Ejercicios resueltos

ECUACIÓN DE LA RECTA.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. Ejercicios resueltos.- Comprueba que las rectas r x + y y s x y + 4 son secantes y halla el punto de intersección de las mismas., es decir, los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales, por tanto, las rectas son secantes. El punto de intersección se halla resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones: + y x y + 4 + y x + y 4 sumando se obtiene: 3y 6 y Sustituyendo el valor de y obtenido en cualquiera de las ecuaciones se obtiene x Las rectas se cortan en el punto P(,) y lo podemos expresar así: r s P(,).- Halla la ecuación de la recta que, pasando por el punto A(, 5), es paralela a la recta x + y + A(, 5) x + y +λ x + y + La recta paralela buscada será x + y +λ Y como pasa por el punto A(, 5) tenemos: +.5 + λ λ - Por tanto, la recta pedida es x + y

ECUACIÓN DE LA RECTA.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 3 3.- Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta r 5 x y + Hacemos x λ Entonces, 5λ - y + y 5λ + Las ecuaciones paramétricas de r quedan en la forma siguiente: λ r : y + 5λ Otra manera: º.- Hallamos un vector director de la recta: v ( B, A) (,5) º.- Obtenemos un punto de r dando un valor arbitrario a una de las incógnitas: Para x, 5.- y + y 6 Un punto de la recta es (, 6) Aplicando la fórmula: x y y + λv + λv se obtiene: r: x + λ y 6 + 5λ 4.- Halla un punto de la recta 4x 8y + 7 que equidiste de los puntos A(, ) y B(, -3). Sea P(x, y ) el punto que buscamos: Como pertenece a la recta r, se ha de cumplir que 4x 8y +7 (*) Además, d(p, A) d(p, B), es decir, ( x + ) + ( y ) ( x ) + ( y 3) Elevando al cuadrado y desarrollando los cuadrados,

ECUACIÓN DE LA RECTA.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 4 x 4x + 4 + y y + x x + + y + 6y + transforma en x + 8y +5 (**). Formando un sistema con las ecuaciones (*) y (**), 4x x 8y + 8y + 7 + 5 9, que simplificando se Sumando, 6x + x Y sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones del sistema, se obtiene y /8 El punto buscado es P (, ) 8 5.- Halla la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(, 3) y B(-4, 5). mediatriz n A(, 3) M B(-4, 5) La mediatriz es la perpendicular en el punto medio del segmento. + ( 4) 3+ 5 Coordenadas del punto medio: M, M (,4) Vector que une los puntos A y B: AB ( 4,5 3) ( 6,) Un vector perpendicular a M será vector director de la mediatriz. Dicho vector lo podemos obtener cambiando de orden de las coordenadas de AB y el signo de una de ellas, es decir, n (, 6) es vector director de la mediatriz. La ecuación de la mediatriz será: x ( ) y 4 que se queda de la forma siguiente: 6 x + y 4 3

ECUACIÓN DE LA RECTA.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 5 6.- Halla el punto simétrico de P(, ) respecto de la recta r: x y 4 P(, ) (, -) x y 4 M r P (x y ) Recta que pasa por P(, ) y es perpendicular a la recta r: x y x + y x + y 3 La intersección de las dos rectas nos da las coordenadas de M que es punto medio de P y de P : y 4 y 4 Sumando: 5x x x + y 3 4x + y 6 Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones del sistema se obtiene y - Luego las coordenadas de M son (, - ) Y aplicando las fórmulas del punto medio de un segmento se obtiene P + x + y x 3; El simétrico de P(, ) es P ( 3, 3) y 3 7.- Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(-, -), B(, 4) y C(4, ) Para hallar el área pedida seguiremos los siguientes pasos:

ECUACIÓN DE LA RECTA.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 6 C(4, ) A(-, -) B(, 4) Base del triángulo: es la distancia entre los puntos A y B. base d( A, B) ( + ) + (4 + ) 9 + 5 34 Recta que pasa por A y B: v (3,5) vector director de la recta buscada. Con dicho vector y uno de los puntos, por ejemplo, B(, 4) escribimos la ecuación: x y 4 3 5 5x 3y 5 x 3y + Altura del triángulo: es la distancia del punto C(4, ) a la recta 5 x 3y + h 5.4 3. + 5 + ( 3) 9 34 Aplicamos la fórmula Area base. altura 9 9 Area 34. 8,5 ; 34 Area 8,5u 8.- Dado el triángulo de vértices A(4, 5), B(-, 3) y C(, -), Halla las ecuaciones de las medianas. Comprueba que se cortan en un punto llamado baricentro Comprueba que el baricentro puede obtenerse también hallando la media aritmética de las coordenadas de los tres vértices. Una mediana es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas.

ECUACIÓN DE LA RECTA.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 7 C(, -) N(3, ) G M(-, ) Los puntos M, N y P son los puntos medios de los lados del triángulo que se han obtenido como semisuma de los extremos de cada lado. Recta AM: A(5, 4) B(-3, 6) P(, 5) Un vector director de la misma será: MA (6,). Con dicho vector y el punto A(5,4) escribimos la ecuación de la recta que contiene a la primera mediana. x 5 y 4 6 Recta BN: x 6y 4 x 6y + 4 Un vector director de ella será: BN ( 6, 5). Con dicho vector y el punto B(-3, 6) escribimos la ecuación que contiene a la segunda mediana: x + 3 y 6 6 5 Recta CP: 5x 5 6y 36 5 x + 6y Un vector director: CP (,7). Con dicho vector y el punto C(, -) escribimos la ecuación de la tercera mediana: x y + 7 7 x 7 x Para hallar el baricentro resolvemos el sistema formado por dos de las ecuaciones obtenidas, por ejemplo, 6y + 4 x De la ª ecuación se obtiene que x. Y sustituyendo en la ª,. 6y +4 6 8 6 3 y Las coordenadas del baricentro son G (, 8 ) 3

ECUACIÓN DE LA RECTA.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 8 Puede comprobarse que se obtiene la misma solución escogiendo dos medianas cualesquiera. El baricentro obtenido puede obtenerse directamente y mucho más rápido hallando la media aritmética de las coordenadas de los tres vértices, es decir, 5 3 + 4 + 6 G, G 3 3 (, 8 ) 3 9.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(, -3) y forma un ángulo de 45º con la recta r: 3x y + 3 Escribimos la recta dada en su forma explícita: y 3 x + 3. Su pendiente es m 3. r P(, -3) La recta que buscamos tendrá de pendiente m Aplicando la fórmula del ángulo formado por dos rectas en función de sus pendientes, m m tg α + m. m es decir, 4 m 3 m tg45 º + 3m m 3 m + 3m 3 m + 3m De la recta que buscamos ya conocemos su pendiente y uno de sus puntos. Su ecuación será: y + 3 ( x ) (Ecuación punto-pendiente) Existe otra solución que se obtiene llamando m a la pendiente de la recta dada, m a la pendiente de la recta que buscamos y aplicando la misma fórmula.

ECUACIÓN DE LA RECTA.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 9.- Averigua el valor del parámetro m para que las rectas x + ( m ) y 3 y mx 6 y + sean: a) Paralelas. b) Perpendiculares. a) Condición de paralelismo: A B, por tanto, A B m m 6, es decir, 6 m ( m ) m m 6 ± m ( ) 4( 6) ± 5 3 b) Condición de perpendicularidad: A. A + B. B, (Producto escalar nulo) por tanto, ( ). m + ( 6)( m ) m 6m +6 5m 6, es decir, m 6 5 Ejercicios propuestos.- Halla la recta que pasa por el punto A(, -) y es perpendicular a la recta de ecuación 3x y + 4. Escribe la ecuación en forma canónica..- Averigua la distancia entre el punto P(, -5) a la recta r: x 3.- Halla la ecuación del haz de rectas que pasan por el punto A(, -4) y calcula cuál de ellas es la que tiene de pendiente m 3 4.- Dado el triángulo de vértices A(-3, ), B(-, 5) y C(5, - 3), calcula la mediatriz del lado AB y la del lado AC. Halla las coordenadas del circuncentro (Punto de intersección de las tres mediatrices). Sol. x + y 4; x y 3; Circuncentro: O(, ) 5.- Halla el área del triángulo que tiene por vértices los puntos A(, ), B(6, ) y C(3, 5). Sol: 9/ unidades cuadradas

ECUACIÓN DE LA RECTA.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 6.- Calcula el área de la región limitada por las rectas x 3y 4, x + 3y 6 y x y 7.- Halla el valor de k para que la recta x + ky + 3 forme un ángulo de 6º con el eje de abscisas. 3 k 3 8.- Halla el baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos A(-, 3), B(6, -3) y C(4, 5). Sol. G(8/3, 5/3) 9.- Dos vértices opuestos de un cuadrado son A(, ) y C(6, 4) Calcula los otros dos vértices y el área. Sol. B(5, ); D(3, 5); Área u.- Calcula el valor de a para que las rectas r x + ay 3, s 3 x + 5y sea paralelas. Sol. a /3.- Encuentra el simétrico del punto P(, 6) respecto de la bisectriz del primero y tercer cuadrante. Sol. P (6, ).- Halla la distancia entre las siguientes rectas: x + y ; x 3y + 3 Sol. 5 3 unidades 3.- Calcula en los siguientes casos el valor de k, para que la recta x + ky + a. Su pendiente sea 3 b. Pase por el punto (, ) c. Sea paralela a la recta x + y 5 d. Sea perpendicular a la recta x y + 4 4.- Halla el ángulo formado por las siguientes rectas: ( x, y (,3) + λ(4,) ; ( x, y) ( 3, ) + λ(,4 )