chritianq@uninorte.edu.co Departamento de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Univeridad del Norte
El problema má importante de lo itema de control lineal tiene que ver con la etabilidad. Un itema de control e etable i y olo i todo lo polo en lazo cerrado e encuentran en el emiplano izquierdo del plano. La mayoría de lo itema lineale en lazo cerrado tienen funcione de tranferencia en lazo cerrado de la forma: m n C () b aybcontante + b + + bm + bm B () = = n n R ( ) a + a + + a + a A ( ) m n n Un criterio imple, conocido como el Criterio de Routh,, permite determinar la cantidad de polo en lazo cerrado que e encuentran en el emiplano derecho del plano in tener que factorizar el polinomio. n
PROCEDIMIENTO Ecribir el polinomio en de la iguiente forma: a + a + + a + a = ; a n n n n n Si alguno de lo coeficiente e cero o negativo, ante la preencia de al meno un coeficiente i poitivo, hay una raíz oraíce imaginariai i que tienen parte reale poitiva. En tal cao el itema no e etable. Si olo interea la etabilidad aboluta, no e neceario continuar con el procedimiento. Entonce, todo lo coeficiente deben er POSITIVOS, etoe una condición necearia má no uficiente para aegurar la etabilidad.
Si todo lo coeficiente on poitivo, e ordenan lo coeficiente del polinomio en fila y columna de acuerdo con el patrón iguiente: a a a a n 4 6 n a a a5 a7 n b b b b4 n c c c c4 n 4 d d d d4 M M M e e f g
a a a a n 4 6 n a a a5 a7 n b b b b4 n c c c c4 n 4 d d d d4 M M M e e f g El proceo de formar fila continúa hata que no quedan má elemento. Donde: b b b M = = = aa aa a aa a aa a aa 4 5 aa 6 7 c c c M = = = ba ab b ab b ab b ba 5 ba 7 4 d d M = = cb bc c bc c cb
El criterio plantea que el número de raíce del polinomio con parte reale poitiva e igual al número de cambio de igno de lo coeficiente de la primera columna del array. No eneceario conocer lo valore exacto de lo término de la primera columna, olo e neceitan lo igno. La condición necearia y uficiente para que toda la raíce del polinomio e encuentren en el emiplano izquierdo del plano e que lo coeficiente del polinomio ean poitivo y que todo lo término de laprimera columna del array tengan igno poitivo.
EJEMPLO: Aplicar el criterio de etabilidad de Routh al iguiente polinomio: Donde a, a, a, a on poitivo: a a a a + + + = a a a a aa aa a a La condición de que toda la raíce tengan parte reale negativa e obtiene mediante: aa > aa
EJEMPLO: Aplicar el criterio de etabilidad de Routh al iguiente polinomio: 4 + + + 4 + 5= 4 5 / 4/ / Se divide entre / / / 5 5 Hay do cambio de igno en lo coeficiente de la primera columna. Eto ignifica que exiten do raíce con parte reale poitiva. El reultado no e modifica cuando lo coeficiente de cualquier fila e multiplican por, o e dividen entre, un número poitivo para implificar el cálculo.
CASOS ESPECIALES Si el término de la primera columna de cualquier fila e cero, pero lo término retante no on cero, o no hay término retante, el término retante e utituye con un número poitivo muy pequeño ε yeevalúa el reto del array. EJEMPLO: + + + = ε Si el igno del coeficiente que etá encima del cero (ε) e el mimo que el igno que etá debajo de él, quiere decir que hay un par de raíce imaginaria. En ete cao, = ± j Sinembargo,ielignodelcoeficientequeetáencimadel cero (ε) e opueto al que etá debajo, quiere decir que hay un cambio de igno.
EJEMPLO: Aplicar el criterio de etabilidad de Routh al iguiente polinomio: + = ( ) ( + ) = Un cambio de igno Un cambio de igno ε ε Hay do cambio de igno en lo coeficiente de la primera columna que coincide con el reultado correcto indicado por la forma factorizada de la ecuación polinomial.
Si todo lo coeficiente de cualquier fila on cero, ignifica que exiten raíce de igual magnitud que e encuentran radialmente opueta en el plano, e decir, do raíce con magnitude iguale y igno opueto y/o do raíce imaginaria conjugada. En ete cao, la evaluación del reto del arreglo continúa mediante la formación de un polinomio auxiliar con lo coeficiente de la última fila y mediante el empleo de lo coeficiente de la derivada de ete polinomio en la fila iguiente. Tale raíce con magnitude iguale y radialmente opueta en el plano e encuentran depejando pj el polinomio auxiliar, que iempre e par. Para un polinomio auxiliar de grado n, exitenn pare de raíce iguale y opueta.
EJEMPLO: 5 4 + + 4 + 48 5 5= 5 4 4 5 48 5 Polinomio auxiliar P() Todo lo término del renglón on cero. Tal cao ocurre ólo en una fila numerada impar. Se forma el polinomio auxiliar a partir de lo coeficiente del renglón 4. P 4 () = + 48 5 Lo cual indica que hay do pare de raíce de igual magnitud y igno opueto (do raíce reale con la mima magnitud pero igno opueto o do raíce compleja conjugada en el eje imaginario).
dp() d La derivada de P() e: = 8 + 96 Lo coeficiente de la última ecuación, 8 y 96, utituyen lo término de la fila 5 4 4 5 48 5 8 96 4 5.7 5 d P d Coeficiente de () Hay un cambio de igno en la primera columna del array nuevo. Por tanto, la ecuación original tiene una raíz con una partereal poitiva. 4 la raíce de la ecuación + 48 5= dl del polinomio i auxiliar: =, = 5 =±, =± j5
Lo do pare de raíce de P() on una parte de la raíce de la ecuación original. Luego, la ecuación original e ecribe en forma factorizada: ( + )( )( + j5)( j5)( + ) = Raíz con parte real poitiva APLICACIÓN DEL CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH AL ANÁLISIS DE UN SISTEMA DE CONTROL El criterio de Routh tiene una utilidad limitada en el análii de un itema de control lineal, porque no ugiere cómo mejorar la etabilidad ni cómo etabilizar tbili un itema it inetable. Sin embargo, e poible determinar lo efecto de cambiar uno odoparámetro del itema i e examinan lo valore que producen inetabilidad.
EJEMPLO: Determinar el rango de valore de K para la etabilidad del itema. C () K = R() ( + + )( + ) + K El array de coeficiente e convierten en: 4 La ecuación caracterítica e: 4 K 7/ K 9 7K K + + + + K =
Para etabilidad K debe er poitivo y todo lo coeficiente de la primera columna deben db erlo también. Por tanto, t 4 9 > K > Cuando K=4/9 el itema e vuelve ocilatorio y matemáticamente la ocilación e mantiene en una amplitud contante. Lo rango de lo parámetro de dieño que conducen a la etabilidad Lo rango de lo parámetro de dieño que conducen a la etabilidad e pueden determinar utilizando el criterio de Routh.