Asignatura : Matemática Financiera. Carrera : Ingeniería en Sistemas. Año Académico : II Año. Unidad No. I : Generalidades de la Matemática Financiera. Profesor : Mauricio Navarro Zeledón. Unidad I: Generalidades de la Matemática Financiera. 1. Introducción. La necesidad de la matemática financiera se encuentra motivada principalmente por el trabajo que llevan a cabo las personas al analizar, sintetizar y obtener conclusiones en proyectos de cualquier envergadura. En otras palabras, la matemática financiera es un punto medular en la toma de decisiones. Tales decisiones implican los elementos básicos de flujos de efectivo, tiempo y tasas de interés. Las decisiones que toman los gerentes, presidentes de empresas e individuos, por lo general son el resultado de elegir una alternativa sobre otra. A menudo las decisiones reflejan la elección fundamentada de una persona sobre cómo invertir mejor fondos, también llamados capital. Con frecuencia el monto del capital está restringido, así como el efectivo disponible de una persona a menudo se encuentra limitado. La decisión sobre cómo invertir capital indudablemente cambiará el futuro, con esperanza de mejorar; es decir que se le agregara valor. Los ingenieros desempeñan un papel esencial en las decisiones que tienen que ver con la inversión de capital, basadas en sus esfuerzos de análisis, síntesis y diseños. Los factores que se toman cuenta en la toma de decisiones constituyen una combinación tanto de factores económicos como no económicos. La gente toma decisiones; ni las computadoras, las matemáticas u otras herramientas lo hacen. Las técnicas y modelos de la matemática financiera ayudan a la gente a tomar decisiones. Como las decisiones influyen en lo que se hará, el marco de referencia temporal de la matemática financiera es básicamente el futuro. Por lo tanto, en un análisis de matemática financiera los números constituyen las mejores estimaciones de lo que se espera que ocurra. Dichas estimaciones a menudo implican los tres elementos esenciales mencionados: flujos de efectivo, su tiempo de ocurrencia y las tasas de interés, los cuales se estiman a futuro y serán de alguna manera diferentes de lo que realmente ocurra, principalmente como consecuencia de las circunstancias cambiantes y no planeadas de los eventos. En otras palabras la naturaleza estocástica de las estimaciones probablemente hará que el valor observado para el futuro difiera de la estimación actual. La matemática financiera se aplica, asimismo, para analizar los resultados del pasado. Los datos observados se evalúan para determinar si los resultados satisficieron el criterio especificado como, por ejemplo, la tasa de retorno requerida. Por ejemplo, supongamos que hace 5 años una empresa agroindustrial dedicada a la producción de concentrado (porcino, equino, avícola, etc.). Ahora el gerente de la empresa desea saber si el rendimiento real sobre la inversión ha superado el 15% anual. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 1
2. Qué es la Matemática Financiera? La Matemática Financiera es un conjunto de técnicas y procedimientos de carácter técnico que nos ayuda a tomar decisiones financieras. El objeto de estudio consiste en encontrar el valor del dinero en diferentes momentos en el tiempo, es decir; valorar el premio de prescindir por cierto tiempo, a cierta tasa de interés, de un determinado capital. Existen dos métodos para determinar el valor del dinero, los cuales nos facilitan el análisis del rendimiento financiero, estos métodos son: el Interés Simple y el Interés Compuesto. En el primero se parte del hecho de que solo el capital (principal) produce intereses, en tanto que en el segundo los intereses ganan intereses. Los métodos mencionados no son equivalentes ni su uso es optativo por parte del inversionista o analista financiero. Existe un uso adecuado de acuerdo a una circunstancia particular. Por ejemplo, si se desea saber los ingresos de un determinado capital invertido en un certificado de depósito a término (CDT) que paga intereses semestralmente a una cierta tasa de interés por un período de 3 años. En este caso lo recomendable es hacer uso del método de Interés Simple ya que no hay capitalización de intereses. Pero, si por el contrario se desea saber el monto que se tendrá al final de 4 años, de una cantidad de dinero invertida periódicamente y consecutivamente y cuyos intereses se capitalizan, habría que usar el método de Interés Compuesto. 3. Valor del dinero en el tiempo. El valor cronológico del dinero. A menudo se dice que el dinero produce dinero. Esta aseveración es realmente verdadera, si nosotros elegimos invertir dinero hoy, ya sea en un banco o en una corporación de ahorro y préstamo, mañana habremos acumulado más dinero que el que hemos invertido originalmente. Este cambio en la cantidad de dinero durante un período de tiempo es lo que s conoce como el valor cronológico del dinero. Este concepto es más importante en el estudio de la Ingeniería Económica. También debe notarse, que si una persona o empresa pide hoy dinero prestado, mañana tendrá que pagar una cantidad mayor, debido al valor del dinero en el tiempo. El valor cronológico del dinero debe verse desde el punto de vista del valor real, o sea; poder adquisitivo. A como lo veremos más adelante, el valor del dinero puede cambiar a través del tiempo, no solamente debido al efecto de una tasa de interés, sino también por efecto de la tasa de variación monetaria (devaluación) y la tasa de inflación. El fenómeno de la inflación en la vida económica de las personas. Hay un fenómeno económico conocido como inflación, el cual consiste en la pérdida de poder adquisitivo del dinero con el paso del tiempo. Ningún país en el mundo está exento de inflación, ya sea que tenga un valor bajo, de 2 a 5% anual en los países desarrollados, o por arriba del 1,000% anual, como en algunos países en vías de desarrollo. Nadie puede escapar de ella. De la misma forma, nadie sabe con certeza por qué es necesaria la inflación o por qué se origina en cualquier economía. Lo único que se aprecia claramente es que en los países con economías fuertes y MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 2
estables, la inflación es muy baja, pero nunca de cero. No es objeto de este curso estudiar el efecto inflacionario desde el punto de vista de la teoría macroeconómica. Lo único en que se hace énfasis, es que el valor del dinero cambia con el tiempo debido principalmente a este fenómeno, de lo contrario, es decir, si no hubiera inflación, el poder adquisitivo del dinero sería el mismo a través de los años y la evaluación económica probablemente se limitaría a hacer sumas y restas simples de las ganancias futuras Pero sucede lo opuesto. Es posible, mediante algunas técnicas, pronosticar cierto ingreso en el futuro. Por ejemplo, hoy se adquiere una maquinaria agrícola por $ 20,000 y se espera venderla dentro de cinco años en $ 60,000, en una economía de alta inflación. El valor nominal del dinero, por la venta de la maquinaria agrícola, es mucho mayor que el valor actual, pero dadas las tasas de inflación que se tendrán en los próximos cinco años el valor del $ 60,000 traído o calculado a su equivalente al día de hoy, resulta mucho más bajo que $ 20,000. Este fenómeno de ilusión monetaria se presenta en mayor o menor proporción en cualquier país que padezca inflación. Es aquí donde interviene la matemática financiera, que intenta resolver el problema del cambio en el valor del dinero a través del tiempo. La solución que aporta es calcular el valor es el valor equivalente del dinero en un solo instante de tiempo. Si retomamos el ejemplo de la maquinaria agrícola, sería erróneo afirmar que éste se podría vender dentro de cinco años al triple de su valor. Aunque es cierto en términos nominales, es decir, sólo por lo que se observa en las cifras, para hacer una adecuada comparación se debe obtener el poder adquisitivo real, tanto de los $ 20,000 como de los $ 60,000 en cierto punto en el tiempo, que pueda ser el momento de adquirir la maquinaria agrícola o el momento de venderla. Cuando se calcula el valor real del dinero en esta situación, se puede percibir la ilusión monetaria de que se ha hablado. Parece claro en tanto se cuente con las técnicas analíticas adecuadas y se pueda comparar el poder adquisitivo real del dinero en determinados instantes de tiempo, se estará capacitado para tomar mejores decisiones económicas. Ésta es la ayuda que puede prestar la matemática financiera a los administradores de negocios. 4. Términos usados en la Matemática Financiera. Tasas de interés. Como lo definimos anteriormente, la tasa de interés es la razón del interés devengado respecto al capital inicial. En otras palabras es la cantidad porcentual que al multiplicarse por el capital inicial, da como resultado el interés devengado. La determinación de la tasa efectiva o verdadera de interés de un préstamo depende de la que se haya convenido y el método con que el acreedor cargue el interés, si este se paga al vencimiento del préstamo, la tasa convenida es la tasa efectiva de interés. Las tasas de interés bancarias presentan tres resultados: interés compuesto ordinario, interés descontado e interés a plazo. Sin embargo no debe olvidarse la capacidad todavía más importante del dinero de generar ganancias o generar riqueza en el transcurso del tiempo. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 3
Las tasas de interés se dividen en dos categorías: Tasa de interés activa. La tasa de interés activa es la cobrada por los bancos y las instituciones financieras en la colocación de dinero, o sea, en el otorgamiento de préstamos a las personas naturales y jurídicas para el financiamiento de las actividades económicas. Las tasas de interés corriente y moratorias son tasas activas. Tasa de interés pasiva. La tasa de interés pasiva es la pagada por los bancos y las instituciones financieras a los ahorrantes, en la captación de dinero (ahorros de diversas formas). La tasa pasiva constituye una tasa de interés de rendimiento baja para los ahorrantes, ya que el ahorro es una inversión de bajo riesgo. Por naturaleza, las tasas de interés activas son mayores que las pasivas, ya que parte de la diferencia constituye la rentabilidad del mercado financiero. En el mercado financiero nicaragüense, las tasas activas y pasivas están determinadas según la oferta y demanda de dinero, así como el índice de riesgo país para las inversiones y otros factores como la estabilidad política y social. Estas tasas de interés están definidas para moneda nacional (córdobas) y para moneda extranjera (dólar) de los Estados Unidos. Tasa de rentabilidad a interés simple. La tasa de rentabilidad o rendimiento es el porcentaje de utilidad obtenido o que se espera obtener de una determinada inversión. La tasa anual de rentabilidad (r) responde a la pregunta de cuanto ganaré o perderé en relación a la inversión efectuada. Es por lo tanto una relación (no anualizada) que a interés simple es: r = rentabilidad en % donde r = (G/INV) Dónde: G = Ganancia o pérdida de la inversión. INV = Capital invertido. Ejemplo No. 1. Hoy el señor Martínez, invierte la cantidad de C$ 80,000 y dentro de un año espera obtener C$ 95,000 y como no conoce de finanzas, quiere averiguar cuál será la tasa de rendimiento esperada. Solución: La ganancia se define como: G = Ingreso Egreso. En este caso la ganancia del señor Martínez es: C$ 95,000 C$ 80,000 = C$ 15,000. Así, la inversión generará un 18.75% de rendimiento anual, como se puede apreciar. r = (G/INV) = 95,000 80,000 = 15,000 = 0.1875 o sea 18.75% 80,000 80,000 Tasa de variación monetaria. La tasa de variación monetaria (devaluación) es aquella que hace cambiar el valor de una moneda respecto a otra que se utiliza como patrón. Generalmente se hace con el objetivo de garantizar el MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 4
valor de las inversiones en moneda de valor constante, que en nuestro caso es el dólar de los Estados Unidos. De esta manera por ley, todos los préstamos o financiamientos que se otorgan en córdobas en el Sistema Financiero Nacional están dolarizados, o sea; se les aplica el concepto de mantenimiento de valor respecto al dólar. En estos casos, los usuarios de financiamientos necesitan conocer las tasas nominales anuales teniendo en cuenta dos factores o componentes que inciden directamente en las tasas de interés reales a pagar. Estos factores son: I v = tasa de variación monetaria. I c = tasa de interés corriente. En lo que respecta al Índice de variación monetaria I v es un porcentaje o tasa de cuasinterés que constantemente hace cambiar la unidad monetaria nacional. Por ejemplo, en el caso de Nicaragua la variación monetaria es del 5% anual actualmente. Sin embargo esta variación ha sido diferente en varios períodos de tiempo. Para el cálculo de la tasa de variación monetaria I v entre dos fechas cualesquiera, podemos tomar dos valores representativos del Tipo de Cambio Oficial (TCO), financiero y no oficial en dependencia del sector en que nos ubiquemos. Por ejemplo, el TCO según indicadores de Banco Central de Nicaragua (BCN) en las fechas dadas son las siguientes: Ejemplo No. 2. Mes de Junio de 1997 C$ 9.44 Valor Anterior = B Mes de Diciembre del 2000 C$ 13.05 Valor Actual = A I v = A - B B I v = 13.05 9.44 = 3.61 = 0.382415254 = I v = 38.24152542% 9.44 9.44 Con la anterior fórmula podemos calcular la devaluación de forma diaria, mensual, trimestral, semestral o entre dos fechas de interés para nuestro análisis. 5. Tabla para el cálculo del número de días entre dos fechas. A corto plazo, para el cálculo del número exacto de días entre dos fechas se pueden utilizar dos tablas. En una se presentan los días transcurridos desde el primero de enero hasta los días de cada mes. Esta tabla es una matriz que en columnas presentan los meses, y en líneas del 1 al 31- los días; en las intersecciones línea-columna se anotan los días transcurridos desde el primero de enero hasta la fecha seleccionada. Los días se calculan entre dos fechas de acuerdo con la diferencia entre los días transcurridos desde el primero de enero. La otra tabla es la que se presenta a continuación; es más ágil y permite los cálculos más rápidos. En la actualidad, las calculadoras financieras tienen programas para el cálculo de tiempos y fechas, tanto a corto plazo (año de 365 días), como a mediano y largo plazo cuando se opera con año de 360 días. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 5
Desde el día del mes inicial Tabla. Número exacto de días entre dos fechas (año no bisiesto) Al mismo día del mes terminal Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. Ene. 365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334 Feb. 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303 Mar. 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275 Abr: 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244 May. 245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214 Jun. 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183 Jul. 184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153 Ago. 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122 Sep. 122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91 Oct. 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61 Nov. 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30 Dic. 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365 Nota no se incluye el día inicial. Los números de las líneas horizontales indican los días transcurridos, entre cierto día del mes inicial y el mismo día del mes terminal; por ejemplo, desde el 3 de mayo de un año al 3 de octubre del mismo año hay 153 días. Esto es igual al número anotado en la intersección de la horizontal correspondiente al mes inicial, mayo, con la vertical del mes terminal, octubre. Si el día del mes inicial es diferente del día del mes terminal, para el cálculo se presentan dos casos: a) El día del mes terminal es mayor que el día del mes inicial: en este caso, se suma la diferencia de los días al número definido por el inicial y el mes terminal. Ejemplo No.3. Calcular los días transcurridos entre el 3 de septiembre de un año y el 15 de abril del año siguiente: Diferencia entre los números de días = 15 3 = 12. Número correspondiente a la intersección septiembre-abril = 212. 212 + 12 = 224. Entre las fechas propuestas hay 224 días calendario. b) El día del mes terminal es menor que el día del mes inicial, en este caso, la diferencia entre el mes terminal y el inicial es negativa; entonces, se procede a restar la diferencia al número de la intersección de los meses. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 6
Ejemplo No. 4. a) Calcular los días que hay entre el 18 de marzo y el 10 de noviembre del mismo año. Diferencia entre los números de días = 10 18 = -8 Número correspondiente a la intersección marzo-noviembre = 245 245 8 = 237. Entre las dos fechas propuestas hay 237 días calendario. b) Calcular los días que hay entre el 20 de junio del 2014 y el 14 de marzo 2016 Diferencia entre los números de días 14 20 = - 6 Número correspondiente a la intersección junio-marzo = 273 273-6 267 días Más 1 año 14-03-2015 al 14-03-2016 365 días Total 632 días Entre las dos fechas propuestas hay 632 días calendario. La tabla anterior es de gran determinar la fecha terminal conocida, la fecha inicial y el número de días. El cálculo se hace con gran rapidez, sin la necesidad de contar los días en un calendario. MSc. Mauricio Navarro Zeledón. Página 7