Método Simplex Ing. Ricardo Fernando Otero, MSc
Forma estándar de un modelo de programación lineal Dirección de mejora: Maximizar Todas las restricciones deben ser El lado izquierdo debe contener solo a las variables El lado derecho de las restricciones debe ser ocupado únicamente por un número positivo.
Presencia de variables en restricciones y función objetivo Max z = 3 + 2x 2 Max z = 3 CX + 2x 2 s. a. s. a. 1 + 0x 2 x 2 8 + 2x 2 20, x 2 0 AX 0 + 1x 2 b8 1 + 2x 2 20 Cada una de las variables que conforman el modelo está presente en la función objetivo y en las restricciones. En algunas ocasiones, no se aprecian a primera vista porque su coeficiente asociado es cero. Los coeficientes que acompañan las variables en las restricciones se pueden representar con la matriz A. Los coeficientes que acompañan las variables en la función objetivo se pueden representar con el vector fila C. El lado derecho de las restricciones se puede representar con el vector columna b.
Formulación matricial de un PL Max z = CX s. a. AX b X 0 A = AX = x 2 1 0 x 2 0 1 C = 3 2 b= 1 2 1 0 0 1 1 2 3x2 x 2 2x1 = 8 20 X = x 2 1 + 0 x 2 0 + 1 x 2 1 + 2 x 2 3x1 CX = 3 2 1x2 x 2 2x1 = 3 + 2 x 2 1x1 AX b 1 + 0 x 2 0 + 1 x 2 1 + 2 x 2 8 20 1 + 0x 2 0 + 1x 2 8 1 + 2x 2 20 Por lo tanto, después de realizar las operaciones, verificamos la que notación matricial es equivalente a la notación tradicional de los modelos de programación lineal.
Sistemas de ecuaciones Definición: Es un conjunto de dos o más ecuaciones matemáticas en las que se desea encontrar el valor que pueden tomar las variables, respetando las ecuaciones. En un sistema de ecuaciones: Si la cantidad de variables es igual al número de ecuaciones, el sistema tiene una única solución. Si la cantidad de variables es mayor al número de ecuaciones, el sistema tiene infinitas soluciones. Si la cantidad de variables es menor al número de ecuaciones, el sistema no tiene solución Condiciones Cada una de las ecuaciones debe ser linealmente independiente para garantizar que las ecuaciones sean únicas y no tan sólo una combinación de otras ecuaciones. Relación con la programación lineal Si cada uno de los símbolos de las restricciones fuera de igualdad y se tuviera la misma cantidad de variables y restricciones, se podría simplemente resolver el sistema de ecuaciones.
Sistema de ecuaciones (2) Para poder relacionar los sistemas de ecuaciones con los modelos de programación lineal, se deben llevar todas las restricciones a igualdad. 1 + 0x 2 0 + 1x 2 8 1 + 2x 2 20 Para este caso, debido a que todas las restricciones son de menor o igual, se podría crear una variable adicional positiva (de holgura) para llevar cada una de las restricciones a la igualdad. 1 + 0x 2 + 1x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 0 + 1x 2 + 0x 3 + 1x 4 + 0x 5 = 8 1 + 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 1x 5 = 20 Z = 3 + 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 El lado izquierdo de cada restricción siempre será menor o igual que el derecho. Al ser las variables adicionales positivas, representan para cada restricción, cuánto falta para llegar a la igualdad con el lado derecho. Modificación en la función objetivo. Ahora, las restricciones del modelo de programación lineal tiene igualdad, por lo que podremos utilizar los conceptos de los sistemas de ecuaciones. Aunque para este caso, el número de variables es mayor al número de restricciones.
Modificaciones a la formulación matricial original Max z = CX s. a. AX = b X 0 A = x 2 x 3 x 4 x 5 1 0 0 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x 2 x 3 x 4 x 5 C = 3 2 0 0 0 b= 8 20 X = x 2 x 3 x 4 x 5 Después de agregar las variables de holgura, se debe modificar la notación matricial. Las restricciones son todas de igualdad. La matriz A incluye los coeficientes de las variables de holgura. El vector C incluye los coeficientes de las variables de holgura. Estos coeficientes deben ser 0 porque son en realidad, variables que no afectan la función objetivo. El número de incógnitas se incrementó en una por cada restricción.
Variables básicas y no básicas Sabemos que si el número de variables fuera igual al número de ecuaciones, se podría resolver el sistema. Sin embargo, para el ejemplo anterior, el número de variables es cinco, mientras que tan solo hay tres restricciones. Para poder llegar a una posible solución, se podría fijar dos de las variables (cualquiera) en cero, y sólo resolver el sistema para las tres variables restantes. Variables NO BÁSICAS x 2 x 3 = 0 0 x 4 x 5 Variables usadas para el sistema de ecuaciones Variables BÁSICAS 1 + 0x 4 + 0x 5 = 0 + 1x 4 + 0x 5 = 8 1 + 0x 4 + 1x 5 = 20 Z = 3 + 0x 4 + 0x 5 Sistema de ecuaciones solo con las variables elegidas. Las demás no se incluyen pues toman el valor de cero Modificación en la función objetivo. Las variables básicas XB son aquellas que serán usadas en el sistema de ecuaciones. Mientras que las variables no básicas XN son las que se fijarán en 0. Tienen que existir tantas variables básicas como restricciones.
Modificación de la formulación matricial Max z = CB CN XB XN s. a. B N XB XN = b XB, XN 0 CBXB CNXN Z = 3 + 0x 4 + 0x 5 + 2x 2 + 0x 3 1 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 2 + 1x 3 = BXB NXN b 0 + 1x 4 + 0x 5 + 1x 2 + 0x 3 = 8 1 + 0x 4 + 1x 5 + 2x 2 + 0x 3 = 20 Max z = CBXB + CNXN s. a. BXB + NXN = b XB, XN 0 Se presenta la formulación de un problema de programación lineal, dividiendo las variables en básicas y no básicas. Puede notarse que la formulación matricial dividió casi todos sus componentes en dos: asociados a las variables básicas y asociado a las variables no básicas.
Modificación de la formulación matricial B = x 4 x 5 1 0 0 0 1 0 1 0 1 N = x 2 x 3 0 1 1 0 2 0 x 4 x 5 CB = 3 0 0 x 2 x 3 CN = 2 0 XB = x 4 x 5 XN = x 2 x 3 b= 8 20 CB representa los valores de la función objetivo asociados a cada una de las variables básicas. CN representa los valores de la función objetivo asociado a cada una de las variables no básicas. B representa los coeficientes de las restricciones asociados a las variables básicas. N representa los coeficientes de las restricciones asociados a las variables no básicas.
Solución del sistema de ecuaciones Variables NO BÁSICAS x 2 x 3 = 0 0 x 4 x 5 Variables usadas para el sistema de ecuaciones Variables BÁSICAS Z = 3 + 0x 4 + 0x 5 Z = 3 1 + 0x 4 + 0x 5 = 0 + 1x 4 + 0x 5 = 8 1 + 0x 4 + 1x 5 = 20 = x 4 = 8 + x 5 = 20 Los pequeños sistemas de ecuaciones pueden resolverse remplazando variables. Sin embargo, no es un método eficiente para modelos más grandes. Por lo tanto, deben solucionarse usando ecuaciones de matrices. BXB + NXN = b XN = 0 BXB = b B 1 BXB = B 1 b XB = B 1 b
Cálculo de la inversa Uno de los métodos para calcular la inversa es Gauss-Jordan. El método consiste en agregar a la derecha de la matriz, una matriz identidad de mismas dimensiones. Posteriormente, a partir de operaciones elementales (+ - / *)entre filas se debe reducir la parte izquierda a la matriz identidad. Recordar que: Una matriz no cuadrada no tiene inversa. Una matriz con columnas linealmente dependientes no tiene inversa. Cálculo de la inversa para la matriz B asociada a, x 4, x 5 B 1 0 0 0 1 0 1 0 1 I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 F3 F1 I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 En la primera iteración de Gauss-Jordan usamos la operación F3 F1 para eliminar el cero de la esquina inferior izquierda. Después de esta operación, la matriz B se transformó en la matriz identidad, por lo tanto, hemos encontrado su inversa. Con lo anterior, ya hemos encontrado la inversa a la matriz de los coeficientes de las restricciones asociados a las variables básicas. B 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1
Conceptos (2) Solución factible: Valores de las variables originales del problema (sin las de holgura) que cumplen todas las restricciones del problema original. Solución óptima: Solución factible que tiene el mejor valor de la función objetivo. Solución básica Es el resultado de resolver sistema de ecuaciones después de haber elegido las variables básicas y las variables no básicas. Solución básica factible Solución básica en la que todos sus componentes son positivos. Es decir, ninguna variable viola el supuesto de no negatividad. Toda solución básica factible es un vértice en el gráfico. Si con la elección de la base inicial no se logra una solución básica factible, o no es posible encontrar una solución porque B no tiene inversa, debe elegirse una nueva base.
Relación solución básica factible y gráfico = 0 x + x 3 = 3 = 0 Recta = Recta x 3 = 0 x 4 = 0 x 2 8 x 2 + x 4 = 8 Recta x 2 = 8 Recta x 4 = 0 Vertices = {A, B, C, D, E} Región Factible x 5 = 0 + 2x 2 20 + 2x 2 + x 5 = 20 Recta + 2x 2 = 20 Recta x 5 = 0 x 2 = 0
Representación geométrica = 0 x 3 = 0 XB = B 1 b x 4 = 0 XB = x 4 x 5 = 1 0 0 0 1 0 1 0 1 8 20 = 8 z = CB CN XB XN Vertices = {A, B, C, D, E} Región Factible x 5 = 0 x 2 = 0 Z = 3 + 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 Z = 3 + 2 0 + 0 0 + 0 8 + 0 = 30 XN = x 2 x 3 = 0 0 Solución básica con: XB =, x 4, x 5, XN = {x 2, x 3 } x 4 x 5 x 2 x 3 = 8 0 0 Con variables holgura x = 2 0 Sin variables de holgura Vertice C
La solución actual es óptima? El sistema de ecuaciones tiene una única solución. Por lo tanto, se debe decidir si las variables utilizadas en la base son las óptimas. Esto implica que, la pregunta en realidad es La selección de variables para la base es óptima? o vale la pena intercambiar alguna variable básica con una variable no básica para mejorar la función objetivo? En el método simplex sólo se puede intercambiar una variable no básica al tiempo. Para lograr esto, se debe analizar la formulación del problema de programación lineal SIN asignar cero a las variables no básicas, es decir, analizar las ecuaciones sin eliminar las variables no básicas de las expresiones. Max z = CBXB + CNXN s. a. BXB + NXN = b XB, XN 0 Despejando XB BXB = b NXN B 1 BXB = B 1 b B 1 NXN XB = B 1 b B 1 NXN En esta relación, las variables básicas XB disminuyen su valor si las variables no básicas toma un valor positivo, es decir, si entran a la base. Por cada unidad que se incrementen las variables no básicas, las variables básicas van a disminuir B 1 N
La solución actual es óptima?(2) z = CBXB + CNXN Usando la relación anterior XB = B 1 b B 1 NXN Z= CB B 1 b B 1 NXN + CNXN Z= CBB 1 b CBB 1 NXN + CNXN Z= CBB 1 b CBB 1 N CN XN Costos Reducidos Max Z = CBB 1 b CBB 1 N CN XN Sujeto a XB = B 1 b B 1 NXN En este nuevo modelo, es evidente que será adecuado incluir en la base una variable no básica, siempre y cuando sus costos reducidos sean positivos. Se debe recordar que incluir una variable no básica a la base, significa que será utilizada en el sistema de ecuaciones, por lo que su valor ya no será cero, sino un numero positivo. Para un grupo de variables básicas ya seleccionada, se demostró que XB = B 1 b. Por lo tanto, si se deseará agregar una variable no básica a la base, la variación de la función objetivo Z CBB 1 b estaría dada por CBB 1 N CN XN. Es decir la variación de la función objetivo está dada por los costos reducidos. De esta manera, si se agrega a la base una variable no básica con costo reducido positivo, la función objetivo va a mejorar. En contraste, si se agrega a la base una variable no básica con costos reducidos negativos, la función objetivo va a empeorar. En el caso en el que todas las variables no básicas tengan costos reducidos negativos, significa que la solución actual es óptima.
La solución actual es óptima?(3) Según lo anterior, para decidir si la solución actual es óptima, se debe calcular para cada variable no básica sus costos reducidos. XB = x 4 x 5 XN = x 2 x 3 x 4 x 5 1 0 0 CBB 1 N CN = 3 0 0 1x3 0 1 0 1 0 1 3x3 x 2 x 3 x 2 x 3 0 1 1 0 2 0 3x2 2 0 1x2 x 2 x 3 = 0 3 2 0 = 2 3 El costo reducido de la variable no básica x 2 es 2 y el costo reducido de la variable no básica x 3 es 3. Agregar x 2 a la base mejoraría la función objetivo mientras que agregar x 3 empeoraría la función objetivo. Ya se ha tomado la decisión de agregar x 2 a la base. Sin embargo, según lo discutido antes, el número de variables básicas debe ser igual al número de restricciones para que el sistema tenga solución, por lo que es necesario decidir Qué variable básica debe salir?, en otras palabras Qué variable básica debe tomar el valor de cero?
Selección de la variable de salida XB = B 1 b B 1 NXN Según la expresión anterior. Al entrar una variable no básica a la base, las variables básicas disminuyen en B 1 N por cada unidad que se incremente cada variable no básica. Se conoce que sólo se puede agregar una variable no básica al tiempo, y además, ya se decidió que x 2 entraría a la base, por lo tanto, para este análisis x 3 seguirá siendo cero. Que x 2 entre al grupo de variables básicas, significa que una de las variables básicas se convertirá en no básica. Es necesario recordar que las variables básicas toma un valor positivo, mientras que las variables no básicas toman el valor de 0. En resumen, para decidir qué variable debe salir de la base, es necesario seleccionar la variable básica que más pronto reduce su valor a cero a medida que se incrementa x 2. x 4 = x 5 3x1 8 3x1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 3x3 x 2 x 3 0 1 1 0 2 0 3x2 x 2 x 3 2x1 x 4 x 5 = 8 0 1 1 0 2 1 x 2 x 3 = 8 0x 2 + x 3 x 2 + 0x 3 2x 2 x 3 = 8 0x 2 x 2 2x 2 + x 3 0x 3 x 3 Para esta iteración, x 3 = 0 x 4 x 5 = 8 0 1 2 x 2 Este vector también es conocido como y
Selección de la variable de salida(2) x 4 x 5 = 8 0 1 2 x 2 En este caso, al incrementarse la variable x 2 la primera variable básica que se vuelve cero, es decir sale de la base, es x 5. Para facilitar este proceso, puede usarse también el criterio de la razón mínima. Seleccionar la variable básica que tenga el menor valor de B 1 b nueva XB = x 4 x 2 B = x 4 x 2 1 0 0 0 1 1 1 0 2 y. x 4 x 2 CB = 3 0 2 B 1 = 1 0 0 0.5 1 0.5 0.5 0 0.5 nueva XN = x 5 x 3 N = x 5 x 3 0 1 0 0 1 0 x 5 x 3 CN = 0 0 Para evitar confusiones, es importante respetar el orden y posición de las variables que entran a la base y las variables que salen de ella.
Representación geométrica iteración 2 = 0 x 3 = 0 XB = B 1 b x 4 = 0 XB = x 4 x 2 = 1 0 0 0.5 1 0.5 0.5 0 0.5 8 20 = 3 5 z = CB CN XB XN Vertices = {A, B, C, D, E} Región Factible x 5 = 0 movimiento x 2 = 0 Z = 3 + 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 Z = 3 + 2 5 + 0 0 + 0 3 + 0 0 = 40 XN = x 5 x 3 = 0 0 Solución básica con: XB =, x 4, x 2, XN = {x 5, x 3 } x 4 x 2 x 5 x 3 = 3 5 0 0 Con variables holgura x = 2 5 Sin variables de holgura Vertice D
La solución actual es óptima? Costos reducidos x 5 x 3 x 4 x 2 1 0 0 CBB 1 N CN = 3 0 2 1x3 0.5 1 0.5 0.5 0 0.5 3x3 = 1 2 0 0 = 1 2 0 1 x 5 x 3 0 0 0 0 1x2 1 0 3x2 Todos los costos reducidos asociados a las variables no básicas son negativos. Por lo tanto, la solución actual es óptima y se ha terminado el método simplex.
Comprobación con gusek Modelo Salida Existe solución óptima Valor variables Valor función objetivo Comando para mostrar resultado
Diagrama de flujo del método simplex Inicio Convertir el modelo de programación lineal a su modelo estándar Agregar las variables de holgura para llevar todas las restricciones a la igualdad Seleccionar la variable que tenga mayor costo reducido para que entre a la base Recomendación: Seleccionar como primera base las variables de holgura Solución inicial: Seleccionar arbitrariamente las variables básicas y las variables no básicas Seleccionar la variable básica que debe salir de la base usando el criterio de la razón mínima Resolver el sistema de ecuaciones y calcular el valor de la función objetivo Calcular los costos reducidos de las variables no básicas Fin sí La solución es óptima? no
Consideraciones Encontrar el valor óptimo de un problema de programación lineal es equivalente a seleccionar de manera óptima las variables básicas y las variable son básicas. El punto óptimo de un problema de programación lineal siempre será un vértice. Según el gráfico, una posible alternativa sería evaluar la función objetivo para todos los vértices y seleccionar el mejor. Según los dos puntos anteriores, otra alternativa es probar todas las combinaciones de variables + restricciones variables básicas y no básicas. Sin embargo, se requeriría. variables El método simplex prueba de manera inteligente los vértices hasta encontrar el óptimo, sin necesariamente, probarlos todos.
Casos especiales Restricciones de mayor o igual Tratar de despejar la restricción para volverla menor o igual con el lado derecho positivo. Si lo anterior no es posible, se deben agregar dos variables nuevas: una de holgura con signo negativo que representa cuánto sobra para llegar a la igualdad y otra con signo positivo que permite construir una base inicial invertible. En este caso, el coeficiente de la función objetivo asociado a la variable con signo positivo debe ser un número muy grande que empeore la función objetivo para evitar que tome valores en la solución óptima. Si en la solución óptima alguna de las variables artificiales está en la base. El problema es infactible. Si en una iteración, el costo reducido de una variable no básica es cero y los demás son negativos. La solución tiene múltiples óptimos. Esto se debe a que se podría ingresar esta variable y la función objetivo no cambia. El método simplex para este caso muestra que hay 2 vértices que tienen el mismo valor de la función objetivo. Sin embargo, la recta que une a estos dos vértices también tendrán el mismo valor de la función objetivo. Si en una iteración, existen aún costos reducidos positivos, sin embargo, por la composición del vector y ninguna variable puede salir de la base. En este caso, el problema es no acotado.
Ejercicios 1. Resolver el problema anterior, pero seleccionado como base inicial las variables de holgura. 2. 3. Max Z = 7 + 2x 2 s. a. 25 + 3x 2 40, x 2 0 Min Z = 2 7x 2 s. a. 30 0 2 3x 2 40 x 2 20, x 2 0
Formulas matriciales en Excel Definición: Ecuaciones de excel que trabajan con rangos sino celdas. Permiten automatizar funciones para analizar bases de datos. Formulación Seleccionar en excel el rango de la matriz resultante. Escribir la formulación. Ingresar la formulación con ctrl+shift+enter. Para verificar que la formula matricial es correcta, la formulación de excel debe quedar entre llaves. Uso para operaciones entre matrices Mmult: Multiplicación de matrices. Sólo se pueden multiplicar 2 matrices al tiempo. Si se desean multiplicar 3 o más matrices se pueden anidar. Ejemplo mmult(mmult(m1,m2),m3). Minv: Obtiene la matriz inversa. Si el resultado es #NUM, la matriz no es invertible.
Ejemplo C B 1 1. Datos 2. Seleccionar tamaño destino 3. Escribir fórmula 6. Ingresar crt+shift+enter Revisar {}