BLOQUE I Aritmética y Álgebra UD 5: Operaciones con Polinomios
. Cuáles de las siguientes epresiones son monomios? Calcula el grado de estos. a) 5 4 + y b) 5 y c) y 5 4 y d) 7 Son monomios: b) y d). El grado del b) es 5 El grado del d) es 0. Clasifica las siguientes epresiones algebraicas en monomios, binomios o trinomios. a) + y + z b) 7 5 y c) y d) a) Trinomio b) Monomio c) Binomio d) Binomio. Calcula el grado, el coeficiente principal y el término independiente de los siguientes polinomios: a) 5 4 + 1 b) 4 7 5 4 7 1 c) 5 4 + d) 60 8 6 + 8 7 a) Grado: 4; coeficiente principal: 5 Término independiente: 1 b) Grado: 7; coeficiente principal: 4 Término independiente: 1 c) Grado: ; coeficiente principal: 5 Término independiente: d) Grado: 10; coeficiente principal: 6 Término independiente: 7. Suma los siguientes polinomios: P ( ) = 7 5 5 + 1 Q ( ) = 4 + 5 4 + + 1 7 5 4 +. Calcula P ( ) Q ( ): P ( ) = 4 5 + 7 Q ( ) = 5 4 + 7 + 4 5 5 4 + 10 8 4. Multiplica los polinomios: P ( ) = + Q ( ) = 5 + 1 6 4 5 5 4 + 17 15 + Multiplica los polinomios: P ( ) = 4 4 5 + 1 Q ( ) = + 7 7 4 6 4 5 + 17 4 7 + 10 7 + 7 Multiplica los polinomios: P ( ) = 5 + 1 Q ( ) = 4 5 + 9 7 7 + 6 + 1 5 16 4 4 + 11 Desarrolla mentalmente: a) ( + ) b) ( + 1)( 1) c) ( / /) d) ( + )( ) a) + 6 + 9 b) 1 c) /4 / + 4/9 d). Desarrolla los siguientes productos: a) 4 (5 4 6 ) b) 7 (5 ) c) ( 6 1) d) 5 4 ( + 5 ) a) 0 5 4 b) 5 5 + 1 4 c) 18 5 + d) 5 6 + 5 5. Opera y simplifica: a) ( + 5) ( + 5)( 5) b) ( 1/) + ( + 1/) a) 0 + 50 b) + /9. Factoriza mentalmente: a) 8 + 1 b) + 10 + 5 c) 5 d) 14 + 49 a) 4 ( + ) b) ( + 5) c) ( + 5)( 5) d) ( 7) DIVISIÓN Divide y DE hazpolinomios la comprobación: P ( ) = 5 6 4 + 0 8 + 1 entre Q ( ) = 5 + C ( ) = 6 + 10 R ( ) = 16 + 0 18 Hay que hacer la comprobación: Q ( ) C ( ) + R ( ) tiene que dar P ( ) Divide y haz la comprobación: P ( ) = 4 6 1 4 + 8 + 9 entre Q ( ) = 5 + 1 C ( ) = + R ( ) = 5 + 16 + 6 Hay que hacer la comprobación: Q ( ) C ( ) + R ( ) tiene que dar P ( ) Divide P ( ) = 6 6 1 5 0 + 50 4 entre Q ( ) = + 1 C ( ) = 16 R ( ) = 4 + + 1 Divide por Ruffini: P ( ) = 4 6 + 4 + 5 entre Q ( ) = + C ( ) = + 8 R = 11. Divide por Ruffini: P ( ) = 5 4 + 5 + entre Q ( ) = 1 C ( ) = 4 + + + R = 5. Divide por Ruffini: P ( ) = 6 4 4 + 6 + 1 entre Q ( ) = C ( ) = 5 + 4 + 6 + 1 + 4 R = 49
. Calcula mentalmente el valor numérico del polinomio P ( ) = 4 7 5 + 9 6 para los valores que se indican: a) Para = 0 b) Para = 1 a) P (0) = 6 b) P (1) =. Calcula el valor numérico del siguiente polinomio para los valores que se indican: P ( ) = 5 + 4 1 a) Para = b) Para = 1 a) P () = b) P ( 1) = 4. Cuál de los números, o, es raíz del polinomio P ( ) = +? R = P () = 1 No es raíz. R = P ( ) = 0 Sí es raíz.. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 11 P ( ) = + k + 7 entre Se aplica el teorema del resto: P () = 11 k = 5. Halla, sin hacer la división, el resto de dividir P ( ) = 4 + 7 entre + Se aplica el teorema del resto: R = P ( ) = 15. Comprueba, sin hacer la división, que el polinomio P ( ) = 4 6 + 8 + 6 9 es divisible entre Se aplica el teorema del factor: R = P () = 0 Sí es divisible.. Halla el valor de k para que el resto de la siguiente división sea 7: ( 4 + k 5 + 6) : ( + 1) Se aplica el teorema del resto: P ( 1) = 7 k + 1 = 7 k = 5 RA AMPLIAR
BLOQUE I Aritmética y Álgebra UD 6: Ecuaciones de Primer y Segundo Grado
4 + = + 8 = + 1 + 7 = 9 10 = 15 + = 8 = 7 5 + 9 + = + 5 + 7 = 4 ( 7) + 1 = 5 = 5 ( ) = 4( 1) 5 = ( ) = ( + 4) 5 = 6 ( + ) = ( ) = 1/ 8( + 1) = 7 + (5 + 1) = ( 6) = ( + 5) = 1/5 (1 ) = 4 (5 6) = 11/9 4( 1) ( ) = (4 ) = 6 5 + 4 = 7 5 + 9 = 4 + = 7 = 1 = 1 = 5 = = 1/ 5 1 = 1/ 5 = 7 4 + 1 1 = + 4 = 7 + 6 6 1 5 1 5 6 5 = / 4 + + (5 4) = 4 7 + 4 + = 5 = 4/11 + = 1/ 4 = 1/ 4 1 1 = 11/ 1 1 = + 7 14 1 = + 5 + 5 = 8 8 11 7 1 ( 1) + = + 4 6 = 1 + 1 = 5 7 6 = 5/14 + 1 = 1 0 = + 4 1 = + 4 + 1 1 = 6 6 1 1 = 5 = 4 + 1 = 4 = 14/5 5 = 5 + = / 1 8 = 1 6 = /5 + 1 = + 6 5 11 + 1 + = + 6 6 18 = 4(1 ) 1 7 = 4 8 4 17 = 6 8 + + 1 = 4 8 9 1 + 1 6 + 1 9 + 1 + 1 5 4 5 7 6 1 1
5 = 0 = = 0 81 = 0 = 9, = 9 + 15 = 0 = 5, = 144 = 0 = 1, = 1 5 = 0 = 1/, = 4 = 0 = 0, = 4 4 1 = 0 =, = 6 4 5 = 0 = 5/, = 5/ + 6 = 0 =, = / 5 7 + = 0 = /5, = 1 169 = 0 = 1, = 1 11 + 6 = 0 = /, = 5 9 = 0 = 0, = 9/5 = 4 = 0, = 4 5 5 + 4 = 0 = 4/5, = 1/5 4 81 = 0 = 9/, = 9/ 6 + 11 = 0 =, = 1/6 4 + 9 = 0 = 0, = 9/4 4 7 + = 0 = /4, = 1 9 1 = 0 = 1/, = 1/ 4 8 + = 0 = /, = 1/ 5 + = 0 = 1/5, = 0 9 + 0 = 0 = 5, = 4 4 + 10 = 0 =, = 5/4 5 1 = 0 = 1/5, = 1/5 9 18 7 = 0 = 1/, = 7/ 5 + 8 4 = 0 =, = /5 + 4 = 0 = 1/4, = 0 4 17 + 15 = 0 =, = 5/4 7 5 = 0 = /7, = 1 ( 1) = 0 = = 1/ ( ) = 0 = 0, = ( 1)( ) = 0 = 1, = / ( + )( ) = ( + ) + 5 =, = 5 ( + 1) (6 + ) = ( + )( ) = = 0 6 + = 0 5 5 = 1/5, = 5 = 0 4 8 = 1/, = 5/4 = 8 =, = 4/ 10 8 = 0 = /, = 4
. Se ha plantado 1/5 de la superficie de una huerta con cebollas; 1/15 con patatas; / con judías, y el resto, que son 40 m, con tomates. Qué superficie tiene la huerta? Superficie de la huerta: 5 + + + 40 = = 600 15 La huerta mide 600 m. Natalia y Roberto tienen, respectivamente, 8 y años. Al cabo de cuántos años la edad de Natalia será el doble de la de Roberto? m Natalia Roberto 8 + = ( + ) = 4 Actualmente Dentro de años 8 8 + + Dentro de 4 años, Natalia tendrá 1 y Roberto 6 años. Los lados de un rectángulo miden 5 m y m. Al aumentar los lados en una misma cantidad, el área aumenta en 48 m. Cuánto se ha ampliado cada lado? 15 m 5 m 15 + 48 = 6 m + 5 + (5 + )( + ) = 6 + 8 + 15 = 6 + 8 48 = 0 = 1, = 4 La solución negativa no tiene sentido. Se aumenta 4 m La edad de Rubén es la quinta parte de la edad de su padre. Dentro de años, la edad de Rubén será la cuarta parte de la edad de su padre. Qué edad tiene cada uno actualmente? Rubén Padre Actualmente Dentro de años + 4( + ) = 5 + = 9 Edad de Rubén = 9 años. Edad del padre = 45 años. 5 5 + 10 +. El cristal rectangular de una puerta mide 10 cm más de alto que de ancho y su superficie mide 10 800 cm. Calcula cuánto miden los lados del cristal. El producto de dos números enteros consecutivos es igual al cuádruple del menor menos unidades. Encuentra dichos números. Número menor: Número mayor: + 1 ( + 1) = 4 = 1, = Hay dos soluciones: El número menor: 1; el número mayor: El número menor: ; el número mayor: Ana tiene 1 años, su hermano Pablo tiene 14, y su padre, 4. Cuántos años deben pasar para que la suma de las edades de Ana y Pablo sea igual a la de su padre? Ana Pablo Padre (10 + ) = 10 800 = 60, = 180 La solución negativa no tiene sentido. Ancho: 60 cm Alto: 180 cm Actualmente Dentro de años 1 1 + 14 14 + 4 4 + 1 + + 14 + = 4 + = 16 Tienen que pasar 16 años. Calcula el área de un círculo sabiendo que si aumentamos el radio en 6 cm, el área se hace nueve veces más grande. 9πR = π(r + 6) R =, R = / El radio negativo no tiene sentido. El radio vale R = cm y su área es 9π cm Sonia se ha comprado un libro y un disco que tenían el mismo precio, pero que han rebajado un 15% y un 10%, respectivamente, cuando ha ido a pagar. Si se ha ahorrado 9, cuánto costaba cada producto? Precio del libro = precio del disco: 0,15 + 0,1 = 9 = 6 Los dos productos valían 6 Calcula un número tal que si se le quita su quinta parte, el resultado sea 60 Número: /5 = 60 = 75
Halla el lado de un cuadrado tal que, al aumentarlo en 5 unidades, el área aumente en 95 unidades cuadradas. + 5 Ruth A qué tiene hora 17coinciden, años y su madre por primera tiene 47. vez, Cuánto las mane- ha de transcurrir para que la edad de la hija sea la mitad de la de la madre? ( + 5) = + 95 = 7 El lado del cuadrado mide 7 unidades. + 5 Calcula dos números enteros tales que su diferencia sea y la suma de sus cuadrados sea 884 + ( ) = 884 = 0, = Hay dos soluciones: Número menor: número mayor: 0 Número menor: 0 número mayor: Ruth Madre Actualmente Dentro de años 17 17 + 47 47 + 47 + = (17 + ) = 1 A los 1 años. De un tablero de 400 cm se cortan dos piezas cuadradas, una de ellas con 5 cm más de lado que la otra. Si las tiras de madera que sobran miden 1 8 cm, cuánto miden los lados de las piezas cuadradas cortadas? + 5 + 5 + ( + 5) + 1 8 = 400 = 6, = 1 La solución negativa no tiene sentido. Las piezas son de 1 cm de lado y de 1 + 5 = 6 cm de lado, respectivamente.
BLOQUE I Aritmética y Álgebra UD 7: Sistemas de Ecuaciones Lineales
Aplica el criterio que relaciona los coeficientes de cada sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo y resuélvelo gráficamente: + y = 1 + y = 1} 1 1 Criterio: = 1 1 No tiene solución. Son rectas paralelas. Sistema incompatible. Y + y = 7 + 9y = 5} 1 7 Criterio: = 9 5 No tiene solución. Son rectas paralelas. Sistema incompatible. Y X X + y = + 4y = 6} 1 Criterio: = = 4 6 Tiene infinitas soluciones. Son rectas coincidentes. Sistema compatible indeterminado. Y + y = 1 4 y = } 1 1 Criterio: = = 4 Tiene infinitas soluciones Son rectas coincidentes. Sistema compatible indeterminado. Y X X = 1, y 1 = ; =, y = 0; = 5, y = 1 4y = 5 + y = 4} 1 Criterio: 1 Tiene una solución. Son rectas secantes. Sistema compatible determinado. Y = 0, y 1 = 1; = 1, y = 1; =, y = 4y = 19 5y = 10} 1 Criterio: 5 Tiene una solución. Son rectas secantes. Sistema compatible determinado. Y X P(5, 1) X P(, 1) =, y = 1 = 5, y = 1
Resuelve por el método más sencillo los siguientes sistemas:. 6. + y + = y 1= 1 5 4y = 40} Se aplica el método de reducción. Se multiplica la primera ecuación por y se suman. = 4, y = 5. = 16 y = y } Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de = 7, y = 9. + y = 1 y = 45} Se aplica el método de reducción. Se multiplica la primera ecuación por, la segunda por y se suman. =, y =. 5y = 4 y = 7 } Se aplica el método de sustitución. Se sustituye y de la segunda ecuación y se sustituye en la primera. =, y = 1. = y 7 = 5 y} Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de =, y = 4 5 + y = 11 + 5y = 1} Se aplica el método de reducción. Se multiplica la primera ecuación por 5, la segunda por y se suman. = 1, y = = y 4 + y = 9 Se eliminan denominadores. 4 = y 4 y = 0 + y = 9} + y = 9 } Se aplica el método de reducción. Se suman las ecuaciones. = /, y = y + = 5 + y = 4 + 10 Se eliminan denominadores y se simplifica. + y = 18 + y = 10} Se aplica el método de reducción. Se le resta a la primera ecuación la segunda. = 4, y = + y + y = 5 + 5y 8 = 4(y + 1) Se eliminan los denominadores, paréntesis y se simplifica. + y = 15 + y = 1} Se aplica el método de reducción. Se multiplica por la segunda ecuación y se suman. =, y = 6 0,5 + 0,5y = 0,75 0,5y = 5} Se aplica el método de reducción. Se suman las ecuaciones = 7, y = 0,5 Halla dos números sabiendo que uno es el cuádruplo del otro y que entre los dos suman 55 Primer número: Segundo número: y y = 4 + y = 55} = 11, y = 44 Dos hogazas de pan y 8 barras pesan 6 kg y 1 barras y una hogaza pesan 4 kg. Cuánto pesa cada barra de pan y cada hogaza? Peso de la hogaza: Peso de la barra: y 18y = 6 + 1y = 4} Peso hogaza: =,5 kg Peso de la barra: y = 0,15 kg = 15 g El triple de un número menos el doble de otro número es igual a 45 y el doble del primero menos la cuarta parte del segundo es igual a 4. De qué números se trata? Primer número: Segundo número: y y = 45 + y /4 = 4} =, y = 1 El perímetro de un romboide mide 4 m y un lado mide 7 metros más que el otro. Cuánto mide cada lado? Lado menor: Lado mayor: y + y = 4 y = + 7 } = 7 m, y = 14 m y
Un ángulo de un rombo mide el doble que el otro. Cuánto mide cada ángulo? Ángulo menor: Ángulo mayor: y y = + y = 180} = 60, y = 10 Para una fiesta se compran refrescos a 0,85 y bolsas de frutos secos a 1,5. Por cada refresco se compran tres bolsas de frutos secos y en total se pagan 0. Cuántos refrescos y bolsas se han comprado? N.º de refrescos: N.º de bolsas de frutos secos: y 0,85 + 1,5y = 0 y = } N.º de refrescos: = 50 N.º de bolsas de frutos secos: y = 150 Halla dos números cuya suma sea 1 y el primero más el doble del segundo sea igual a 19 Primer número: Segundo número: y + y = 1 + y = 19} = 5, y = 7 Un ángulo de un rombo mide el triple que el otro. Cuánto mide cada ángulo? y y Halla la edad de un padre y la de su hijo sabiendo que la edad del padre es el triple de la del hijo y la diferencia de las edades es de 8 años. Edad del hijo: Edad del padre: y y = y = 8} Edad del hijo: = 14 años. Edad del padre: y = 4 años. Halla los lados de un rectángulo sabiendo que el perímetro mide 10 m y que la base es / de la altura. Base: Altura: y + y = 10 = y / } Base: = 9 m Altura: y = 6 m Un pantalón y una camisa cuestan 60 y he pagado por ellos 5,8. Si en el pantalón me han hecho el 10% de descuento y en la camisa, el 15%, cuánto costaba cada prenda? Precio del pantalón: Precio de la camisa: y + y = 60 0,9 + 0,85y = 5,8} Coste del pantalón: = 6 Coste de la camisa: y = 4 Halla dos números cuya suma es 7 y son proporcionales a 5 y Primer número: Segundo número: y + y = 7 y = 5 Primer número: = 45 Segundo número: y = 7 y Ángulo menor: Ángulo mayor: y y = + y = 8 } = 45, y = 15