CURSO 22-23. 23 de mayo de 23. ) Calcula los límites de la siguiente función en y + : 3+sen f() 2) Estudia la continuidad y derivabilidad de la siguiente función en : 3) Deriva y simplifica: f() e / +e / y arc tg -cos +cos 4) Calcula el área de la región del plano limitada por la curva yln, el eje de abscisas y las rectas y e. 5) Discute según los valores del parámetro y resuelve, en su caso, el sistema: a+ay+(a-)za- a-z az+ 6) Calcula el valor del determinante: + + + + 7) Dadas las rectas r y r', halla la ecuación continua de la que las corta perpendicularmente: - r y-8-2 z+3 - +y+5z-2 r' -y-z-3 8) Dados los puntos A(-,2,-9), B(2,-3,-4) y C(,3,-2), prueba que son los vértices de un triángulo y halla la longitud del segmento que determina el punto B y su proyección sobre AC. Todos los ejercicios valen lo mismo. --
CURSO 22-23. Ejercicio : Calcula los límites de la siguiente función en y + : 3+sen f() a) 3+sen lím lím sen 3+ 2 lím 3 + lím sen 3 3+ 4 b) lím + 3+sen lím + sen 3+ 2 lím + 3 + + lím sen 3+ 3 Ya que se trata del producto de un infinitésimo por una función acotada: lím + + - sen La forma más sencilla de hacer este límite es por L'Hôpital, aunque también puede hacerse como sigue. 2 Por las propiedades de los límites. 3 Ya que, en, sen ~. -2-
CURSO 22-23. Ejercicio 2: Estudia la continuidad y derivabilidad de la siguiente función en : e / f() +e / Como Dom(f)(-,) (,+ ), no tiene sentido preguntar por la derivabilidad de f en. La función f tiene en una discontinuidad de salto finito: f() no eiste e lím f() lím / +e / e /- +e e - < < /- +e - + lím > f() lím > e / +e / lím > e / e / lím e / + > e / + e /+ + e + + + + + Como sale la indeterminación /, podemos aplicar L'Hôpital (es la forma más sencilla de hacer este límite). También puede hacerse como sigue. -3-
CURSO 22-23. Ejercicio 3: Deriva y simplifica: -cos y arc tg +cos y' -cos + +cos -cos +cos ' +cos +cos +-cos -cos -cos ' +cos +cos +cos 2 (+cos )+sen (-cos ) sen -cos (+cos ) 2 +cos sen (+cos +-cos ) -cos +cos +cos 4 sen -cos +cos +cos sen sen -cos +cos (+cos -cos 2 sen sen 2 sen sen )2 Ya que +cos >. -4-
CURSO 22-23. Ejercicio 4: Calcula el área de la región del plano limitada por la curva yln, el eje de abscisas y las rectas y e. º) Resolvemos el sistema que forman las funciones que limitan por arriba y por abajo el recinto cuya área queremos hallar: yln y ln 2º) Averiguamos entre y e qué función está por encima y qué función está por debajo: 3º) Calculamos el área: y y 2 2 ln 2 A e [ln -] d e ln d [ ln - ] e (e ln e e)-( ln )(e e)-( ) + ln d 2 ln - d 3 ln - + C Comprobación: S D I + ln - / Representación gráfica: [ ln - ]' ln + - ln + - ln e y ln O La correspondiente integral indefinida la hacemos aparte. 2 Esta integral se hace por partes. La integral efectuada en la columna I es inmediata de tipo potencial. 3 Esta integral es inmediata de tipo potencial. -5-
CURSO 22-23. Ejercicio 5: Discute según los valores del parámetro y resuelve, en su caso, el sistema: a+ay+(a-)za- a-z az+ Aplicamos el método de Gauss: a a a a a- a- - + ~ a a a- a- -2a 2-2a ~ 2 a a a- a- 3 a a a Estudiamos los distintos casos: º) Si a, el sistema es incompatible: 4 - - 2º) Si a, el sistema es compatible indeterminado y la solución depende de un parámetro: - - +y -α -y-z -y z-y yα z-α 3º) En los demás casos el sistema es compatible determinado: a+ay+(a-)za- yz ()z z z y+az+a ya aa-y-(a-)za-++ a 2ªf-ªf; 3ªf-ªf. 2 3ªf-2ªf. 3 Como no se puede dividir por cero, tenemos que calcular los valores del parámetro que anulan los coeficientes de las incógnitas que tenemos que despejar luego (caso 3º). 4 Ya que la segunda ecuación es incompatible. -6-
CURSO 22-23. Ejercicio 6: Calcula el valor del determinante: + + + + + + + + 4+ 4+ 4+ + + + 2 4+ 3 4+ ªc+2ªc+3ªc+4ªc. 2 2ªf-ªf; 3ªf-ªf; 4ªf-ªf. 3 El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. -7-
CURSO 22-23. Ejercicio 7: Dadas las rectas r y r', halla la ecuación continua de la que las corta perpendicularmente: - r y-8-2 z+3 - r' +y+5z-2 -y-z-3 Hallamos las ecuaciones paramétricas y una determinación lineal de cada una de las rectas: - y-8-2 z+3 - α +α y8-2α z-3-α P(,8,-3) u (,-2,-) +y+5z2 2-2β -y-z3 2y+6z8 -y-z3 y9-3z 3+9-3z+z y9-3β zβ Q(2,9,) v (-2,-3,) Sean X e Y los puntos en los que la recta buscada corta a r y s, respectivamente: 2 X r u P π' π Y Q v s Por estar el punto X en la recta r: X(+α,8-2α,-3-α). Por estar el punto Y en s: Y(2-2β,9-3β,β). Por tanto: [XY ](-2β-α,-3β+2α,3+β+α). Como [XY ] es perpendicular 3 a u (,-2,-) y a v (-2,-3,): [XY] u [XY ] v -2β-α-2+6β-4α-3-β-α -22+4β+2α-3+9β-6α+3+β+α 3β-6α-6 4β-3α22 4-25β-5 4β-3α22 β2 28-3α22 3α6 α2 X(3,4,-5) Y(8,3,2) [XY -3 ](5,-,7) XY 5 y-4 - z+5 7 A la primera ecuación le resto la segunda. 2 Como u v es un vector direccional de la recta XY, ya que ésta es perpendicular a r y a s, otro modo de hallar su ecuación consiste en calcular uno de sus puntos, por ejemplo Y. Este punto se puede obtener por intersección de la recta s y el plano π, plano determinado por el punto P y los vectores u y u v. También puede obtenerse XY como intersección de π y π'. 3 Si en la resolución del sistema que sigue resulta que los puntos X e Y coinciden, eso significa que las rectas r y s se cortan en dicho punto. En ese caso, la recta buscada pasa por ese punto y tiene por vector direccional el producto vectorial de los vectores direccionales de las rectas r y s. 4 A la primera ecuación le resto dos veces la segunda. -8-
CURSO 22-23. Ejercicio 8: Dados los puntos A(-,2,-9), B(2,-3,-4) y C(,3,-2), prueba que son los vértices de un triángulo y halla la longitud del segmento que determina el punto B y su proyección sobre AC. Sea P la proyección de B sobre AC: B(2,-3,-4) A(-,2,-9) P C(,3,-2) Como los vectores [AB ](3,-5,5) y [AC ](2,,-3) no son colineales, los puntos A, B y C no están alineados. Por tanto, forman triángulo: 3 2-5 5-3 Por otro lado, la longitud del segmento BP coincide con la distancia del punto B a la recta AC: i [AB ] [AC 3 ] 2 d(b,p)d(b,ac) [AC ] j k -5 5-3 4++9 i +9j +3k 4 +36+69 4 63 45 3 5 4-9-