Introducción Francico M. González-Longatt, Septiembre 007 Capítulo 5 Lugar Geométrico de la Raíce La caracterítica báica de la repueta tranitoria de un itema en lazo cerrado e relaciona etrechamente con la ubicación de lo polo en lazo cerrado. Si el itema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de lo polo en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Por tanto, e importante que el dieñador conozca cómo e mueven lo polo en lazo cerrado en el plano conforme varía la ganancia de lazo. Dede el punto de vita del dieño, un imple ajute de la ganancia en alguno itema mueve lo polo en lazo cerrado a la poicione deeada. A continuación el problema de dieño e centra en la elección de un valor de ganancia adecuada. Si el ajute de la ganancia no produce por í olo un reultado conveniente, erá neceario agregar al itema un compenador. Lo polo en lazo cerrado on la raíce de la ecuación caracterítica. Si éta tiene un grado uperior a, e muy laborioo encontrar u raíce y e requerirá de una olución con computadora. Sin embargo, implemente encontrar la raíce de la ecuación caracterítica puede tener un valor limitado, debido a que, conforme varía la ganancia de la función de tranferencia en lazo abierto, la ecuación caracterítica cambia y deben repetire lo cálculo. W. R. Evan dieñó un método encillo para encontrar la raíce de la ecuación caracterítica, que e ua ampliamente en la ingeniería de control. Ete método e denomina método del lugar geométrico de la raíce, y en él e grafican la raíce de la ecuación caracterítica para todo lo valore de un parámetro del itema. Método del Lugar Geométrico de la Raíce La idea báica detrá del método del lugar geométrico de la raíce e que lo valore de que hacen que la función de tranferencia alrededor del lazo ea igual a - 1 deben atifacer la ecuación caracterítica del itema. El método debe u nombre al lugar geométrico de la raíce de la ecuación caracterítica del itema en lazo cerrado conforme la ganancia varía de cero a infinito. Dicha gráfica muetra claramente cómo contribuye cada polo o cero en lazo abierto a la poicione de lo polo en lazo cerrado. Al dieñar un itema de control lineal, el método del lugar geométrico de la raíce reulta muy útil, dado que indica la forma en la que deben modificare lo polo y cero en lazo abierto para que la repueta cumpla la epecificacione de deempeño del itema. Alguno itema de control pueden tener má de un parámetro que deba ajutare. El diagrama del lugar geométrico de la raíce, para un itema que tiene parámetro múltiple, e contruye variando un parámetro a la vez. En la mayor parte de lo cao, el parámetro del itema e la ganancia de lazo, aunque el parámetro puede er cualquier otra variable del itema. Si el dieñador igue la regla generale para contruir lo lugare geométrico, le reultará encillo trazar lo lugare geométrico de la raíce de un itema epecífico. Debido a que generar lo lugare geométrico de la raíce uando MATLAB e muy imple, e podría penar que trazar lo lugare geométrico de la raíce en forma manual e una pérdida de tiempo y efuerzo. Sin embargo, una buena forma de interpretar lo lugare geométrico generado por la computadora e adquirir la experiencia de trazar lo lugare geométrico en forma manual, coa que, ademá, proporciona con mucha rapidez una idea global de lo lugare geométrico. Solo para er empleado con objetivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción total o parcial de ete documento. Derecho de Autor Reervado. Copyright 007. Francico M. Gonzalez-Longatt. fglongatt@ieee.org
Lugar Geometrico de la Raice Grafica del Lugar Geométrico de la Raíce Solo para er empleado con objetivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción total o parcial de ete documento. Derecho de Autor Reervado. Copyright 007. Francico M. Gonzalez-Longatt. fglongatt@ieee.org Condicione de Angulo y Magnitud Conidere el itema de control realimentado motrado en la Figura iguiente. R () + C( ) G( ) H ( ) Figura 1. Sitema de Control Realimentado La función de tranferencia de lazo cerrado e: ( ) () ( ) () H () C G = R 1+ G La ecuación caracterítica para ete itema en lazo cerrado e obtiene haciendo que el denominador del egundo miembro de la ecuación anterior ea igual a cero. G ( ) H ( ) 0 ( ) H ( ) = 1 1 + = G Lo valore de que cumplen tanto la condicione de ángulo como la de magnitud on la raíce de la ecuación caracterítica, o lo polo en lazo cerrado. El lugar geométrico de la raíce e una gráfica de lo punto del plano complejo que ólo atifacen la condición de ángulo. La raíce de la ecuación caracterítica (lo polo en lazo cerrado) que correponden a un valor epecífico de la ganancia e determinan a partir de la condición de magnitud. En mucho cao, G()H() contiene un parámetro de ganancia, y la ecuación caracterítica e ecribe como: 1 + ( + z1 )( + z ) ( + zm ) ( + p )( + p ) ( + p ) 1 Entonce, lo lugare geométrico de la raíce para el itema on lo lugare geométrico de lo polo en lazo cerrado conforme la ganancia varía de cero a infinito. Oberve que, para empezar a trazar lo lugare geométrico de la raíce de un itema mediante el método analizado aquí, e debe conocer la ubicación de lo polo y lo cero de G()H(). Recuerde que lo ángulo de la cantidade compleja que e originan a partir de lo polo y lo cero en lazo abierto para el punto de prueba e miden en entido contrario al de la manecilla del reloj. Por ejemplo i G()H() e obtiene mediante: G () H () = ( + z1 ) ( + p )( + p )( + p )( + p ) 1 En ete cao, -p, -p, on polo complejo conjugado de G()H() e: G ( ) H ( ) = φ1 θ1 θ θ θ4 En donde lo ángulo φ1, θ1, θ, θ, θ4 e miden en entido contrario a la manecilla del reloj, como e aprecia en la Figura (a) y (b). n 4 Francico M. González-Longatt, Septiembre 007
Teoría de Control jω jω A 4 B 1 θ φ1 4 p 4 z 1 A A p p p 1 Francico M. González-Longatt, Septiembre 007 θ A 1 θ σ θ 4 p 4 z 1 θ Punto de Prueba φ 1 p (a) (b) Figura. Diagrama que muetran la medición de ángulo de lo polo y lo cero en lazo abierto para el punto de prueba. Mientra que la magnitud de la función de tranferencia G()H() e B1 G () H () = A1 A A A4 En donde A 1, A, A, A 4 y B 1 on magnitude de la cantidade compleja +p 1, +p, +p, +p 4, y +z 1, repectivamente egún la Figura (a). Oberve que, debido a que lo polo complejo conjugado y lo cero complejo conjugado en lazo abierto, i exiten, iempre e ubican imétricamente con repecto al eje real, lo lugare geométrico de la raíce iempre on imétrico con repecto a ete eje. Por tanto, ólo e neceario contruir la mitad uperior de lo lugare geométrico de la raíce y dibujar la imagen epejo de la mitad uperior en el plano inferior. Ejemplo A continuación e preentarán do ejemplo tomado del libro. Ogata [1], para contruir gráfica del lugar geométrico de la raíce. Aunque lo enfoque baado en computadora reultan muy encillo para la contrucción de lo lugare geométrico de la raíce, aquí e uará el cálculo gráfico, combinado con una inpección, para determinar lo lugare geométrico de la raíce en lo que deben ubicare la raíce de la ecuación caracterítica del itema en lazo cerrado. Ete enfoque gráfico ayudará a comprender mejor cómo e mueven lo polo en lazo cerrado en el plano complejo conforme lo polo y lo cero en lazo abierto e mueven. Aunque ólo uaremo itema imple como ejemplo, el procedimiento para encontrar lo lugare geométrico de la raíce no e má complicado para itema de orden uperior. El primer pao en el procedimiento para contruir una gráfica del lugar geométrico de la raíce e bucar lo lugare geométrico de la raíce poible uando la condición de ángulo. A continuación, i e neceario, e ecala o e gradúa la ecala de lo lugare geométrico en la ganancia mediante la condición de magnitud. Debido a que la medicione gráfica de ángulo y magnitude etán implícita en el análii, e hace neceario uar la mima diviione en el eje de la abcia y en el de la ordenada, cuando e tracen lo lugare geométrico de la raíce obre papel para gráfica. p θ p 1 θ 1 σ Solo para er empleado con objetivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción total o parcial de ete documento. Derecho de Autor Reervado. Copyright 007. Francico M. Gonzalez-Longatt. fglongatt@ieee.org
4 Lugar Geometrico de la Raice Solo para er empleado con objetivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción total o parcial de ete documento. Derecho de Autor Reervado. Copyright 007. Francico M. Gonzalez-Longatt. fglongatt@ieee.org Ejemplo 1. Tomado de. Ogata [1] Conidere el itema de la Figura, e upone que el valor de la ganancia e no negativo. R () + C( ) ( + 1 )( + ) Figura. Sitema de control para el Ejemplo 1[1] Para ete itema e tiene: G () =, H ( ) = 1 ( +1 )( + ) Se trazará la gráfica del lugar geométrico de la raíce y depué e determinará el valor de tal que el factor de amortiguamiento relativo ξ de lo polo dominante complejo conjugado en lazo abierto ea 0.5. Para el itema motrado, la condición de ángulo e convierte en: G = ±180 k + o G () = ( +1 )( + ) ( ) = ( + 1 ) ( + ) ( 1), para k = 1,, Un procedimiento común para trazar la grafica del lugar geométrico de la raíce e el iguiente: Determine lo lugare geométrico de la raíce obre el eje real. El primer pao al contruir una gráfica del lugar geométrico e ubicar lo polo en lazo abierto, = 0, = -1 y = -, en el plano complejo. (En ete itema no hay cero en lazo abierto.) La ubicacione de lo polo en lazo abierto e eñalan mediante cruce. (Se ha eleccionado la ubicacione de lo cero en laxo abierto con círculo pequeño.) Oberve que lo punto iniciale de lo lugare geométrico de la raíce (lo punto que correponden a = 0) on lo polo en lazo abierto. Lo lugare geométrico de raíce individuale para ete itema on tre, lo cual e igual al número de polo en lazo abierto. Para determinar lo lugare geométrico de la raíce obre el eje real, e elecciona un punto de prueba,. Si el punto de prueba etá en el eje real poitivo, entonce: = ( + 1 ) = ( + ) = 0 Eto demuetra que no e poible atifacer la condición de ángulo. Por tanto, no hay un lugar geométrico de la raíce obre el eje real poitivo. A continuación, e elecciona un punto de prueba obre el eje real negativo entre 0 y -1. Aí: = 180 ( + 1) = 0 ( + ) = 0 Por tanto: ( + 1) ( + ) = 180 y e atiface la condición de ángulo. Aí, la parte del eje real negativo entre 0 y - 1 forma parte del lugar geométrico de la raíce. Si e elecciona un punto de prueba entre -1 y -, entonce: = ( + 1) = 180 ( + ) = 0 Y + 1 + = ( ) ( ) 60 Se oberva que no e atiface la condición de ángulo. Por tanto, el eje real negativo de -1 a - no e parte del lugar geométrico de la raíce. Aimimo, i e ubica un punto de prueba obre el eje real negativo de - a -, e atiface la condición de ángulo. Por tanto, exiten lugare geométrico de la raíce obre el eje real negativo entre 0 y -1 y entre - y -.. Determine la aíntota de lo lugare geométrico de la raíce. La aíntota de lo lugare geométrico de la raíce, conforme tiende a infinito, e determinan del modo iguiente: i e elecciona un punto de prueba muy lejano al origen, entonce: lim[ G() ] = lim = lim ( )( ) + + 1 Francico M. González-Longatt, Septiembre 007
Teoría de Control 5 Y la condición de ángulo e convierte e: o = ± 180 ( k + 1), para k = 0, 1,, O bien, o ± 180 ( k + 1) Angulo de Aintota = para k = 0, 1,, Dado que el ángulo e repite a í mimo conforme varía, lo ángulo ditinto para la aíntota e determinan como 60, -60 y 180. Por tanto, hay tre aíntota. La única que tiene el ángulo de 180 e el eje real negativo. Ante de dibujar eta aíntota en el plano complejo, e debe encontrar el punto en el cual interectan el eje real. Dado que: G () = ( +1 )( + ) Si un punto de prueba e ubica lejo del origen, G() e ecribe como: G () = + + Dado que la ecuación caracterítica e: G ( ) = 1 De tal modo, que la ecuación caracterítica puede ecribire: + +... = Para un valor grande de, eta última ecuación e aproxima mediante: ( +1) = 0 Si la báica de la interección de la auntota y el eje real e repreenta mediante = -σ a, entonce: σ a = -1 Y el punto de origen de la auntota e (-1,0). La aintota on cai parte de lo lugare geométrico de la raíce, en regione muy lejana al oriente.. Determine el punto de ruptura o deprendimiento. Para trazar con preciión lo lugare geométrico de la raíce, debemo encontrar el punto de deprendimiento, a partir del cual la ramificacione del lugar geométrico que e originan en lo polo en 0 y -1 (conforme aumenta) e alejan del eje real y e mueven obre plano complejo. El punto de deprendimiento correponde a un punto en el plano en el cual ocurren raíce múltiple de la ecuación caracterítica. Exite un método encillo para encontrar el punto de deprendimiento y lo preentamo a continuación: ecriba la ecuación caracterítica como. Francico M. González-Longatt, Septiembre 007 ( ) = B( ) + A( ) = 0 f En donde A() y B() no contienen. Oberve que f() = 0, tienen raíce múltiple en lo punto donde: df ( ) = 0 d Eto e oberva del modo iguiente: upóngae que f() tiene raíce múltiple de un orden r. En ete cao, f() e decribe como: f ( ) = ( 1 )( ) ( n ) Si e deriva eta ecuación repecto a la variable, y e etablece = 1, e obtiene: df ( ) = 0 d =1 Eto ignifica que múltiple raíce de f(). df ( ) = B' () + A' () = 0 d en donde: da () ( ) db A ' =, () ( ) B ' = d d El valor epecifico de que producirá raíce múltiple de la ecuación caracterítica: B' ( ) = A' () Si utituimo ete valor de en la ecuación, e obtiene: B' () () ( ) f = B = 0 A' () Solo para er empleado con objetivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción total o parcial de ete documento. Derecho de Autor Reervado. Copyright 007. Francico M. Gonzalez-Longatt. fglongatt@ieee.org
6 Lugar Geometrico de la Raice Solo para er empleado con objetivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción total o parcial de ete documento. Derecho de Autor Reervado. Copyright 007. Francico M. Gonzalez-Longatt. fglongatt@ieee.org o bien: Se obtiene: y B d d ( ) A' ( ) B' ( ) A( ) = 0 = B' = ( ) () B A ( ) A( ) B( ) A' ( ) A () Si d/d e hace igual a cero, obtenemo lo mimo que en la ecuación anterior. Por tanto, lo punto de deprendimiento e determinan encillamente a partir de la raíce de d = 0 d Dado que el punto de deprendimiento debe encontrare obre el lugar geométrico de la raíce entre 0 y - 1, e evidente que = -0.46 correponde al punto de deprendimiento real. El punto = -1.5774 no etá obre el lugar geométrico de la raíce. Por tanto, no e un punto de de-prendimiento o de ingreo real. De hecho, el cálculo de lo valore de que correponden a = -0.46 y = 1.5774 da por reultado = 0.849, para = -0.46 = -0.849, para = -1.5774 4. Determine lo punto en donde lo lugare geométrico de la raíce cruzan el eje imaginario. Eto punto e encuentran mediante el criterio de etabilidad de Routh, del modo iguiente: dado que la ecuación caracterítica para el itema actual e: + + + = 0 El arreglo de Routh e convierte en: 1 1 6 0 El valor de que iguala con cero el término ' de la primera columna e = 6. Lo punto de cruce con el eje imaginario e encuentran depué depejando la ecuación auxiliar obtenida del renglón ; e decir, + + + = 0 Lo cual produce, = ± j La frecuencia en lo punto de cruce con el eje imaginario on, por tanto, ω = ±. El valor de ganancia que correponde a lo punto de cruce e = 6. Un enfoque alternativo e uponer que = jω en la ecuación caracterítica, igualar con cero tanto la parte imaginaria como la parte como la real y depué depejar ω y. Para el itema actual, la ecuación caracterítica, con = jω, e ( j ω) + ( jω) + j( ω ω ) = 0 O bien: ω = 0 ω ω = 0 A partir de lo cual, ω = ± = 6 u ω = 0 = 0 Por tanto, lo lugare geométrico de la raíce cruzan el eje imaginario en ω = ±, y el valor de en lo punto de cruce e 6. Aimimo, una ramificación del lugar geométrico de la raíce obre el eje real tocará el eje imaginario en ω = 0. 5. Seleccione un punto de prueba en una vecindad amplia del eje = jω y el origen, como e muetra en la Figura 4, y aplique la condición de ángulo. Francico M. González-Longatt, Septiembre 007
Teoría de Control 7 + +1 1 Francico M. González-Longatt, Septiembre 007 θ Figura 4. Contrucción de un lugar geométrico de la raíce Si un punto de prueba etá obre lo lugare geométrico de la raíce, la uma de lo tre ángulo, θ + θ +, debe er 180. Si el punto de prueba no atiface la condición de ángulo, eleccione otro 1 θ hata que e cumpla tal condición. (La uma de lo ángulo en el punto de prueba indicará en qué dirección debe movere el punto de prueba.) Continúe ete proceo y ubique una cantidad uficiente de punto que atifagan la condición de ángulo. 6. Dibuje lo lugare geométrico de la raíce, con bae en la información obtenida en lo pao anteriore, tal como e muetra en la Figura 5. = 6 = 1.08 60 θ 1 jω jω 0 0 j θ 1 j1 j1 j j1 j1 σ = 6 = 1.08 Figura 5. Grafica del lugar geométrico de la raíce 7. Determine un par de polo dominante complejo conjugado en lazo cerrado tale que el factor de amortiguamiento relativo ξ ea 0.5. Lo polo en lazo cerrado con ξ = 0.5 e encuentran obre la línea que paan por el origen y forman lo ángulo ±co -1 ξ, = ±co -1 0.5 = ±60 con el eje real negativo. A partir de la Figura 5, tale polo en lazo cerrado con = 0.5 e obtienen del modo iguiente: 1 = -0.7 + j0-5780, = -0.7 - j El valor de que producen tale polo e encuentra a partir de la condición de magnitud, del modo iguiente: = ( + 1)( + ) = 0.7+ j0. 5750 Uando ete valor de, el tercer polo e encuentra en = -.6. Oberve que, a partir del pao 4, e aprecia que para = 6, lo polo dominante en lazo cerrado e encuentran obre el eje imaginario en = ±. Con ete valor de, el itema exhibirá ocilacione σ Solo para er empleado con objetivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción total o parcial de ete documento. Derecho de Autor Reervado. Copyright 007. Francico M. Gonzalez-Longatt. fglongatt@ieee.org
8 Lugar Geometrico de la Raice otenida. Para > 6, lo polo dominante en lazo cerrado e encuentran en el emiplano derecho del plano, produciendo un itema inetable. Solo para er empleado con objetivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción total o parcial de ete documento. Derecho de Autor Reervado. Copyright 007. Francico M. Gonzalez-Longatt. fglongatt@ieee.org Por último, obérvee que, i e neceario, e etablece con facilidad la graduación de lo lugare geométrico de la raíce en término de mediante la condición de magnitud. Sencillamente e elecciona un punto obre un lugar geométrico de la raíce, e miden la magnitude de la tre cantidade compleja, + 1 y + y e multiplica eta magnitude; el producto e igual al valor de la ganancia en tal punto, o bien. + 1 + = Aplicando Matlab >> ym >> den=*(+1)*(+) den = *(+1)*(+) >> expand(den) an = ^+*^+* >> GH=tf([1],[1 0]) Tranfer function: 1 ----------------- ^ + ^ + >> rlocu(gh) Finalmente el diagrama del lugar geométrico de la raíce del itema coniderado, reulta: Imaginary Axi 4 1 0-1 - - Root Locu -4-6 -5-4 - - -1 0 1 Real Axi Figura 6. Grafica del lugar geométrico de la raíce, Trazado haciendo uo de Matlab Referencia Documentale [1] Ogata,., Ingeniería de Control Moderna, Prentice Hall, 1980. Nota Epecial El autor quiere hacer del conocimiento público, que ete documento no e inédito. Ete documento e una adecuación en cierta medida del texto Ingenieria de Control Moderna de atuhiko Ogata. En cierta, medida el autor lo que ha tratado de implificar la redacción original. De igual modo, el autor deea hacer del conocimiento del lector que ete documento no ha ido reviado por nadie, y e poible que contenga Francico M. González-Longatt, Septiembre 007
Teoría de Control 9 errore. En cuyo cao, ante cualquier dicrepancia cognitiva, por favor comunicare con el autor. La aportacione del lector on de mucho interé para el autor, a fin de dearrollar un material de calidad y depurado para la futura generacione. Francico M. González-Longatt, Septiembre 007 Francico M. González-Longatt Solo para er empleado con objetivo de evaluación, o académico. Prohibido la reproducción total o parcial de ete documento. Derecho de Autor Reervado. Copyright 007. Francico M. Gonzalez-Longatt. fglongatt@ieee.org