sabemos que el vector tangente unitario en P es paralelo a r (). Sabemos que el vector binormal es paralelo a r () r (). Por último, sabemos que el vector normal principal es paralelo al vector que resulta de multiplicar vectorialmente r () r () por r (). Calculamos dichos vectores: r (t) = (, (t + ), 3t ) = r () = (, 4, 3) r (t) = (0,, 6t) = r () = (0,, 6) (0,, 3) r () r () ( r () r () ) r () = Elementos del triedro de Frenet: Recta tangente: x = y 4 4 Plano normal: x + 4(y 4) + 3z = 0. i j k 4 3 0 3 i j k 9 3 4 3 = z 3 = { 4x y = 0 3y 4z = = (9, 3, ) = ( 3, 6, 39) (,, 3) Recta binormal: x 9 = y 4 3 = z = { x + 6y = 5 y z = 8 Plano osculador: 9(x ) 3(y 4) + z = 0. Recta normal principal: x = y 4 = z 3 = Plano rectificante: (x ) (y 4) + 3z = 0. { 4x + y = 8 5y + 4z = 0 4
Problema 5. Dada la curva de ecuaciones {x = a cos t, y = a sen t, z = bt}, hallar el triedro de Frenet, la curvatura, la recta tangente y el plano osculador en un punto genérico de ella. Vectores del triedro de Frenet: Luego, y r (t) = ( a sen t, a cos t, b) ; r (t) = ( a cos t, a sen t, 0) r (t) r (t) = ( ab sen t, ab cos t, a ) r (t) = a + b ; i j k a sen t a cos t b a cos t a sen t 0 r (t) t (t) = r (t) = ( a sen t, a cos t, b) a + b r (t) r (t) = a b + a 4 = a a + b r (t) r (t) b (t) = r (t) r (t) = a ( ) ab sen t, ab cos t, a = a + b n (t) = b (t) t (t) = a + b = i j k b sen t b cos t a a sen t a cos t b (b sen t, b cos t, a) a + b a + b ( (a + b ) cos t, (a + b ) sen t, 0) = ( cos t, sen t, 0) Curvatura. κ(t) = r (t) r (t) r (t) 3 = a a + b (a + b ) a + b = a a + b Recta tangente. x a cos t a sen t = y a sen t a cos t = z bt b { a cos t x + a sen t y = a = b y a cos t z = ab sen t + abt cos t Plano osculador. b sen t(x a cos t) b cos t(y a sen t) + a(z bt) = 0. 5
Problema 6. Dada la curva r (t) = (cos t sen t, sen t + cos t, t + ), parametrizarla naturalmente y hallar los elementos del triedro de Frenet en el punto (,, ). En primer lugar, veamos si la curva está ya parametrizada naturalmente. Para ello, hay que comprobar si r (t) =, para todo t R. r (t) = r (t) = ( sen t cos t, cos t sen t, ) ( sen t cos t) + (cos t sen t) + = sen t + cos t + sen t cos t sen t cos t + = 3 Por tanto, la curva no está parametrizada naturalmente. Para parametrizarla naturalmente, en primer lugar, hallamos la relación entre los parámetros s y t: 3 s s = dt = 3 t = t = 3 Por tanto, la curva parametrizada naturalmente nos queda ( ) ( ) ( ) s s s r (s) = (cos 3 sen 3, sen 3 + cos ( s 3 ), ) s + 3 Para determinar los elementos del triedro de Frenet, es más cómodo trabajar con la curva parametrizada en función de t. En primer lugar, veamos qué valor del parámetro t define el punto P. Para ello, basta resolver el sistema cos t 0 sen t 0 = sen t 0 + cos t 0 = t 0 + = de donde deducimos claramente que t 0 = 0. Sabemos que para hallar los elementos del triedro de Frenet, no necesitamos conocer los vectores del triedro de Frenet, sino sus respectivas direcciones. Sabemos que el vector tangente unitario en P es paralelo a r (0). Sabemos que el vector binormal es paralelo a r (0) r (0). Por último, sabemos que el vector normal principal es paralelo al vector que resulta de multiplicar vectorialmente r (0) r (0) por r (0). Calculamos dichos vectores: r (t) = ( sen t cos t, cos t sen t, ) = r (0) = (,, ) r (t) = ( cos t + sen t, sen t cos t, 0) = r (0) = (,, 0) r (0) r (0) = i j k 0 = (,, ) 6
( r (0) r (0) ) r (0) = Elementos del triedro de Frenet: Recta tangente: x = y = z i j k = = ( 3, 3, 0) (,, 0) { x + y = y z = 0 Plano normal: (x ) + y + z = 0 x + y + z =. Recta binormal: x = y = z = { x + y = y + z = 3 Plano osculador: x (y ) + (z ) = 0 x y + z =. Recta normal principal: x = y = z 0 = { x y = 0 z = Plano rectificante: x + y = 0 x + y =. 7
Problema 7. Hallar el triedro de Frenet, la curvatura y la torsión en un punto arbitrario de la curva r (t) = (t, t, 3 ) t3. Calculamos los vectores derivadas: r (t) = (, t, t ) ; r (t) = (0,, t) ; r (t) = (0, 0, ) Luego, r (t) i j k r (t) = t t 0 t = ( t, t, ) r (t) = + 4t + t 4 ; r (t) r (t) = t4 + t + ( r (t), r (t), r (t) ) t t = 0 t 0 0 = t 0 = 4 r (t) t (t) = r (t) = ( ), t, t + 4t + t 4 y r (t) r (t) b (t) = r (t) r (t) = ( t, t, ) + t + t 4 n (t) = b (t) t (t) = + 4t + t 4 + t + t 4 = i j k t t t t ( t + 4t + t 4 3 t, t 4, t 3 + t ) + t + t 4 Curvatura. κ(t) = r (t) r (t) r (t) 3 = t 4 + t + (t 4 + 4t + ) t 4 + 4t + Torsión. τ(t) = ( r (t), r (t), r (t) ) r (t) r (t) = 4 4( + t + t 4 ) = + t + t 4 8
Problema 8. Dada la curva r (t) = ( 3t t 3, 3t, 3t + t 3), hallar la curvatura y la torsión en cada punto. Calculamos los vectores derivadas: r (t) = ( 3 3t, 6t, 3 + 3t ) ; r (t) = ( 6t, 6, 6t) ; r (t) = ( 6, 0, 6) r (t) r (t) = i j k 3 3t 6t 3 + 3t 6t 6 6t = (8t 8, 36t, 8t + 8) = 8 (t, t, t + ) r (t) = 3 ( t ) + 4t + ( + t ) = 3 + 4t + t 4 = 3 ( + t ) = 3 (+t ) r (t) r (t) = 38 (t ) + 4t + (t + ) = 8 ( + t ) ( r (t), r (t), r (t) ) = 3 6 6 t t + t t t 0 = 08 t + t 0 t 0 0 = 6 Curvatura. κ(t) = r (t) r (t) r (t) 3 = 8 ( + t ) 54 ( + t ) = 3 3( + t ) Torsión. τ(t) = ( r (t), r (t), r (t) ) r (t) r (t) = 6 648( + t ) = 3( + t ) Obsérvese que la curvatura y la torsión son iguales en cada punto. Por tanto, se cumple que κ(t) = = constante, por lo que deducimos que la curva es una hélice. τ(t) 9
( ) Problema 9. Dada la curva 4 r (t) = 5 cos t, sen t, 3 5 cos t, hallar la curvatura y la torsión en cada punto. Calculamos los vectores derivadas: r (t) = ( 45 sen t, cos t, 35 sen t ) ; r (t) = ( 45 cos t, sen t, 35 cos t ) ; ( ) 4 r (t) = 5 sen t, cos t, 3 5 sen t i j k r (t) r (t) = 4 5 sen t cos t 3 5 sen t ( 4 = 3 ) 5 cos t sen t 3 5, 0, 4 5 5 cos t r (t) = ; r (t) r (t) = 4 ( r (t), r (t), r (t) ) 5 sen t cos t 3 5 sen t = 4 5 cos t sen t 3 5 cos t = 0 4 5 sen t cos t 3 5 sen t Curvatura. κ(t) = r (t) r (t) r (t) 3 = 3 = Torsión. τ(t) = ( r (t), r (t), r (t) ) r (t) r (t) = 0 = 0 Nótese que, puesto que la torsión es cero en todos los puntos de la curva, deducimos que se trata de una curva plana. 0
Problema 0. Hallar los elementos del triedro de Frenet para la curva de ecuaciones {x = y, z = x } en el punto (,, ). En primer lugar, debemos parametrizar la curva. Obsérvese que, por ejemplo, una parametrización sería r (t) = ( t, t, t 4), con t R En segundo lugar, veamos qué valor del parámetro t define el punto P. Para ello, basta resolver el sistema t 0 = t 0 = t 4 0 = de donde deducimos claramente que t 0 =. Para hallar los elementos del triedro de Frenet, no necesitamos conocer los vectores del triedro de Frenet, sino sus respectivas direcciones. Sabemos que el vector tangente unitario en P es paralelo a r (). Sabemos que el vector binormal es paralelo a r () r (). Por último, sabemos que el vector normal principal es paralelo al vector que resulta de multiplicar vectorialmente r () r () por r (). Calculamos dichos vectores: r (t) = (t,, 4t 3 ) = r () = (,, 4) r (t) = (, 0, t ) = r () = (, 0, ) = (, 0, 6) r () i j k r () = 4 = (6, 8, ) (6, 8, ) 0 6 ( r () r () ) i j k r () = 6 8 = ( 3, 6, ) ( 3, 6, ) 4 Elementos del triedro de Frenet: Recta tangente: x = y = z 4 = { x y = 4y z = 3 Plano normal: (x ) + y + 4(z ) = 0 = x + y + 4z = 7. Recta binormal: x 6 = y 8 = z = { 4x + 3y = 7 y 8z = 9 Plano osculador: 6(x ) 8(y ) (z ) = 0 = 6x 8y z = 3. Recta normal principal: x 3 = y 6 = z { 6x 3y = 5 = y + 3z = 4 Plano rectificante: 3(x ) 6(y ) + (z ) = 0 = 3x 6y + z = 35.
Problema. Hallar los vectores del triedro de Frenet en cada punto de la curva r (t) = (e t cos t, e t sen t, e t ). Además, comprobar que la curva está contenida en un cono de revolución de eje OZ, que su vector tangente t forma un ángulo constante con el eje del cono y que su vector normal principal es siempre perpendicular a dicho eje. Calculamos los vectores derivadas: r (t) = ( e t (cos t sen t), e t (sen t + cos t), e t) = e t (cos t sen t, sen t + cos t, ) r (t) = ( e t sen t, e t cos t, e t) = e t ( sen t, cos t, ) i j k r (t) r (t) = e t cos t sen t sen t + cos t sen t cos t = et (sen t cos t, sen t cos t, ) r (t) = e t (cos t sen t) + (sen t + cos t) + = e t 3; r (t) r (t) = e t 3 Luego, t (t) = r (t) r (t) = e t 3 et (cos t sen t, sen t + cos t, ) = 3 (cos t sen t, sen t + cos t, ) r (t) r (t) b (t) = r (t) r (t) = e t 3 et (sen t cos t, sen t cos t, ) = 3 (sen t cos t, sen t cos t, ) y n (t) = b (t) t (t) = 3 i j k sen t cos t sen t cos t cos t sen t sen t + cos t = (sen t + cos t, cos t sen t, 0) Por otra parte, veamos que la curva está contenida en el cono de ecuación z = x + y. Para ello, basta verificar que verifican dicha ecuación: x + y = e t cos t + e t sen t = e t = z. Veamos ahora que el vector tangente unitario forma un ángulo constante con el eje del cono, que es e = (0, 0, ). Para ello, basta comprobar que el coseno del ángulo que t e forman esos vectores es constante: cos α = t e = t e =. Luego, el ángulo ( 3 constante es α = arc cos 3 ).
Finalmente, veamos que su vector normal principal es siempre perpendicular el eje del cono. Se trata, pues, de comprobar que los vectores n (t) y e son perpendiculares, para todo valor de t. En efecto, n (t) e = (sen t + cos t, cos t sen t, 0) (0, 0, ) = 0. 3 3
Problema. Dada la curva r (t) = ( cos t, sen t, t), hallar los puntos de ésta para los cuales el plano osculador por dicho punto es paralelo a la recta {x + z =, x y = }. Un plano es paralelo a una recta si y sólo si el vector normal del plano y el vector director de la recta son perpendiculares. Por tanto, se trata de comprobar que el vector normal del plano osculador es perpendicular al vector director de la recta. El vector perpendicular del plano osculador es el vector binormal. Por tanto, vamos a hallar la dirección del vector binormal (no hace falta calcular el propio vector binormal) en cada punto y el vector director de la recta, y después, vamos a imponer que ambos sean perpendiculares. r (t) = ( sen t, cos t, ) ; r (t) = ( cos t, sen t, 0) r (t) i j k r (t) = sen t cos t = ( sen t, cos t, 4) (sen t, cos t, ) cos t sen t 0 Calculamos ahora el vector director de la recta. Dicha recta viene dada como intersección de dos planos. Por tanto, el vector director de ella se obtiene de multiplicar vectorialmente los vectores normales de los respectivos planos: Vector normal del plano x + z = : (, 0, ). Vector normal del plano x y = : (,, 0). Luego, el vector director de la recta es i j k v = 0 = (,, ). 0 Por consiguiente, para el que el plano osculador sea paralelo a la recta, se debe cumplir que (sen t, cos t, ) (,, ) = 0 sen t cos t = 0 sen t cos t = Esta ecuación tiene dos soluciones: { sen t = Solución. cos t = 0 t = π + nπ, con n Z Solución. { sen t = 0 cos t = t = π + nπ, con n Z 4
Problema 3. Hallar la curvatura y la torsión de r (t) = ( t, cos t, sen t ) en cada uno de sus puntos. Calculamos los vectores derivadas: r (t) = (t, sen t, cos t) ; r (t) = (, cos t, sen t) ; r (t) = (0, sen t, cos t) i j k r (t) r (t) = t sen t cos t = (, t sen t + cos t, t cos t + sen t) cos t sen t r (t) = + 4t r (t) r (t) = + (t sen t + cos t) + ( t cos t + sen t) = + 4t ( r (t), r (t), r (t) ) t sen t cos t = cos t sen t 0 sen t cos t t sen t cos t sen t = cos t sen t = t cos t t 0 0 cos t sen t = t Curvatura. κ(t) = r (t) r (t) r (t) 3 = + 4t ( + 4t ) + 4t = + 4t Torsión. τ(t) = ( r (t), r (t), r (t) ) r (t) r (t) = t + 4t 5
Problema 4. Demostrar que la curva r (t) = (cos t, sen t, cos t) es plana. Una curva es plana si y sólo si la torsión es cero en todos sus puntos, es decir, si se cumple que τ(t) = 0, para todo t. Sabemos que la fórmula de la torsión viene dada por ( r (t), r (t), r (t) ) τ(t) = r (t) r (t) Por tanto, que la torsión sea nula equivale a que se anule el denominador del cociente anterior. Por tanto, para probar que la curva es plana, basta comprobar que ( r (t), r (t), r (t) ) = 0, para todo t. Calculamos los vectores derivadas: r (t) = ( sen t, cos t, sen t) ; r (t) = ( cos t, sen t, cos t) ; r (t) = (sen t, cos t, sen t) ( r (t), r (t), r (t) ) sen t cos t sen t = cos t sen t cos t = 0 sen t cos t sen t Obsérvese que ni tan siquiera es necesario hacer el determinante, puesto que los vectores r (t) y r (t) son proporcionales. 6
Problema 5. Hallar las ecuaciones de los planos normal, rectificante y osculador a la curva r (t) = (3 sen t, 3 cos t 5, 4t + ) por cada uno de sus puntos. Para hallar estos elementos del triedro de Frenet, no necesitamos conocer los vectores del triedro de Frenet, sino sus respectivas direcciones. Sabemos que el vector tangente unitario en cada punto es paralelo a r (t). Sabemos que el vector binormal es paralelo a r (t) r (t). Por último, sabemos que el vector normal principal es paralelo al vector que resulta de multiplicar vectorialmente r (t) r (t) por r (t). Calculamos dichos vectores: r (t) r (t) = ( r (t) r (t) ) r (t) r (t) = (3 cos t, 3 sen t, 4) ; r (t) = ( 3 sen t, 3 cos t, 0) Elementos del triedro de Frenet: i j k 3 cos t 3 sen t 4 = ( cos t, sen t, 9) (4 cos t, 4 sen t, 3) 3 sen t 3 cos t 0 i j k 4 cos t 4 sen t 3 = ( 5 sen t, 5 cos t, 0) (sen t, cos t, 0) 3 cos t 3 sen t 4 Plano normal en cada punto: 3 cos t(x 3 sen t) 3 sen t(y 3 cos t+5)+4(z 4t ) = 0. Plano osculador en cada punto: 4 cos t(x 3 sen t) 4 sen t(y 3 cos t+5) 3(z 4t ) = 0. Plano rectificante en cada punto: sen t(x 3 sen t) + cos t(y 3 cos t + 5) = 0. 7
Problema 6. Dada la curva Γ de ecuaciones {x = a cos t, y = a sen t, z = f(t)}, comprobar que si f(t) = α sen t + β cos t, con α, β R, entonces la curva es plana. Consideremos la curva r (t) = (a cos t, a sen t, α sen t + β cos t). Para probar que la curva es plana, basta comprobar que se cumple que ( r (t), r (t), r (t) ) = 0, para todo t. r (t) = ( a sen t, a cos t, α cos t beta sen t) r (t) = ( a cos t, a sen t, α sen t β cos t) r (t) = ( a sen t, a cos t, α cos t + β sen t) Obsérvese que los vectores r (t) y r (t) son proporcionales (se cumple que r (t) = r (t)) y, por consiguiente, ( r (t), r (t), r (t) ) = 0, para todo t por lo que deducimos que la curva es plana. 8
Problema 7. Demostrar que la curva r (t) = ( t +, t + t + 3, t + ) es plana y hallar la ecuación del plano que la contiene. Para comprobar que la curva es plana, basta verificar que ( r (t), r (t), r (t) ) = 0, para todo t Obsérvese que las componentes x(t), y(t), z(t) de la curva son polinomios de grado menor que 3 y, por tanto, su derivada tercera es cero para todo t. Esto significa que r (t) = (0, 0, 0) y, por consiguiente, ( r (t), r (t), r (t) ) = 0. Luego la curva es plana y está contenida en el plano osculador. En otras palabras, el plano osculador a la curva en todos sus puntos es siempre el mismo y la curva está contenida en dicho plano. Para hallar su ecuación, basta considerar uno cualquiera de sus puntos, por ejemplo, tomamos t = 0, con lo que estamos en el punto P = (, 3, ). r (t) = (t, t +, ) = r (0) = (0,, ) r (0) r (0) = r (t) = (,, 0) = r (0) = (,, 0) i j k 0 0 = (,, 4) (,, ) Por tanto, la ecuación del plano osculador en todos los puntos de la curva (y a su vez, el plano que contiene a la curva) es x (y 3) + (z ) = 0 x y + z =. 9
Problema 8. Dada la curva r (t) = ( t, t, cos t ), se pide:. Hallar un punto P de dicha curva en el que la torsión sea nula.. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente, normal y binormal por el punto P del apartado anterior. Cálculo de los vectores derivadas: r (t) = (t,, sen t) ; r (t) = (, 0, cos t) ; r (t) = (0, 0, sen t) () Imponemos ahora que ( r (t), r (t), r (t) ) = 0, de modo que t sen t 0 cos t 0 0 sen t = 4t = 0 t = 0 Por tanto, el único punto para el que la torsión es cero es P = (0, 0, ). () Calculamos los vectores derivadas en P, es decir, para t = 0: r (0) = (0,, 0) (0,, 0); r (0) = (, 0, ) r (0) r (0) = ( r (0) r (0) ) r (0) = Elementos del triedro de Frenet: Recta tangente: x 0 = y = z 0 Recta binormal: x = y 0 = z i j k 0 0 = (, 0, 4) (, 0, ) 0 i j k 0 4 = (8, 0, 4) (, 0, ) 0 0 { x = 0 = z = { y = 0 = x z = { Recta normal principal: x = y 0 = z = y = 0 x + z = 0
Problema 9. Dada la curva r (t) = ( cos t, sen t, t ), se pide:. Hallar los puntos de dicha curva en los que la torsión es nula.. Calcular en dichos puntos la curvatura y las ecuaciones de los planos normal, rectificante y osculador. Cálculo de los vectores derivadas: r (t) = ( sen t, cos t, t) ; r (t) = ( cos t, sen t, ) ; r (t) = (sen t, cos t, 0) () Imponemos ahora que ( r (t), r (t), r (t) ) = 0, de modo que sen t cos t t cos t sen t sen t cos t 0 = sen t cos t t cos t sen t 0 0 t = t = 0 t = 0 Por tanto, el único punto para el que la torsión es cero es P = (, 0, 0). () Calculamos los vectores derivadas en P, es decir, para t = 0: Curvatura en P. κ(0) = r (0) = (0,, 0) ; r (0) = (, 0, ) r (0) r (0) = ( r (0) r (0) ) r (0) = Elementos del triedro de Frenet: Plano normal en P : y 0 = 0 = y = 0. i j k 0 0 = (, 0, ) 0 i j k 0 = (, 0, ) 0 0 r (0) = ; r (0) r (0) = 5 r (0) r (0) 5 r (0) 3 = = 5. 3 Plano osculador en P : (x ) + z = 0 x + z =. Plano rectificante en P : (x ) + z = 0 x z =.
Problema 0. Dada la curva r (t) = (t, t, t36 ) et, se pide:. Hallar un punto P de dicha curva en el que la torsión sea nula.. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente, normal y binormal por el punto P del apartado anterior. Cálculo de los vectores derivadas: r (t) = (, t, t ) et ; r (t) = ( 0,, t e t) ; r (t) = (0, 0, e t ) () Imponemos ahora que ( r (t), r (t), r (t) ) = 0, de modo que t t 0 t e t = ( e t ) = 0 e t = t = 0 0 0 e t Por tanto, el único punto para el que la torsión es cero es P = (0, 0, ). () Calculamos los vectores derivadas en P, es decir, para t = 0: r (0) = (, 0, ) ; r (0) = (0,, ) r (0) r (0) = ( r (0) r (0) ) r (0) = Elementos del triedro de Frenet: Recta tangente: x = y 0 = z + = { i j k 0 = (,, ) 0 i j k = (, 4, ) 0 y = 0 x + z = Recta binormal: x = y = z + { x y = 0 = y z = Recta normal principal: x = y 4 = z + = { 4x + y = 0 y + 4z =
Problema. Dada la curva regular r (t) = ( cos t, sen t, t + ), se pide: (a) Hallar los vectores del Triedro de Frenet en el punto P = (, 0, ). (b) Hallar las ecuaciones implícitas de la recta normal principal en el punto P. (c) Hallar las ecuaciones paramétricas del plano rectificante en P. (d) Hallar la curvatura en P. (e) Es plana la curva? En caso afirmativo, hallar la ecuación del plano que la contiene. [ er Parcial, 005-006] (a) En primer lugar, veamos qué valor del parámetro t define el punto P. Para ello, basta resolver el sistema cos t 0 = sen t 0 = 0 t 0 + = de donde deducimos claramente que t 0 = 0. Cálculo de los vectores del Triedro de Frenet: r (t) = ( sen t cos t, sen t cos t, ) = r (0) = (0, 0, ) r (t) = ( cos t + sen t, cos t sen t, 0) = r (0) = (,, 0) r (0) i j k r (0) = 0 0 = (,, 0) 0 r (0) = y r (0) r (0) = Luego, y t (0) = r (0) r (0) = (0, 0, ) r (0) r (0) b (0) = r (0) r (0) = (,, 0) n (0) = b (0) t (0) = i j k 0 0 0 = (,, 0) (b) Recta normal principal en el punto P. Es la recta que pasa por el punto P y tiene la dirección del vector normal principal: x = y 0 = z { } x + y = = 0 z = (c) Plano rectificante por el punto P. Es el plano que pasa por el punto P y tiene como vector perpendicular al vector normal principal. O dicho de otro modo, se trata del plano 3
que pasa por P y está generado por las direcciones del vector tangente unitario y del vector binormal. Por tanto, sus ecuaciones paramétricas son: x = + µ y = µ, λ, µ R z = + λ (d) Curvatura en P. La curvatura en P viene dada por r (0) r (0) κ(0) = r (0) 3 = (e) Es plana la curva? Para que la curva sea plana, la torsión debe ser 0 en todos los puntos. Como la torsión viene dada por la expresión ( r (t), r (t), r (t) ) τ(t) = r (t) r (t), imponer que la torsión sea nula en todos los puntos equivale a que se cumpla ( r (t), r (t), r (t) ) = 0, para todo t R r (t) = ( sen t cos t, sen t cos t, ) ; r (t) = ( cos t + sen t, cos t sen t, 0) ; r (t) = (8 sen t cos t, 8 sen t cos t, 0) Por tanto, ( r (t), r (t), r (t) ) = = sen t cos t sen t cos t cos t + sen t cos t sen t 0 8 sen t cos t 8 sen t cos t 0 cos t + sen t cos t sen t 8 sen t cos t 8 sen t cos t = ( cos t sen t) 8 sen t cos t = 0 Por consiguiente, la curva es plana y el plano que la contiene es el plano osculador. Por ser plana la curva, el plano osculador por cualquiera de sus puntos es siempre el mismo. Como tenemos que determinar la ecuación de dicho plano, basta elegir un punto cualquiera de la curva, por ejemplo, el propio punto P = (, 0, ) con el que hemos trabajado durante este problema. Así pues, el plano osculador pasa por el punto P y tiene como vector perpendicular al vector binormal en P o cualquier otro paralelo a él, como por ejemplo, el vector (,, 0). Así que dicho plano es: (x ) + (y 0) + 0(z ) = 0 x + y = 4