Clase nº1 Funciones de forma Introducción al Método de los Elementos Finitos Tomando un elemento de volumen diferencial y poniendo en evidencia las fuerzas actuantes sobre cada una de las caras, así como la fuerza que actúa sobre el volumen (por ej. Gravitatoria, ElectroMagnética) podremos deducir las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en su formulación diferencial. En la figura 1 se muestran solamente las componentes actuantes en cada una de las caras en la dirección y. Figure 1. Elemento diferencial volumétrico Estamos en condiciones de plantear las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, que para el caso de la dirección y tendría el siguiente planteo Simplificando, la ecuación de equilibrio correspondiente a la dirección coordenada y quedaría de la siguiente manera Del mismo modo podríamos hacer con el resto de las direcciones obteniendo las ecuaciones de equilibrio del sistema
Una vez que tenemos las ecuaciones que gobiernan a nuestro cuerpo (ecuaciones de equilibrio), nuestro siguiente paso sería discretizarlas, pero introduciremos un paso intermedio que es hacer un planteo equivalente utilizando el principio de los trabajos virtuales El principio de los trabajos virtuales postula que ante la aplicación de un desplazamiento virtual (pequeño, posible y arbitrario), el trabajo virtual de las fuerzas externas debe ser igual al trabajo virtual de las fuerzas internas. En su formulación integral puede plantearse de la siguiente forma: (1) Esta es una ecuación con magnitudes vectoriales pero de naturaleza continua. Procedemos entonces ahora a discretizar nuestras variables. (y es acá donde nos vamos del terreno de la física descriptiva para pasar al área de los elementos finitos) En lugar de tener magnitudes continuas, asumimos que las tenemos definidas en los nodos, de modo que Luego de varios pasos de manipulación algebraica, la ecuación (1) queda del siguiente modo (2) En primer lugar, veamos la forma de H. Esta matriz proviene de discretizar los desplazamientos, entonces, para un elemento tetrahédrico tridimensional de 4 nodos, su forma será Analicemos el vector de fuerzas nodales superficiales equivalentes (Rs)
(3) Las fuerzas estarán aplicadas sobre uno de los lados, es decir que en el caso bidimensional y según las coordenadas naturales definidas, cada uno de los lados estaría identificado por r=1, r=-1, s=1 y s=-1 s=1 s r r=-1 r=1 s=-1 Analicemos entonces cada uno de las magnitudes del integrando de la ecuación (3). - es la matriz que definimos anteriormente (recordar que su tamaño y forma de ordenamiento depende de las dimensiones con las que trabajemos y los números de nodos de los elementos), pero evaluada en la superficie que se desea integrar. - es el vector continuo de fuerza superficial, y será distinto según estemos en un problema bidimensional o tridimensional. Caso 2D Caso 3D Entonces, para este caso lo único que se debe hacer es reemplazar x y z por sus respectivas funciones interpoladas de r, s y t (coordenadas naturales). Nota: Realizamos un cambio de coordenadas de cartesianas a naturales para movernos dentro del elemento. Por qué lo hicimos? 1) Los límites del elemento, coinciden con las líneas coordenadas 2) Los límites de integración quedarían entre -1 y +1 lo cual resulta bastante conveniente para aplicar cuadratura gaussiana
3) La sumatoria de las funciones de forma = 1, esto hace que se pueda representar correctamente un perfil constante de la variable que se interpola, y esta es una de las condiciones del patch test para que el elemento en cuestión converja a la solución analítica. Por ejemplo: -. (dl si es en 2 dimensiones ds si es en 3). He aquí nuestro problema mayor: Vemos que (SWITCH 1) (SWITCH 2)
Entonces vamos a calcular este diferencial para un elemento que habita en la cara 1-2 y que tiene un ángulo,