OLIMPÍADA POPULAR ESTUDIANTIL DE MATEMÁTICA TEMARIO DE ENSEÑANZA PREUNIVERSITARIA CURSO 00 00 Los estudiantes de 0mo grado deben resolver los problemas al 4 Los estudiantes de no grado deben resolver los problemas 4 al Los estudiantes de mo grado deben resolver los problemas al 0 ABCD es un rectángulo con AB = AD; AD y BC son diámetros de los semicírculos AED y BFC Si AD = dm Cuántos cuadraditos unidad se necesitarán en el área de ABFCDE? E A D F B C Si el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles es de t, hallar el área del triángulo 3 Los puntos A(;y ) y ( ;y ) están sobre la gráfica de la función cuadrática f(x) = ax + bx + c, a, c N, a, a < c, si y y =, y + y = 0; hallar la ecuación de la función f 4 Añadiendo la constante k a cada uno de los números 0, 00 y 0, respectivamente se obtiene una progresión geométrica Determina el valor de la razón común para la sucesión Hallar el perímetro de un polígono regular si cada ángulo exterior es 0 0 menor que del ángulo interior y cada lado mide 8 cm Considera todos los triángulos isósceles que se pueden formar con los vértices de un hexágono regular de área Cuál es el promedio de las áreas de estos triángulos? Sea f(m;n) = f(m + ; n ) para m, n N, n y f(m;0) = m Determina f(0;) 8 Calcula el valor de la suma 3 + + + + + + + 3 3 4 4 4 + 3 4 + + + 80 + 80 9 + + 80 9 Una caja está llena de bolas de 0 colores distintos Al azar se van sacando bolas de la caja Cuál es el menor número de bolas que deben sacarse para poder garantizar que en la colección tomada habrá al menos 00 bolas del mismo color? 0 Hallar la longitud del tercer lado de un triángulo, si se conocen dos de sus lados a y b, y se sabe que las medianas correspondientes a estos lados se cruzan formando un ángulo recto El ángulo del vértice de un triángulo, cuyos lados laterales son a y b (a < b), está dividido en tres partes iguales por rectas cuyos segmentos dentro del triángulo son entre sí como m:n (m < n) Hallar las longitudes de estos segmentos Se tiene un tablero de 9 x 8 con un número en cada casilla de modo que los números en cada fila y en cada columna están en progresión aritmética y la suma de los números en las esquinas es 00 Determina la suma de todos los números del tablero
3 Para escribir todos los números del ab hasta el dígitos) Cuántas cifras más se necesitan para escribir los números hasta aab? ab inclusive se han empleado ab cifras (a y b son 4 Hallar la relación entre el área del triángulo ABC y el área de de otro triángulo, cuyos lados son iguales a las medianas del triángulo ABC En el interior de un sector AOB de 30 0 representamos un triángulo equilátero ABC con AB OB A partir de C se traza una perpendicular a OB y se forma un nuevo triángulo equilátero Continuando el mismo proceso se trazan otros dos ángulos en ese sector Determina la razón entre las áreas del triángulo menor y el mayor Sea M = {,, 3, 4,, 00}, el conjunto de los enteros positivos desde el hasta el 00 Cuál es el promedio de los resultados obtenidos al sumar los enteros de cada uno de los posibles subconjuntos de M? Dada la función exponencial f(x) = x x, determina el valor mínimo de f 8 Sea ABCD (en ese orden) un paralelogramo, AB = 0 cm, AD = cm, E es un punto de CD tal que CE = cm y BE = cm a) Halla la amplitud del ángulo BEC b) Calcula el área del trapecio ABED 9 De un grupo de 0 niños y niñas se quiere formar una colección de jóvenes que tenga exactamente niñas Cuántas colecciones distintas se pueden formar? 0 En un examen de Matemática que tenía 0 preguntas se daban puntos por cada respuesta correcta y se quitaban 3 puntos por cada error Todos los alumnos respondieron todas las preguntas Si Javier obtuvo 34 puntos, Daniel obtuvo 0 puntos y César obtuvo puntos, cuántas respuestas correctas tuvieron entre los tres?
SOLUCIONES Los semicírculos AED y BFC tienen igual área, luego el área de ABFCDE es igual al área del rectángulo ABCD, como AB = AD AB = dm y A ABFCDE = = cm Sea a la hipotenusa y c cada cateto del triángulo rectángulo isósceles con a + c = t, a = c, entonces c + c = t y c = t El área es ½ c = t = (3 )t + 3 + 3 y y = a + b + c = y + y = 0 a b + c = 8 y = 4 y =, y = 8 b = b = 3 a + c = entonces a =, c = 3 y f(x) = x 3x + 3 4 Se tiene que (0 + k), (00 + k) y (0 + k) forman una progresión geométrica, entonces debe cumplirse que (00 + k) = (0 + k)(0 + k) es decir, k + 00k + 0000 = k + 0k + 9000 de donde 0k = 000 y el valor de k es 00 Se tienen los números 0, 00 y 0 que es una progresión geométrica de razón, Sean α y β las amplitudes de los ángulos interiores y exteriores respectivamente con β = α 0 0, Como α + β = 80 0 entonces α = 90 0 entonces α = entonces el polígono tiene lados y su perímetro es de 8 cm ¼ 40 0 y β = f(m;) = f(m + ;0) = m + Luego f(0;) = f(00 + ; 0 + ) f(m;) = f(m + ;0) = m + = 00 + = f(m;n) = f(m + ;n ) = m + n 8 ½ + () + ( + ½) + () + ( + ½) + + (39 + ½) = 80 0 0 entonces 30 0 : 0 0 =, 9 Noten que si se sacan 0 bolas, podría ser que todas fueran de colores distintos, así que sólo podríamos garantizar que hay dos bolas del mismo color si se sacan bolas (aquí se aplicó el Principio de las Casillas) De la misma manera, se necesitan 4 = (0 + ) bolas para poder afirmar que con seguridad hay 3 bolas (al menos) del mismo color, pues con 40 bolas podría ser que cada color apareciera exactamente veces Con el mismo razonamiento que hemos seguido llegamos al resultado Se necesitan 0 99 + = 98 bolas 0 Sea un ABC, D y E puntos medios de AC y BC respectivamente, AC = b; BC = a, OD = x y OE = y Hallemos AB = c b 4x + y a + b = ; 4x + 4y = c, 4x + y = a Eliminando x e y obtendremos c = y 4 c = ( a + b ) Sean A, D,E y B alineados en ese orden Admitamos que ACD = DCE = ECB = α y CE = x, CD = y Para (ABC) ((ABC representa el área del triángulo ABC) se pueden escribir las tres expresiones siguientes: (ACD) + (DCB) = by senα + ay senα (ACE) + (ECB)=) = bx senα + ax senα + (ACD) + (DCE) + (ECB)
= by senα + xy senα + ax senα Igualando las partes izquierdas de estas igualdades y teniendo en cuenta la condición del problema obtenemos un sistema de ecuaciones de tres ecuaciones: a cosα= x + a x y Resolviendo obtenemos que: 308 3 4 b cosα= y + b y x x y = m n n m ab n m ab x = y = n bm an m bm an 4 Sea O el punto de intersección de las medianas en el ABC En la prolongación de la mediana BE trazamos ED = OE Según la propiedad de las medianas, los lados del CDO son iguales a de los lados 3 del triángulo compuesto por las medianas Designando el área de este último por S, tenemos: S = 9 (CDO) Por otro lado, el CDO está formado por dos, y el ABC por triángulos equidimensionales al 4 CEO Por eso (CDO) = s 3 ABC = 4 3 (ABC) y por consiguiente ( ) En AOB se tiene que sen 30 0 = AB l = entonces OA = l OA OA l y OC = AC = l de esta forma 4 l = 8 A 4 :A = (l 4 ) : (l ) = 4 B A C O 00300 La función f es una función exponencial con base mayor que por lo que una función creciente que alcanza su valor mínimo para el menor valor del exponente Como la representación gráfica de x x es una parábola que abre hacia arriba, alcanza su valor mínimo en la ordenada del vértice, que es para x = = que es el valor mínimo de f 8 a) AB = CD = 0 cm; AD = BC = cm; CE = cm DE = cm y BE = cm BE + CE BC cos BEC = =, por lo que BEC = arcos BE CE b) La altura del trapecio coincide con la altura del triángulo BCE Sea h la altura buscada entonces 9 4 3 h = = cm entonces A ABED = ½ (AB + DE) h = ½ (0 + ) = cm
4 9 La elección de las niñas se puede hacer de = = 0 formas Como debe ser en total y! debe haber niñas exactamente, entonces los niños serán 3; estos se pueden escoger de 0 3 = 0 9 8 = 0 formas Por tanto el resultado es 0 0 = 00 3! 0 La forma de calificar el examen es equivalente a darle a cada alumno 0 puntos al inicio del examen y quitarle 8 puntos por cada respuesta incorrecta Entre los tres alumnos perdieron 0 (34 + 0 + ) = 04 puntos, así que fallaron en 04:8 = 3 respuestas Entre los tres contestaron 30 3 = preguntas acertadamente NOTA: Cada pregunta tiene un valor de punto MEDALLISTAS ORO 3 ó 4 puntos PLATA ó puntos BRONCE 9 ó 0 puntos