Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. SISTEMAS DE ECUACIONES. INTRODUCCIÓN Desde los prieros cursos de ESO te has encontrado con probleas cua resolución requería encontrar la solución de un sistea de ecuaciones de prier grado. Inicialente, lo ás frecuente era que tanto las ecuaciones coo las incógnitas fueran dos, que el sistea tuviera solución adeás única, este tipo de sistea que tienen solución única reciben el nobre sisteas copatibles deterinados. 6 En ocasiones se presentaban casos ecepcionales, coo el sistea. Si los resuelves coprobarás que tiene infinitas soluciones, pero no es necesario resolverlo para llegar a esa 6 8 9 conclusión: la segunda ecuación se obtiene ultiplicando la priera por ". Esto quiere decir que esta segunda ecuación no aparta ninguna inforación, pero tapoco contradice lo ipuesto por la priera, únicaente insiste en una condición que a sabíaos. Las condiciones son copatibles, por lo que el sistea tiene solución, pero el núero de ecuaciones útiles no son suficientes para que la solución sea única. Estos sisteas que tienen solución pero no única se llaan sisteas copatibles indeterinados. Para resolver un sistea copatible indeterinado se tienen en cuenta únicaente las ecuaciones que apartan inforación, que a partir de ahora llaareos ecuaciones principales, en nuestro caso una de ellas, la que considereos ás cóoda para el cálculo, se deja una de las incógnitas en función de la otra: 6. Son solución del sistea cualquier par de núeros 6 de la fora,, es decir, cualquier par de núeros en el que el segundo es el resultado de 6 auentar en tres unidades el doble del priero, dividir por seis. Otro sistea raro es, que no tiene solución, porque es iposible que si dos núeros 7 suan tres, el doble de abos suen siete. Las condiciones ipuestas son incopatibles, o el sistea es incopatible. En el futuro vas a tener que resolver sisteas de ecuaciones de prier grado, en el que el núero de ecuaciones puede no coincidir con el de incógnitas en lo que hasta ahora era ecepcional va a dejar de serlo. Cuando son ás de dos el núero de ecuaciones o de incógnitas, no es fácil ver a siple vista si las ecuaciones son copatibles o no, pero eisten étodos para analiarlo. Uno de ellos es el llaado étodo de Gauss. MÉTODO DE GAUSS El étodo de Gauss se basa en el hecho fundaental de que si en un sistea haceos transforación eleental, obteneos otro equivalente (con las isas soluciones). Las transforaciones eleentales te recordarán a las aditidas en el étodo de reducción, son las siguientes: Perutar el orden de ecuaciones Multiplicar una ecuación por un núero distinto de (o cualquier aplicación de la regla fundaental de las ecuaciones equivalentes) Suar a una ecuación otra ecuación del sistea ultiplicada por un núero. - -
Ejercicio resuelto Alberto Entero Conde Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. Resuelve el sistea: 6 Solución Mediante una serie de transforaciones, vaos a ver que el sistea dado es equivalente a otro escalonado, entendiendo por ello uno cua últia ecuación tiene una incógnita, la penúltia esa incógnita otra ás, así sucesivaente. En nuestro caso vaos a obtener: 9 8 Coo estas transforaciones únicaente afectan a coeficientes térinos independientes, no a los síbolos que hallaos utiliado para designar las incógnitas, prescindios de estas, obteniendo una atri. Nuestro sistea queda totalente identificado por la atri: 6 Nos referireos a los térinos de esta atri por la posición que ocupa, para lo que utiliareos un par, el priero eleento indicará la fila el segundo la coluna, así, el del recuadro, que está en, la segunda fila, tercera coluna, direos que ocupa la posición ( ) Vaos a anular coeficientes de la priera coluna. Para ello conviene tener en la posi-, un divisor de los deás térinos de esa priera coluna, preferenteente un. ción ( ) Recuerda, las transforaciones peritidas son las que no cabian la solución del sistea. la nueva fila Podríaos obtener un, restando a la priera fila la tercera ( ), sería el resultado de restar filas antiguas, pero basta con intercabiar filas : 6 6 Multiplicando la priera fila por suando el resultado a la segunda, anulaos el prier coeficiente de esta. Multiplicando por operando de fora análoga, anulaos el prier coeficiente de la tercera fila. Este proceso recibe el nobre de pivotar con la priera fila. ' 9 6 6 7 Pivotando con la segunda fila teneos que anular los segundos coeficientes de las filas que están por debajo de ella, en nuestro caso solo la tercera. Coo es divisor de 6, podeos proceder sin hacer ningún cabio previo - -
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. 6 7 El sistea inicial es equivalente a Resolviendo de abajo a arriba resulta., 7, 6 ' 9 9. 8 9 8 COMPROBACIÓN CON WIRIS Las atrices son una potente herraienta ateática que tiene uchas aplicaciones, en el tea siguiente nos introducireos en su estudio. Tango WIRIS coo DERIVE nos pueden audar a coprobar la valide de nuestro resultados. Si en WIRIS abres la pestaña Matrices te aparece la siguiente ventana, en la que lo priero que ha que eplicar es la fora de introducirla: Introducir atrices Al pulsar el icono de introducir atrices, te pedirá sus diensiones, la nuestra tiene tres fila cuatro colunas. Es conveniente asigna un nobre a la atri. Para obtener una triangulación de una atri, WIRIS incorpora la orden eliinación_gaussiana Coo puedes coprobar, la atri triangular puede no coincidir con la que nosotros heos obtenido, pero sí que los sisteas de ecuaciones asociados a una otra son equivalentes. Resolver los siguientes sisteas de ecuaciones aplicando el étodo de Gauss. a) 7 t t t t 7 - -
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. - - ' ' ' 7 7 ' ' ' 6 6 t t t t t c) 7 7 7 9 El sistea es equivalente a 7 7 9 7 Tabién está peritido intercabiar colunas, pero en ese caso, ten presente que tabién cabias el orden de las incógnitas. Vaos a resolver este iso sistea haciendo un intercabio de colunas, pero pondreos a qué incógnita corresponde cada coluna de coeficientes, para tenerlo presente cuando llegueos al sistea escalonado equivalente. C C ' ' 7 7 7 7 7
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. - - CLASIICACIÓN DE LOS SISTEMAS SEGÚN EL NÚMERO DE SOLUCIONES. Los sisteas que hasta ahora heos resuelto tenían solución, adeás esta era única. Cuando ocurre esto se dice que el sistea es copatible deterinado. Si tiene solución, pero no es única, se dice que es un sistea copatible indeterinado. Si no tiene solución se dice que se trata de un sistea de ecuaciones incopatibles, o sistea incopatible.. Los siguientes sisteas se diferencian eclusivaente en el coeficiente de en el térino independiente de la últia ecuación. Resuelve cuando sea posible. a) b) 6 c) a) Aparece una situación que hasta ahora no se nos había presentado: La últia fila se ha anulado, correspondería a una ecuación, que cualquier terna de núeros la verifica. Esto quiere decir que alguna de las ecuaciones del sistea inicial no aporta ninguna inforación relevante, por lo que podeos prescindir de ella, pero tapoco contradice a las deás: las ecuaciones con copatibles. En definitiva, de las ecuaciones que foran el sistea, solo dos, que llaareos ecuaciones principales, aportan inforación. El sistea inicial es equivalente a, núero insuficientes de soluciones para deterinar una única solución. Nuestro sistea es copatible indeterinado Para resolver un sistea copatible indeterinado se considera que tiene tantas incógnitas principales coo ecuaciones principales, el resto, en nuestro caso una, se consideran paráetros, que pasan a forar parte del terino independiente. Se llaa grado de indeterinación o grado de libertad del sistea al núero de paráetros que se hallan fijado, es decir, el núero de incógnitas no principales. En nuestro ejeplo, fijaos coo paráetro la tercera incógnita:, que pasaos con los térinos independientes: Teneos un sistea escalonado con el iso núero de ecuaciones e incógnitas, que resolveos de abajo a arriba
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. ; ( ) Las soluciones del sistea son las ternas: R, que tabién suele epresarse coo: (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) R El sistea tiene tantas soluciones coo valores podeos asignar a los paráetros. Coo en este caso el grado de libertad es uno, podeos asignar a cualquier núero real, el sistea tiene entonces tantas soluciones coo eleentos tiene R. En el tea de geoetría vereos que todo esto tiene una interpretación: las ecuaciones que foran el sistea se corresponden con tres planos que se cortan en una recta. Tendreos oportunidad de coprobar que si un sistea copatible su grado de indeterinación es p p, tiene tantas soluciones coo eleentos tiene el conjunto R. b) Haciendo las isas transforaciones que en el apartado anterior, se obtiene que el sistea es copatible deterinado, equivalente a: c) En este caso, la atri obtenida con las transforaciones es: La últia fila corresponde a la ecuación, que no la verifica ninguna terna de núeros. Esto quiere decir que entre las ecuaciones iniciales eiste una contradicción, es iposible que las tres condiciones se cuplan siultáneaente, es decir, son incopatibles. Un sistea incopatible no tiene solución, por lo que es absurdo buscarla, heos terinado. En el tea de geoetría vereos que en este caso las ecuaciones se corresponden con tres planos sin puntos en coún. Puede que dos a dos los tengan, pero no los tres.. Discute el siguiente sistea de ecuaciones en función de los valores del paráetro resuelve cuando sea posible. - 6 -
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. - 7 - La copatibilidad del sistea va a depender de la ecuación: ( ) ( ). Si ±, el sistea es copatible deterinado, equivalente a: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Si, la últia ecuación queda de la fora, por lo que el sistea es copatible indeterinado equivalente a: sus soluciones son: R Si, la últia ecuación es 6, por lo que el sistea es incopatible. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN En el ejercicio que nos sirvió para introducir el étodo de Gauss, trabajando de arriba a abajo, conseguios triangular nuestra atri de partida: 6 8 9 Trabajando ahora de abajo a arriba vaos a anular los eleentos que quedan por encia de la diagonal principal de la atri de coeficientes:
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. 9 9 9 8 6 6 9 7 7 6 6 El sistea de partida es equivalente a 7, que nos da directaente la solución del sistea. 6 Este proceso de resolución de sisteas de ecuaciones se conoce coo étodo de Gauss-Jordan COMPROBACIÓN DON DERIVE Para introducir una atri en derive se procede de una fora u parecida a lo eplicado para Wiris. Una ve hecho esto, la orden ROW_REDUCE nos da directaente la atri final del étodo de Gauss-Jordan Introducir atri. Resolver los sisteas del ejercicio, aplicando el étodo de Gauss-Jordan Partios en cada caso de la atri obtenida por el étodo de Gauss. ( ) a) 6 t - 8 -
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. b) 7 7 9 /7 7 7 7 7 7 NOTA: El étodo de Gauss-Jordan tabién se pude utiliar para resolver sisteas que no tienen el iso núero de ecuaciones que de incógnitas Ejercicio resuelto Resuelve aplicando el étodo de Gauss-Jordan. 6t t 6 9t Solución 6 6 9 6 6 7 6 6 Hasta aquí el étodo de Gauss, por el que sabeos que ha tres incógnitas principales. Dividios por la últia ecuación pasaos a considerar la cuarta incógnita coo no principal. 6 6 7 El sistea es equivalente a t t t t t R (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,,) Coprobación con DERIVE t R - 9 -
Maite Gonále Juarrero PROBLEMAS Sisteas de ecuaciones. Arro Lentejas Garban. Proveedor A, Proveedor B, Proveedor C. Cierto superercado hace el iso pedido a tres proveedores diferentes, A, B C. Dicho pedido contiene ciertas cantidades de arro, lentejas garbanos (epresadas en toneladas). Cada proveedor arca los productos con los precios recogidos en la tabla(iles de ptas/tonelada). Se sabe tabién que el pedido que recibe de A cuesta.6. ptas, el que recibe de B. ptas ás que el de A el de C. ptas. ás que el de éste últio a) orula el problea deterina la coposición de cada pedido. b) Este sistea, de qué tipo es toneladas de arro pedidas a cada proveedor Toando coo incógnitas: toneladas de lentejas, el sistea es: toneladas de garbanos,,6,,6, que es un sistea copatible deterinado, cua única solución e s:,7,,. Un individuo invirtió 6.. ptas repartidas en tres epresas obtuvo. ptas de beneficios. Calcular la inversión realiada en cada epresa, sabiendo que en la epresa A hio el doble de inversión que en la B en la C juntas que los beneficios de las epresas fueron del % en la epresa A, el % en la B el % en la C. invertido en A 6 En illones de pesetas: invertido en B, resulta el sistea:,,,,, invertido en C tiene por solución:,,, es decir, en la epresa A invirtió illones de pta, en la B.. en la C. ptas.. Los aniales de un laboratorio deben antenerse bajo una dieta estricta. Cada anial debe recibir g de proteínas g de grasas. Se dispone de dos tipos de alientos: el tipo A con el % de proteínas el % de grasas el tipo B con el % de proteínas el % de grasas. Cuántos graos de cada aliento pueden utiliarse para obtener la dieta correcta de un único anial?. Solución : PRODUCTO Cantidad (g) Proteínas Grasas A,, B,, La tabla nos uestra, en función de los graos toados de cada aliento, las proteínas grasas que se obtiene. - -
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. Con ello, el sistea que resulta es:,,,, la solución: 8 g del producto A 6 del B. Juan Pedro invierten.. de pta cada uno. Juan coloca una cantidad A al % de interés, una cantidad B al % el resto al 6%. Pedro invierte la isa cantidad A al %, la B al 6% el resto al %. Deterina la cantidad B, sabiendo que Juan obtiene unos intereses de. pta Pedro de 9. pta A,A,A B,B,6B C,6C,C.. A. Ptas.. B. Ptas. 9. C.. Ptas.. El dueños de un bar ha coprado refrescos, cervea vino por un iporte de. pta (sin ipuestos). Suponiendo que el valor del vino es 6. pta enos que el de los refrescos cerveas juntos, que los refrescos están gravados con un IVA del 6%, la cervea del % el vino un %, lo que hace que la factura con ipuestos ascienda a 9. pta, calcula la cantidad invertida en cada tipo de bebida. Elección de incógnitas: iporte de refrescos sin ipuestos iporte de cervea sin ipuestos El sistea que resulta es: iporte del vino sin ipuestos.. 6. 6.,6,, 9.. 6. Una tienda ha vendido 6 ejeplares de un videojuego por un total de 68. pta. El original costaba. pta, pero tabién ha vendido copias, presuntaente defectuosas, con descuento del % %. Sabiendo que el núero de copias vendidas fue la itad que el de originales, calcula a cuántas copias se le aplicó un % de descuento. Incógnitas: originales vendidos copias vendidas a 8 ptas. copias vendidas a 7 ptas. (% dto.) (% dto.) - -
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. 6. 8 7 68. ( ) 8 7. Juan dice a Pedro: Yo tengo el doble de la edad que usted tenía cuando o tenía la edad que usted tiene. La sua del triple de la que usted tiene, con la que o tendré cuando usted tenga la edad que o tengo, es 8. Cuál es la edad de cada uno?. Llaando a la edad de Juan (el aor) e a la diferencia de edades, en el cuadro aparecen las edades de cada uno en los tres oentos a los que se refiere el problea. PASADO hace años PRESENTE UTURO años después PEDRO - - JUAN - El sistea será: ( ) ( ) ( ) 8 8, es decir: Juan tiene 8 años Pedro 6. 8. La edad de un padre es doble de la sua de las edades de sus hijos, ientras que hace unos años, eactaente la diferencia de las edades actuales de los hijos, la edad del padre era triple que la sua de las edades en aquel tiepo de sus hijos. Cuando pasen tantos años coo la sua de las edades actuales de los hijos, la sua de las edades de los tres será años. Qué edad tenía el padre en el oento de nacer sus hijos?. Coo en el caso anterior, la tabla recoge las edades de cada uno de los tres, en los tiepos a los que hace referencia el problea. PASADO - años antes PRESENTE UTURO años después PADRE -(-) HIJO -(-) HIJO -(-) ( ) ( ) ( ) Los datos del problea nos periten plantear el sistea:, cua solución es: años la edad del padre, la del hijo aor la del enor. 9. Teneos litros de ecla de agua vino, al probarla consideraos que es deasiado ligera añadios cierta cantidad de vino, de fora que la cantidad de agua es ahora el % del total. Coo sigue siendo deasiado ligera, se añade la isa cantidad de vino que la ve anterior, con lo que el agua pasa a ser el % de la ecla. Cuántos litros de vino se añade en cada ocasión cuántos ha de agua?. Se la cantidad inicial de agua, con lo que en cada caso. sería la de vino, e la cantidad de vino añadida - -
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. Al añadir litros de vino a la ecla, tendreos litros en total, de los cuales son de agua, en la proporción. Al añadir vino por segunda ve se tiene litros en total, con de agua, siendo ahora la proporción: Resolviendo el sistea: se obtiene : 6. Tres aigos acuerdan jugar tres partidas de dados, de fora que cuando uno pierda una partida entregará a cada uno de los otros dos una cantidad de dinero igual a la que cada uno de ellos posea en ese oento. Cada uno perdió una partida al final cada uno tenía ptas. Cuánto dinero tenía cada uno al coenar el juego?. Suponeos que el jugador A pierde la priera partida, el B la segunda C la tercera. Ha que tener en cuenta que, según las noras del juego, cada uno de los jugadores que no pierde, pasa a duplicar el dinero que tenía antes de coenar esa partida, ientras que el que la pierde reduce su dinero en una cantidad igual a la sua de las cantidades que antes tenían sus aigos. Según estos, la situación financiera de cada uno de los jugadores al finaliar cada partida es la que se refleja en la tabla. JUGADOR A JUGADOR B JUGADOR C Coieno ª Partida ª Partida ( ) ª Partida 6 Coo al finaliar las partidas todos tenían ptas., el sistea a resolver es: 9 6 7 ( ) ( ) 7. Se tienen tres lingotes cua coposición es la que aparece en la tabla. Se pide qué cantidad habrá de toarse de cada uno de ellos para obtener un nuevo lingote de g de oro, 6 g de plata 67 g de cobre. LINGOTE ORO PLATA COBRE A g g g B g g g C g g 9 g - -
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. LINGOTE ORO PLATA COBRE A 9 9 9 Para resolver el problea necesitaos la proporción que de cada uno de los etales tiene e el lingotes B C 9 8 Si son los graos que se toa del lingote A, los que toaos del B los del C, el problea se reduce a resolver el sistea: 9 9 9 9 8 6 67 8. La tabla adjunta uestra el núero de unidades/grao de vitainas A, B, C que posee por unidad de peso cada uno de los productos P, Q, R S. a) Analiar si puede elaborarse dietas en las que entren todos los productos que contenga unidades de vitaina A, de vitaina B 6 de vitaina C. Cuántas ha? b) En función de la cantidad del producto Q que entra en la dieta, obtener las cantidades de los otros productos. A B C P Q R S Toando coo incógnitas: t t g de P g de Q, resulta el sistea: g de R g de S t t t t 6 t C C 6 6 6 El sistea es copatible indeterinado tiene tantas soluciones coo valores podaos dar a una de las incógnitas. En este caso nos piden dar las distintas solucione en función de : t 6 t 6 t t 8 Coo tienen que entrar todos los productos, los valores de estas cantidades tienen que ser todas aores que cero. Esto ocurre si: t 6 > <. Luego debe verificar: < < - -
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones.. Una fábrica de electrodoésticos tiene una producción seanal fija de unidades. La fábrica abastece a estableciientos que deandan toda la producción. En una deterinada seana, el prier estableciiento solicitó tantas unidades coo el segundo el tercero juntos, ientras que el segundo estableciiento pidió un % ás que la sua de la itad de lo pedido por el priero ás la tercera parte de lo pedido por el tercero. Cuáles fueron las cantidades solicitadas por los tres estableciientos?. pidió el prier estableciiento Resolviendo el sistea:, 6 el segundo el tercero. Se va a confeccionar una dieta con tres clases de alientos, A, B C. El aliento A tiene calorías por cada gr, el B tiene calorías cada gr el C calorías por cada gr.: a) Si la dieta consta de G graos de alientos por día, está reducida eactaente a 8 calorías la cantidad de aliento A ingerida debe ser el doble en peso que la C, hallar en función de G las cantidades que debe ingerirse de cada uno de los alienots b) Hallar los valores entre los que está coprendido G para que las condiciones eigidas a la dieta se puedan cuplir. G ( G 8) Se trata de resolver:,,, 8 ( G) graos de cada aliento. G 8 Para que la dieta se pueda realiar todos los valores deben ser positivos para ello es preciso que 8 < G <. Cierta epresa periodística tiene 6 illones de entradas al año entre ventas, publicidad subvenciones. Si auenta el % en la publicidad, esto le ocasiona un increento del % en las ventas una cierta disinución en la subvención, con lo cual las entradas disinuen en illones A fin de antenerse en los 6 illones de entradas, el director piensa toar una de las siguientes decisiones: a) Reducir la publicidad inicial al %, con lo cual disinuiría la subvención en un % las ventas se antendrían. b) Reducir la publicidad inicial en un %, con lo cual las ventas se antendrían la subvención auentaría en un %. Cuál de las dos decisiones es la correcta? Si es el dinero ingresado por ventas, por publicidad por subvenciones, Los datos del problea nos dicen que el sistea es copatible para cierto <, puesto que son 6,, 6 dos hechos que nos aseguran se dan. - -
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. Cada unas de las opciones planteadas por el director, conducen a una ecuación, que debeos eigir sea copatible con las anteriores. La priera opción da lugar a la ecuación:,,9 6. Esta ecuación es incopatible con la priera de las anteriores para valores positivos de las incógnitas, pues si dos de los conceptos se reducen el otro se antiene, es iposible conseguir las isas entradas. La segunda posibilidad nos proporciona la ecuación:,6, 6. Esta sí puede ser una decisión correcta, pues la pérdida en publicidad puede ser copensada por el auento de la subvención. 6. Un especulador adquiere objetos de arte por un precio total de onedas de oro. Vendiéndolos, espera obtener de ellos una ganancias del %, del % del % respectivaente, con lo que su beneficio total sería de 6 onedas de oro. Pero consigue ás, pues con la venta obtiene ganancias del 8%, 9% 8% respectivaente, lo que arroja un beneficio total de 7 onedas de oro, cuánto le costó cada objeto? Si, son los precios de cada uno de los objetos, el sistea que teneos es:,,, 6,8,9,8 7 7. Un alacenista dispone de tres tipos de café: el A a 98 ptas. Kg, el B a 87 ptas. Kg. el C a 9 ptas. Kg. Desea hacer una ecla con los tres tipos de café para suinistrar un pedido de Kg. a un precio de 9 ptas. Kg. Cuántos Kg de cada tipo debe eclar, sabiendo que debe poner del tercer tipo el doble de lo que ponga del priero del segundo juntos?. Una ecuación la sacaos de la cantidad de café, la segunda del precio total de la ecla la tercera de la condición que debe cuplir ésta.. 98 87 9 987 ( ) 7 Kg del tipo A Kg del tipo B Kg del tipo C 8. Se dispone de tres cajas A,B C con onedas de ptas. Se sabe que en total ha.6 ptas. El núero de onedas de A ecede en a la sua de las onedas de las otras dos cajas. Si se traslada una oneda de la caja B a la caja A, ésta tendrá el doble de onedas que B. Averiguar cuántas onedas ha en cada caja. - 6 -
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones. A B C Ecuación Situación real 6 Supuesto ( ) 6 9 6 9. Calcular las edades actuales de una adre sus dos hijos sabiendo que hace años la edad de la adre era veces la sua de las edades de los hijos en aquel oento; que dentro de años la edad de la adre será la sua de las edades que los hijos tendrán en ese oento que cuando el hijo aor tenga la edad actual de la adre, el hijo enor tendrá años. Madrid. Junio Siendo la edad de la adre, la del hijo aor la del enor, las tres condiciones necesarias para resolver el problea se plantean en tres instantes distintos: hace años, dentro de años cuando la edad del hijo aor coincida con la edad actual de la adre, o lo que es lo iso, dentro de - años. La edad de cada uno de ellos en sesos oentos es la reflejada en la tabla. Hace años Dentro de Dentro de - Madre Hijo aor Hijo enor ( 8) años la adre 8 años el hijo aor 6 años el hijo enor. Un aorista del sector turístico vende a la agencia de viajes A billetes de destinos nacionales, viajes a destinos etranjeros europeos counitarios viajes a destinos no counitarios, cobrando por todo ello.. A una segunda agencia B le vende billetes nacionales no counitarios, cobrando.. inalente, a una tercera agencia C le vende billetes a destinos nacionales a etranjeros counitarios, cobrando 7.. Se pide: a) Hallar precio de cada tipo de billete. b) Por raones de ercado, el aorista se ve obligado a bajar un % el precio de todos los billetes nacionales. Hallar el porcentaje que debe increentar el precio de los billetes a destinos etranjeros counitarios, suponiendo que el precio de los destinos no counitarios no varía, para que el ingreso total por ventas a las tres agencias se antenga constante. Madrid: septiebre de a) Para responder al prier apartado basta resolver el sistea: - 7 -
Maite Gonále Juarrero Sisteas de ecuaciones... 7. siendo el precio de los destinos nacionales, el de los counitarios no nacionales los no counitarios. b) El aorista tiene que seguir ingresando los. que suponen todas las ventas, de los cuales,. seguirán procediendo de los destinos no counitarios. Al reducirse un % el precio de los destinos nacionales, pasa a costar cada uno, por lo que en este concepto ingresará ahora 7.. Por los billetes counitarios no nacionales debe ingresar.. 9.8, es decir cada uno de ellos debe pasar a costar 9, lo que supone un auento del, %. Por la copra de cinco cuadernos, dos rotuladores tres bolígrafos se han pagado veintidós euros. Si se copran dos cuadernos, un rotulador seis bolígrafos, el coste es de euros. Se pide: a) Epresar, en función del precio de un bolígrafo, lo que costaría un cuaderno lo que costaría un rotulador. b) Calcular lo que deberíaos pagar si adquirios ocho cuadernos tres rotuladores. Junio de a) Llaando: precio un cuaderno, precio un rotulador precio un bolígrafo, el enun- 6 ciado no perite plantear el siguiente sistea de ecuaciones: 9 6 9 6 6 6 6 El sistea es equivalente a: 9 6 6 9 6 6 Un cuaderno cuesta lo que nueve bolígrafos, enos 6 ; un rotulador cuesta 6 enos el precio de bolígrafos. b) 8 6 9 8 8 7 6 78 7 8 Ocho cuadernos tres rotuladores cuestan - 8 -