Pueba de Acceso a la Univesidad. JUNIO. Instucciones: Se poponen dos opciones A y B. Hay que elegi una de las dos opciones y contesta a sus cuestiones. La puntuación está detallada en cada una de las cuestiones o en sus distintas pates. Se pemite el uso de calculadoas, peo los esultados, tanto analíticos como gáficos, debeán esta debidamente justificados. OPCIÓN A A. a) Estudia paa qué valoes de a el deteminante de la matiz obtene el deteminante de la matiz A. (,5 puntos) a a A a a a es no nulo. Paa a, b) Sean las matices A y B. Calcula el ango de ( AB )T. ( punto) a) Veamos paa qué valoes de a el deteminante es nulo: a a A a a a a a a a ( ) ( ) a a a a luego A a y. Paa a : () A A 8 9 () Si multiplicamos po un númeo todos los elementos de una línea de una matiz cuadada, su deteminante queda multiplicado po ese númeo. Al calcula la matiz A, los elementos de las tes líneas (filas o columnas) se multiplican po. De ahí que el deteminante quede multiplicado tes veces po. T b) g ( A B) g ( A B) pues la taspuesta de una matiz se obtiene intecambiando las filas po las columnas y el ango de filas y de columnas de una matiz es el mismo. Calculemos A B y obtengamos su ango: 9 El único meno de oden tes es: 6 8 g ( A) < 9 6 T y como el meno g ( AB ) g ( AB ) A. Sea la función < f ( ) sen ( a) < < π ( π) π < a) Calcula los valoes de a paa los cuales f ( ) es una función continua. ( punto) b) Estudia la deivabilidad de f ( ) paa cada uno de esos valoes. ( punto) c) Obtene f ( ) d. (,5 puntos)
a) Paa que f ( ) sea continua debe selo en y en π. Paa que lo sea en debe se: lím f lím f lím ( ) lím [ sen a ] función es continua en a poque además f (). la Paa que lo sea en π debe se: lím f ( ) lím f ( ) lím [ sen ( a) ] lím ( π) π π π π π sen (π a) πa kπ a k k,,,... < b) Paa los valoes de a encontados, la función es f ( ) sen k < < π y la función deivada: ( π) π < si < f '( ) cos k k si < < π. ( π ) siπ < Deivabilidad en : f ' f '( ) k k paa k f ( ) no es deivable en. Deivabilidad en π : f ' π f ' π f ( ) es deivable en π c) f ( ) d d A. Enconta el polinomio de gado dos p ( ) a b c sabiendo que satisface: en el polinomio vale, su pimea deivada vale paa y su segunda deivada vale en. Estudia si el polinomio obtenido es una función pa. Tiene en un punto de infleión? (,5 puntos) C p () c p '( ) a b p ''( ) a Po tanto: p p ''() a a p '() b b C p ( ) ( ) ( ) p ( ) no es una función pa C No, pues p ''( ) no tiene puntos de infleión (po ota pate, se tata de una paábola que no los tiene)
Pueba de Acceso a la Univesidad. JUNIO. A. Dadas las ectas: y 7 y z y y z s a) Justifica si son o no pependiculaes. ( punto) P 6,, a la ecta. (,5 puntos) b) Calcula la distancia del punto a) Obtengamos un vecto dieccional de cada una de las ectas: b) d ( P, ) De : dos puntos de la ecta son, po ejemplo A (,, ) y B ( 7,, ) u AB (,, ) De s: v (,, ) u v 6 u v s i j k uuu AP u i j 6k 8k j i (, 7, 8) u 6 6 89 69 69 5,7 u uuu OPCIÓN B B. a) Estudia paa qué valoes de, la matiz invesa de coincide con su opuesta. (,5 puntos) 5 b) Dos hemanos de teceo y cuato de pimaia iban camino del colegio con sus mochilas cagadas de libos todos del mismo peso. Uno de ellos se lamentaba del peso que tanspotaba y el oto le dijo: De qué te quejas? Si yo te cogiea un libo, mi caga seía el doble que la tuya. En cambio si te diea un libo, tu caga igualaía a la mía Cuántos libos llevaba cada hemano? ( punto) a) Sea A 5 la matiz dada. Su opuesta es: A 5. Calculemos su matiz invesa. El deteminante de la matiz es: A T ( Adj A) 5 T Adj A ( Adj A) A A A 5 5 5 Paa que A A 9 ± 5 5 5 b) Sea el númeo de libos que lleva el pimeo de ellos e y los que lleva el segundo. Se tiene:
( y ) y y y 5 ; 7 y y y luego el pimeo lleva 7 libos y el segundo 5. B. Sea f ( ) a) Calcula el dominio de f ( ). (,5 puntos) b) Estudia el cecimiento y dececimiento de f ( ). c) Analiza las asíntotas de f ( ) y calcula las que eistan. a) Po tatase de una función acional: ( punto) ( punto) { } { } { } D ( f ) / /, b) El cecimiento y dececimiento de una función depende del signo de f '( ) : ( ) ( ) f '( ) 6 ( ) ( ) ± 8 El denominado es positivo. Estudiemos el signo del numeado:. Obsevamos que el numeado no cambia de signo y que > Po tanto, la función es ceciente. c) C Asíntotas veticales: pueden selo y. ( ) ( ) ( ) : lím f ( ) lím lím lím es una asíntota vetical de la función. Estudiemos la posición de la gáfica especto a la asíntota: lím f ( ) lím lím ; lím f ( ) lím lím : lím f ( ) lím es una asíntota vetical de la función Estudiemos la posición elativa de la gáfica especto a la asíntota: lím f ( ) lím ; lím f ( ) lím C Asíntotas hoizontales u oblicuas: f ( ) y es una asíntota hoizontal. Posición de la cuva especto a la asíntota: lím ; lím y
Pueba de Acceso a la Univesidad. JUNIO. B. a) Halla el áea enceada ente la cuva b) Calcula lím ln n ln (7 n ) ln n y la ecta y. (,5 puntos) y. (,5 puntos) a) Constuimos la función difeencia de ambas funciones función y el eje OX: y calculamos el áea limitada po esta f ( ),, (puntos de cote de f ( ) y el eje de abscisas). Se tiene: b) S d d 8 8 8 u ln n ln n ln n ln nln 7ln n ln 7 ln n ln ln ln lím n lím n lím n n ln 7 ln n n ln 7 ln n n ln 7 ln n ln n lím lím e e e n ln (7 ) n n ln 7 ln n ln7 ln n lím ln7 n ln n ln 7 e e e ln 7 e 7 7 7 B. a) Calcula la ecuación del plano que pasa po los puntos (,, ), (,, ) π y z. (,75 puntos) a,, b) Estudia si los vectoes, b (,,), c (,, ) y es pependicula al plano son linealmente independientes. a) El plano está definido po el punto (,, ) y los vectoes u (,, ) y v (,, ) (,75 puntos) nomal al plano π : La ecuación del plano es: y z z y 6z 6 y y z y z b) los vectoes son linealmente independientes. 5