INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE FUNCIONES. Problemas

Problemas Curso 2013-2014

Problemas 1. Sea E un espacio normado. Si a, b son elementos de E, probar: (a) 1 2 (a + b) 2 1 2 a 2 + 1 2 b 2. (b) a max{ a + b, a b }. 2. Demostrar que en un espacio normado, la adherencia de B(a, r) es B (a, r) y el interior de B (a, r) es B(a, r). Es cierto el resultado anterior en un espacio métrico cualquiera? 3. Seann E un espacio normado y A E numerable. Demostrar que la adherencia del subespacio lineal generado por A es separable. 4. Sea E un espacio normado. Probar que los enunciados siguientes son equivalentes: (a) E es separable. (b) La bola abierta unidad B = B(0, 1) es separable. (c) La esfera unidad S = {x E : x = 1} es separable. 5. Sean E un espacio normado y A E no vacío. Demostrar que los enunciados siguientes son equivalentes: (a) A es un conjunto acotado. (b) Para cada sucesión {x n } de elementos de A y cada sucesión {λ n } de escalares que converge hacia 0, la sucesión {λ n x n } converge hacia el vector 0. 6. Sea E un espacio normado y r > 0. Probar que E y B(0, r) son homeomorfos. 7. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo K, T una aplicación lineal de E en F y B la bola cerrada unidad. Se supone que T (B) es un entorno del origen en F (a) Probar que T es suprayectiva. (b) Si {y n } es una sucesión acotada de elementos de F, demostrar que existe una sucesión acotada {x n } de elementos de E tal que T (x n ) = y n para cada n N. 8. Se designa por E al espacio vectorial de las funciones definidas y continuas en R con valores en K y de soporte compacto. Para cada f E se define f = sup{ f(t) : t R}. Probar que es una norma sobre E y que el espacio normado (E, ) no es un espacio de Banach. 9. La aplicación identidad i de (l 1, 1 ) en (l 1, ), es un homeomorfismo? 10. Sea E el espacio vectorial de las funciones f C([ 1, 1], K) tales que f(x) = f( x) para todo x [ 1, 1]. Demostrar que E provisto de la norma del superior es un espacio de Banach. 1

Problemas 11. Sean B un sistema fundamental de entornos del vector 0 en un espacio normado E y A un subconjunto de E. Demostrar uw A = V B A + V. 12. Sea E un espacio normado. Probar que los enunciados siguientes son equivalentes: (a) E es un espacio de Banach. (b) Toda serie de elementos de E que es absolutamente convergente, es convergente. 13. Sean (E 1, 1 ), (E 2, 2 ),..., (E n, n ), n espacios normados sobre el mismo cuerpo K. En el espacio producto E = E 1 E 2... E n, se considera la noorma: (x 1, x 2,..., x n ) = sup{ x k k : k = 1, 2,..., n}. Probar que el espacio normado (E, ) es Banach si, y sólo si, (E k, k ) es Banach para cada k = 1, 2,..., n. 14. Sean E un espacio normado y F un espacio de Banach, ambos sobre el mismo cuerpo K. Si {a n } es una sucesión de Cauchy de elementos de E y {T n } una sucesión de Cauchy de elementos de L(E, F ), demostrar que la sucesión {T n (a n )} es convergente en F. 15. Sean E un espacio normado, F un espacio de Banach, ambos sobre el mismo cuerpo K y S un subconjunto de E denso en E. Si {T n } es una sucesión acotada de elementos de L(E, F ) tal que para cada elemento a S la sucesión {T n (a)} es convergente en F, entonces, para cada elemento x E, la sucesión {T n (x)} converge en F. 16. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo K y T : E F lineal. Probar que los enunciados siguientes son equivalentes: (a) T es continua. (b) T transforma sucesiones de Cauchy de E en sucesiones de Cauchy de F. (c) T transforma sucesiones que convergen hacia 0 en E en sucesiones acotadas de F. 17. Sea {α n } una sucesión de elementos de K. Se considera el conjunto E de las sucesiones x = {x n } de elementos de K, tales que α n x n 2 <. (a) Probar que E es un espacio subespacio vectorial del espacio de las sucesiones de elementos de K. 2

(b) Si x = {x n } E, se define ( ) 1 x = α n x n 2 Demostrar que la aplicación x x es una norma si, y sólo si, α n 0, para cada n N. En lo que sigue se supone que la aplicación anterior es una norma. (c) Probar que el espacio normado (E, ) es de Banach y separable. (d) Si {α n } es una sucesión acotada y l 2 = l 2 (K), probar: (i) l 2 E. (ii) La inyección canónica I: (l 2, 2 ) (E, ) es inyectiva y continua. Determinar su norma. (iii) Dar un ejemplo de una sucesión {α n } acotada de elementos de K, de forma que l 2 E. (iv) Demostrar que l 2 es denso en E. 18. Sean E un espacio normado y A y B subconjuntos de E. (a) Demostrar que A + B A + B. (b) Dar ejemplos donde no se verifica la contención en sentido contrario. (c) Demotrar que si A es compacto, A + B = A + B y decucir que si A es compacto y B cerrado, A + B es cerrado. 2. 3

Problemas 19. Sea l = l (K) el espacio vectorial ( sobre K ) de las sucesiones acotadas de elementos de K. Si x = {x n } es un elemento de l se define: x = sup{ x n : n N} Se denotará por c = c(k) al subespacio de l de las sucesiones convergentes de elementos de K, por c 0 = c 0 (K) al subespacio de c de las sucesiones de elementos de K que convergen hacia 0 y por c 00 = c 00 (K) al subespacio de c 0 formado por las sucesiones nulas a partir de un término. (a) Demostrar que la aplicación x x es una norma en l. (b) Demostrar que l = (l, ) es un espacio de Banach. (c) Estudiar la separabilidad de l, c, c 0 y c 00. (d) Demostrar que c es cerrado en l. (e) Demostrar que c 0 es cerrado en c. (f) Demostrar que c 00 no es completo. (g) Demostrar que c 00 es denso en c 0. 20. Sea 1 p <. Se define l p = l p (K) el conjunto de las sucesiones x = {x n } de elementos de K tales que: x n p <. (a) Sean p, q > 1 tales que p 1 + q 1 = 1. Si x = {x n } l p e y = {y n } l q, ( ) 1 ( x k y k x k p p ) 1 y k q q. k=1 k=1 k=1 La desigualdad anterior se conoce como desigualdad de Hölder. (b) Sea 1 p <. Si x = {x n } e y = {y n } l p, se verifica: ( ) 1 x k + y k p p ( k=0 k=0 x k p ) 1 p + ( k=0 y k p ) 1 p. La desigualdad anterior se conoce como desigualdad de Minkowski. (c) Demostrar que l p es un espacio vectorial sobre K. ( (d) Si x = {x n } l p, demostrar que la aplicación x x p = norma sobre l p. (e) Demostrar que l p con esta norma es un espacio de Banach. (f) Demostrar que c 00 es denso en l p. (g) Estudiar la separabilidad de l p. x n p ) 1 p es una 4

Problemas 21. Sea E el espacio de las funciones de clase C n en [a, b] con valores en K. Demostrar que la igualdad f = f + f + + f n) define una norma en E. Probar que el espacio normado (E, ) es un espacio de Banach. 22. Sea E el espacio de las funciones de clase C n en [a, b] con valores en K. Demostrar que la igualdad f = f(a) + f (a) + + f n 1) (a) + f n) define una norma en E. Probar que las normas dada en el problema anterior y son equivalentes. Probar que el espacio normado (E, ) es un espacio de Banach. 23. Se designa por X el espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientes en el cuerpo K. Si P X es el polinomio P (t) = a 0 + a 1 t +... + a n t n, se definen: y P = sup{ P (t) : 0 t 1}. P 1 = a 0 + a 1 +... + a n. Probar que y 1 son normas sobre X. Demostrar que P P 1 para cada P X. Demostrar que no existe M > 0 tal que P 1 M P, para cada P X. 24. Para cada α 0 se define el conjunto C α de las funciones f: [0, ) R continuas tales que sup{e αt f(t) : t [0, )} <. (a) Probar que C α es un espacio vectorial para las operaciones de suma y producto por un escalar habituales y que la igualdad define una norma en C α. (b) Es Banach el espacio (C α, α )? f α = sup{e αt f(t) : t [0, )} (c) Si f C α y g C β, probar que g f C α+β. Sea g C β. Se define T g : (C α, α ) (C α+β, α+β ) por T g (f) = g f. Demostrar que T g es un operador lineal y continuo entre los espacios indicados y calcular su norma. (d) Si β > α y f C α se define T β (f): [0, ) R por T β (f)(x) = x 0 e β(x t) f(t) dt. Demostrar que T β (f) C α. Probar que la aplicación f T β (f) de (C α, α ) en (C α, α ) es lineal y continua. Determinar su norma. 5

25. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo K, T una aplicación lineal de E en F y A un subconjunto de E. (a) Si E es de dimensión finita y A acotado, probar que T (A) es un conjunto relativamente compacto de F. (b) Si E es Banach, A cerrado, T continua y T (x) x para cada x E, entonces T (A) es cerrado en F. 6

Problemas 26. Sea E un espacio normado y p: E R verificando: (a) p(x) 0, para cada x E. (b) p(λx) = λ p(x), para cada x E y para cada λ K. (c) p(x + y) p(x) + p(y), para cada par de elementos x, y E. Demostrar: (I) p es continua si, y sólo si, p es continua en 0. (II) Si E es de dimensión finita, p es continua. 27. Sea E un espacio normado. Se supone que existe una sucesión {b n } de elementos de E y α > 0 tales que b n b m = α, n, m N, n m. (a) Probar que el conjunto {b n : n N} es un cerrado de E. (b) Puede ser de dimensión finita el espacio E? 28. Sea E un espacio normado. Demostrar que los enunciados siguientes son equivalentes: (a) La dimensión de E es finita. (b) Para cada x E y para cada r > 0, la bola cerrada B (x, r) es un compacto. (c) Todo punto de E, admite un sistema fundamental de entornos compactos. (d) Todo acotado de E es relativamente compacto. (e) Existen a E y δ > 0 tales que B (a, δ) es compacto. (f) La esfera unidad S = {x E : x = 1} es compacto. 29. Se designa por P 2 al espacio vectorial de los polinomios en una variable, con coeficientes reales de grado menor o igual que 2. Sea A = {P P 2 : P (0) 1, P (0) 1, P (0) 1}. Demostrar que A es un compacto del espacio C([0, 1], R) provisto de la norma del superior. 30. Sean x 0, x 1,..., x m números reales distintos y sea {P n } una sucesión de polinomios de grado no superior a m, tal que para cada j = 0, 1,..., m, la sucesión {P n (x j )} converge. Demostrar que {P n } converge uniformemente en [0, 1]. 7

31. Sean m N, {P n } una sucesión de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que m y f: [0, 1] R integrable y tal que 1 lim P n (t) f(t) dt = 0. n 0 Probar que existe un polinomio P tal que f(t) = P (t) casi siempre en [0,1]. 32. Se designa por E el espaacio vectorial de los polinomios en una variable, con coeficientes en K y de grado menor o igual que dos, normado por Sea T : E R dada por : P = sup{ P (t) : 0 t 1}. T (P ) = P (0). Probar que T es lineal y continua. Si P es el polinomio determinar P y P (0). Calcular T. P (x) = 8x 2 8x + 1, 8

Problemas 33. Sean X un espacio topológico y A un subconjunto no vacío de C(X, K) y equicontinuo en cada punto de X. Para cada x X, se considera el conjunto A x = {f(x) : f A}. Sea L = {x X : A x es un acotado de K}. (a) Demostrar que L es un conjunto abierto y cerrado en X. (b) Si X es conexo y compacto y L es no vacío, probar que A es un conjunto relativamente compacto en (C(X, K), ). 34. Sea A un subconjunto no vacío de C 1 ([0, 1], K). Se supone: (a) El conjunto {f : f A} es un acotado del espacio normado (C([0, 1], K), ). (b) Existe a [0, 1] tal que el conjunto {f(a) : f A} es un acotado de K. Demostrar que A es un conjunto relativamente compacto en (C([0, 1], K), ). 35. Sea f: [0, 1] R continua, tal que 0 f(x) 1 para cada x [0, 1]. Se considera la aplicación T : C([0, 1], K) C([0, 1], K) dada por: T (g) = g f. (a) Demostrar que T es lineal y continua cuando en C([0, 1], K) se considera la norma del superior. Calcular T. (b) Sea H un conjunto compacto del espacio (C([0, 1], K), ). Probar que el conjunto L = {g f : g H} es también un compacto del citado espacio. 36. (a) Sea n N. Demostrar que para cada k Z con 0 k n, existe α > 0, que depende de n y k, tal que para cada polinomio P con coeficientes reales y grado menor o igual que n, se verifica: sup{ P k) (x) : 0 x 1} α sup{ P (x) : 0 x 1}. (b) Se designa por E el espacio vectorial de las funciones reales, definidas y continuas en [0, 1], provisto de la norma del superior. Sea M un subespacio vectorial de E que verifica: (i) M es cerrado en E. (ii) Si f M entonces f es de clase C 1 en [0, 1]. (iii) Existe L > 0, tal que para cada f M se tiene sup{ f (x) : 0 x 1} L sup{ f(x) : 0 x 1}. Probar que M es de dimensión finita. (c) Para cada n N, dar un ejemplo de un subespacio vectorial de E de dimensión n, verificando condiciones (i), (ii) y (iii). del apartado anterior. 9

37. Sea E el espacio de las funciones reales definidas y de clase C 1 en [0, 1]. Se dota a E de la norma f = f + f. Sea A E. (a) Si existe M > 0 tal que f M para cada f A, entonces A es equicontinuo. (b) Probar que A es relativamente compacto en (E, ) si, y sólo si, A es acotado en (E, ) y el conjunto {f : f A} es equicontinuo. 38. Sean [a, b] un intervalo compacto de la recta y K una aplicación continua de [a, b] [a, b] en C. Para cada f C([a, b], C) se define la función f en [a, b] por: f (x) = b a K(x, t)f(t) dt. (a) Si f C([a, b], C, probar que f es continua en [a, b]. (b) Probar que el conjunto {f : f C([a, b], C), f 1}, es relativamente compacto en C([a, b], C) provisto de la norma del superior. (c) Se define la aplicación T : C([a, b], C) C([a, b], C), por T (f) = f. Demostrar que T es lineal y continua. En C([a, b], C) se considera la norma del supeior. 39. Para cada f L 2 ([ π, π], C) se define la función f : [ π, π] C por: f (x) = π π cos (x t)f(t) dt. (a) Si f L 2 ([ π, π], C), probar que f es continua en [ π, π]. (b) Probar que el conjunto {f : f L 2 ([ π, π], C), f 2 1}, es relativamente compacto en C([ π, π], C) provisto de la norma del supremo. (c) Se define la aplicación T : L 2 ([ π, π], C) L 2 ([ π, π], C), por T (f) = f. Probar que T es lineal y continua. 40. Sean [a, b] un intervalo compacto de la recta y K una aplicación continua de [a, b] [a, b] en C. Para cada f L 2 ([a, b], C) se define la función f en [a, b] por: f (x) = b a K(x, t)f(t) dt. (a) Si f L 2 ([a, b], C), probar que f es continua en [a, b]. (b) Probar que el conjunto {f : f L 2 ([a, b], C), f 2 1}, es relativamente compacto en C([a, b], C) provisto de la norma del superior. (c) Probar que el conjunto {f : f L 2 ([a, b], C), f 2 1}, es relativamente compacto en L 2 ([a, b], C). (d) Se define la aplicación T : L 2 ([a, b], C) L 2 ([a, b], C), por T (f) = f. Demostrar que T es lineal y continua. 41. Sea F una función continua de R 2 en R. Para cada f C([0, 1], R), se considera la función f definida en [0,1], por f (x) = x 0 10 F (t, f(t)) dt.

Demostrar que f es continua en [0,1]. Se considera el conjunto A = {f : f C([0, 1], R), f 1}. Probar que A es un conjunto relativamente compacto en C([0, 1], R) provisto de la norma del superior. 42. Sea I un intervalo compacto de R. Demostrar que el espacio C(I, K) es separable. 43. Se considera el conjunto A = {f C([0, 1], C) : f(x) = 1, para cada x [0, 1]}. Probar que el subespacio generado por A, es denso en el espacio (C([0, 1], C), ). Sigue siendo válido el resultado si se sustituye C por R? 44. Para cada n = 0, 1, 2,... se define la función f n : [0, 1] R por f n (t) = e nt. (a) Probar que el subespacio lineal generado por el conjunto {f n : n = 0, 1, 2,...} es denso en el espacio de Banach (C([0, 1], R), ). (b) Demostrar que si h C([0, 1], R), existe una única aplicación lineal continua T de C([0, 1], R) en R, tal que T (f n ) = 1 0 e nt h(t) dt para cada n 0. Si T (f n ) = 0, para cada n 0, entonces h = 0. 45. Sea X un espacio topológico compacto. Se supone que existe una aplicación f: X R continua e inyectiva. Para cada n = 0, 1, 2,... se define g n (x) = e nf(x), x X. Determinar la adherencia en C(X, R) (dotado de la norma del supremo) del subespacio vectorial generado por {g n : n = 0, 1, 2,...}. Sean E un espacio normado real y T : C(X, R) E una aplicación lineal continua tal que T (g n ) = 0 para n 0. Que puede decirse de T? 46. Se designa por P el espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientes en R, normado por P = sup{ P (x) : 0 x 1}, P P. Si a, b son números reales con a < b, se considera la aplicación T ab de P en R, definida por T ab (P ) = b a P (x) dx. Si a / [0, 1] o b / [0, 1], probar que la aplicación T ab no es continua. 11

47. Se designa por P el espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientes en R, normado por P = sup{ P (x) : 0 x 1}, P P. Si a R, se considera la aplicación T a de P en R, definida por T a (P ) = P (a). (a) Si a [0, 1], probar que T a es continua. Calcular T a. (b) Si a / [0, 1], probar que T a no es continua. 12

Problemas 48. Sea e n = {δ nm } m=1. Demostrar que si x = {x n } es un elemento de c 0 o de l p, con 1 p <, entonces x = x n e n en estos espacios. 49. Sea x = {x n } l 1 y sea u x : c 0 K dada por: donde y = {y n }. (a) Demostrar que u x (c 0 ). u x (y) = x n y n (b) Se considera la aplicación Φ: l 1 (c 0 ) dada por Φ(x) = u x. Demostrar que Φ es un isomorfismo tal que Φ(x) = x 1. (Se suelen identificar los espacios normados (c 0 ) y l 1 y decir que el dual de c 0 es l 1 ). 50. Sea x = {x n } l y sea u x : l 1 K dada por: donde y = {y n }. (a) Demostrar que u x (l 1 ). u x (y) = x n y n (b) Se considera la aplicación Φ: l (l 1 ) dada por Φ(x) = u x. Demostrar que Φ es un isomorfismo tal que Φ(x) = x. (Se suelen identificar los espacios normados (l 1 ) y l y decir que el dual de l 1 es l. 51. Sea 1 < p < y sea q el conjugado de p. Sea x = {x n } l q y sea u x : l p K dada por: u x (y) = x n y n donde y = {y n }. (a) Demostrar que u x (l p ). (b) Se considera la aplicación Φ: l q (l p ) dada por Φ(x) = u x. Demostrar que Φ es un isomorfismo tal que Φ(x) = x q. (Se suelen identificar los espacios normados (l p ) y l q y decir que el dual de l p es l q ). 13

52. Sean M es un subespacio vectorial cerrado de un espacio normado E y a un elemento de E tal que a / M. Demostrar que el subespacio M a es cerrado en E. 53. Demostrar que todo subespacio cerrado de un espacio normado E se puede escribir como una intersección de hiperplanos cerrados. 54. Sean e 1, e 2,..., e n, n vectores linealmente independientes de espacio normado E. Probar que existen n elementos Φ 1, Φ 2,..., Φ n de E tales que Si Φ i (e j ) = δ ij i, j = 1, 2,..., n. n L = ker Φ j, j=1 demostrar que E = L e 1, e 2,..., e n. Deducir que dado un subespacio lineal de dimensión finita M de E, existe un subespacio cerrado Z de E tal que E = Z M. 55. Sea E un espacio normado de dimensión infinita y separable. Demostrar que existe una sucesión {Φ n } de elementos de E, con Φ n = 1 para cada n N, y tal que para cada x E, la sucesión de escalares {Φ n (x)} converge hacia 0. 56. Sean E un espacio normado, F un subespacio vectorial de E y T : F l lineal y continua. Demostrar que existe S: E l lineal y continua tal que: (a) T (x) = S(x), x F. (b) T = S. 57. Sea E un espacio normado de dimensión infinita numerable. Demostrar que E es un conjunto de primera categoría (en E). 58. Demostrar que la bola cerrada unidad B (0, 1) de (l 2, 2 ) es un conjunto raro en el espacio (c 0, ). 59. Demostrar que L 2 ([0, 1], K) es un conjunto de primera categoría en L 1 ([0, 1], K). 14

Problemas 60. Sean 1 < p, q < números reales conjugados. Sea y = {y n } una sucesión de elementos de K tal que x n y n converge para cada x = {x n } l p. Demostrar que y l q. 61. Sea E un espacio normado. Demostrar que si el espacio dual E es separable, entonces E es separable. 62. (a) Si 1 < p <, el espacio l p es reflexivo. (b) Demostrar que l 1 no es reflexivo. (c) Demostrar que c 0 con la norma del superior no es reflexivo. 63. Sean {x n } una sucesión de elementos de un espacio normado E y x un elemento de E. Se dice que {x n } converge débilmente hacia x, si para cada elemento Φ E, la sucesión {Φ(x n )} converge hacia Φ(x). Sea M un subespacio vectorial de E denso en E. Probar que las proposiciones siguientes son equivalentes: (a) La sucesión {x n } converge débilmente hacia x. (b) La sucesión {x n } es acotada y para cada Φ M, la sucesión {Φ(x n )} converge hacia Φ(x). 64. Sea E un espacio normado y A un subconjunto denso de la abola cerrada unidad de E. Probar que para cada x E, se verifica x = sup{ Φ(x) : Φ A} 65. Una función f: [0, 1] C se dice que es lipschitziana si existe k > 0 tal que f(x) f(y) k x y para cada par de puntos x, y [0, 1]. Sea M un subespacio vectorial cerrado de (C([0, 1], C), ) formado por funciones lipschitzianas. Si t, s [0, 1], t s, se considera la aplicación T ts : M C dada por: T ts (f) = (a) Demostrar que T ts es lineal y continua. f(t) f(s). t s (b) Demostrar que existe C > 0 tal que, T ts C para todos t, s [0, 1], t s. (c) Demostrar que M es de dimensión finita. 66. Sea E el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes en K dotado de la norma P = Max{ a 0, a 1,..., a n } donde P (t) = a 0 + a 1 t +... a n t n. Construir una sucesión {T n } de elementos de E puntualmente acotada pero no acotada. 15

67. Sean E y F espacios de Banach sobre el mismo cuerpo. Sea T : E F lineal tal que Φ T E para cada Φ F. Probar que T es continua. 68. Sea E un espacio normado y sea {x n } una sucesión de elementos de E. Se supone que para cada ϕ E, la serie ϕ(x n ) es absolutamente convergente. Demostrar que el conjunto es un acotado de E. { i F x i : F N, F finito y no vacío } 69. Sean E un espacio vectorial y sean 1 y 2 dos normas sobre E. Se denota por B 1 la familia de los conjuntos acotados del espacio (E, 1 ) y por B 2 la familia de los conjuntos acotados del espacio (E, 2 ). Probar que los enunciados siguientes son equivalentes: (a) B 1 = B 2 (b) Las normas 1 y 2 son equivalentes. (c) (E, 1 ) = (E, 2 ). 70. Sean E y F espacios de Banach sobre el mismo cuerpo K y T una aplicación lineal y continua de E en F. Probar que existe una constante c > 0 tal que c x T (x), para cada x E si, y sólo si, T es inyectiva y T (E) es cerrado en F. 71. Sea (E, ) un espacio de Banach sobre el cuerpo K. Se considera una forma lineal f: E K. Probar que la aplicación p: E R definida por: p(x) = x + f(x) es una norma en E. Demostrar que el espacio (E, p) es de Banach si, y sólo si, f es continua en (E, ). 72. Sea ϕ una forma lineal sobre l 1. Si a = {a n } l 1, establecer que la igualdad a = ϕ(a) + a n es una norma en l 1. Probar que los enunciados siguientes son equivalentes: (a) (l 1, ) es un espacio de Banach. (b) Existe una sucesión acotada {b n } de escalares tal que para cada a = {a n } l 1. ϕ(a) = a n b n 73. Para cada número natural m se considera la aplicación lineal φ m : l 1 K, definida por π m ({x n } ) = x m. Sea una norma en l 1 tal que (l 1, ) es un espacio de Banach. Demostrar que las proposiciones siguientes son equivalentes: 16

(a) Para cada número natural m, la aplicación π m es continua para la norma. (b) La norma es equivalente a la norma 1. 74. Sea X un espacio topológico compacto. Para cada x X se designa por T x la aplicación de C(X, K) en K definida por T x (f) = f(x). Sean A X, denso en X y una norma en el espacio C(X, K). Se supone que: (a) El espacio normado (C(X, K), ) es un espacio de Banach. (b) Para cada x A, la aplicación T x es continua cuando en C(X, K) se considera la norma. Probar que la norma es equivalente a la norma del superior en C(X, K). 75. Sea E un espacio normado sobre K y f una aplicación de [0, 1] en E. Se supone que para cada Φ E se tiene que Φ f C([0, 1], K). Probar que la aplicación T : E C([0, 1], K) definida por T (Φ) = Φ f es continua. (En C([0, 1], K) se considera la norma de la convergencia uniforme.) 76. Sean A un subespacio vectorial cerrado del espacio C([a, b], R) dotado de la norma del superior y ϕ una función de [a, b] en R. Se supone que para cada f A se tiene que fϕ A. Demostrar que la aplicación T : A A dada por es continua. T (f) = fϕ 77. Sean E, F y G espacios de Banach sobre el mismo cuerpo. Sean T una aplicación lineal de E en F y {S i } i I una familia de aplicaciones lineales y continuas de F en G. Se supone: (a) i I ker S i = {0}. (b) S i T es continua para cada i I. Probar que T es continua. 78. Sean E un espacio normado y {x n } una sucesión de elementos de E. Se supone que para cada elemento f E, la serie numérica f(x n ) es absolutamente convergente. Demostrar que existe M > 0, tal que para cada elemento f E se tiene f(x n ) M f. 79. Sea E un espacio normado y {a n } una sucesión de elementos de E. Se supone que para cada Φ E, {Φ(a n )} l 2 (K). Demostrar que existe M > 0 tal que para cada Φ E se tiene {Φ(a n )} 2 M Φ. 17

80. Sea E el espacio de las funciones definidas en [0, ) y valoradas en K, continuas y acotadas en [0, ) provisto de la norma f = sup{ f(t) : t 0}. (a) Probar que el espacio normado definido anteriormente es de Banach. (b) Sea el conjunto F = {f: E K : f continua y sup{(1 + t) f(t) : t 0} < }. Probar que F es un subespacio vectorial de E. Si f F, se define la función f en [0, ) por f (t) = tf(t). En lo que sigue se considera en F la norma. (c) Probar que para cada f F, se verifica f E. Si T designa la aplicación de F en E, definida por T (f) = f, entonces T es lineal y no continua. (d) Demostrar que el grafo de T es cerrado en F E. (e) El espacio F, es de Banach? 81. Sean E un espacio de Banach, {x n } una sucesión de elementos de E y {f n } una sucesión de elementos de E. Se supone que para cada x E, la serie es convergente. f n (x)x n (a) Probar que para cada sucesión acotada {β n } de elementos de K y para cada elemento x E, la serie β n f n (x)x n converge en E. (b) Para cada sucesión acotada β = {β n } de elementos de K, se considera la aplicación T β : E E, definida por T β (x) = β n f n (x)x n. Demostrar que T β es lineal y continua. (c) Probar que existe M > 0, tal que para cada sucesión acotada β = {β n } de elementos de K, con β 1, se tiene que T β M. 18

Problemas 82. Sea H un espacio prehilbertiano complejo. Demostrar que para cada par de elementos x, y H se verifica la Fórmula de Polarización: 4 x, y = x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2. Si H es real se verifica: 4 x, y = x + y 2 x y 2. 83. Sea E un espacio normado en el que se verifica la ley del paralelogramo. Demostrar que existe un producto interno, tal que para cada x E. x 2 = x, x 84. Demostrar que l p, p 2 no es un espacio de Hilbert. 85. Sea H un espacio de Hilbert. (a) Sean {x n } e {y n } dos sucesiones de la bola unidad de H con lim x n, y n = 1. n Entonces lim x n y n = 0. n (b) Sean a H y {x n } una sucesión de elementos de H. Supongamos que se verifica lim x n, a = a, a y lim x n = a. Entonces lim x n a = 0. n n n 86. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio vectorial de H y T una aplicación lineal de M en H. Sea Z el grafo de T, es decir Z = {(x, T x) : x M}. (a) Probar que Z es un subespacio vectorial de H H. (b) Probar que la identidad (x, T x) = x 2 + T x 2 define una norma sobre Z que proviene de un producto interno. (c) Si T es continua, demostrar que M y (Z, ) son homeomorfos. (d) Si M es cerrado en H y (Z, ) es un espacio de Banach, demostrar que T es continua. 87. Sea I un intervalo y sea w C(I, R) con w(t) > 0 en I. Se define el espacio L 2 w(i, K) de las funciones f: I K medibles tales que f(t) 2 w(t) dt <. I (a) Demostrar que L 2 w(i, K) es un espacio vectorial. Se identificarán en L 2 w(i, K) funciones iguales casi siempre en I. 19

(b) Probar que f, g = es un producto interno en L 2 w(i, K). I f(t)g(t)w(t) dt (c) Demostrar que L 2 w(i, K) dotado de este producto interno es un espacio de Hilbert. 88. Demostrar que el conjunto L = {f C([0, 1], K) : 1 0 f(t) dt + f(0) = 0} es un hiperplano cerrado del espacio C([0, 1], K) provisto de la norma del superior. 89. Sea M el conjunto de las f L 1 ([0, 1]) tales que 1 0 f(t) dt = 1. Demostrar que M es un subconjunto cerrado y convexo de L 1 ([0, 1]) que contiene infinitos elementos de norma mínima. 90. Sea M = {f C([0, 1], K) : 1 2 0 f(t) dt 1 1 2 f(t) dt = 1}. Demostrar que M es un subconjunto cerrado y convexo del espacio (C([0, 1], K), ) que no contiene ningun elemento de norma mínima. 91. (a) Sea a un vector no nulo de un espacio de Hilbert H. Si M = {x H : x, a = 0}, probar que para cada elemento y de H se verifica: d(y, M) = y, a a. (b) Sea L el siguiente subconjunto de L 2 ([0, 1], K): L = {f L 2 ([0, 1]) : Si g(t) = e t, 0 t 1, determinar d(g, L). 1 0 f(t) dt = 0}. 92. Sea A R medible y de medida 1. Probar que la aplicación T : L 2 (R) C dada por T (f) = A f(x) dx es lineal y continua. Calcular la norma de T. Determinar la relación que existe entre d(f, ker T ) y T (f), para f L 2 (R, C). 93. Sean H un espacio de Hilbert, a H y M un subespacio vectorial de H cerrado. Demostrar que min{ a x : x M} = max{ a, y : y M, y = 1}. 20

94. Sean E un espacio de Banach y M un subespacio vectorial de E cerrado. (a) Probar que los enunciados siguientes son equivalentes: (i) Existe un subespacio vectorial cerrado L de E tal que E = M L. (ii) Existe una aplicación P de E en E lineal y continua tal que P (E) = M y P 2 = P. (b) Sea F un subespacio vectorial cerrado de E tal que M F = {0}. Demostrar que M F es cerrado en E si, y sólo si, inf{d(y, F ) : y M, y = 1} > 0. (c) Si la dimensión algebraica de M es finita, probar que existe un subespacio vectorial cerrado L de E, tal que E = M L. (d) Si E es un espacio de Hilbert y F es un subespacio vectorial de E tal que M F, entonces, M F es cerrado en E. (e) Si E es un espacio de Hilbert y L es un subespacio vectorial de E tal que M L y E = M L, entonces L = M. 95. Se designa por π n la n-ésima proyección de l 2 sobre K. Determinar el único elemento b l 2, tal que π n (a) = a, b para cada a l 2. 96. Se designa por π n la n-ésima proyección de l 2 sobre K. Determinar el único elemento b l 2, tal que (π 1 + π 2 + + π n )(a) = a, b para cada a l 2. 97. Sea b C con b < 1. Probar que si a = {a n } l 2 entonces la sucesión {a n b n } n=0 está en l 1. Demostrar que la aplicación T : l 2 C dada por T (a) = a n b n es lineal continua. Calcular T. 98. (a) Sea H un espacio de Hilbert y Φ H. Probar que existe a H con a 1 y tal que Φ = Φ(a). (b) Demostrar que para cada elemento a = {a n } c 0, la serie numérica es absolutamente convergente. Se define la aplicación T : c 0 K, por a n T (a) = 2. n Probar que T es lineal y continua. Determinar T. Existe algún elemento a c 0 con a 1 y tal que T = T (a)? a n 2 n 99. Sea H un espacio de Hilbert y T : H H lineal, tal que T (x), y = x, T (y) para cada par de elementos x, y H. Demostrar que T es continua. 100. Sea {e i } i I un sistema ortonormal de un espacio de Hilbert H. Si β > 0 y x H, probar que Card {i I : x, e i > β} β 2 x 2. 21

Problemas 101. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio vectorial cerrado de H, P la proyección ortogonal de H sobre M y x H. (a) Probar que x M si, y sólo si, P x = x. (b) Demostrar las igualdades P x, x = x, P x = P x 2. Sean M 1 y M 2 dos subespacios vectoriales cerrados de H. Se denotan por P 1 y P 2 las proyecciones ortogonales de H sobre M 1 y M 2 respectivamente. Demostrar la equivalencia de los siguientes enunciados: (i) P 1 x, x P 2 x, x, para cada x H. (ii) P 1 x P 2 x, para cada x H. (iii) M 1 M 2. (iv) P 2 P 1 = P 1. (v) M 2 M 1. (vi) P 1 P 2 = P 1. 102. Sea M un subespacio vectorial cerrado de L 2 ([0, 1], K) tal que M C([0, 1], K). (a) Demostrar que existe una constante L > 0, tal que para cada f M se tiene f L f 2. (b) Probar que para cada t [0, 1], existe h t L 2 ([0, 1], K) tal que (i) h t 2 L. (ii) Para cada f M se verifica f(t) = (c) Decucir que M es de dimensión finita. 1 0 f(s)h t (s) ds. 103. Sean H un espacio de Hilbert y M un subespacio vectorial cerrado de H. Sean A y B bases hilbertianas de M y M respectivamente. Demostrar que A B es una base hilbertiana de H. 104. Sea L n el subespacio de l 2 = l 2 (K) definido por: L n = {x = {x n } l 2 n : x k = 0}. k=1 Si a = (1, 0, 0,...), determinar d(a, L n ). La sucesión {d(a, L n )}, es convergente? 22

105. Sean H un espacio de Hilbert, {e n } un sistema ortonormal completo de H y {λ n } una sucesión de elementos de K. Se supone que para cada x H, la serie λ n x, e n converge. Demostrar que existe un único elemento y H, tal que, para cada n N, se verifica: y, e n = λ n. 23

Problemas 106. Sean x 1, x 2,..., x n n vectores de un espacio de Hilbert H. Se define el determinante de Gramm por: G(x 1, x 2,..., x n ) = (a) Probar que G(x 1, x 2,..., x n ) 0. x 1, x 1 x 1, x 2... x 1, x n x 2, x 1 x 2, x 2... x 2, x n............................... x n, x 1 x n, x 2... x n, x n (b) Supongamos que los vectores x 1, x 2,..., x n son linealmente independientes. Sean M es el subespacio vectorial generado por {x 1, x 2,..., x n } y P la proyeción de H sobre M. Demostrar que si x H se tiene P (x) = n k=1 G k (x 1, x 2,..., x n ) G(x 1, x 2,..., x n ) x k, donde G k (x 1, x 2,..., x n ) es el determinante obtenido al sustituir en G(x 1, x 2,..., x n ) la columna k-ésima por el vector columna ( x 1, x, x 2, x,..., x n, x ) t. (c) Con las mismas hipótesis del apartado anterior, demostrar que si x H, 107. Calcúlese 108. Hállese donde g está sujeta a las condiciones d(x, M) = G(x, x 1, x 2,..., x n ) G(x 1, x 2,..., x n ) 1 min x 3 a bx cx 2 2 dx. a,b,c 1 1 max x 3 g(x) dx, 1 1 1 g(x) dx = 1 1 xg(x) dx = 1 1 x 2 g(x) dx = 0; 1 1 g(x) 2 dx = 1. Indicación: Aplíquese el resultado del problema 92 al ejercicio anterior. 24

Problemas 109. Sea el conjunto c 0 (Z, K) = {a = {a n } n Z : a n K y lim n a n = lim n a n = 0}. (a) Demostrar que c 0 (Z, K) dotado de la norma a = sup{ a n : n Z}, es un espacio de Banach. (b) Sea T : L 1 ([ π, π], C) c 0 (Z, C) dada por T (f) = { ˆf(n)} n Z, es lineal, continua, inyectiva y no suprayectiva. 110. Sean E y F espacios normados sobre el mismo cuerpo y T : E F lineal continua. Demostrar que si a n converge en E, entonces T a n converge en F. Además n Z n Z T ( a n ) = T a n. n Z n Z Sea {h n } n Z con h n L 2 ([ π, π], K) tal que si p Z se verifica: n Z ĥ n (p) = ĥ(p). n Z 111. Se considera el conjunto P K de las funciones P : R K del tipo donde n N y a 0, a 1,..., a n, b 1,..., b n K. n n P (t) = a 0 + a k cos (kt) + b k sen (kt) k=1 k=1 h n = h en L 2 ([ π, π], K). Demostrar que (a) Demostrar que P K es un subespacio vectorial de C P ([ π, π], K). (b) Demostrar que P K es denso en C P ([ π, π], K), cuando en C P ([ π, π], K) se considera la norma del superior. (c) Si 1 p <, probar que P K es denso en L p ([ π, π], K) Se considera el conjunto de funciones de R en K B = { } { 1 cos (nt) 2π π : n N } { sen (nt) π : n N }. (d) Demostrar que B es un sistema ortonormal maximal del espacio L 2 ([ π, π], K) Si f L 1 ([ π, π], K), se consideran los elementos de K siguientes a n (f) = 1 π π π f(t) cos (nt) dt, n = 0, 1,... 25

y b n (f) = 1 π f(t) sen (nt) dt, n = 1, 2,... π π La serie funcional a 0 (f) + [a n (f) cos (nt) + b n (f) sen (nt)], 2 recibe el nombre de serie de Fourier de f en el sistema B. Los elementos del conjunto {a 0 (f), a 1 (f), a 2 (f),..., b 1 (f), b 2 (f),...} se llaman los coeficientes de Fourier de f en el sistema B. Sea f L 2 ([ π, π], K) (e) Demostrar que la serie de Fourier de f en el sistema B converge hacia f en el espacio de Hilbert L 2 ([ π, π], K). (f) Demostrar que 1 π f 2 2 = a 0(f) 2 + 2 ( a n (f) 2 + b n (f) 2 ). 112. Sea [a, b] un intervalo compacto de la recta real. Determinar un sistema ortonormal maximal de L 2 ([a, b], K). 113. Para cada f L 2 ([ π, π], C) se define f : [ π, π] C por: (a) Probar que f es continua. f (x) = π π cos (x t)f(t) dt. (b) Probar que el conjunto {f : f L 2 ([ π, π], C), f 2 1}, es relativamente compacto en C([ π, π], C) provisto de la norma del supremo. (c) Se define T : L 2 ([ π, π], C) L 2 ([ π, π], C) por T (f) = f. Probar que T es lineal y continua. (d) Para cada n Z se define Calcular T (e n ). e n (t) = 1 2π e int, t R. (e) Si f L 2 ([ π, π], C) determinar la serie de Fourier de T (f). 114. Se designa por D n el núcleo de Dirichlet. Probar que para cada t [ π, π], t 0, se tiene la igualdad ( cos (t/2) D n (t) = cos (nt) + sen (t/2) 2 ) 2 sen (nt) sen (nt) +. t t (a) Sea f una función continua en [ π, π] con f(0) = 0 y tal que la función t 1 f(t) está en L 1 ([ π, π]). Demostrar que la serie de Fourier de f converge puntualmente en t = 0 hacia f(0) = 0. (b) Sea f una función continua en [ π, π] tal que (i) f( π) = f(π). (ii) Existe α con 0 < α 1 tal que f Lip(α) en el intervalo [ π, π]. Probar que para cada x [ π, π] la serie de Fourier de f converge puntualmente hacia f(x). 26

1. Sean A y B dos subconjuntos de un espacio normado. (a) Si A es relativamente compacto, entonces A + B = A + B. (b) Si A y B son relativamente compactos, probar que A+B es relativamente compacto. (c) Si A y B son compactos, probar que A + B es compacto. 2. Sean E un espacio normado sobre K y a 1, a 2,..., a n, n vectores de E. (a) Probar que existe una constante M > 0, tal que para cada (λ 1, λ 2,..., λ n ) K n. λ 1 a 1 + λ 2 a 2 +... + λ n a n M n λ k 2, (b) Si los vectores a 1, a 2,..., a n son linealmente independientes, demostrar que existe una constante L > 0, tal que para cada (λ 1, λ 2,..., λ n ) K n, se tiene: k=1 L n λ k 2 λ 1 a 1 + λ 2 a 2 +... + λ n a n. k=1 3. Sea {α n } una sucesión de elementos de K. Se considera el conjunto E de las sucesiones x = {x n } de elementos de K, tales que sup{ α n x n : n N} <. Para cada elemento x = {x n } E, se define x = sup{ α n x n : n N} (a) Demostrar que la aplicación x x de E en R es una norma si, y sólo si, α n 0, para cada n N. En lo que sigue se supone que la aplicación anterior es una norma. (b) Probar que el espacio normado (E, ) es de Banach y no separable. (c) l (K) E si, y sólo si, {α n } l (K). (d) Si l (K) E, probar que la inyección canónica I: (l (K), ) (E, ), es lineal y continua. Determinar su norma. (e) l (K) = E si, y sólo si, existen constantes M > 0 y K > 0, tales que K α n M, para cada n N. 27

4. Sean K una aplicación continua de [0, 1] [0, 1] en R y L una aplicación continua de [0, 1] R en R. Para cada f C([0, 1], R), se define la aplicación f por f (x) = 1 (a) Probar que f es continua en [0,1]. (b) Demostrar que el conjunto 0 K(x, t)l(t, f(t)) dt, x [0, 1]. {f : f C([0, 1], R), f 1}, es relativamente compacto en (C([0, 1], R), ) 5. Se designa por P el espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientes en R, normado por P = sup{ P (x) : 0 x 1}, P P. Si a R, se considera la aplicación T a de P en R, definida por T a (P ) = P (a). (a) Si a [0, 1], probar que T a es continua. Calcular T a. (b) Si a / [0, 1], probar que T a no es continua. 28

1. Sean x 0, x 1,..., x n, n + 1 elementos de un espacio normado E. Se supone que para cada ϕ E se verifica n ϕ(x 0 ) ϕ(x k ). Demostrar que x 0 pertenece al subespacio generado por los vectores x 1, x 2,..., x n. 2. Sean E y F espacios normados sobre el cuerpo K con E Banach y sea {T i } i I una familia de aplicaciones lineales y continuas de E en F. Se supone que existe un abierto no vacío V de E, tal que para cada x V se verifica k=0 sup{ T i (x) : i I} <. Demostrar que existe M > 0, tal que para cada i I se tiene T i M. 3. Sean (H, ) un espacio de Hilbert sobre K, {e n } una base hilbertiana de H y α = {α n } l 2 (K) con α n 0 para n = 1, 2,.... (a) Demostrar que para cada x H, la serie converge absolutamente. (b) Probar que la igualdad define una norma en H. α n x, e n x α = α n x, e n, x H, (c) Demostrar que la sucesión {e n } converge en el espacio normado (H, α ). La sucesión {e n }, converge en el espacio de Hilbert (H, )? (d) Demostrar que la identidad I: (H, ) (H, α ) es continua. identidad I: (H, α ) (H, )? (e) Probar que (H, α ) no es un espacio de Banach. Es continua la (f) Sea β = {β n } una nueva sucesión de elementos de l 2 (K) con β n 0 para n = 1, 2,.... Demostrar que la identidad I: (H, β ) (H, α ) es continua si, y sólo si, existe M > 0, tal que α n M β n, para cada n N. 29

4. Un espacio normado (E, ) sobre K se dice que es un espacio de Banach de sucesiones si: (i) (E, ) es un espacio de Banach. (ii) E es un subespacio vectorial del espacio vectorial de las sucesiones de elementos de K. (iii) Para cada número natural m, la aplicación π m : (E, ) K, definida por es continua. π m ({a n } ) = a m Sean (E, ) y (F, ) dos espacios de Banach de sucesiones sobre el mismo cuerpo K y {b n } una sucesión de elementos de K. Se supone que para cada {a n } E, la sucesión {b n a n } pertenece a F. Probar que la aplicación T : (E, ) (F, ), definida por T ({a n } ) = {b n a n } es continua. 5. Sea M un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert H. Se designa por P la proyección ortogonal de H sobre M y por Q la proyección ortogonal de H sobre M. Sea T una aplicación lineal de H en H. (a) Probar que son equivalentes los enunciados siguientes: (i) T (M) M y T (M ) M. (ii) P T = T P. (iii) QT=TQ. Se supone que T verifica la siguiente propiedad: T x, y = x, T y para cada par de elementos x, y H. Demostrar la equivalencia de los enunciados siguientes: (I) T (M) M. (II) T (M ) M. 30

1. Sea g: [ π, π] C continua. Probar que para cada f L 2 ([ π, π], C) se tiene que gf L 2 ([ π, π], C). Sea M la aplicación de L 2 ([ π, π], C) en L 2 ([ π, π], C) definida por M(f) = gf. (a) Probar que M es lineal y continua. (b) Para cada p Z, se considera la función e p : R C definida por Si p, n Z, determinar M(e p )(n). e p (t) = e ipt. (c) Si f L 2 ([ π, π], C) y n Z, determinar M(f)(n) en función de los coeficientes de Fourier de f y de g. 2. Sean H un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita, {e n } una base hilbertiana de elementos de H y {a n } una sucesión ortogonal de elementos de H. Probar que los enunciados siguientes son equivalentes: (a) Existe T : H H lineal continua con T (e n ) = a n, n N. (b) La sucesión {a n } es acotada en H. (c) Para cada y H, la sucesión { a n, y } es acotada en K. Si la sucesión {a n } está acotada en H, probar que existe una única aplicación lineal y continua T : H H con T (e n ) = a n, n N. Determinar T. 3. Sean H un espacio de Hilbert, M un subespacio vectorial de H cerrado y P la proyección ortogonal de H sobre M. Demostrar que los enunciados siguientes son equivalentes: (a) La dimensión algebraica de M es finita. (b) P ({x H : x 1}) es un compacto de H. 4. Sea A el conjunto de las funciones f L 2 ([ π, π], C) tales que existe n = n(f) N con ˆf(m) = 0, para cada m Z con m > n. Probar que A es un conjunto de primera categoría en L 2 ([ π, π], C). 5. Sea M el subespacio vectorial de L 2 ([0, 1], R) generado por las funciones 1, t y t 2. Si g(t) = sen πt en [0,1], calcular d(g, M). 31

1. Sea {x n } una sucesión de elementos de un espacio de Hilbert H tal que, para cada y H, la sucesión numérica { x n, y } pertenece a l 2 (K). Probar que la aplicación T de H en l 2 (K) definida por T (y) = { x n, y } es continua. 2. Sean E un espacio normado y T una aplicación lineal de E en E. (a) Probar que los enunciados siguientes son equivalentes. (i) T es continua y dim T (E ) = 1. (ii) Existen ϕ E no nulo y a E, a 0, tales que para cada x E. T (x) = ϕ(x)a (b) Sean H un espacio de Hilbert y a, b H. Se considera la aplicación T ab de H en H definida por T ab (x) = x, a b. (iii) Probar que T ab es lineal continua y calcular T ab (iv) Demostrar que T ab 0 si, y sólo si, a 0 y b 0. (v) Si T es una aplicación lineal y continua de H en H tal que dim T (H) = 1, probar que existen elementos a, b H con a 0 y b 0, tales que para cada x H. T (x) = x, a b 3. Dar un ejemplo de un subespacio vectorial A de C([0, 1], R) que verifique las siguientes propiedades: (a) A es un conjunto de primera categoría en (C([0, 1], R), ). (b) A es un conjunto denso en (C([0, 1], R), ). 4. Sea n un número natural. Se designa por P n al espacio vectorial de los polinomios en una variable con coeficientes reales y de grado menor o igual que n. (a) Demostrar que el conjunto M n = {P P n : 1 0 P (t) dt = 0} es un subespacio vectorial cerrado de L 2 ([0, 1], R). Cual es su dimensión? (b) Si g(t) = t 3, t [0, 1], determinar el único polinomio P M 2 tal que para cada Q P 2. g P 2 g Q 2 32