Aplicaciones de las derivadas

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas Matemáticas de º de Bachillerato Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas del I.E.S. Siete Colinas Ceuta 006

Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Javier Carroquino Cañas

Matemáticas de º de bachillerato Ciencias de la Naturaleza y la Salud Tecnología Aplicaciones de las derivadas ( estudio de funciones ) Por Javier Carroquino Cañas Catedrático de matemáticas I.E.S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas Ceuta 006

Javier Carroquino Cañas I.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas) Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Depósito Legal : CE & 5 / 006 ISBN : 84 & 689 &884 & X Número de Registro : 06 / 948 Ceuta 006

Prólogo El título de este tema Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) es suficientemente elocuente. Veremos como el conocimiento de la derivada de una función y sus derivadas sucesivas nos brinda una información que permitirá conocer el comportamiento de esa función en un punto concreto, en un intervalo o en todo su dominio, es decir, las derivadas sucesivas constituyen una herramienta para el estudio completo de funciones, entendiendo por tal el conocimiento de su forma en un punto concreto & crecimiento, decrecimiento, etremos, puntos de infleión, concavidad, conveidad, etc. & o en un intervalo & crecimiento, decrecimiento, concavidad, conveidad, etc.& de tal modo que podamos tener un conocimiento ehaustivo de ella para poder trazar su gráfica con eactitud. Evidentemente, es imprescindible abordar este tema con el estudio previo del tema Derivadas de funciones, así como los relativos a Funciones Reales de Variable Real, Gráficas de Funciones Reales de Variable Real, Propiedades y formas de las Funciones Reales de Variable Real, Límites de funciones y Continuidad de funciones, pertenecientes a esta colección de apuntes. Por último, hacer constar que este tema puede ser útil, además de a los alumnos de º de bachillerato en las modalidades de Ciencias de la Naturaleza y Salud o Científica Tecnológica, a los que comienzan estudios universitarios con contenidos de matemáticas en el primer curso.

Matemáticas de º de bachillerato I Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Índice Página Introducción... 1 1.Función creciente en un punto.... 1.Función decreciente en un punto... 5 Ejemplo 1... 8.Función creciente en un intervalo... 8 Ejemplo... 11 4.Función decreciente en un intervalo... 1 Ejemplo... 15 Ejemplo 4... 17 5.Condición suficiente de función creciente en un punto... 17 Ejemplo 5... 19 Ejemplo 6... 19 Ejemplo 7... 0 6.Condición suficiente de función decreciente en un punto... 1 Ejemplo 8... Ejemplo 9... Ejercicio nº1... 4 Ejercicio nº... 5 Ejemplo 10... 7 Ejemplo 11... 7 Ejercicio nº... 8 7.Etremos (máimos y mínimos) de una función... 9 7.1.Máimo relativo de una función en un punto... 9 7..Máimo absoluto de una función en un punto... 1 Ejemplo 1... 1 Ejemplo 1... 1 7..Mínimo relativo de una función en un punto... 1 7.4.Mínimo absoluto de una función en un punto... Ejemplo 14... Ejemplo 15... 8.Condición necesaria para la eistencia de un etremo... 4 Ejemplo 16... 5 Ejemplo 17... 5 Ejemplo 18... 6 9.Condiciones suficientes para la eistencia de un etremo... 6 Ejemplo 19... 8 Ejercicio nº4... 9 Ejemplo 0... 40 Ejercicio nº5... 40 10.Concavidad y conveidad de una función en un punto... 41 10.1.Función cóncava hacia arriba o convea abajo en un punto... 41 10..Func. cóncava hacia arriba o convea abajo en un intervalo.. 4 10..Func. cóncava hacia arriba o convea abajo en su dominio... 44 10.4.Func. cóncava hacia abajo o convea arriba en un punto... 44 10.5.Func. cóncava hacia abajo o convea arriba en un intervalo.. 45 10.6.Func. cóncava hacia abajo o convea arriba en su dominio... 46 11.Determinación de la concavidad-conveidad... 46 Ejemplo 1......50 Ejemplo......51

Matemáticas de º de bachillerato II Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Página Ejemplo... 51 Ejemplo 4... 5 Ejercicio nº6... 5 Ejercicio nº7... 5 Ejercicio nº8... 54 Ejercicio nº9... 55 Ejercicio nº10... 56 Ejercicio nº11... 56 1.Puntos de infleión... 57 1.Condiciones suficientes para determinar la infleión... 57 Ejemplo 5... 60 Ejercicio nº1... 61 Ejercicio nº1... 6 Ejemplo 6... 64 Ejercicio nº14... 65 14.Asíntota oblicuas de una función...... 66 15.Forma de hallar las asíntotas oblicuas de una función... 70 Ejemplo 7... 71 Ejemplo 8... 7 Ejercicio nº15... 7 Ejercicio nº16... 74 16.Estudio ehaustivo de una función... 74 17.Problemas de optimización... 79 Problema nº1... 79 Problema nº... 80 Problema nº... 8 Problema nº4... 8 Problema nº5... 86 Problema nº6... 87 Problema nº7... 89

Matemáticas de º de bachillerato Página 1 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Introducción.- Con este tema pretendemos que el alumno comprenda y valore la información que aporta el conocimiento de la derivada y las derivadas sucesivas de una función y sus valores en un punto = a, para conocer el comportamiento de dicha función en ese punto, en un intervalo o en todo su dominio. Cuando nos referimos a la idea comportamiento de una función, nos referimos a conceptos vistos en temas anteriores, esto es, crecimiento, decrecimiento, concavidad, conveidad, máimo, mínimo, puntos de infleión, etc. Generalmente, el estudio de una función, esto es, su comportamiento, referido a un punto = a, se denomina estudio local de una función, ya que dicho estudio está localizado en un punto. Debe entenderse que para conocer el comportamiento general sea necesario la localización de puntos concretos de la función, tales como máimos, mínimos, infleiones etc. Recordemos que para comenzar este tema es necesario el estudio previo de los siguientes: L Funciones reales de variable real L Derivadas de funciones L Gráficas de funciones reales de variable real L Propiedades y formas de las funciones reales de variable real. En el presente tema recordaremos y ampliaremos muchos de los conceptos eplicados en los temas mencionados. 1.Función creciente en un punto.- (NOTA: Es recomendable ver el tema Propiedades y formas de las funciones reales de variable real ) Z Sea y = f () una función real de variable real. Z Sea D f su dominio y sea a un número de ese dominio, es decir, a0d f Vamos a definir el concepto de función creciente en el punto a : Se dice que la función y = f () es creciente en el punto a si eiste un entorno de centro a y radio g tal que si está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen es menor o igual que la de a y si está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen es mayor o igual que la de a. Vamos a epresar la definición anterior matemáticamente (y) :

Matemáticas de º de bachillerato Página Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) y = f ( ) es creciente en a Eε ( a) = ( a ε, a + ε) si verifica que a ε < < a entonces f ( ) f ( a) si verifica que a < < a + ε entonces f ( a) f ( ) Si a&g< < a entonces f ()#f (a) Si a < < a+g entonces f (a) #f () figura 1 figura En la figura 1 se aprecia como la gráfica de y = f () atraviesa la recta vertical = a de izquierda a derecha y subiendo. La figura eplica el concepto viendo como se verifica que f (a & ) < f (a) < f (a + ) en un entorno de centro a y radio ε figura Gráficamente, una función que es creciente en el punto = a, atraviesa la recta vertical situada en = a pasando del lado izquierdo al lado derecho subiendo. Observa la gráfica de la izquierda e intenta comprender la coherencia de esta con la definición de que y = f () es creciente en el punto = a. Nótese que la franja delimitada por el entorno E g = (a&g, a+g) es atravesada por la función de izquierda a derecha subiendo. Fuera de esa franja, es posible que la función cambie de tendencia, es decir, baje El tamaño del entorno no tiene ninguna importancia, puede ser grande, pequeño, infinitamente pequeño, etc. La forma de la gráfica de la función creciente en = a puede ser muy distinta. Veamos: En la figura tenemos trozos de cuatro funciones imaginarias. Todas ellas son crecientes en el punto a0ú. Hagamos las siguientes observaciones: ( La función y = f () atraviesa la recta vertical en = a de forma horizontal, es decir, ni sube ni baja (obsérvese que cumple la definición). ( La función y = g () es una recta (al menos en un entorno de centro a) que tiene pendiente positiva.

Matemáticas de º de bachillerato Página Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) ( Las otras dos gráficas son curvas. Otra forma de epresar que una función y = f () es creciente en un punto = a, es : (yy) y = f ( ) es creciente en a R f ( a ) f ( a) + f ( a) f ( a ) Aunque la epresión anterior no es una definición rigurosa de función creciente en a, si es bastante intuitiva y útil para resolver ejercicios. Nos dice lo siguiente: La función y = f () es creciente en el punto = a sí y sólo sí para valores de infinitamente próimos a a por su izquierda, sus imágenes son menores o iguales que la imagen de a y para valores de infinitamente próimos a a por su derecha, las imágenes de esos valores son mayores o iguales que la de a. Hemos definido el concepto de función creciente en un punto. Ahora vamos a modificar ligeramente esta definición y tenemos la de función estrictamente creciente en un punto. Se dice que la función y = f () es estrictamente creciente en el punto a si eiste un entorno de centro a y radio g tal que si está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen es menor que la de a y si está en la mitad derecha, su imagen es mayor que la de a. Matemáticamente sería (yyy) : y = f ( ) es estric. crec. en a Eε ( a) = ( a ε, a + ε) si verifica que a ε < < a entonces f ( ) < f ( a) si verifica que a < < a + ε entonces f ( a) < f ( ) La figura nos aclara la diferencia entre función creciente y estrictamente creciente en un punto = a : ) Las cuatro funciones representadas son crecientes en el punto = a, pero las funciones y = g (), y = h() e y = r() son, además, estrictamente crecientes. ) Observa que la función y = f () cumple la definición de función creciente en el punto = a, pero no cumple la de función estrictamente creciente. ) Nótese que f (a & ) = f (a) = f (a + ) g (a & ) < g (a) < g (a + ) h (a & ) < h (a) < h (a + ) r (a & ) < r (a) < r (a + ) La definición (y) la podemos modificar ligeramente y quedaría (IV y): si verifica que < a entonces f ( ) f ( a) y = f ( ) es creciente en a Eε( a) Eε( a) si verifica que > a entonces f ( ) f ( a)

Matemáticas de º de bachillerato Página 4 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) De la definición (IV y) sacaremos otra nueva: ( La epresión < a equivale a la epresión &a < 0 ( La epresión f () # f (a) equivale a la epresión f () & f (a) # 0 Entonces: a < 0 f ( ) f ( a) 0 { equivale f ( ) f ( a) a negativo o cero = 0 negativo ) La epresión > a equivale a la epresión &a > 0 ) La epresión f () $ f (a) equivale a la epresión f () & f (a) $ 0 Entonces: a > 0 f ( ) f ( a) positivo o cero f ( ) f ( a) 0 { equivale Por tanto, E a se verifica que f f a ε ( ) ( ) ( ) 0 a De este modo, definimos (V y): a = 0 positivo y f es creciente en a E a E a se verifica que f ( ) = f ( a ) ( ) ε( ) ε( ) 0 a Veamos la interpretación gráfica de esta última definición: Por tanto (VI y): Obsérvese lo siguiente: Si a& ε < < a se verifica que: f ( ) f ( a) negativo = = positivo a negativo Si a < < a+ ε se verifica que: f ( ) f ( a) positivo = = positivo a positivo Es decir: E a es f f a ε ( ) ( ) ( ) 0, a condición que debe cumplir una función f () para ser creciente en = a. Si la condición fuese : E a es f f a ε ( ) ( ) ( ) > 0 a tendríamos la definición de función estrictamente creciente en = a. y f estric creciente en a E a E a se verifica que f ( ) = f ( a ) ( ). ε( ) ε( ) > 0 a

Matemáticas de º de bachillerato Página 5 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones).función decreciente en un punto.- (NOTA: Es recomendable ver el tema Propiedades y formas de las funciones reales de variable real ) Z Sea y = f () una función real de variable real. Z Sea D f su dominio y sea a un número de ese dominio, es decir, a0d f Vamos a definir el concepto de función decreciente en el punto a : Se dice que la función y = f () es decreciente en el punto a si eiste un entorno de centro a y radio g tal que si está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen es mayor o igual que la de a y si está en la mitad derecha de ese entorno, su imagen es menor o igual que la de a. Vamos a epresar la definición anterior matemáticamente (i) : y = f ( ) es decreciente en a Eε ( a) = ( a ε, a + ε) si verifica que a ε < < a entonces f ( ) f ( a) si verifica que a < < a + ε entonces f ( a) f ( ) figura 5 figura 6 En la figura 5 se aprecia como la gráfica de y = f () atraviesa la recta vertical = a de izquierda a derecha y bajando. La figura 6 eplica el concepto viendo como se verifica que f (a & ) > f (a) > f (a + ) en un entorno de centro a y radio ε Gráficamente, una función que es decreciente en el punto = a, atraviesa la recta vertical situada en = a pasando del lado izquierdo al lado derecho bajando. Observa la gráfica de la izquierda e intenta comprender la coherencia de esta con la definición de que y = f () es decreciente en el punto = a. Nótese que la franja delimitada por el entorno E g = (a&g, a+g) es atravesada por la función de izquierda a derecha bajando. Fuera de esa franja, es posible que la función cambie de tendencia, es decir, suba

Matemáticas de º de bachillerato Página 6 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) El tamaño del entorno no tiene ninguna importancia, puede ser grande, pequeño, infinitamente pequeño, etc. La forma de la gráfica de la función decreciente en = a puede ser muy distinta. Veamos: En la figura 7 tenemos trozos de cuatro funciones imaginarias. Todas ellas son decrecientes en el punto a0ú. Hagamos las siguientes observaciones: Z La función y = f () atraviesa la recta vertical en = a de forma horizontal, es Z decir, ni sube ni baja (obsérvese que cumple la definición). La función y = g () es una recta (al menos en un entorno de centro a) que tiene pendiente negativa. ( Las otras dos gráficas son curvas. Otra forma de epresar que una función y = f () es decreciente en un punto = a, es : (ii) y = f ( ) es decreciente en a R f ( a ) f ( a) + f ( a) f ( a ) Aunque la epresión anterior no es una definición rigurosa de función decreciente en a, si es bastante intuitiva y útil para resolver ejercicios. Nos dice lo siguiente: La función y = f () es decreciente en el punto = a sí y sólo sí para valores de infinitamente próimos a a por su izquierda, sus imágenes son mayores o iguales que la imagen de a y para valores de infinitamente próimos a a por su derecha, las imágenes de esos valores son menores o iguales que la de a. Hemos definido el concepto de función decreciente en un punto. Ahora vamos a modificar ligeramente esta definición y tenemos la de función estrictamente decreciente en un punto. Se dice que la función y = f () es estrictamente decreciente en el punto a si eiste un entorno de centro a y radio g tal que si está en la mitad izquierda del ese entorno, su imagen es mayor que la de a y si está en la mitad derecha, su imagen es menor que la de a. Matemáticamente sería (iii) : y = f ( ) es estric. decrec. en a Eε ( a) = ( a ε, a + ε) si verifica que a ε < < a entonces f ( ) > f ( a) si verifica que a < < a + ε entonces f ( a) > f ( ) La figura 7 nos aclara la diferencia entre función decreciente y estrictamente decreciente en un punto = a : ; Las cuatro funciones representadas son decrecientes en el punto = a, pero las funciones y = g (), y = h() e y = r() son, además, estrictamente decrecientes.

Matemáticas de º de bachillerato Página 7 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) ; Observa que la función y = f () cumple la definición de función decreciente en el punto = a, pero no cumple la de función estrictamente decreciente. ; Nótese que f (a & ) = f (a) = f (a + ) g (a & ) > g (a) > g (a + ) h (a & ) > h (a) > h (a + ) r (a & ) > r (a) > r (a + ) La definición (i) la podemos modificar ligeramente y quedaría (IV i): si verifica que < a entonces f ( ) f ( a) y = f ( ) es decreciente en a Eε( a) Eε( a) si verifica que > a entonces f ( ) f ( a) De la definición (IV i) sacaremos otra nueva: ( La epresión < a equivale a la epresión &a < 0 ( La epresión f () $ f (a) equivale a la epresión f () & f (a) $ 0 Entonces: a < 0 f ( ) f ( a) positivo o cero f ( ) f ( a) 0 { a = 0 negativo equivale ) La epresión > a equivale a la epresión &a > 0 ) La epresión f () # f (a) equivale a la epresión f () & f (a) # 0 Entonces: a > 0 f ( ) f ( a) negativo o cero f ( ) f ( a) 0 { equivale Por tanto, E a se verifica que f f a ε ( ) ( ) ( ) 0 a De este modo, definimos (V i): a = 0 positivo y f es decreciente en a E a E a se verifica que f ( ) = f ( a ) ( ) ε( ) ε( ) 0 a A la derecha tenemos la interpretación gráfica: Obsérvese lo siguiente: Si a& ε < < a se verifica que: f ( ) f ( a) positivo = = negativo a negativo Si a < < a+ ε se verifica que: f ( ) f ( a) negativo = = negativo a positivo Es decir: E a es f f a ε ( ) ( ) ( ) 0, a condición que debe cumplir una función f () para ser decreciente en = a. Si la condición fuese :

Matemáticas de º de bachillerato Página 8 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) E a es f ( ) f ( a ) ε ( ) < 0 a en el punto = a. Por tanto (VI i): tendríamos la definición de función estrictamente decreciente y f estric decreciente en a E a E a se verifica que f ( ) = f ( a ) ( ). ε( ) ε( ) < 0 a Ejemplo 1.- Consideremos la función f ( ) = + 9. Queremos estudiar su crecimiento decrecimiento en el punto =. Veamos P Comprobemos si cumple alguna de las definiciones (VI y) o (VI i): P Imaginemos un entorno E ε () = (&ε, +ε) P Tomemos un número de su mitad izquierda, & y otro de su mitad derecha, + ( ) f f = = + + ( ) ( ) 9 5 0 + = = < 0 0 + f f ( ) + = = + + ( ) ( ) 9 5 0 = = < 0 + + + + 0 P A la vista de lo anterior tenemos que: E tal que E se verifica que f ( ) f ( ) ε( ) ε( ) < 0 Por tanto: La función f ( ) = + 9 es estrictamente decreciente en el punto = NOTA: Aplicar la definición para averiguar si una función es creciente o decreciente en un punto no es el método más adecuado, aunque hemos visto con el ejemplo anterior que hay casos en los que es factible. Veremos a lo largo de este tema como el uso de la derivada es el método más adecuado para este fin..función creciente en un intervalo.- (NOTA: Es recomendable ver el tema Propiedades y formas de las funciones reales de variable real ) º Sea y = f () una función y sea D f dú su dominio. º Sea A un intervalo de su dominio. Es decir, A dd f. Vamos a definir el concepto f () creciente en A ) Una forma de definirlo: La función y = f () es creciente en el intervalo A si lo es en todos los puntos de A Matemáticamente:

Matemáticas de º de bachillerato Página 9 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) f ( ) creciente en A D a A, f ( ) creciente en a ) Otra forma de definirlo: (e) f La función y = f () es creciente en el intervalo A si dados dos números cualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)#f (b). Es decir, y = f () es creciente en A si dados dos números de A, el que está a la izquierda (a) tiene una imagen (f (a)) menor o igual que la imagen (f (b)) del que está a la derecha (b). Matemáticamente será: f ( ) es creciente en A Df 14444444444 c 64444444744444448 a, b A a < b, entonces f ( a) f ( b) Š Gráficamente se interpreta del siguiente modo: figura 9 En la figura de la derecha tenemos: A = [α,β] intervalo cerrado. Cualesquiera que sean los números a y b del intervalo A, tales que sea a < b, entonces se verifica que f (a) # f (b). En este caso concreto es f (a) < f (b). Nótese como la gráfica de la función atraviesa la franja eistente entre la rectas = α y = β subiendo de izquierda a derecha. Nótese como en cualquier punto del intervalo A la función y = f () es creciente. En este caso la función es estrictamente creciente en todos los puntos del intervalo A, es decir, es estrictamente creciente en todo el intervalo A. La definición de función estrictamente creciente en un intervalo A es la siguiente: La función y = f () es estrictamente creciente en el intervalo A si lo es en todos los puntos de A. Matemáticamente: f ( ) estr. crec. en A D a A, f ( ) estr. crec. en a NOTA: El intervalo A puede ser abierto o cerrado. Otra forma de definirlo: f

Matemáticas de º de bachillerato Página 10 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) La función y = f () es estrictamente creciente en el intervalo A si dados dos números cualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)<f (b). Es decir, y = f () es estrictamente creciente en A si dados dos números de A, el que está a la izquierda (a) tiene una imagen (f (a)) menor que la imagen (f (b)) del que está a la derecha (b) Matemáticamente será: f ( ) es estrictamente creciente en A Df 14444444444444444 c 64444444744444448 a, b A a < b, entonces f ( a) < f ( b) Vamos a distinguir de un modo gráfico la diferencia eistente entre función creciente y estrictamente creciente en un intervalo: figura 10 En la figura 10 tenemos cuatro gráficas de funciones trazadas en un intervalo de etremos α y β. La función y = f () es estrictamente creciente en todo el intervalo [α, β]. Las funciones y = g (), y = h () e y = r () son crecientes en el intervalo [α, β], pero no son estrictamente crecientes. La función y = g () es constante en todo el intervalo (aunque sea constante, cumple la definición de ser creciente). Se entiende así que una función constante es creciente, aunque no estrictamente.

Matemáticas de º de bachillerato Página 11 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Ejemplo.- 1 Demuestra que y= f ( ) = que es estrictamente creciente en el intervalo A = (& 4, 0). Veamos: Si construimos la gráfica de esa función tendremos: αβ,, 0 tales que α < β, es f ( α) < f ( β) Por tanto, hemos demostrado que ( ) figura 11 Gráfica de la función y = f ( ) = 1 Obsérvese como todo número real, ecepto el cero tiene imagen. Q En la gráfica, a simple vista se aprecia que la función es estrictamente creciente en todo el intervalo (& 4,0), ya que la curva viaja por todo el intervalo de izquierda a derecha subiendo. Q Vamos a demostrarlo matemáticamente:,sean &a y &b dos números negativos, es decir, &a,&b0 (& 4,0) tales que &a<&b., Es evidente que a y b son positivos. Además a > b., Es evidente que (&a) = a >b =(&b), Entonces: 1 1 1 1 f ( a) = f ( b) ( = < = = a) a b ( b) (Nótese que hemos llamado α =&a y β = &b ). 1 Conclusión: La función y= f ( ) = es estrictamente creciente en el intervalo A = (& 4, 0) Modificando la definición (e) podemos obtener otra definición de función creciente en un intervalo. Veamos: a b < 0 La epresion & a < b equivale a que y b a> 0 La epresion & f ( a) f ( b) equivale a que La definición quedará: f ( a) f ( b) 0 y f () b f () a 0 De las equivalencias de la derecha deducimos que: f ( b) f ( a) + o 0 = = + o0 b a + f ( a) f ( b) o 0 = = + o0 a b es decir, ambos cocientes son positivos.

Matemáticas de º de bachillerato Página 1 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) f es creciente en el ervalo A a b A es f ( b ) ( ) int, f ( a ) 0 b a (ee) Para el caso de una función estrictamente creciente será: f es estric creciente en el ervalo A a b A es f ( b ) ( ). int, f ( a ) > 0 b a (eee) Vamos a interpretar gráficamente estas últimas definiciones: Observando la figura 1 apreciamos: Tenemos un intervalo de etremos α y β (cerrado o abierto) y una función f() definida en él. Tomamos dos puntos cualesquiera a y b de ese intervalo. Notamos que: f ( b) f ( a) b a f ( a) f ( b) a b + + = = + = = + Es decir, si tomamos dos puntos cualesquiera 1 y del intervalo, el cociente de la forma f ( 1) f ( ) es positivo, sin importar que 1 < o que 1 > (en el caso de la figura 1 1, la función es estrictamente creciente en el intervalo [α, β] ). En la figura 1 tenemos la gráfica de una función que no es creciente en el intervalo [α, β] ya que a,b 0[α, β] y sin embargo: f ( b) f ( a) negativo = <0 b a positivo Puede apreciarse que en unos puntos del intervalo la función es creciente y en otros decreciente. Si en vez de considerar un intervalo, consideramos el dominio de la función, podemos definir el concepto de función creciente (o estrictamente creciente) en su dominio D. f ( ) es creciente en D a, b D es 0 f f f ( b) f ( a) b a (IVe)

Matemáticas de º de bachillerato Página 1 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) f ( ) esestric. creciente en D a, b D es > 0 f f f ( b) f ( a) b a (Ve) 4.Función decreciente en un intervalo.- (NOTA: Es recomendable ver el tema Propiedades y formas de las funciones reales de variable real ) º Sea y = f () una función y sea D f dú su dominio. º Sea A un intervalo de su dominio. Es decir, A dd f. Vamos a definir el concepto f () decreciente en A ; Una forma de definirlo: La función y = f () es decreciente en el intervalo A si lo es en todos los puntos de A Matemáticamente: f() decrec. en A D f a A, f() decrec. en a ) Otra forma de definirlo: (q) La función y = f () es decreciente en el intervalo A si dados dos números cualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)$f (b). Es decir, y = f () es decreciente en A si dados dos números de A, el que está a la izquierda (a) tiene una imagen (f (a)) mayor o igual que la imagen (f (b)) del que está a la derecha (b). Matemáticamente será: f ( ) es decreciente en A D f 1444444 444444 c 64444444744444448 ab, A a< b, entonces f( a) f( b) Gráficamente se interpreta del siguiente modo: Dibujamos la gráfica de una función que es decreciente en un intervalo A = [α,β] Observa la gráfica de la derecha (figura 14): 9 A = [α,β] intervalo cerrado. 9 Cualesquiera que sean los números reales a y b del intervalo A, tales que a < b, se verifica que f (a) $ f (b).en este caso concreto es f (a) > f (b) 9 Nótese como la gráfica de la función atraviesa la franja eistente entre las rectas de ecuaciones = α y = β bajando de izquierda a derecha. 9 Nótese como en cualquier punto del intervalo A la función y = f () es decreciente. 9 En este caso la función es estrictamente decreciente en todos los puntos del intervalo A, es decir, es estrictamente decreciente en todo el intervalo A.

Matemáticas de º de bachillerato Página 14 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) La definición de función estrictamente decreciente en un intervalo A es la siguiente: La función y = f () es estrictamente decreciente en el intervalo A si lo es en todos los puntos de A. Matemáticamente: Otra forma de definirlo: f ( ) estrictamente decreciente en A D f a A, f ( ) estrictamente decreciente en a La función y = f () es estrictamente decreciente en el intervalo A si dados dos números cualesquiera a y b de ese intervalo, tales que a < b, entonces f (a)>f (b). Es decir, y = f () es estrictamente decreciente en A si dados dos números de A, el que está a la izquierda (a) tiene una imagen (f (a)) mayor que la imagen (f (b)) del que está a la derecha (b). Matemáticamente será: f ( ) es estrictamente decreciente en A D f 1444444444 444444444 c 64444444744444448 a, b A a < b, entonces f ( a) > f ( b) figura 15 Distingamos de un modo gráfico la diferencia que eiste entre función decreciente y estrictamente decreciente en un intervalo En la figura 15 tenemos cuatro gráficas de otras cuatro funciones. La función y = f() es estrictamente decreciente en todo el intervalo [α, β] Las funciones y=g(), y=h() e y = r() son decrecientes, pero no en sentido estricto. La función y = g () es constante en todo el intervalo [α, β]. Nótese que es creciente y decreciente.

Matemáticas de º de bachillerato Página 15 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Ejemplo.- Consideremos la función coseno definida en el intervalo cerrado de etremos 0 y π : [ ] f : 0, π R f ( ) = cos Veamos que es estrictamente decreciente en todo el intervalo [0, π]. f (0) = cos 0 = 1 ; f (π) = cos π = &1 œ0[0, π], se verifica que &1 #f () #1 Sabemos que œα,β 0 [0, π] tales que α<β, se verifica que f (α) = cos α < cos β = f (β) (Recordar la definición de coseno de un ángulo y su interpretación gráfica en la circunferencia goniométrica o círculo trigonométrico). Dibujemos su gráfica: figura 16 En la gráfica de la izquierda, correspondiente a la función f () = cos, definida en el intervalo cerrado [0,π], apreciamos que: ab, 0, π a< b, es f( a) > f( b) [ ] La gráfica recorre todo el intervalo [0,π], de izquierda a derecha, bajando. Nótese que la gráfica corta al eje de abcisas en el punto (π/, 0) Modificando la definición (q) podemos obtener otra definición de función creciente en un intervalo. Veamos: a b < 0 La epresion & a < b equivale a que y b a> 0 La epresion & f ( a) f ( b) equivale a que f ( a) f ( b) 0 y f () b f () a 0 De las equivalencias de la derecha deducimos que: f ( b) f ( a) o 0 = = o 0 b a + f ( a) f ( b) + o 0 = = o 0 a b es decir, ambos cocientes son negativos. La definición quedará: f es decreciente en el ervalo A a b A es f ( b ) ( ) int, f ( a ) 0 b a (qq) Para el caso de una función estrictamente decreciente será:

Matemáticas de º de bachillerato Página 16 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) f es estric decreciente en el ervalo A a b A es f ( b ) ( ). int, f ( a ) < 0 b a (qqq) Vamos a interpretar gráficamente estas últimas definiciones: Observando la figura 17 apreciamos: Tenemos un intervalo de etremos α y β (cerrado o abierto) y una función f() definida en él. Tomamos dos puntos cualesquiera a y b de ese intervalo. Notamos que: f ( b) f ( a) b a f ( a) f ( b) a b + = = + = = f ( 1) f ( ) 1 Es decir, si tomamos dos puntos cualesquiera 1 y del intervalo, el cociente de la forma es negativo, sin importar que 1 < o que 1 > (en este caso la figura 17 la función es estrictamente decreciente en el intervalo [α, β]). En la figura 18 tenemos la gráfica de una función que no es decreciente en el intervalo [α, β] ya que a,b 0[α, β] y sin embargo: f ( a) f ( b) positivo = >0 a b positivo Puede apreciarse que en unos puntos del intervalo la función es creciente y en otros decreciente. Si en vez de considerar un intervalo, consideramos el dominio de la función, podemos definir el concepto de función decreciente (o estrictamente decreciente) en su dominio D. f ( ) es decreciente en D a, b D es 0 f f f ( b) f ( a) b a (IVq) f ( ) es estric. decreciente en D a, b D es < 0 f f f ( b) f ( a) b a (Vq)

Matemáticas de º de bachillerato Página 17 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Ejemplo 4.- Queremos averiguar si la función f ( )= e es creciente o decreciente en todo su dominio. Veamos: O Observamos que œ0ú, f () = e 0ú. Por tanto, D f = ú. O Imaginemos dos números cualesquiera a, b 0ú= D f Supongamos que a < b b a < b a b e < e b a> 0 a b< 0 f () b f () a be = b a b f ( a) f ( b) a e = a b a ae a b e b a a b = + + > 0 = > 0 f ( 1) f ( ) Es decir, œ 1, 0D f se verifica que > 0, es decir, la función f () es 1 estrictamente creciente en todo ú. Al ser estrictamente creciente, ya no puede ser decreciente. 5.Condición suficiente de función creciente en un punto.- L Sea y = f () una función de dominio D f L Sea a un punto de su dominio, es decir, a0d f y tal que f es derivable en a. Queremos saber si f () es creciente en a, es decir, qué condición debe cumplir la función f () para que podamos asegurar que es creciente en el punto a? Pues bien: Para asegurar que f () es creciente en el punto = a es suficiente que f (a) > 0 Epresado de otra forma: Si la derivada de f en el punto a es positiva, entonces la función f es creciente en a Matemáticamente: f ( a) > 0 f ( ) creciente en a Nota: La idea de condición suficiente viene porque para asegurar que f es creciente en el punto a, es suficiente con que f (a) sea positiva. Nótese que se eige que f (a) eista. Antes de demostrar esta importante propiedad, lo veremos gráficamente, es decir, aunque lo siguiente no es una demostración rigurosa, si nos permite relacionar la condición de que la derivada f (a) sea positiva con que f () es creciente en = a.

Matemáticas de º de bachillerato Página 18 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) figura 19.a Sabemos que por el punto P(a,f (a)) pasa la gráfica de la función f, pero queremos saber si pasa por ese punto creciendo o decreciendo, es decir, queremos saber si atraviesa la línea vertical subiendo o bajando. figura 19.b Supongamos que hemos averiguado que la derivada de f en el punto = a es positiva, es decir, la recta tangente a la gráfica de f () en el punto P(a,f (a)) tiene pendiente positiva, lo que significa que: f ( a) = tgα = m r > 0 siendo m r = pendiente de la recta r. figura 19.c Considerando que r es tangente a f (), en P, una forma aproimada de la gráfica de f () podría ser como aparece en esta figura, es decir, creciente estrictamente. En este caso se ha dibujado de forma que la gráfica es cóncava hacia arriba (convea hacia abajo) en el punto = a. figura 19.d En esta figura tenemos otra forma posible de la gráfica de f () a su paso por el punto P(a,f (a)), es decir, estrictamente creciente. En este caso la tangente va por encima de la curva en un entorno del punto a, es decir, la gráfica de f () es cóncava hacia abajo (convea hacia arriba) en el punto a. figura 19.e Puede apreciarse en este caso otra posibilidad de la gráfica de f (), es decir, estrictamente creciente en = a, pero la recta tangente atraviesa a la gráfica. Nótese que el punto P(a,f (a)) es un punto de infleión de f (). Debe quedar clara la idea de que: f () > 0 Y f () creciente en = a

Matemáticas de º de bachillerato Página 19 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Observación: Nótese que la condición epuesta es una condición suficiente pero no necesaria, es decir, si f (a) > 0, podemos asegurar que f es creciente en a, pero puede ocurrir que f ( a) /> 0 y, sin embargo, f sea creciente en a. Veamos la idea gráfica de esta observación: En la figura 0 tenemos la gráfica de una función f () que pasa por el punto P(a, f (a)) y cuya recta tangente en ese punto es horizontal, es decir: f ( a) = mr = pendiente de r = 0 Nótese que la función es estrictamente creciente en el punto a, es decir, a pesar de que la derivada de f en el punto a no es positiva, la función es estrictamente creciente en dicho punto. Lo anterior se interpreta como que para ser creciente en un punto, no es necesario que la derivada sea positiva Ejemplo 5.- e Sea la función f ( )=. Queremos averiguar si es creciente en los puntos = 0, = 1 y =. Veamos: K Hallamos la función derivada de f () : e e e ( 1) f ( ) = = K Veamos el valor de la derivada para cada caso: Para = 0 no eiste f (0), es decir, 0 ód f Por tanto, f no es creciente en el punto = 0, simplemente porque la función no eiste en ese punto. e. 0 0 Para = 1 f () 1 = = = 0 1 1 En este caso la derivada no nos informa sobre el crecimiento de la función f () en el punto = 1 e ( 1) e Para = f ( ) = = > 0 f ( ) es creciente en = 4 Ejemplo 6.- Sea la función f ( ) = ( 5) Queremos averiguar si es creciente en el punto = 5. Veamos: R Hallemos la función derivada: f ( ) = ( 5)

Matemáticas de º de bachillerato Página 0 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) R Hallemos el valor de la derivada en = 5: f () 5 = ( 5 5) = 0 = 0 La derivada no nos informa sobre el crecimiento de f en el punto = 5. R Intentemos aplicar otro método : $ Imaginemos un entorno de centro 5 y radio tan pequeño como queramos y estudiemos las imágenes de f () en ese entorno. f f f ( ) ( ) ( ) 5 = 5 5 = 0 = 0 5 = 5 5 = 0 = 0 + + + + 5 = 5 5 = 0 = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( 5 ) f ( 5) + < < f ( 5 ) f es creciente en = 5 R El punto anterior nos indica que la función es creciente estrictamente en = 5. R Representemos gráficamente la función: y = (&5) 5 0 5 & 0 & 5 + 0 + 4 &1 6 1 &8 7 8 &4 &4 %4 %4 La gráfica de f () (figura 1) nos muestra como la función es estrictamente creciente en = 5 y como la recta tangente en P(5,0) es el eje de abcisas. Nótese que dicho punto es de infleión (en este caso pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba). Ejemplo 7.- Sea la función f ( )= 5 + 4 Queremos saber en que puntos de su dominio es creciente. Veamos: W La función f () es una función polinómica de grado ( su gráfica es una parábola) y, por tanto, su dominio es ú. W En los punto a0ú tales que f (a) > 0, la función f () es creciente. W Hallemos la función derivada: f () = 4-5 W Veamos donde es f () > 0

Matemáticas de º de bachillerato Página 1 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) 4 5> 0 inecuacion & 5 4 > 5 Si > entonces f ( ) > 0 4 5 > 4 W De lo anterior deducimos que 5 si a > entonces f ( a) > 0 y f creciente en = a. 4 Conclusión: 5 4 ( ) f ( ) = 5 + 4 es creciente en el intervalo, + Demostración: Hemos demostrado de un modo gráfico la condición suficiente para que una función sea creciente en un punto = a. Ahora veremos la demostración formal. Debemos demostrar que f (a) > 0 Y f es creciente en a Veamos: f ( a+ h) f ( a) f ( a+ h) f ( a) f ( ) f ( a) f ( a) > 0 f ( a) = lim > 0 { f ( a) = lim = lim > 0 h 0 h llamando a h h a h h a a + = 0 = Para valores de infinitamente proimos a "a", el f()- f(a) f()- f(a) en un entorno E es positivo, es decir, > f()- f(a) ε ( a es cociente 0 ) > 0 -a -a -a f ( ) es creciente en = a. 6.Condición suficiente de función decreciente en un punto.- L L Sea y = f () una función de dominio D f Sea a un punto (un número real) de su dominio, es decir, a0d f y tal que f (a) eiste. Queremos saber si f () es decreciente en a, es decir, qué condición debe cumplir la función f () para que podamos asegurar que es decreciente en el punto a? Pues bien: Para asegurar que f () es decreciente en el punto = a es suficiente que f (a) < 0 Epresado de otra forma: Si la derivada de f en el punto a es negativa, entonces la función f es decreciente en a Matemáticamente: f ( a) < 0 f ( ) decreciente en a

Matemáticas de º de bachillerato Página Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Nota: La idea de condición suficiente viene porque para asegurar que f es decreciente en el punto a, es suficiente con que f (a) sea negativa. Nótese que f (a) debe eistir. Demostración: En este caso veremos la demostración forma y posteriormente la demostración gráfica.. Debemos demostrar que f (a) < 0 Y f es decreciente en a Veamos: f ( a+ h) f ( a) f ( a+ h) f ( a) f ( ) f ( a) f ( a) < 0 f ( a) = lim < 0 { f ( a) = lim = lim < 0 h 0 h llamando a h h a h h a a + = 0 = Para valores de infinitamente proimos a " a", el f()- f(a) f()- f(a) f()- f(a) en un entorno E a es -a es negativo es decir <,, ( ) 0 < 0 ε cociente -a -a f ( ) es decreciente en = a. Ejemplo 8.- Sea la función g ( ) = e. Queremos estudiar su crecimiento o decrecimiento en los puntos = 0, = &1 y = 1 Veamos: Hallamos la función derivada: g ( ) = e e = e ( 1 ) Hallemos su valor en cada uno de los puntos a estudiar: 0 g ( 0) = e ( 1 0) = 1 1= 1> 0 g es creciente en = 0 1 0 e g () 1 = e ( 1 1) = = 0 1 No podemos decidir aun & sobre el crecimiento decrecimiento en = 1 g ( 1) = e ( 1+ 1) = e > 0 g es creciente en = 1 Ejemplo 9.- Sea la función f ( )= 5 + 4Queremos saber en que puntos es decreciente. Veamos: W La función f () es una función polinómica de grado y, por tanto, su dominio es ú. W En los punto a0ú tales que f (a) < 0, la función f () es decreciente. W Hallemos la función derivada: f () = 4-5 5 W Veamos donde es f () < 0 : 4 5< 0; 4< 5 ; < 4 W De lo anterior deducimos que 5 si a < entonces f ( a) < 0 y f decreciente en = a. 4 Conclusión: f ( ) = 5 + 4 es decreciente en el intervalo (, 4 ) Ahora veremos la demostración gráfica de la condición suficiente de decrecimiento en un punto.

Matemáticas de º de bachillerato Página Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) figura.a Sabemos que por el punto P(a,f (a)) pasa la gráfica de la función f, pero queremos saber si pasa por ese punto creciendo o decreciendo, es decir, queremos saber si atraviesa la línea vertical subiendo o bajando. figura.b Supongamos que hemos averiguado que la derivada de f en el punto = a es negativa, es decir, la recta tangente a la gráfica de f () en el punto P(a,f (a)) tiene pendiente negativa, lo que significa que: f ( a) = tgα = m r < 0 siendo m r = pendiente de la recta r. figura.c Considerando que r es tangente a f (), en P, una forma aproimada de la gráfica de f () podría ser como aparece en esta figura, es decir, decreciente estrictamente. En este caso se ha dibujado de forma que la gráfica es cóncava hacia abajo (convea hacia arriba) en el punto = a. figura.d En esta figura tenemos otra forma posible de la gráfica de f () a su paso por el punto P(a,f (a)), es decir, estrictamente decreciente. En este caso la tangente va por debajo de la curva en un entorno del punto a, es decir, la gráfica de f () es cóncava hacia arriba (convea hacia abajo) en el punto a. figura.e Puede apreciarse en este caso otra posibilidad de la gráfica de f (), es decir, estrictamente decreciente en = a, pero la recta tangente atraviesa a la gráfica. Nótese que el punto P(a,f (a)) es un punto de infleión de f (). Debe quedar clara la idea de que: f () < 0 Y f () decreciente en = a

Matemáticas de º de bachillerato Página 4 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Observación: Nótese que la condición epuesta es una condición suficiente pero no necesaria, es decir, si f (a) < 0, podemos asegurar que f es decreciente en a, pero puede ocurrir que f ( a) /< 0 y, sin embargo, f sea decreciente en a. Veamos la idea gráfica de esta observación: En la figura tenemos la gráfica de una función f () que pasa por el punto P(a, f (a)) y cuya recta tangente en ese punto es horizontal, es decir: f ( a) = mr = pendiente de r = 0 Nótese que la función es estrictamente decreciente en el punto a, es decir, a pesar de que la derivada de f en el punto a no es negativa, la función es estrictamente decreciente en dicho punto. Es decir, para ser decreciente en un punto, no es necesario que la derivada sea negativa. Ejercicio nº 1.- Sea la función f ( ) = L Se pide: a) Determina su dominio. b) Determina en qué puntos es creciente. c) Determina en qué puntos es decreciente. Solución: a) Es evidente que f () no eiste si # 0. Por tanto: Dominio de f = D f = ú + = (0, +4) b) f es creciente en los puntos tales que f () > 0 Hallamos f () : f ( ) = 1 1 ( L es logaritmo neperiano de ). f ( ) > 0 1 1 > 0 1 1 > como > 0 > 1 Si > 1, entonces f ( ) > 0 Por tanto, si > 1 función f tiene derivada positiva en, es decir, la función es creciente. Epresamos que: f es creciente en el intervalo (1, +4) c) f es decreciente en los puntos tales que f () < 0 1 1 f ( ) < 0 ; 1 < 0 ; 1< ; < ( por ser > 0) ; < 1 Es decir: Si < 1 entonces f ( ) < 0 De lo anterior deducimos que f es decreciente en el intervalo (0,1)

Matemáticas de º de bachillerato Página 5 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Una forma de epresar los resultados es: &4 < # 0 0 < < 1 1 < < +4 f no eiste f es decreciente f es creciente Ejercicio nº.- Sea la función f ( ) = 0 Se pide: a) Determina donde es creciente. b) Determina donde es decreciente. c) Indica si es creciente o decreciente en los puntos = &6, = 0, = 7 5, = &4, = 5 Solución: a) En los punto tales que f () > 0, la función es creciente. Hallemos la función derivada de f : simplificando f ( ) = 0 f ( ) = 0 Debemos averiguar qué puntos verifican la desigualdad & & 0 > 0 Como se trata de una inecuación de segundo grado con una incógnita, factorizamos el polinomio & & 0. Para factorizar el polinomio, debemos resolver la ecuación de º grado & & 0 = 0 1 1 80 1 9 0 0 1 5 = = ± + ± = = = = 4 Ahora podemos factorizar: f () = & & 0 = (&5) ( + 4) Ahora resolvemos la inecuación (&5) ( + 4) > 0 : 5> 0 > 5 obien y y > 5 + > > 4 0 4 ( 5)( + 4) > 0 5< 0 < 5 obien y y < 4 + < < 4 0 4 Por tanto: f ( ) > 0 < 4 o > 5 Conclusión: f () es creciente en (&4, &4) c (5, + 4) b) En los punto tales que f () < 0, la función es decreciente. Debemos resolver la inecuación & & 0 < 0 Como hemos factorizado en el apartado anterior, resolvemos (&5) ( + 4) < 0 Efectuamos un razonamiento similar al del punto a):

Matemáticas de º de bachillerato Página 6 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) ( 5)( + 4) < 0 5> 0 > 5 obien y y + < < 4 0 4 5< 0 < 5 obien y y + > > 4 0 4 Imposible 4 < < 5 Por tanto: f ( ) < 0 4 < < 5 Conclusión: f () es decreciente en el intervalo abierto (&4, 5) Una forma de resumir los resultados sería: &4 < < &4 &4 < < 5 5 < < +4 f es creciente f es decreciente f es creciente c) Determinemos el crecimiento-decrecimiento en los puntos que nos dan: Q f () es creciente en = &6 porque &4 < &6 < &4 Q f () es decreciente en = 0 porque &4 < 0 < 5 Q f () es creciente en = 7 5 porque 5 < 7 5 < + 4 Q f () tiene un máimo en el punto = &4 Q f () tiene un mínimo en el punto = 5 Para comprobar los resultados obtenidos, representamos gráficamente la función: La figura 4 nos muestra la gráfica de la función dada f ( ) = 0 En ella pueden apreciarse los resultados obtenidos. Además, hemos señalado el punto M, que se llama máimo relativo de f () y el punto P que se denomina mínimo relativo de f (). En el punto M la curva pasa de creciente a decreciente y en P de decreciente a creciente. Nótese que la función no está acotada ni superior ni inferiormente.

Matemáticas de º de bachillerato Página 7 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Hemos visto las condiciones suficientes para que una función sea creciente o decreciente en un punto. Vamos a ampliar estas condiciones: S Supongamos que se da el caso en que f (a) = 0. Como saber si f es creciente o decreciente en a? S Un estudio más ehaustivo de la situación (que omitimos en este curso), nos lleva a lo siguiente: Supongamos que f ( a) = 0; f ( a) = 0 k 1) ; LLL ; f ( a) = 0 ; k) f ( a) 0 Se verifica que: k) f ( a) > 0 f ( ) es estrictamente creciente en a Si k = impar, entonces k) f ( a) < 0 f ( ) es estrictamente decreciente en a Si k = par, entonces f ( ) no es creciente ni decreciente en a. Ejemplo 10.- Queremos averiguar si la función f () = & 5 + 10 4 &40 + 80 & 80 + es creciente o decreciente en el punto =. Veamos: 9 Hallemos la derivada de f : f () = &5 4 + 40 &10 + 160 &80 f () = &5 4 + 40 &10 + 160 &80 = &80 + 0 &480 + 0 & 80 = 0 No podemos tomar una decisión. 9 Hallemos la segunda derivada de f : f () = &0 + 10 &40 + 160 f () = &0 + 10 &40 + 160 = &160 + 480&480 + 160 = 0 Seguimos si poder toma una decisión. 9 Hallemos la tercera derivada de f : f () = &60 + 40 &40 f () = &60 + 40 &40 = &40 + 480&40 = 0 Tampoco ahora podemos toma una decisión. 9 Hallemos la cuarta derivada de f : f 4) () = &10 + 40 f 4) () = &10 + 40 = &40 +40 = 0 Aún no podemos tomar una decisión. 9 Hallemos la quinta derivada de f : f 5) () = &10 f 5) () = &10 0 Ya es posible tomar una decisión. Tomemos la decisión: 4) 5) f ( ) = 0; f ( ) = 0 ; f ( ) = 0; f ( ) = 0; f ( ) 0 f es estrictamente k = 5= impar decreciente en = 5) f ( ) = 10 < 0 Ejemplo 11.- La función f () = 4 en el punto = 0 no es creciente ni decreciente ya que: 4) f () 0 = 0; f () 0 = 0; f () 0 = 0 ; f () 0 = 4 0 f ni creciente ni k = = par f = > decreciente en 4) 4 ; ( 0) 4 0

Matemáticas de º de bachillerato Página 8 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) Ejercicio nº.- Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función siguiente: 1 g ( ) = + 18 + 5 Solución: Hallemos la derivada de g () : g () = & + 1 & 18 Veamos los valores de para los que g () > 0 Debemos ver los valores de que verifican la desigualdad & + 1 & 18 > 0 Para resolver la inecuación anterior debemos factorizar el polinomio & + 1 & 18 Para factorizar el polinomio debemos resolver la ecuación & + 1 & 18 = 0 + 1 18= 0 multiplicamos por 1 1 + 18= 0 dividimos por 7 + 6= 0 7± 49 4 7 ± 5 7 ± 5 1 = 6 despejamos: = = = = raices del polinomio = 1 De lo anterior deducimos que: + 7 + 6 = (&1) (&6) Si multiplicamos por : + 1 + 18 = (&1) (&6) Multiplicando por &1 : & & 1 &18 = & (&1) (&6) Ya hemos factorizado! Ahora resolvemos la inecuación & (&1) (&6) > 0 ( 1)( 6) > 0 multiplicamos en ambos miembros por 1 1 ( 1)( 6) < 0 multiplicamos en ambos miembros por ( 1)( 6) < 0 Por tanto, g () > 0 si 1 < < 6, es decir: 1> 0 > 1 o bien y y 1< < 6 < < 6 0 6 1< 0 < 1 o bien y y Imposible > > 6 0 6 g () es creciente en el intervalo abierto ( 16, ) NOTA: No olvidar que si multiplicamos en ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. Veamos los valores de para los que g () < 0 Debemos ver los valores de que verifican la desigualdad & (&1) (&6) < 0 Siguiendo el mismo razonamiento que en el punto anterior: ( 1)( 6) < 0 ( 1)( 6) > 0 ( 1)( 6) > 0

Matemáticas de º de bachillerato Página 9 Aplicaciones de las derivadas (estudio de funciones) 1> 0 > 1 obien y y > > 6 0 6 ( 1)( 6) > 0 1< 0 < 1 obien y y < < 6 0 6 Por tanto, g () < 0 si < 1 o > 6, es decir: > 6 < 1 g () es decreciente en el conjunto (&4,1) c (6,+ 4) Epresamos los resultados de otro modo: &4 < < 1 1 < < 6 6 < < +4 f es decreciente f es creciente f es decreciente 7.Etremos (máimos y mínimos) de una función.- (NOTA: Es recomendable ver el tema Propiedades y formas de las funciones reales de variable real ) En este punto definiremos los conceptos de máimo y mínimo relativo (o local) de una función en un punto = a y su determinación mediante las derivadas primera y segunda de dicha función. 7.1. Máimo relativo de una función en un punto.- Y Y Sea y = f () una función real de variable real. Sea a 0ú, es decir, a un punto del eje de abcisas. Se dice que la función f () tiene un máimo relativo (o local) en a, si eiste un entorno de centro a y radio ε tal que la imagen de cualquier número de ese entorno es menor o igual que la imagen de a. Matemáticamente: f ( ) tiene un maimo & en a Eε( a) Eε( a) es f ( ) f ( a) NOTAS: Î En ocasiones se omite el término relativo o local y se dice únicamente máimo. Ï Recuerda que E ( a) = ( a, a + ) ε ε ε Gráficamente se interpreta como que f (a) es la mayor imagen dentro del entorno E ε (a),