V.- APICACIÓN DE PRIMER PRINCIPIO A SISTEMAS ABIERTOS El concepo de sisema ermodinámico abiero permie analizar corrienes fluidas que no se encuenran en equilibrio en ninguna pare de su recorrido. El procedimieno que se uiliza consise en seleccionar un volumen de conrol, de forma que los límies de ese flujo se siúan en punos de la corriene en donde se puede suponer exisen condiciones de equilibrio ermodinámico y se asignan valores energéicos a las coordenadas de la región elegida, de forma que se pueda medir la variación de la energía del flujo enre dos o más coordenadas; las variables independienes que se deben elegir al esudiar ese ipo de sisemas son, la posición y el iempo. V..- ENERGÍA DE UNA CORRIENTE FUIDA Para hallar la energía ransporada por una corriene fluida, con relación a una coordenada de posición se puede considerar un elemeno de masa en movimieno Δm = m * - m *, al como se indica en la Fig V.; la energía que acompaña a esa masa es de ipo poencial, cinéica e inerna, debiendo ener ambién en cuena el rabajo efecuado por la masa siuada inmediaamene a coninuación del elemeno considerado, al empujar a Δm a lo largo de la disancia (c Δ). as energías ΔE y ΔE debidas a Δm son: ΔE = (u + z + c ) Δm ΔE = ( p Ω ) ( c Δ ) Δm = p v Δm Fig V..- Volumen de conrol en una corriene fluida ΔE = ΔE + ΔE = ( u + z + c + p v ) Δm a energía oal ΔE que acompaña a la masa Δm es: es: a canidad exaca de energía oal E que acompaña a la masa (m * - m * ) y araviesa la posición m E = ( ) de + de = ( u + p v + z + c m( ) ) dm = m (i + z + c ( ) m( ) ) dm que difiere de la energía del sisema cerrado en el érmino (p v) rabajo de flujo. Aplicación del Primer Principio a Sisemas Abieros.V.-55
V..- ENERGÍA AMACENADA EN UN SISTEMA ABIERTO Cuando se esudia un sisema abiero, el procedimieno seguido y las ecuaciones finales obenidas son, en esencia, las mismas que en el sisema cerrado. Si se considera un elemeno de masa en reposo en un insane deerminado, la energía específica e en un puno cualquiera del elemeno es: e = u + z + c ; ΔE = (u + z + c ) Δm y como la masa del volumen de conrol vale aproximadamene Δm = ρ Ω Δ la energía almacenada en dicho volumen comprendido enre las coordenadas de posición y en un insane deerminado, se puede calcular mediane la inegral de volumen: E (, ) = e dm = e ρ Ω d V.3.- BAANCE ENERGÉTICO DE UN SISTEMA AISADO En cualquier ransformación se sabe, por el Primer Principio, que el balance energéico enre el sisema y el medio exerior es de la forma: - ΔE Medio exerior = ΔE Sisema que se puede expresar mediane una ecuación que afece únicamene al sisema, empleando los concepos de calor, rabajo y energía de flujo. Para ello, el calor y el rabajo se pueden definir como funciones del iempo y de la posición de la siguiene forma: Q (, ), es el calor oal inercambiado a ravés de la superficie del sisema abiero, enre las coordenadas y en un inervalo de iempo comprendido enre y +d T (, ), se define de un modo semejane. El balance energéico exaco se puede expresar, para un elemeno Δ, mediane la ecuación: Q (, +D ) - Q (, ) - { T (, +D) - T (, ) } + { e f dm +D - e f dm } +D +D = e dm - e dm que se puede poner en forma más sencilla, mediane la definición de las funciones E, energía de la masa en el sisema cerrado, y E f, energía de flujo de la masa de conrol, en la forma: Δ Q - Δ T - Δ E f = Δ E - Δ E = Δ E y muliplicándola por Δ: Δ Δ Q - Δ Δ T - Δ Δ E f = Δ Δ E Dividiendo los dos miembros de la ecuación anerior por Δ y Δ y omando límies, se obiene la ecuación general diferencial de la energía de un sisema abiero formado por una corriene fluida unidimensional: Q - T - E f = E Aplicación del Primer Principio a Sisemas Abieros.V.-56
que para un sisema real es difícil de inegrar. Sin embargo, si se suponen fijas las condiciones a la enrada y a la salida del sisema, se facilia la inegración, con lo que el iempo queda como única variable independiene, siendo el proceso similar, en ese caso, al seguido para un sisema cerrado en la forma: +Δ Δ Q - Δ T + e f dm f ( ) - e f dm f ( +Δ ) = e dm - e dm +Δ Teniendo en cuena las definiciones de las funciones E f y E: Δ Q - Δ T + Δ E f - Δ E f = Δ E ( Δ Q - Δ E f ) - ( Δ T + Δ E f ) = Δ E ecuación que se puede ransformar para obener la variación de energía con el iempo, o la ecuación diferencial del balance energéico, con el iempo como única variable independiene. Cuando cesa el flujo, los érminos E f de flujo se anulan, y enonces se esá en el caso de un sisema cerrado. El balance energéico durane un periodo de iempo permie deerminar la variación que experimena la energía almacenada en el sisema, igual a la diferencia enre el calor suminisrado, más la energía de flujo que se comunica al sisema, más el rabajo efecuado, más la energía que cede el sisema al medio exerior. as posiciones y +Δ se eligen de forma que la medición de los facores que inervienen en la corriene fluida sea muy exaca, precisión que se puede obener si el sisema, al comienzo y al final de la ransformación, se encuenra en esado de equilibrio, en donde la capacidad calorífica iene el mismo valor en cualquier puno del mismo, por lo que para un régimen ransiorio, la expresión del Primer Principio queda en la forma: Δ Q - Δ T = U - U + e f dm f ( +Δ ) - e f dm f ( ) V.4.- ECUACIÓN ENERGÉTICA DE UN FUIDO EN RÉGIMEN ESTACIONARIO Exisen sisemas abieros en los que un flujo de producos reaccionanes araviesan una cámara de reacción donde ienen lugar procesos energéicos con cambios imporanes de energía cinéica, poencial e inerna. Para obener las condiciones energéicas, es necesario combinar consideraciones de ipo mecánico, con oras de ipo ermodinámico. Como el calor puede ser, al igual que el rabajo, (+), (-) ó, se pueden dar los siguienes casos: Si el recino es una caldera se suminisra calor al fluido, Q (+) Si es un condensador el fluido cede calor Q (-) Si es una ubería recubiera de maerial aislane, el proceso es adiabáico, Q = Si es un moor érmico el rabajo generado es T (+) Si es un compresor el rabajo aplicado es T (-) Si es une válvula el rabajo pueso en juego es, T = Consideraciones ermodinámicas.- Si se supone evolucionan m kg de fluido, la energía cedida al sisema, a ravés de la sección, es la suma del calor suminisrado Q, y del rabajo T que esa masa Aplicación del Primer Principio a Sisemas Abieros.V.-57
realiza conra la presión p que sobre ella ejerce la misma corriene. El rabajo T es el rabajo de flujo a la enrada del sisema. Si se rabaja con volúmenes específicos, v = V m, el calor suminisrado por unidad de masa es q = Q m y el rabajo de flujo: T = p Ω x = p V, siendo V el volumen barrido por un pisón imaginario que venciese la presión p. a energía enregada al fluido es: E = Q + T = m q + p V = m q + p m v = m (q + p v ) a energía proporcionada por el fluido, para m kg, es la suma de: a) Trabajo realizado sobre sus alrededores: T = m w b) Trabajo realizado sobre la propia corriene: p V = Trabajo de flujo a la salida = T Por lo ano: E = m ( w + p v ), con: v = V m ; w = T m Fig V..- Balance energéico en una corriene fluida Consideraciones mecánicas.- a variación de energía mecánica a ener en cuena, ano a la enrada como a la salida, es: ΔE mec = m ( c - c ) + m ( z - z ) Si se aplica el Primer Principio de la Termodinámica se obiene: E - E + E mec + ( U - U ) =, que se puede poner en la forma: m ( w + p v ) - m ( q + p v ) + m ( c - c ) + m ( z - z ) + m ( u - u ) = q = w + ( u + p v ) - ( u + p v ) + c - c + ( z - z ) = w + ( i - i ) + c - c + ( z - z ) que es la ecuación energéica del fluido en régimen esacionario, en la que el calor que se suminisra a una corriene fluida en régimen permanene se inviere en generar un rabajo, y en aumenar la enalpía y la energía mecánica del fluido. Para un elemeno diferencial de fluido: dq = dw + di + d( c ) que es independiene de los fenómenos que ocurran en el inerior del sisema, porque odos los érminos se refieren a medidas efecuadas en los límies (enrada y salida). Por esa razón se puede prescindir, Aplicación del Primer Principio a Sisemas Abieros.V.-58 + dz
para un sisema real, de la condición impuesa por las ecuaciones diferenciales de que en odas las posiciones denro del sisema debe exisir un régimen permanene. Procesos de calenamieno y enfriamieno.- os procesos en donde se caliena un fluido, incluyendo las vaporizaciones y recalenamienos, se verifican a presión consane: T = ; E c = ; E p = por lo que q = i - i ; el calor absorbido se inviere ínegramene en variar la enalpía del sisema. os procesos en donde se enfría un fluido, incluyendo la condensación, ambién se verifican a presión consane q = i - i Procesos en ubos ubos aislados érmicamene, oberas y difusores.- Si un fluido circula por un ubo horizonal, adiabáicamene, y son c y c sus velocidades en dos secciones del mismo, se verifica: q = ; T = ; E c ; E p = ; Δi siendo la ecuación energéica del fluido en régimen esacionario de la forma: i + c = i + c Δi = - Δc por lo que el incremeno de la energía cinéica del fluido es igual a la disminución de enalpía del mismo. En una obera se produce un incremeno de la energía cinéica del fluido como consecuencia del esrechamieno desde la enrada hasa la gargana (convergene). Fig V.6.- Tobera y difusor Si en la gargana (sección mínima) se consigue alcanzar la velocidad del sonido, en la pare que sigue hasa la salida (divergene), se consiguen velocidades supersónicas; si en la gargana no se consiguen velocidades sónicas, en el divergene ampoco se conseguirán. Si a la enrada se iene una velocidad mucho menor que a la salida (c << c ) la ecuación energéica queda en la forma: i + c = i + c i c = ( i - i ) Cuando c venga dada en m/seg y la enalpía en Kcal/kg, queda en la forma: c = 9,48 i - i En los difusores iene lugar el proceso inverso a la obera; el conduco es divergene, la energía cinéica disminuye y la enalpía aumena: Δi = Δc Turbomáquinas (Turbinas y compresores).- En una urbina se obiene un rabajo úil debido a la expansión de un fluido. Como la circulación del vapor o del gas (depende del ipo de urbina), es muy rápida, puede despreciarse el inercambio de calor con el medio exerior; ambién se puede considerar Aplicación del Primer Principio a Sisemas Abieros.V.-59
que la diferencia de coas enre la enrada y la salida del fluido por los álabes es despreciable, en los que la velocidad del fluido experimena un cambio muy imporane; el rabajo realizado es posiivo. Fig V.7.- Expansión en urbinas de acción y reacción Aplicando la ecuación general, se obiene: = i - i + c - c + T, por lo que el rabajo realizado por unidad de masa es: + T = Δi + Δc T = - ( Δi + Δc ) que procede de la disminución de enalpía Δi = i - i y de la pérdida de energía cinéica del vapor.en las coronas de las urbinas de reacción se aprovecha la fuerza expansiva del vapor. En las coronas de las urbinas de acción el rabajo procede exclusivamene de la disminución de energía cinéica del vapor (i = i ), por lo que: T = - Δc Para los compresores cenrífugos sirven los cálculos realizados para las urbinas, pues ésos funcionan realizando un rabajo sobre el fluido que evoluciona, (al revés que en las urbinas), para así incremenar la presión. El roor gira a expensas de una energía exerior (rabajo moor), incremena la velocidad del fluido y su enalpía. Si q =, se verifica: T + Δi + Δc + Δz = en la que T -T, por ser un rabajo de compresión y Δz =, quedando finalmene: T = Δi + Δc V.5.- EFECTO JOUE KEVIN Supongamos un gas real conenido en un ubo aislado érmicamene a la emperaura T, que someido a una presión p se expansiona hasa una presión p al aravesar un abique poroso, que iene Fig V.3.- Tabique poroso para la expansión isenálpica por objeo eviar que el gas adquiera una energía cinéica considerable, Fig V.3. Una vez alcanzado el régimen esacionario, se observa que la emperaura final T alcanzada por el gas es disina de la inicial T ; a ese fenómeno se le conoce como efeco Joule-Kelvin, o esrangulamieno. Si el sisema esá érmicamene aislado Q =, y si no hay variación de la energía mecánica ΔE =, ni se realiza ningún rabajo exerior T =, resula que la ecuación energéica del fluido en régimen esa Aplicación del Primer Principio a Sisemas Abieros.V.-6
cionario se puede poner en la forma: = Δi = i - i i = i es decir, la enalpía del esado inicial es igual a la enalpía del esado final; éso no quiere decir que la enalpía permanezca consane en el proceso, es decir, en los esados inermedios, ya que los principios ermodinámicos sólo pueden aplicarse a esados de equilibrio, y aquí el proceso es irreversible en su oalidad. De la ecuación i = i, se deduce u - u = - p v + p v, por lo que la variación de la energía inerna no es nula, Δu Para un gas ideal, la expansión i = i se expresa en la forma: c p T = c p T, y como c p = c p resula T = T que es el efeco Joule-Kelvin para el gas ideal, no habiendo variación de emperaura a ambos lados del abique poroso. íneas isenálpicas y curva de inversión.- Si ahora se repie la experiencia sobre un gas real con las mismas condiciones iniciales, pero variando la presión del lado opueso al abique poroso, se observa que a cada presión p se obiene una T disina, pero en cada caso, las enalpías inicial y final son iguales, de modo que si represenamos en un diagrama (T, p) los valores obenidos en la experiencia, el lugar geomérico de esos punos será una línea isenálpica que no es coninua, ya que la ransformación es irreversible, siendo una sucesión de punos de igual enalpía. Curva de inversión Fig V.4.- íneas de igual enalpía Si el salo de presión dp es infiniamene pequeño, la variación de emperaura será ambién infiniamene pequeña dt; como: di = du + p dv + v dp = T ds + v dp en donde s es la función enropía, de la forma, s = s (T, p), por lo que: ds = ( s T ) p dt + ( s p ) T dp di = T {( s T ) p dt + ( s p ) T dp } + v dp = T ( s T ) p dt + {T ( s p ) T + v } dp = = c p = T ( s T ) p = ( Q T ) p ( s p ) T = - ( v T ) p Maxwell = c p dt + {- T ( v T ) p + v} dp Aplicación del Primer Principio a Sisemas Abieros.V.-6
que es la expresión de la enalpía para un proceso real cualquiera. Por raarse, en nuesro caso, de un proceso isenálpico di =, queda: c p dt + { v - T ( v T ) p } dp = ( T p ) i = - c p { v - T ( v T ) p } dp = α = v ( v T ) p = c p ( T α v - v ) = v T c p (α - T ) = µ Al valor µ = ( T ) se le denomina coeficiene de Joule-Kalvin p Según resule que α sea mayor o menor que T la emperaura disminuirá o aumenará, respecivamene, al disminuir la presión. Para un gas perfeco α = T, por lo que µ =, (ey de Joule), que implica que la angene a la línea isenálpica en ese caso sea horizonal, por ser µ = ; el valor de µ para un mismo gas podrá ser (+), (-), o nulo, Tabla V.. Tabla V..- Efeco Joule-Kelvin para el aire. Valores del coeficiene µ i en, C/am Presión (am) -5 C -4 C -3 C - C - C -5 C C 5 C C C,,936,87,7,576,37,66,89,33,65,,967,99,7,56,97,49,78,4,564 4,5,45,776,577,534,76 8,34,67,4,99,386,3,,43,87,58,84,,78,8,89,347 4,7,38,69,4,64,45,5,7,58 8 -,,8,8,8,75,5,3,83,58,85 -,4 -,8 -,5 -,,3,93,8,63,45,7 as curvas isenálpicas pasan por un máximo que se conoce como puno de inversión, puno de µ =. Al lugar geomérico de los punos en los que µ = se le conoce como curva de inversión. Cuando µ > una expansión Joule-Kelvin supone enfriamieno; fuera de la curva de inversión, una expansión supone calenamieno del gas. Fig V.5.- Curva de inversión del Nirógeno Para presiones superiores a la máxima de la curva de inversión no hay emperaura de inversión, y para presiones inferiores a la máxima exisen dos punos de core, es decir, dos emperauras de inversión. Para que el efeco Joule-Kelvin produzca enfriamieno, la emperaura T (inicial) del gas iene que ser inferior a la del puno en que la curva de inversión cora al eje de emperauras (por arriba), es decir, inferior a la má-xima emperaura de inversión. Así, en el hidrógeno, Fig V.5, para que se produzca mediane el efeco Joule-Kelvin enfriamieno, es necesario que previamene se haya enfriado ése por debajo de los K, (uilizando para ello nirógeno líquido) con lo que se le ha inroducido en su curva de inversión. Análogamene, para conseguir helio líquido, es necesario enfriarlo previamene con hidrógeno líquido hasa llevarle al inerior de su curva de inversión. Una vez enfriado el gas por debajo de la máxima emperaura de inversión, la presión ópima para Aplicación del Primer Principio a Sisemas Abieros.V.-6
iniciar el proceso de esrangulamieno se corresponde con la de un puno sobre la curva de inversión. Pariendo de esa presión, y erminando a la presión amosférica, se produce el máximo descenso de emperaura, aunque no el suficiene para obener la licuación, por lo que el gas que ha sido enfriado por el proceso de esrangulamieno, se uiliza para enfriar el gas que enra, mediane un inercambiador de calor en conracorriene, y que después de experimenar el mismo proceso, queda aún más frío. Tabla V..- Consanes específicas de algunos gases Puno ebullición Temperaura Presión Temperaura inversión normal críica críica máxima Gas am ºK am ºK Oxígeno 9, 54,6 49,8 764 Argón 87,3 5,8 48, 794 Nirógeno 77,4 8, 33,5 67 Hidrógeno,4 33,,8 95 Helio 4, 5,9,4 3,6 Anhidrido carbónico 94,6 34, 7,4 75 Aire 8* 33 38 63 {* a emperaura del aire es variable) Al cabo de una serie de enfriamienos sucesivos, la emperaura del gas desciende de al forma, que ras un nuevo proceso de esrangulamieno, ése licúa parcialmene. V.6- ECUACIÓN DE BERNOUI Cuando un fluido avanza por una conducción se produce una degradación de la energía mecánica por fricción, (el rabajo de rozamieno dw r se ransforma en calor), apareciendo un incremeno de la energía inerna y de la enropía cuando el proceso es adiabáico irreversible (ya que la energía es absorbida por el propio fluido), o bien se disipa al exerior en condiciones isoermas. Para un observador que se desplace con el fluido, la suma de la degradación de energía mecánica por fricción, más el calor aplicado al sisema por una fuene exerna, es: dq + dw r = du + p dv y como: dq = dt + di + d( c ) susiuyendo ese valor en la anerior, se obiene: + dz = dt + du + p dv + v dp + d( c ) + dz du + p dv - dw r = dt + du + p dv + v dp + d( c ) + dz dt + dw r + v dp + d( c ) + dz = que es la ecuación general de Bernoulli para un sisema de flujo en régimen esacionario. rabajo exerno T = dt = Si no exise, la ecuación anerior queda en la forma: rabajo de fricción w r = dw r = v dp + d (c ) + dz = ; v dp + c + z = Ce Si el fluido es incompresible v = Ce, y como v = γ resula: dp + c g + z = Ce ; dp g + d (c ) + dz = Aplicación del Primer Principio a Sisemas Abieros.V.-63
p γ + c + z = Ce ; p + γ c + γ z = Ce p + ρ c + ρ g z = Ce que es la ecuación de Bernoulli para fluidos incompresibles, sin rozamieno. Formulación de Sain-Venan..- Si en la ecuación: resula: v dp + c + z = Ce, se hace z = z - z = - c p v dp + c p = Ce p ; v dp + c = En una obera se cumple, c >> c : v dp + c p p = ; c p = - v dp = v dp ; c p p = p v dp c = γ γ - v { - ( p γ - ) γ } Ecuación de Torricelli.- Si se hace z = en la ecuación: p + ρ c + ρ g z = Ce ; p + ρ c y al ser, c << c p - = - ρ c = Ce ; p - + ρ ( c - c ) ; c = ( - p ) ρ = Ce Formulación de Navier para expansión isoérmica.- Si se pare de la ecuación: c = v dp = T circ. iso. = R T ln p = R T ln p p p ; c p = R T ln p que para un gas perfeco queda en la forma: c = 8,9 T ln p (m/seg) Formulación de Weisbach o de Grashoff.- En una expansión adiabáica se iene, dq = du = dq - dt = - p dv ; di = du + p dv + v dp = - dt circ dt circ = - di = i - i ; c = i - i = c p (T - T ) c = ( i - i ) = c p ( T - T ) Formulación de Zeuner.- Es de aplicación al cálculo de la velocidad de salida de un fluido por un ubo: v dp + c + z = Ce ; v dp + d (c ) + dz = y para el caso de un gas que esá en un recino a la presión y volumen específico v que escapa por un ubo de salida a la presión p y volumen específico v, se obiene: p v d ( p v) = ( p dv + v dp ) ; p v v - v = p dv + v dp Aplicación del Primer Principio a Sisemas Abieros.V.-64
v dp + c + z = Ce p v - v - p dv + c + z = Ce despreciando (z - z ) y eniendo en cuena que c << c, resula: p v - v - p dv + c = Si se raa de un fluido incompresible ρ = Ce y v = v dv =, que escapa por un orificio delgado pracicado en la pared de la vasija que le coniene p = = p am, y la ecuación: p v - v - - c p dv + c se puede poner en la forma: p v - v - p dv = + ( z - z ) = c - c + ( z - z ) = c Si: = z = c = z ; c = z que es la ecuación de Torricelli, de aplicación, por ejemplo, a la circulación de gases por chimeneas, carburadores, ec. Fig V.8.- Depósio a presión y depósio al aire V.7.- FUJO NO ESTACIONARIO Muchos equipos indusriales experimenan períodos operaivos en régimen ransiorio, en los que su esado se modifica con el iempo, al igual que el de los flujos másicos de enrada y salida, el de las velocidades de ransferencia de calor y rabajo, ec. En odos ellos hay que uilizar los principios de conservación de maeria y de energía, y considerar la exisencia de flujos másicos unidireccionales en aquellas zonas del volumen de conrol aravesadas en condiciones de equilibrio ermodinámico; en general, la resolución de la ecuación: Δ Q - Δ T = U - U + e f dm f +Δ + e f dm f es difícil, excepo en cieras ransformaciones en las que se incluyan funciones del iempo sencillas. Un caso imporane es aquel en que la energía e f en el conorno del sisema es consane, esando oda la energía del sisema en forma de energía inerna U. En ese caso, la ecuación anerior se simplifica, con ayuda de la ecuación de coninuidad, en la forma: ΔQ - ΔT = U - U - ( m - m ) e f ef = Ce Aplicación del Primer Principio a Sisemas Abieros.V.-65