Método Simplex: Variaciones (Caso Minimización)

Método Simplex: Variaciones (Caso Minimización) Existen dos formas de resolver un problema de minimización con método simplex:. Modificar en dos aspectos el algoritmo que se utilizó para el caso de maximización: Se obtiene la solución óptima cuando todos los valores de la fila ( ) son cero y/o positivos. La variable que entra es la que tiene el valor ( ) más negativo. 2. Convertir el problema de minimización en uno de maximización, multiplicando los coeficientes de la función objetivo del problema de minimización por (-) y resolver utilizando el procedimiento de maximización. Método Simplex: Variaciones (Caso Minimización) Considere el siguiente problema: La Empresa XYZ fabrica dos tipos de producto. Los costos de fabricación son de 3 y dólares para los productos A y B respectivamente. El producto A requiere dos horas en la maquina, una hora en la máquina 2 y 8 horas en la máquina 3. El producto B requiere 4 horas en la máquina, una hora en máquina 2 y 6 horas en la máquina 3. Por razones estratégicas de producción, la fabricación de ambos productos debe utilizar como máximo 8 horas de la máquina y como mínimo 2 horas de la máquina 3. Se sabe con exactitud que el manufacturar los dos productos en la máquina 2 toma 25 horas. Formule un programa de producción que permita obtener el costo mínimo. Jaime Campo Rodríguez,PhD

Método Simplex: Variaciones (Caso Minimización). Plantear en términos matemáticos: Minimizar Z = 3 + s.a. 2 + 4 <= 8 + = 25 8 + 6 >= 2, >= Método Simplex: Variaciones (Caso Minimización) Considere el siguiente problema: 2. Para utilizar el algoritmo de maximización, multiplicamos la F.O. por : Maximizar Z = -3 - s.a. 2 + 4 <= 8 + = 25 8 + 6 >= 2, >= Jaime Campo Rodríguez,PhD 2

Método Simplex: Variaciones (Caso Minimización) Considere el siguiente problema: 3. Convertir en igualdades todas las restricciones (adicionando o restando variables de holgura o excedente según el caso) Maximizar Z = -3 - + S + s.a. 2 + 4 + S + = 8 + + S + = 25 8 + 6 + S = 2,, S, >= Método Simplex: Variaciones (Caso Minimización) Antes de transferir las igualdades de restricción a la tabla inicial, es necesario identificar una solución factible básica. Esto requiere que exista una matriz identidad en el cuerpo de restricciones. Maximizar Z = -3 - + S + s.a. 2 + 4 + S + = 8 + + S + = 25 8 + 6 + S = 2,, S, >= Como se observa, el considerar variables de holgura y excedente, no siempre produce una solución básica factible. Jaime Campo Rodríguez,PhD 3

Método Simplex: Variaciones (Caso Minimización) 4. Variables artificiales: Se utilizan como auxiliares para completar la matriz identidad y poder determinar una solución factible básica inicial. La regla para usar variables artificiales es añadir una a cada restricción de mayor o igual que (>=) o de igualdad. Maximizar Z = -3 - + S + A s.a. 2 + 4 + S + + A + = 8 + + S + + A + = 25 8 + 6 + S + A + = 2,, S,, A, >= Método Simplex: Variables Artificiales En el conjunto de restricciones se observa la matriz identidad, que nos permite plantear una solución factible básica inicial si se igualan, y a cero: Restricciones S + A + = 8 S + A + = 25 S + A + = 2 Solución Inicial: =, =, S = 8, =, A = 25 y = 2 Esta solución es equivalente al origen (,); pero el origen no es un punto factible; es una solución factible con respecto a las variables artificiales pero no factible con respecto a las originales. Jaime Campo Rodríguez,PhD 4

Método Simplex: Variables Artificiales 5. Convertir la solución en una solución factible en términos de las variables originales. Como las variables artificiales no tienen un significado en términos de la solución para el problema, se utilizan procedimientos que permitan asegurar que no aparezcan en la tabla final: Asignar para las variables artificiales en la F.O. un coeficiente diez () veces mayor que el valor absoluto del mayor coeficiente de la F.O. Método de la Gran M (Big M Method) Método de las dos fases. Método Simplex: Variables Artificiales 6. Tabla Simplex Inicial: Para el caso de maximización, se asignan números negativos grandes como coeficientes de la función objetivo. Para el ejemplo se asigna un valor de 3 a los coeficientes de A y de. Maximizar Z = -3 - + S + 3A 3 Jaime Campo Rodríguez,PhD 5

Método Simplex: Variables Artificiales 6. Tabla Simplex Inicial: S A V.B. -3 - -3-3 S 2 4 A -3 8 25-3 8 6 - -27-2 3-3 -3 2-435 267 29-3 Método Simplex: Variables Artificiales 6. Tabla Simplex Inicial: V.B. -3 - S A -3-3 S 2 4 A -3-3 8 6-8 25 2 4 25 5-27 -2 3-3 -3-435 267 29-3 Jaime Campo Rodríguez,PhD 6

Método Simplex: Variables Artificiales 7. Tabla Simplex No.: V.B. -3 - S A -3-3 S 2.5.25 A -3.25.25-3.75 -.25 -.25 -.25.25 5 5-3 -97.5-33.75-3 33.75-345 87.5 33.75-333.75 Método Simplex: Variables Artificiales 7. Tabla Simplex No.: V.B. -3 - S A -3-3 (Solució n) S 2.5.25 -.25 5 2 A -3.25.25-3.75 -.25-3 -97.5-33.75-3 -.25.25 33.75 5-345 4 2 87.5 33.75-333.75 Jaime Campo Rodríguez,PhD 7

Método Simplex: Variables Artificiales 8. Tabla Simplex No.2: V.B. -3 - S A -3-3 (Solució n) -.4. -. 2 A -3 -.. -3 -.3 -.2-3 - 35-25 -3 -..2 25 5-7 -35 25-325 Método Simplex: Variables Artificiales 8. Tabla Simplex No.2: V.B. -3 - S A -3-3 (Solució n) -.4. A -3 -.. -. -. 2 5 2 5-3 -.3 -.2-3 - 35-25 -3.2 25-7 --- -35 25-325 Jaime Campo Rodríguez,PhD 8

Método Simplex: Variables Artificiales 9. Tabla Simplex No.3: SOLUCIÓN ÓPTIMA V.B. -3 - S A -3-3 (Solució n) -.5 - - - 5 5 - -.5-3 - 2-5 -45 - -25-3 Método Simplex: Variables Artificiales. La etapa final del proceso de solución es multiplicar el valor de Z por (-) Z = -45 (-) Z = 45 = = 5 = 5 Jaime Campo Rodríguez,PhD 9

Método Simplex: Variables Artificiales (Gran M) Como método alternativo para determinar la magnitud de los coeficientes de las variables artificiales, se puede usar un procedimiento simbólico que se denomina Método de la Gran M: Tabla Simplex Inicial: V.B. -3 - S A S 2 4 A 8 25 8 6 - -9M -7M M 2-45M -3+9M -+7M Método Simplex: Variables Artificiales (Gran M) Tabla Simplex Inicial: V.B. -3 - S A S 2 4 A 8 6-8 25 2 4 25 5-9M -7M M -45M -3+9M -+7M Jaime Campo Rodríguez,PhD

Método Simplex: Variables Artificiales (Gran M) Tabla Simplex No.: V.B. -3 - S A S 2.5.25 A.25.25-3.75 -.25 -.25 -.25.25 5 5-3 -22.5-.25M 3.75-.25M -3.75+.25M -45-M 2.5 +.25M -3.75+.25M -3.75-.25M Método Simplex: Variables Artificiales (Gran M) Tabla Simplex No.: V.B. -3 - S A S 2.5.25 -.25 5 2 A.25.25-3.75 -.25-3 -22.5-.25M 3.75-.25M -.25.25-3.75+.25M 5-45-M 4 2 2.5 +.25M -3.75+.25M -3.75-.25M Jaime Campo Rodríguez,PhD

Método Simplex: Variables Artificiales (Gran M) Tabla Simplex No.2: V.B. -3 - S A -.4. -. 2 A -.. -3 -.3 -.2-3 - 5+.M 5 -.M -..2-5+.M 5-2-5M -5 -.M -5+.M 5-.M Método Simplex: Variables Artificiales (Gran M) Tabla Simplex No.2: V.B. -3 - S A -.4. A -.. -. -. 2 5 2 5-3 -.3 -.2-3 - 5+ 5 -.M.M.2-5+.M -2-5M -5 -.M -5+.M 5-.M Jaime Campo Rodríguez,PhD 2

Método Simplex: Variables Artificiales (Gran M) Tabla Simplex No.3: SOLUCIÓN ÓPTIMA V.B. -3 - S A -.5 - - - 5 5-3 -.5-3 - 2-5 -45 - +5 Método Simplex: Variables Artificiales (Dos Fases) Método de las dos fases: Paso : Se descompone el último renglón en dos; el primero comprende los términos que no contienen M, mientras que el segundo comprende a los coeficientes de M en los términos restantes. V.B. -3 - S A S 2 4 A 8 25 8 6 - -9M -7M M 2-45M -3+9M -+7M Jaime Campo Rodríguez,PhD 3

Método Simplex: Variables Artificiales (Dos Fases) Paso : Tabla Simplex Inicial V.B. -3 - S A S 2 4 A 8 25 8 6 - -9M -7M M 2-45M -3-9 7 - Método Simplex: Variables Artificiales (Dos Fases) Paso 2: Identificar variable que entre a la base. Tabla Simplex Inicial V.B. -3 - S A S 2 4 A 8 25 8 6 - -9M -7M M 2-45M -3 9-7 - Jaime Campo Rodríguez,PhD 4

Método Simplex: Variables Artificiales (Dos Fases) Paso 3: Se obtiene el cociente dividiendo los elementos del entre los coeficientes de la columna que entra para determinar la variable que sale y el elemento pivote. Siempre que una variable artificial deje de ser básica, se elimina la columna asociada a ella. V.B. -3 - S A S 2 4 A 8 6-8 25 2 4 25 5-9M -7M M -45M -3 9-7 - Método Simplex: Variables Artificiales (Dos Fases) Paso 4: Construcción de la Tabla Simplex No. Recalculando la fila que sale dividiéndola entre el elemento pivote y actualizando las filas restantes con la fórmula (FN=FA-CCE(FR)). Es necesario calcular también los valores correspondientes a y ( ) V.B. -3 - S A S 2.5.25 A.25.25-3.75 -.25 5 5-3 -22.5-.25M 3.75-.25M -45-M 2.5-3.75.25.25 Jaime Campo Rodríguez,PhD 5

Método Simplex: Variables Artificiales (Dos Fases) Paso 5: Si no se ha llegado a la solución óptima, se continua con el procedimiento de identificar columna que entra y fila que sale (Pasos 2 y 3) Tabla Simplex No. V.B. -3 - S A S 2.5.25 A.25.25-3.75 -.25 5 5-3 -22.5-.25M 3.75-.25M -45-M 2.5-3.75.25.25 Método Simplex: Variables Artificiales (Dos Fases) Tabla Simplex No. V.B. -3 - S A S 2.5.25 5 2 A.25.25-3.75 -.25-3 -22.5-.25M 3.75-.25M 5-45-M 4 2 2.5-3.75.25.25 Jaime Campo Rodríguez,PhD 6

Método Simplex: Variables Artificiales (Dos Fases) Paso 6: Se actualiza nuevamente la tabla de acuerdo con el Paso 4 Tabla Simplex No.2 V.B. -3 - S A -.4. 2 A -.. -3 -.3 -.2-3 - 5+.M 5 -.M -5 -. -5. 5-2-5M Método Simplex: Variables Artificiales (Dos Fases) Paso 7: Sin solución óptima se continua con los Pasos 2 y 3 Tabla Simplex No.2 V.B. -3 - S A -.4. 2 A -.. -3 -.3 -.2-3 - 5+.M 5 -.M -5 -. -5. 5-2-5M Jaime Campo Rodríguez,PhD 7

Método Simplex: Variables Artificiales (Dos Fases) De nuevo, una variable artificial ha dejado de ser básica, por lo tanto se elimina la columna correspondiente. V.B. -3 - S A -.4. A -.. 2 5 2 5-3 -.3 -.2-3 - 5+ 5 -.M.M -2-5M -5-5 -.. Método Simplex: Variables Artificiales (Dos Fases) Paso 8: Una vez actualizada la tabla siguiendo el Paso 4, se observa que al eliminar completamente las variables artificiales, la ultima fila puede igualmente eliminarse, puesto que todos sus elementos son ceros. S V.B. -3 - -.5-5 5-3 -.5-3 - -45 - Jaime Campo Rodríguez,PhD 8

Método Simplex: Variables Artificiales (Dos Fases) Se puede apreciar que se ha alcanzado la SOLUCIÓN ÓPTIMA, toda vez que los valores de la fila ( ) son negativos y/o ceros. Tabla Simplex No.3 S V.B. -3 - -.5-5 5-3 -.5-3 - -45 - ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Introducción Es un método para investigar el efecto que tienen cambios en los diferentes parámetros sobre la solución óptima de un problema de P.L. Se pueden cambiar los coeficientes de la función objetivo, los valores del segundo término de las ecuaciones de restricción o los coeficientes asociados directamente con las restricciones, pues es frecuente que estos valores sean definidos con base a estimaciones. Jaime Campo Rodríguez,PhD 9

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Ejemplo: Caso Agro-Tech Inc. (Modificado) Formulación del Problema: = Toneladas de 5-5- a fabricarse = Toneladas de 5--5 a fabricarse X 3 = Toneladas de 5-5-5 a fabricarse Utilizando precio de venta de $6 por tonelada y la mezcla de ingredientes (5-5-5) para el tercer producto, su contribución a las utilidades es de $4.5 por tonelada. Dado que no se han añadido restricciones adicionales, la formulación es la siguiente: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Ejemplo: Caso Agro-Tech Inc. (Modificado) Formulación del Problema: Maximizar Z = 8.5 + 2 + 4.5X 3 Sujeto a:.5 +.5 +.5X 3.5 +. +.5X 3 8. +.5 +.5X 3 2,, X 3 Jaime Campo Rodríguez,PhD 2

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Ejemplo: Caso Agro-Tech Inc. (Modificado) Solución óptima del Problema utilizando el método Simplex: V.B. 8.5 2. X 3 4.5 S S 3 (Solución bj) 8.5 4-2 8. 2. -2 2 4. S 3 -.5-3 5 8.5 2 8.5 34 3 428. -4. -34-3 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Ejemplo: Caso Agro-Tech Inc. (Modificado) Inquietudes a resolver: Mercadotecnia: Posibilidad de aumentar el precio del 5-5-5 para que sea redituable. Compras: Considerar una posible reducción en el nitrato. Ventas: Considerar una posible reducción en el precio del 5-5- Jaime Campo Rodríguez,PhD 2

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Alternativas: Resolver de nuevo el problema con los valores modificados, de acuerdo con las inquietudes planteadas. Iniciar el Análisis a partir de la Tabla Óptima, cuando el problema modificado tiene el mismo conjunto óptimo de varibles básicas. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Procedimiento: RANGOS DE OPTIMALIDAD (Cj) RANGOS DE FACTIBILIDAD (bj). Análisis básico: Cambio del coeficiente de una variable no básica en la Función Objetivo. Cambio del coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo. Cambio en el valor de uno de los recursos ( ). Nota: El análisis básico debe hacerse por separado para facilitar su comprensión. 2. Calcular los límites del cambio (en un coeficiente o en el segundo término) sin que se afecte la mezcla ó combinación que conduce a la solución óptima. 3. Si el cambio que se propone está por fuera de los límites (Allowable min-max), la solución óptima actual ya no lo será y deberá calcularse una nueva solución de P.L. Jaime Campo Rodríguez,PhD 22

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD:. Análisis básico: Cambio del coeficiente de una variable no básica en la Función Objetivo. Determinar la sensibilidad de los valores solución a cambios en los coeficientes de la función objetivo: Adicionar una cantidad j al coeficiente que se tiene de la función objetivo,. El nuevo coeficiente de la función objetivo es: Cj = Cj + j Considerando X 3 para resolver la primera inquietud, se determina 3 y C 3 para dicha variable. La Tabla óptima modificada es la siguiente: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD:. Análisis básico: Cambio del coeficiente de una variable no básica en la Función Objetivo. V.B. La Tabla óptima modificada es la siguiente: 8.5 2. X 3 4.5 + 3 8.5 4-2 8. 2. -2 2 4. S 3 -.5-3 5 8.5 2 8.5 34 3 428. 3-4. -34-3 S S 3 Jaime Campo Rodríguez,PhD 23

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2. Calcular los límites del cambio: Cambio del coeficiente de una variable no básica en la Función Objetivo. Antes de que X 3 se pueda volver básica, el valor ( ) asociado, debe volverse no negativo, esto significa que: 3 4. Despejando 3, se tiene que 3 4.. Como C3 = C3 + 3 C = 4.5 + 4. 3 C 8.5 3 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2. Calcular los límites del cambio: Cambio del coeficiente de una variable no básica en la Función Objetivo. Otra forma para determinar el valor de ó límite superior (Máximo) del coeficiente, para las variables no básicas, es tomar el valor absoluto de ( ) de la Tabla óptima. Para nuestro ejemplo: (C 3 Z 3 ) = 3 C 3 Z 3 3. Lo anterior indica que si el precio de X 3 se elevara un poco más de $4., es decir, si su contribución a las utilidades fuera mayor que $8.5, entonces la producción de X 3 se volvería más redituable que la mezcla actual de producción ( = 8. y = 4.). Si el precio se aumenta exactamente en $4., se llegaría a un punto de decisión en el que podría fabricarse X 3, pero no se obtendrían utilidades adicionales. Se obtendrían los mismos $428. de utilidades para esta solución óptima alternativa. Jaime Campo Rodríguez,PhD 24

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Para concluir: Si la contribución a la utilidad de la variable no básica disminuye o aumenta en una cantidad inferior al valor de para la variable objeto de análisis, no hay cambio en la solución óptima. Sólo habrá cambio en la Solución Óptima, si la contribución a las utilidades aumenta en una cantidad mayor al valor actual de. Una variable no básica no se encuentra en la solución óptima porque las utilidades que se obtienen al fabricar ese producto son inferiores a lo que se perdería por hacerlo. Para cambiar esta relación, es necesario aumentar la contribución del producto a las utilidades hasta que sean iguales o mayores que lo que se perdería por fabricarlo. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD:. Análisis básico: Cambio del coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo. Determinar la sensibilidad de los valores solución a cambios en los coeficientes de la función objetivo: Adicionar una cantidad j al coeficiente que se tiene de la función objetivo,. El nuevo coeficiente de la función objetivo es: 2. Calcular los límites del cambio: C = + C j j j Para determinar los límites, es necesario examinar todos lo valores ( ) que se ven afectados por j, esto se observa en la siguiente tabla: Jaime Campo Rodríguez,PhD 25

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2. Calcular los límites del cambio: Cambio del coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo. V.B. La Tabla óptima modificada para cambio en coeficiente de (5-5-): 8.5 + 2. X 3 4.5 8.5 + 4-2 8. 2. -2 2 4. S 3 -.5-3 5 8.5 + 2 8.5 + 34 + 4 3-2 428. + 8. - 4. - S -34-4 -3 + 2 S 3 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2. Calcular los límites del cambio: Cambio del coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo. Como se observa en la tabla anterior, se ha adicionado un coeficiente en las partes en que interviene ; se calcularon nuevamente los renglones y ( ) con los valores modificados. Para que la combinación actual ( = 8., = 4.), siga siendo óptima, debe asegurarse que ningún valor ( ) de la tabla anterior, se vuelva positivo; por lo tanto, se debe determinar el valor ; para lo cual se despeja una desigualdad para cada uno de los valores no básicos ( ), así: ParaX 4 3 + 4 4 Jaime Campo Rodríguez,PhD 26

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2. Calcular los límites del cambio: Cambio del coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo. ParaS 34 4 4 + 34 4 34 4 4 8.5 ParaS 3 + 2 2 2 + 3 3 2.5 Re sumiendo: 4 8.5.5 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2. Calcular los límites del cambio: Cambio del coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo. Se selecciona el conjunto de condiciones más restrictivo:.5 Única condición de menor o igual que. - 4 Se utiliza la más cercana a cero porque satisface las otras condiciones, en este caso : ( - 8.5) NOTA: En caso de varias restricciones de mayor o igual que, se selecciona la que tenga el valor más cercano a cero, lo cual permitirá determinar el intervalo apropiado de utilidades. Jaime Campo Rodríguez,PhD 27

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 3. Los cambios permisibles para C pueden expresarse como: - 4.5 Por ello, la contribución a las utilidades no puede aumentar en más de $.5 o disminuir en más de $4.; es decir, $4.5 C $2. C debe ser superior a $4.5 e inferior a $2 con el objeto que la mezcla óptima de producción permanezca igual. Suponiendo que las condiciones del mercado permiten un incremento de las utilidades del producto de hasta $25 (fuera de los límites anteriores), la mezcla actual no sería óptima y se deben calcular los nuevos reglones y ( ) haciendo = +6.5 ($25 8.5). Esta modificación se presenta en la siguiente tabla: ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Tabla modificada para = +6.5: V.B. 25 2 X 3 4.5 2 4-2 4. -.5-3 5 25-2 2 8. 25 2 2 3 53. -5.5-3 - S S 3 Como se observa el valor de la F.O aumentó en 2.. Los valores de ( ) han cambiado también; esto implica que la mezcla actual no es óptima y que debe recalcularse con el objeto de lograr una nueva solución óptima. Jaime Campo Rodríguez,PhD 28

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Calcular los límites del cambio: Cambio del coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo. V.B. La Tabla óptima modificada para cambio en coeficiente de (5--5): 8.5 2 + 2 X 3 4.5 8.5 4-2 8. 2+ 2-2 2 4. S 3 -.5-3 5 8.5 2 + 2 8.5 34-2 2 3 + 2 2 428. + 4. 2-4. S -34 + 2 2-3 - 2 2 S 3 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: Calcular los límites del cambio: Cambio del coeficiente de una variable básica en la Función Objetivo. ParaS 34 + 2 2 2 34 2 7 2 Re sumiendo: 7 ParaS 3 2 2.5 2 2 2.5 7 2 2 3 2 2 2 3 2 2.5 2 Jaime Campo Rodríguez,PhD 29

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD:. Análisis básico: Cambio en el valor de uno de los recursos ( ). Determinar la sensibilidad de los valores solución a cambios en el valor de un recurso: Adicionar una cantidad j al recurso que se quiere cambiar y se vuelve aplicar el proceso de solución: 2. Calcular los límites del cambio en el valor de uno de los recursos: En la tabla inicial del Simplex, obtenida para el caso de Agro Tech, se incluye el cambio en el nivel de nitrato disponible ( + N ), donde N es positivo o negativo para reflejar posibles aumentos o disminuciones en la disponibilidad del recurso. : ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2. Calcular los límites del cambio en el valor de uno de los recursos: Tabla inicial para el nuevo nivel de recursos: V.B. 8.5 2. X 3 4.5 S S 3 (Solución bj) S.5.5.5. + N.5..5.8 S 3..5.5 2. 8.5 2 4.5 Jaime Campo Rodríguez,PhD 3

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2. Calcular los límites del cambio en el valor de uno de los recursos: Se procede con las iteraciones normales del Simplex incluyendo N, hasta llegar a la Tabla Óptima: V.B. 8.5 2. X 3 4.5 S S 3 (Solución bj) 8.5 4-2 8.+4 N 2. -2 2 4. - 2 N S 3 -.5-3 5-3 N 8.5 2 8.5 34 3 428. + 34 N -4. -34-3 6 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2. Calcular los límites del cambio en el valor de uno de los recursos: En la Tabla Óptima se puede apreciar que el valor de la F.O aumenta en $34 por cada tonelada adicional de nitrato o disminuye en la misma cantidad por tonelada que deje de usarse. Como los valores de la solución siempre deben ser no negativos, pueden utilizarse estas funciones para determinar la cantidad de nitrato que puede aumentarse o disminuirse, antes de que la mezcla actual deje de ser óptima, así: Jaime Campo Rodríguez,PhD 3

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2. Calcular los límites del cambio en el valor de uno de los recursos: Para X 8. + 4 N 4 8. N 4 8. N N N 8. 4 2 ParaS3 5 3 N 3 5 N 3 N 5 3 3 66.67 N Para X2 4. 2 N 2 4. N 2 N 4. 2 2 7 Re sumiendo: 2 N N N N 7 66.67 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: 2. Calcular los límites del cambio en el valor de uno de los recursos: Si N es menor que 66.67, también será menor que $7, pero no viceversa. Entonces, los límites son los siguientes: - 2 N 66.67 3. Lo anterior significa que la disponibilidad de nitrato puede cambiar en cualquier forma, desde un aumento de 66.67 toneladas hasta una disminución de 2 toneladas, sin ocasionar cambios en el conjunto de variables de la solución. Los valores de la F.O, los valores de las varables de la solución y el valor del cambiarán, pero la mezcla actual de variables se mantendrá. Así, las variables para la solución óptima actual seguirán siendo las mismas, si existen cuando menos 9 toneladas de nitrato disponible o si hay no más de 266.67. Jaime Campo Rodríguez,PhD 32

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: DUALIDAD: Para todo problema de maximización de programación lineal existe un problema equivalente de minimización; y a la inversa, para todo problema de minimización de programación lineal existe un problema equivalente de maximización. La dualidad es importante porque: En algunos casos, el planteamiento de problema de PL puede dar como resultado una reducción considerable en los cálculos para resolver el problema. La relación dual tiene un nexo importante con el análisis de sensibilidad. Es posible obtener importante información económica acerca del valor de los recursos escasos que se utilizan examinando el problema dual. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: PLANTEAMIENTO DUAL:. Reemplazar las variables X j del problema primario por variables y i en el dual. 2. Colocar los coeficientes de la F.O del primario como los valores del en el dual. 3. Colocar los valores del del primario como los coeficientes de la F.O en el dual. 4. Transponer los renglones de los coeficientes de restricción del primario para convertirlos en columnas de coeficientes en el dual. 5. Invertir la dirección de las desigualdades, es decir, si las desigualdades del primario son de mayor o igual, las desigualdades en el dual serán de menor o igual. Jaime Campo Rodríguez,PhD 33

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: (Problema original de los dos fertilizantes Tom Anderson) Planteamiento del problema primario: Maximizar: Z =8.5 + 2 Sujeto a:.5 +.5.5 +. 8. +.5 2,, son toneladas a fabricar de fertilizante 5-5- y 5--5 respectivamente y, 8 y 2 son las toneladas disponibles de recursos (nitrato, fosfato y potasio). ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: (Problema original de los dos fertilizantes Tom Anderson) Planteamiento del problema DUAL: Y i = valor marginal del recurso i (=Nitrato, 2=Fosfato, 3=Potasio) en dólares por tonelada. Minimizar Z =Y + 8Y 2 + 2Y 3 Sujeto a:.5y +.5Y 2 +.Y 3 8.5.5Y +.Y 2 +.Y 3 2. Y, Y 2, Y 3 Cada restricción del dual se relaciona con un producto final (un tipo de fertilizante) en vez de hacerlo con un recurso. Jaime Campo Rodríguez,PhD 34

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: (Problema original de los dos fertilizantes Tom Anderson) Utilizando la primera restricción, se tiene: toneladas denitrato dólares.5 Y + toneladas de5 5 toneladas denitrato toneladas de fosfato dólares.5 Y2 + toneladas de5 5 toneladas de fosfato toneladas de potasio dólares dólares.5 Y3 8.5 toneladas de5 5 toneladasdepotasio toneladasde 5 5 Puesto que las unidades de medición son iguales en ambos lados de la desigualdad, la restricción es correcta. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: (Problema original de los dos fertilizantes Tom Anderson) Consideraciones al plantear el Dual: El número de variables del dual será igual al número de restricciones en el primario. El número de restricciones en el dual será igual al número de variables en el primario. La F.O del dual estará formada por los valores del segundo término del primario. Los valores del segundo término del dual serán los coeficientes de las utilidades del primario. Los coeficientes de las restricciones del dual serán las columnas del primario. Jaime Campo Rodríguez,PhD 35

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: (Problema original de los dos fertilizantes Tom Anderson) Diferencias entre planteamientos Primario y Dual: Primario Dual Variables: Unidades de producto final que se fabrican Valor marginal por tonelada del recurso Función objetivo: Restricción: Maximizar utilidades = (unidades del producto) x (utilidad por unidad) Limitación sobre el uso de recursos escasos Minimizar valor marginal = (valor marginal por tonelada del recurso) x (toneladas del recurso que se utilizan) Requerimientos de utilidad por unidad para cada producto ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: (Problema original de los dos fertilizantes Tom Anderson) Tabla óptima para el planteamiento dual del problema: V.B. Y -. Y 2 -.8 Y 3-2. S -2. -2. Y -. 3-4 2 4-2 34 Y 2 -.8-2 -2-2 2 3 -. -.8 -.5 +8. +4. -8. -4. -428. A -5-8. -4. -2. -6. Nota: El valor negativo de Z de $428. resulta porque el problema dual fue un problema de minimización. No se debe considerar el signo negativo. Jaime Campo Rodríguez,PhD 36

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: (Problema original de los dos fertilizantes Tom Anderson) Tabla óptima problema primario: V.B. 8.5 2. S S 3 (Solución bj) 8.5 4-2 8. 2. -2 2 4. S 3-3 5 8.5 2 34 3 428. -34-3 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: (Problema original de los dos fertilizantes Tom Anderson) Relación entre el primario y el dual óptimo: En la solución óptima, los valores de la F.O de ambos problemas son iguales. Para cualquier otra solución dual (que no sea óptima) el valor de la F.O será siempre mayor que el de cualquier valor primario factible. Relación entre los valores de la F.O en el problema primario y en el dual: Si el cambio es un aumento unitario, la utilidad Z del primario aumentará en una cantidad equivalente al valor óptimo de la variable dual correspondiente. Una disminución unitaria en el nivel de un recurso dará como resultado una disminución correspondiente en el valor de la F.O en la solución óptima del primario. Jaime Campo Rodríguez,PhD 37

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: EJEMPLO: (Problema original de los dos fertilizantes Tom Anderson) Para el ejemplo esto significa: Que un aumento de una tonelada en la disponibilidad del nitrato da como resultado $34 de aumento en las utilidades, en tanto que un aumento de una tonelada en el uso del fosfato da como resultado un aumento de $3 en las utilidades. Un aumento en la disponibilidad de potasio no tendría impacto sobre las utilidades (en la solución primaria existen 5 toneladas de potasio que no se utilizaron. Los valores de las variables duales pueden encontrarse en la tabla óptima del primario, formándose una correspondencia de uno a uno entre las variables duales y las variables primarias de holgura. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD: INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL DUAL: Cada una de las variables duales equivale a la utilidad adicional que puede obtenerse de una unidad adicional del recurso correspondiente, es decir Y =34 implica que cada tonelada adicional de nitrato produce $34 adicionales de utilidad; Y 2 =3 implica que cada tonelada adicional de fosfato produce $3 adicionales de utilidad; y Y 3 = implica que no se obtienen utilidades adicionales al añadir toneladas extra de potasio. Las variables duales indican la cantidad extra que se estaría en disponibilidad de pagar por una unidad adicional de un recurso específico. Se estaría dispuesto a pagar un precio más elevado por un recurso escaso, hasta por el valor de la variable dual. Por ejemplo: Cada tonelada de fosfato vale $3, y estariamos dispuestos a pagar al proveedor hasta $ por tonelada ($8 del precio actual más $3 adicionales) adicional de fosfato. El aumento neto en la utilidad por tonelada adicional de recurso será la diferencia entre $3 y el precio más elevado que se pague. Jaime Campo Rodríguez,PhD 38

Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: EJERCICIO Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar ésta capacidad a uno o más de tres productos; llámense productos, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción: Fresadora Torno Rectificadora Tipo de máquina Tiempo disponible (Horas) 5 35 5 Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: EJERCICIO El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es: Tipo de Máquina Fresadora Torno Rectificadora Producto 9 5 3 Producto 2 El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 2 unidades por semana. La ganancia unitaria sería $5, $2 y $25, respectivamente, para los productos, 2 y 3. 3 4 Producto 3 5 2 Jaime Campo Rodríguez,PhD 39

Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: EJERCICIO El objetivo es determinar: Cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la utilidad? Cuál es la utilidad máxima? Cuál es la contribución de cada producto a la utilidad? Cuál es el tiempo de utilización de cada máquina? Queda tiempo ocioso? Por cada hora adicional asignada, en cuánto aumentará la utilidad por cada máquina? Para mantener la solución óptima actual cuál sería el beneficio (mínimo y máximo) por unidad de cada producto? Cuántas horas adicionales se podría trabajar en la Fresadora, sin un cambio en el precio sombra? Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: SOLUCIÓN Definición de Variables: X i = Cantidad a producir del P i Donde i =, 2 y 3 (P, P2 y P3) Función objetivo: F.O.: Max Z = 5 + 2 + 25X 3 Restricciones: S.A. 9 + 3 + 5X 3 <= 5 5 + 4 <=35 3 + 2X 3 <=5 X 3 = 2 Jaime Campo Rodríguez,PhD 4

Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: SOLUCIÓN Forma Estándar: Max. Z = 5 + 2 + 25X 3 + S + + S 3 A S.A. 9 + 3 + 5X 3 + S + + S 3 + A = 5 5 + 4 + X 3 + S + + S 3 + A = 35 3 + + 2X 3 + S + + S 3 + A = 5 + + X 3 + S + + S 3 + A = 2 Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: SOLUCIÓN Jaime Campo Rodríguez,PhD 4

Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: SOLUCIÓN Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: SOLUCIÓN Jaime Campo Rodríguez,PhD 42

Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: SOLUCIÓN Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: SOLUCIÓN Jaime Campo Rodríguez,PhD 43

Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: SOLUCIÓN Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: SOLUCIÓN Unidades a producir de cada producto: Producto = 26,95 unidades Producto 2 = 54,769 unidades X 3 Producto 3 = 2 unidades Utilidad Máxima: Z = $2.94,762 Contribución por producto: Producto = $.39,524 Producto 2 = $.95,238 X 3 Producto 3 = $5 Jaime Campo Rodríguez,PhD 44

Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: SOLUCIÓN Tiempo de utilización de la maquinaria: Tipo de Máquina Tiempo Disponible (Horas) Tiempo Utilizado (Horas) Tiempo Ocioso (Horas) Fresadora 5 5 Torno 35 35 Rectificadora 5 8,574 3,4286 Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: SOLUCIÓN Aumento en la utilidad por hora adicional asignada a cada máquina: Por cada hora adicional en la fresadora, la utilidad aumentará en $4,769 Por cada hora adicional en el torno, la utilidad aumentará en $,4286 El aumento de hora adicional en la rectificadora no aumentará la utilidad. Para mantener la solución óptima actual, el beneficio por unidad de cada producto, debe estar entre: 25 <= Utilidad por unidad del producto <= 6 6,666 <= Utilidad por unidad del producto 2 <= 4 - infinito <= Utilidad por unidad del producto 3 <= infinito Jaime Campo Rodríguez,PhD 45

Modelos matemáticos aplicados a las organizaciones:. Planeación de la producción: SOLUCIÓN Horas adicionales que se pueden trabajar en la Fresadora sin un cambio en precio sombra: Limite superior Tiempo Actual = Horas adicionales 555-5 = 55 Horas adicionales se pueden trabajar en la fresadora manteniendo un precio sombra de $4,76. Jaime Campo Rodríguez,PhD 46