Capítulo 1 CONCEPTOS TEÓRICOS ESPACIO VECTORIAL Un conjunto E = {a, b, c, } de elementos (llamados vectores) se dice que constituyen un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K (que generalmente es el cuerpo de lo reales) si se cumplen: LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA I En E se define una ley de composición interna que designamos +, tal que (E, +) tiene estructura de grupo abeliano LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNA II Siendo λ, μ y a, se define una ley de composición externa, que notamos, que satisface las siguientes propiedades λ (μ a) = (λμ) a λ (a + b) = λ a + λ b (λ + μ) a = λ a + μ a 1 a = a (1 es la unidad de ) VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES Dados los vectores,, a n, se dice que son linealmente dependientes si existen, λ 2,, λ n, tales que + + λ n a n (vector cero), no siendo nulas todas las λ i 11
VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES En caso contrario, los vectores son linealmente independientes Si el vector a se puede obtener a = + + λ n a n se dice que es combinación lineal de los,, a n SISTEMA GENERADOR DE UN ESPACIO VECTORIAL Si todos los vectores de un espacio vectorial E se pueden obtener como combinación lineal de los vectores,, a m, se dice que estos m vectores forman un sistema generador del espacio vectorial E BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL Si los vectores que forman un sistema generador son linealmente independientes, constituyen una base de E DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL Todas las bases de un mismo espacio vectorial constan del mismo número de vectores, que es la dimensión del espacio vectorial considerado SUBESPACIO VECTORIAL O VARIEDAD LINEAL Un subconjunto E del espacio vectorial E se llama subespacio vectorial o variedad lineal si E es a su vez, un espacio vectorial, con las mismas leyes de composición de E 12 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
EJERCICIOS RESUELTOS 1 Verificar que el conjunto formado por los n-tuplos (,, a 3 ), con las operaciones (, a 3, a n ) + (b 1, b 2, b 3, b n ) = = ( + b 1 + b 2, a 3 + b 3, a n + b n ) y siendo λ, λ(, a 3, a n ) = (λ, λ, λa 3, λa n ) constituye un espacio vectorial Procediendo como en el Ejemplo 1, del libro de teoría, se verifica, sin dificultad, que el conjunto dado tiene estructura de espacio vectorial 2 Demostrar que el conjunto de los polinomios de coeficientes números racionales, de grado igual o menor que n, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números racionales, con las operaciones, suma ordinaria de polinomios y producto por un número Procediendo como en ejercicios anteriores, se comprueba que la suma de polinomios p(x) = a 0 x n + x n 1 + x n 2 + + a n 2 x 2 + a n 1 x + a n dota al conjunto de los polinomios de estructura de grupo abeliano Es inmediato comprobar, tambien, que si k Q, la ley k p(x) verifica las cuatro propiedades de la ley exterior 3 Dados los vectores del espacio bidimensional = (4, 2) = (3, 1), a 3 = (6, 4) son linealmente dependientes? Si son linealmente dependientes, se tiene que cumplir que a 3 no siendo nulos simultáneamente, λ 2 y λ 3 13
Entonces (4, 2) (3, 1) (6, 4) = (0, 0) o bien [(4 + 3λ 2 + 6λ 3 ), (2 + 4λ 3 )] = (0, 0) o bien 4λ1 + 3λ2 + 6λ3 2λ1 + λ2 + 4λ3 Sistema compatible indeterminado que admite la solución, no trivial, si hacemos λ 3 = 1: nos proporciona = 3λ 3 y λ 2 = 2λ 3 = 3, λ 2 = 2, λ 3 = 1 3 (4, 2) 2(3, 1) (6, 4) = (0, 0) esto es, existen tres números 3, 2 y 1, no todos cero, que hacen la suma igual al vector cero; luego los tres vectores dados son linealmente dependientes Nota: Tres vectores en 2 son siempre LD ya que el número máximo de vectores LI es 2 4 Dados los vectores del espacio tridimensional = (1, 5, 2) = (2, 1, 1), a 3 = (3, 1, 1) son linealmente dependientes? Si son linealmente dependientes, existen tres números, λ 2 y λ 3, no todos cero, tales que o bien a 3 (1, 5, 2) (2, 1, 1) (3, 1, 1) = (0, 0, 0) 14 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
de donde + 2λ 2 + 3λ 3 5 2 Sistema homogéneo que, como 1 2 3 5 1 1 2 1 1 0 solo admite la solución trivial = λ 2 = λ 3 Por tanto, como no existen tres números no todos cero que verifiquen a 3 luego los vectores son linealmente independientes 5 Los vectores del ejercicio 4 son un sistema generador de los vectores del espacio tridimensional? Sea un vector genérico u = (x, y, z) del espacio tridimensional; si los vectores = (1, 5, 2) = (2, 1, 1) y a 3 = (3, 1, 1) son un sistema generador, para todo x, y, z, se debe cumplir que existan, λ 2 y λ 3 tales que: o sea, o bien a 3 = u (1, 5, 2) (2, 1, 1) (3, 1, 1) = (x, y, z) + 2λ 2 + 3λ 3 = x 5 = y 2 = z 15
Sistema compatible y determinado, ya que 1 2 3 5 1 1 0 2 1 1 Por tanto, sean cualesquiera x, y, z, existen siempre tres números, λ 2 y λ 3 que permiten expresar el vector U = (x, y, z) como combinación lineal de y a 3, lo que indica que estos tres vectores forman un sistema generador del espacio tridimensional 6 Los vectores y a 3 de los ejercicios anteriores, forman una base del espacio tridimensiona 3? En el problema 5 se ha visto que formaban un sistema generador y en el problema 4 se comprobó que eran linealmente independientes, luego los vectores, y a 3 constituyen una base de L 3 7 Dada la base del espacio vectorial E 3 : = (1, 5, 2) = (2, 1, 1) y a 3 = (3, 1, 1), hallar en dicha base las coordenadas del vector b = (3, 8, 2) Sean x 1, x 2 y x 3 las coordenadad de b en la base dada; entonces: que proporciona el sistema: x 1 (1, 5, 2) + x 2 (2, 1, 1) + x 3 (3 1, 1) = (3, 8, 2) Sistema que, resuelto, proporciona x1 + 2x2 + 3x3 = 3 5x1 + x2 + x3 = 8 2x1 + x2 + x3 = 2 x 1 = 2, x 2 = 7, x 3 = 5 Las coordenadas de b en la base formada por y a 3 son (2, 7, 5) 16 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
8 Dados los vectores del espacio de cuatro dimensiones de 4 : a = (3, 1, 5, 0); b = (6, 2, 9, 1); c = (3, 1, 6, 1); d = ( 3, 1, 2, 3) determinar la dimensión del subespacio vectorial engendrado por ellos y una base de dicho subespacio vectorial Es sabido que la dimensión del subespacio vectorial engendrado por varios vectores dados es igual al rango de la matriz que tiene por columnas (o por filas) a los vectores dados Así, pues, en nuestro problema bastará hallar el rango de la matriz: El menor 3 5 6 9 3 1 5 0 6 2 9 1 A = 3 1 6 1 3 1 2 3 es distinto de cero Luego r(a) 2 Como todos los menores de tercer orden que se pueden hallar orlando el anterior son nulos (obsérvese que la primera columna se obtiene multiplicando por 3 a la segunda), concluimos que: r(a) = 2 y, por tanto, la dimensión del subespacio vectorial es también 2 3 5 Como el menor está formado por elementos de los dos primeros vectores, dichos dos vectores son linealmente independientes y constituyen una 6 9 base 17
9 Determinar las ecuaciones paramétricas de la variedad lineal engendrada por los vectores del ejercicio anterior Como una base de dicha variedad lineal o subespacio vectorial era: a = (3, 1, 5, 0); b = (6, 2, 9, 1) y todo vector v = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) perteneciente a dicha variedad lineal debe poder obtenerse como combinación lineal de los vectores que forman la base considerada, esto es: tendremos: de donde: v = λa + μb, λ, μ (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = λ(3, 1, 5, 0) + μ(6, 2, 9, 1) x x x x que son las ecuaciones paramétricas pedidas 1 2 3 4 = 3λ + 6μ = λ 2μ = 5λ + 9μ = μ 10 Sabiendo que el vector (0, y 2, 1, y 4 ) pertenece a la variedad lineal engendrada por los vectores del ejercicio 8, hallar y 2 e y 4 Sustituyendo en las ecuaciones paramétricas obtenidas en el ejercicio anterior, n o 9, como y 1, y 3 = 1, se tiene: sistema que, resuelto, proporciona λ = 2, μ = 1 Con estos valores: y 2 = λ 2μ = 2 2 ( 1) y 4 = μ = 1 0 = 3λ + 6μ 1= 5λ + 9μ 18 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA
11 Dados los vectores: obtener a = (2, 3, 4, 1, 1); b = (3, 4, 7, 2, 1); c = (1, 3, 1, 1, 8); d = (0, 5, 5, 1, 4) 1 La dimensión de la variedad lineal engendrada por ellos 2 Una base de dicha variedad lineal 3 Sabiendo que el vector (8, 4, 3, y 4, y 5 ) pertenece a dicha variedad lineal, calcular y 4 e y 5 Formando la matriz se obtiene 2 3 4 1 1 3 4 7 2 1 A = 1 3 1 1 8 0 5 5 1 4 2 3 4 3 4 7 0 5 5 0 y como todos los menores de cuarto orden que se pueden formar orlando a dicho menor son nulos, resulta r(a) = 3, y, por tanto, también es 3 la dimensión de la variedad lineal: a = (2, 3, 4, 1, 1); b = (3, 4, 7, 2, 1); d = (0, 5, 5, 1, 4) Las ecuaciones paramétricas serán (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = λa + μb + μd x x x x x 1 2 3 4 5 = 2λ + 3μ = 3λ + 4μ+ 5v = 4λ + 7μ+ 5v = λ 2μ v = λ μ+ 4v 19
Como y 1 = 8, y 2 = 4, y 3 = 3, se tiene 8= 2λ + 3μ 4= 3λ + 4μ+ 5v 3= 4λ + 7μ+ 5v sistema que, resuelto, proporciona: λ = 1, μ = 2, v = 3 y de aquí: y y 4 5 = λ 2μ v = 2 = λ μ+ 4v = 13 12 Determinar x e y para que el vector v = (3, 2, x, y) pertenezca a la variedad lineal engendrda por (1, 4, 5, 2) y (1, 2, 3, 1) Para que v pertenezca a la referida variedad lineal, con λ, μ de donde λ(1, 4, 5, 2) + μ(1, 2, 3, 1) = (3, 2, x y) λ + μ = 3 4λ + 2μ = 2 5λ + 3μ = x 2λ + μ = y De las primeras: λ = 2, μ = 5, que sustituidos en la tercera y la cuarta: x = 5 ( 2) + 3 5= 25 y = 2 ( 2) + 1 5= 1 20 MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA