Física 1 Facultad de Ciencias Exactas UNSa Año 2011 Tutorial 1: Magnitudes físicas. Introducción. Variables continuas y constantes. Número y unidades. Medición de una magnitud física. Edad, peso, altura. Valor promedio. Dispersión. Redondeo de datos. Distancia. Valor absoluto o módulo. Par más próximo. Notación científica. Cifras significativas. Cálculos. Funciones. Coordenadas rectangulares. Abscisas y ordenadas. Bibliografía para consulta: Estadística, de Murray R. Spiegel, McGraw-Hill. Capítulo 1. Introducción Magnitudes físicas Una variable es un símbolo, x, y, a, b, etc. que puede tomar un valor cualquiera de un conjunto, llamado dominio de la variable. Si solo puede tomar un valor, se llama constante. Una variable que puede tomar cualquier valor, se llama variable continua, si no es así, es discreta. Ejemplo 1: El peso de una persona puede ser 70 kg, 70,1 kg, 70,09 kg; lo mismo que su altura que puede ser 1,72 m, 1,723 m, etc. dependiendo de la exactitud de la medida o apreciación del instrumento (regla) que usemos. Son continuas. Obsérvese que además del número, acompaña una unidad (kg o m) escrita en forma abreviada (para indicar kilogramo y metro, respectivamente). Predicción 1: escriba los siguientes datos: edad en años, peso en kg, altura en m. Actividad 1: En la farmacia de la Obra Social de la UNSa hay una balanza que permite también medir la altura de las personas. Visite la misma, mida y anote su peso y altura, usando las unidades correspondientes. Esto se llama medir una magnitud física. En su caso, medir el peso o medir la altura. Actividad 2: describa por escrito, junto con otra persona, qué entiende por medir una magnitud física. Ejemplo 2: El número de hijos de una pareja puede ser 0, 1, 2, 3, 4, pero no puede ser 0,4; 1,3; 2,5; etc. Por lo tanto es una variable discreta. Actividad 3: enuncie más ejemplos de variables continuas y discretas. Busque constantes. Actividad 4: realice una tabla con los datos de las edades, los pesos y las alturas de sus compañeros del aula. Calcule: los promedios de las edades, pesos y alturas. Defina cómo calcula el promedio. En una columna nueva calcule la distancia entre cada dato (edad, peso, altura) y su promedio. Esto se llama dispersión. Calcule el promedio de la dispersión y el promedio de la dispersión absoluta. Use planilla de cálculo. Redondeo de datos El resultado de redondear un número como 72,8 al entero más próximo - o en unidades - es 73, pues 72,8 está más próximo a 73 que 72. Análogamente, 72,8146 redondeado hasta las centésimas (o sea con dos decimales) será 72,81 pues 72,8146 está más cerca de 72,81 que de 72,82. Actividad 5: calcule la distancia de 72,8146 a 72,82 y 72,81. Compare. Diga si distancia es lo mismo que dispersión. Actividad 6: defina cómo opera para calcular distancia entre dos números como los anteriores, explicando si es mejor determinar el valor absoluto o módulo (dispersión absoluta). Actividad 7: redondear 72,815 en centésimas y discutir cuál valor es el que corresponde, habida cuenta que se presenta el dilema que 72,815 es equidistante de 72,81 y 72,82. Tomar una decisión y compararla con determinar el par más próximo.
Actividad 8: Aplicando el criterio del par más próximo, redondear 72,465; 183,575 hasta las centésimas. Hacer lo mismo con 118.500.000 con una aproximación de millones. otación científica Actividad 9: completar: 10 1 = 10 2 = 10 3 = 10 4 = 10 5 = 10 8 = 10 0 = 10-1 = 10-2 = 10-3 = 10-4 = 10-10 = Actividad 10: escriba qué sucede cuando multiplica un número por 10 8 o por 10-8. Use un argumento que diga la coma se corre a la izquierda o derecha. Dé tres ejemplos. Actividad 11: enuncie y escriba las reglas para calcular potencias de igual base, tales como: (10 a )(10 b ) = 10 a 10 b = o (10 a )/(10 b ) = 10 a /10 b = 10 es la base, a y b exponentes. Actividad 12: calcular 10 3 10 2 ; 10 5 /10; (4.000.000)(0,000000002); (0,006)(80.000)/0,04 Cifras significativas Si una altura se registra como 1,72 m, significa que la verdadera altura se encuentra entre 1,715 m y 1,725 m. Las cifras o dígitos empleados, aparte de los ceros necesarios para localizar la coma o lugar decimal, se llaman cifras o dígitos significativos del número. Ejemplo 3: 1,72 m es una magnitud que tiene tres cifras significativas. Actividad 13: diga cuántas cifras significativas tienen los siguientes números: 4,5300; 0,0018; 0,001800; π. Tenga en cuenta que 0,0018=1,8 10-3 y 0,001800=1,800 10-3. Escriba el número 160.000.000 con cinco cifras significativas. Cálculos En cálculos que involucran productos, divisiones y raíces de números, el resultado final no puede tener más cifras significativas que el dato con menor número de ellas. Ejemplo 4: 73,24 4,52=3,31; 1,648/0,023=72; (38,7) 1/2 =6,22; (8,416)(50)=420,8 (si 50 es exacto). Ejemplo 5: Probar que el producto de 5.74 y 3.8, supuesto que tienen tres y dos cifras significativas, no puede lograrse con más de dos cifras significativas. Segundo método: con las cifras dudosas en cursiva, el producto es: 5.74 3.8 4592 1722 21.812
Ejemplo 6: 3,16+2,7=5,9; 83,42-72=11; 47,816-25=22,816 (si 25 es exacto). Ejemplo 7: Funciones Si a cada valor de una variable t le corresponde uno o más valores de otra variable x, decimos que x es función de t y escribimos: x=f(t) o x=x(t). Esto se lee x igual a f de t o x igual a x de t. Ejemplo 8: La posición x de un cuerpo es función del tiempo t. Se escribe: x=x(t). En una planilla de alumnos, a cada orden n le corresponde el D I d: n=n(d). Actividad 14: arme tres columnas, denominadas, ombre y apellido y D I entre los alumnos de su clase. Ordene según el D I e indique si puede hallar n=n(d). Grafique para ayudarse. Coordenadas rectangulares
Figura 1.1 Tutorial 2: Sistemas de unidades. Sistema métrico legal argentino (SIMELA). Teoría elemental de errores. Valor más probable. Error absoluto. Error porcentual. Sistemas de unidades Actividad 1: Busca en los siguientes sitios y estudia, realizando un cuadro sinóptico. http://es.wikipedia.org/wiki/sistema_de_unidades http://es.wikipedia.org/wiki/sistema_métrico_legal_argentino Teoría elemental de errores Para estudiar la teoría de errores en física, existen libros y apuntes que, de una manera relativamente extensa, la tratan generalmente al inicio del estudio universitario de la materia, como es nuestro caso. La experiencia pedagógica indica, sin embargo, que el alumno llega a detestar la física por causa de la teoría de errores. Teniendo esto en cuenta, vamos a ir al grano y a aplicar la teoría de errores, sin demorarnos demasiado en las (tediosas) definiciones. Por otro lado, como se puede constatar, los libros modernos de física eluden directamente el estudio de errores, en su gran mayoría. Seguramente, algún colega considerará este párrafo como poco serio pero, sin desear polemizar, es muy serio el desastre que se observa cuando los alumnos pasan por un tratamiento riguroso de la teoría de errores, al principio de su estudio de la física. Al igual que en el aprendizaje de un idioma, a la física se la debe ir aprendiendo paulatinamente, aumentando la precisión del lenguaje a medida que se avanza. Un rigorismo gramatical intolerante hace que alguien que desea hablar en ese nuevo idioma en su caso el de la Física, no se anime a generar idea alguna con sus propias palabras, porque permanentemente se lo está inhibiendo de hablar. Ello no implica que el pensamiento físico no se transmita con rigor.
A la fecha, más de treinta años tomando exámenes orales, hacen ver que la gran dificultad de los alumnos está en la (in)capacidad de transmitir sus ideas. Ello, en parte, debido a la intolerancia con que se los escucha cuando empiezan a incursionar en Física. Volviendo al tema de errores, nosotros vamos a estudiar algunos casos de medición en el laboratorio, sencillos al principio, para luego ir abarcando otros de mayor complejidad. Hacia el final de la actividad como científico, verá que la teoría de errores establece clasificaciones diversas, según los casos que se presentan experimentalmente y desde un punto de vista estadístico. Una de las ideas fundamentales que tiene que adquirir el alumno ahora es que toda medición se expresa de la forma: x = x p ± x, donde: x p es el valor más probable y x su error absoluto. Esto quiere decir que x, la expresión de la medición, está entre x p - x y x p + x. Por ejemplo, x = (4,10 ± 0,05) m. Propagación de errores Todo instrumento de medición ofrece limitaciones al proceso de medición que se traduce en el número de cifras significativas que provienen del que efectúa la medición como del objeto que queremos medir. Por lo tanto, no tenemos cómo asegurar que los valores obtenidos cuando medimos magnitudes físicas corresponden a un valor verdadero. Por ello, necesitamos determinar cuál es el grado de incertidumbre o error de la cantidad obtenida. Esta es la indeterminación o incerteza propia del proceso de medición y no lo tomamos como si fuera una equivocación del que mide u operador. Matemáticamente expresaremos el resultado de la medición como dijimos antes: x = x p ± x Esta expresión nos está indicando que el valor de la magnitud medida se encuentra comprendida en el intervalo de números reales comprendido entre x p - x y x p + x. Gráficamente: x p - x x p x p + x x Estudie: Al medir, los limitantes del número de cifras significativas son: el objeto, el instrumento, el sistema de referencia o patrón y el operador. El objeto es lo que se mide e, intrínsecamente, limita el número de cifras significativas que podemos recoger en la medición (no es lo mismo si es la longitud de una mesa o de una hormiga). El instrumento es el aparato que se usa y, de acuerdo con sus características, determinará también el número de cifras significativas (no es lo mismo una regla dividida en mm que otra en cm). El patrón, por el proceso de medición y de definición en la calibración del instrumento, condiciona la exactitud. El operador que interactúa con el instrumento y el objeto, también contribuye con las incertezas del proceso de medición. Error relativo: es el cociente entre el error absoluto y el valor más probable: E r = x / x p Se suele usar la letra griega épsilon en lugar de E: ε r = E r. Error porcentual: ε(%) = 100 ε r. Ejemplo: x = (4,10 ± 0,05) m implica ε(%) =?