RELACIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICAS II Curso 2017/2018 Escuela Técnica Superior de Ingeniería Agronómica Departamento de Matemática Aplicada I Tema 6. Programación Lineal 6.1. Hallar el máximo de la función f = 2x+3y, sujeta a las restricciones: y 0, y x, y 2 x. 6.2. Hallar los valores máximo y mínimo de la función f = x y sometida a las restricciones: x+2y 4 0, x y +4, x 1. 6.3. Resolver gráficamente el siguiente problema: Maximizar z = 0.75x + y, sujeto a: x+3y 15, 5x+y 20, 3x+4y 24, x 0, y 0. 6.4. Averiguar si la función f = x+4y tiene máximo y mínimo, estando sometida a las restricciones: y x 3, y +x 1, x 0. 6.5. Optimizar la función f = x+y, sujeta a las restricciones: y x 3, y +x 1, x 0, y 0. 6.6. Es posible optimizar la función z = x + y + 1 sujeta a las restricciones: 3x+4y 13 0, 2x 3y 3 0, 5x y 27 0? 6.7. Consideremos el recinto de la figura en el que están incluidos todos los lados y todos los vértices. Escribe la inecuaciones que lo definen y maximiza la función z = x+y.
2 Matemáticas II 6.8. Del problema de programación lineal: Maximizar la función z = 2000x + 3000y, sometida a las restricciones 2x+3y 10, 2x+y 6, x 0 e y 0, nos aseguran que hay una solución óptima en x = 1.1, es eso posible? Razonar la respuesta y en caso afirmativo calcular el correspondiente valor de y. 6.9. Se considera el problema de programación lineal cuya región factible viene determinada por las restricciones: 2x+y 6; 4x 3y 20; x+y 2 y por las condiciones de no negatividad de las variables. Se sabe que la función objetivo f(x,y) = ax+by alcanza un mínimo en los puntos (2,0) y (0,2) y dicho mínimo vale 8. Se pide: (a) Representar la región factible. (b) Alcanzaría la función objetivo un mínimo en el punto (1,1)? (c) Determinar la función objetivo. (d) Tendría algún máximo el problema planteado? (e) Si añadiésemos la restricción y 4, cuáles serían las soluciones del nuevo problema planteado? 6.10. En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se han de tener almacenados un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y además el número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. Si la capacidad total del almacén es de 150 bidones y el gasto de almacenaje es de 1 euro por cada bidón de aceite de oliva y 0.5 euros por cada bidón de aceite de girasol, cuántos bidones de cada tipo estarían almacenados si el gasto fuera máximo? 6.11. Un granjero tiene tres clases de garbanzos en las siguientes cantidades: 15.5 kg de garbanzos grandes, 10.5 kg de medianos y 13 kg de pequeños. Los vende en bolsas de dos tipos, en cada bolsa del tipo A mezcla: 1 kg de grandes, 500 g de medianos y 300 g de pequeños; en cada bolsa del tipo B: 500 g de grandes, 800 g de medianos y 700 g de pequeños. Si vende la bolsa de la clase A a 2 euros y la de clase B a 1.5 euros, cuántas bolsas de cada clase debe confeccionar para que los ingresos sean máximos? 6.12. Un químico dispone de 80 litros de un producto A y de 120 litros de otro B. Con ellos prepara dos compuestos: Matacuca y Crecepino. El primero se consigue con tres partes del producto B y una del A; en el compuesto Crecepino la proporción es al 50%. Vende los preparados en frascos con un contenido de 4 litros, el Matacuca a 50 euros y el Crecepino a 60 euros cada frasco. Cuántos litros de cada compuesto debe preparar para obtener una ganancia máxima? Cuál es el valor de la ganancia?
Programación Lineal 3 6.13. Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A está compuesto de un 30% de p y un 40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones: La cantidad de A es mayor o igual que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos. (a) Qué mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p? (b) Qué mezcla hace q mínimo? 6.14. Se quiere elaborar una dieta alimenticia para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de contenidos vitamínicos diarios: 2 mg de vitamina A, 60 mg de vitamina B y 40 mg de vitamina C. Para ello se van a mezclar dos clases de piensos, P y Q, cuyo precio por kilogramo es, respectivamente, de 40 y 60 euros. El contenido vitamínico de cada kilo de pienso P es: 1 mg de vitamina A, 20 mg de vitamina B y 10 mg de vitamina C; el de cada kilo de pienso Q : 0.5 mg, 20 mg y 20 mg, respectivamente, de vitaminas A, B y C. Cómo deben mezclarse los piensos para que se satisfagan estas necesidades vitamínicas con el menor gasto posible? Cuál es el gasto diario mínimo por animal? 6.15. Se dispone de dos tipos de alimentos P y Q. El costo del alimento P es de 10 euros el kilo, y el del alimento Q de 50 euros el kilo. Se sabe que cada kilo de P contiene 100 unidades de vitaminas y cada kilo de Q, 300 unidades. Las necesidades mínimas para el organismo son de 2700 unidades de vitaminas, semanales. Se sabe, además, que cada kilo de P aporta 3 unidades de colesterol, mientras que cada kilo de Q contrarresta una unidad de colesterol, siendo el máximo tolerable de colesterol 21 unidades semanales. Cual es la dieta sana y adecuada a fin de cubrir las necesidades personales a mínimo coste? Cual es dicho coste? 6.16. Se quiere elaborar una dieta para ganado que satisfaga unas condiciones mínimas de contenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30 mg de la C y 2 mg de la D. Para ello, se van a mezclar piensos de dos tipos, P y Q, cuyo precio por kilo es, para ambos, de 0.3 euros y cuyo contenido vitamínico en miligramos por kilo es el siguiente: A B C D P 1 1 20 2 Q 1 3 7.5 0 Cómo deben mezclarse los piensos para que el gasto sea mínimo?
4 Matemáticas II 6.17. Un veterinario ha recomendado que mi perro tome diariamente, al menos, 4 unidades de hidratos de carbono (H), 23 de proteínas (P) y 6 de grasas (G). En mi supermercado existen dos marcas de alimentos: Gordican y Supercan. Cada kg de la primera contiene 4 unidades de H, 6 de P, 1 de G y cuesta 2 euros; cada kg de la segunda contiene 1 unidad de H, 10 de P, 6 de G y cuesta 3 euros. Hallar la cantidad de cada marca que debo mezclar para obtener la dieta recomendada por el veterinario al mínimo coste. 6.18. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 20000 euros en cada mina, cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo? 6.19. Las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son, respectivamente, 8, 12 y 9 unidades. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando dos productos A y B, cuyos contenidos y sus precios por kg son los que se indican en la siguiente tabla: Proteínas Hidratos Grasas Coste/kg (euros) A 2 6 1 6 B 1 1 3 4 (a) Cuántos kg de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el coste de preparación de la dieta sea mínimo? (b) Se excede de esta forma el número mínimo de unidades de alguno de los nutrientes? Razona la respuesta. 6.20. En una granja agrícola se desea criar conejos y pollos como complemento en su economía, de forma que no se superen en conjunto las 180 horas mensuales destinadas a esta actividad. Además, su almacén sólo puede albergar 1000 kilogramos de pienso. Considerando que un conejo necesita 20 kg de pienso al mes y 3 horas de cuidado y que un pollo necesita 10 kg de pienso y 2 horas de cuidado, hallar el número de animales que deben criarse para que el beneficio sea máximo si se obtienen 10 euros por cada conejo y 6 euros por cada pollo. Sobraría pienso? Quedarían horas libres para otra actividad?
Programación Lineal 5 6.21. En un almacén agrícola se almacena maíz y avena para la alimentación del ganado. La capacidad total del almacén es de 3000 toneladas. Las necesidades alimenticias requieren que se disponga de al menos 600 toneladas de cereal y no menos de 350 de maíz y 100 de avena. Además la cantidad de maíz no debe ser inferior a la mitad de la provisión de avena. Determinar todos los planes de aprovisionamiento posibles con coste mínimo, sabiendo que el coste de almacenamiento es de un euro por tonelada para ambos cereales. 6.22. Un ganadero posee en su explotación 230 ovejas y 20 vacas. Las instalaciones cuentan con dos naves, una para ganado ovino de 435 metros cuadrados y otra para el vacuno de 180 metros cuadrados. Aprovechando que el ganadero hereda una parcela anexa de 16 hectáreas, se plantea aumentar el número de cabezas de ganado. Para esta inversión dispone de 12000 euros. Los costes de compra de los animales son de 60 euros por oveja y 720 euros por vaca. La superficie de pastos necesaria es de 0.2 hectáreas por oveja y 0.8 hectáreas por vaca. Para las épocas del añoen el que el sistema de producción no es el pastoreo extensivo, se utilizan las naves como establos, teniendo en cuenta que la superficie mínima necesaria es de 1.5 metros cuadrados por oveja y 5 metros cuadrados por vaca. El beneficio neto que se obtiene es de 45 euros por oveja y 300 euros por vaca. Determinar el número de cabezas de ganado que se deben comprar para obtener un beneficio máximo, sin considerar los gastos de la compra de los animales, es decir, cuando la inversión esté ya amortizada. 6.23. En una escuela universitaria se dispone de 120000 euros para conceder becas de estancia en el extranjero. Las becas son de dos tipos: de estudio y de trabajo en prácticas, dotadas de 200 y 400 euros cada una, respectivamente. Por el número de instituciones participantes en la iniciativa, se deben ofertar al menos 5 becas de estudio y entre 10 y 25 becas de trabajo. Además el número de estudiantes con becas de trabajo en prácticas debe ser al menos el mismo que el de estudiantes con becas de estudio. (a) Según los criterios de calidad universitaria, se le concede a la escuela un coeficiente de 0.4 por cada beca de trabajo y un coeficiente de 0.2 por cada beca de estudio. Cuántas becas de cada tipo se deben conceder para maximizar el coeficiente de calidad? Se podrían conceder 15 becas de estudio cumpliendo dicho objetivo? (b) Si el objetivo fuera conceder el mayor número de becas, cuántas becas de cada tipo habría que ofertar?
6 Matemáticas II (c) Es posible maximizar al mismo tiempo el número de becas y el coeficiente de calidad? 6.24. Las necesidades mínimas mensuales de abonado de un olivar son de 250 kg de ácido fosfórico, 450 kg de nitrógeno y 400 kg de potasio. Para realizar el abonado se mezclan dos fertilizantes A y B cuyos contenidos por metro cúbico en cada uno de estos elementos son, respectivamente, 25 kg, 15 kg y 10 kg en el caso de A, y 5 kg, 15 kg y 20 kg en el caso de B. a) Es correcto aplicar 10 metros cúbicos de fertilizante A y 15 metros cúbicos de B? Por qué? b) Si el fertilizante B cuesta el doble que A, determinar las posibles mezclas que satisfacen las necesidades de abonado con un coste mínimo. c) Si se estima que la manipulación y aplicación de cada fertilizante requiere 3 horas de mano de obra por cada metro cúbico, determinar las mezclas adecuadas para los requerimientos del suelo que minimizan la mano de obra necesaria. d) Determinar, si es posible, la mezcla que minimiza al mismo tiempo el coste y la mano de obra necesaria para su aplicación. 6.25. En un laboratorio existen dos contadores de bacterias que pueden usarse simultáneamente. El contador C1 es capaz de contar 5 muestras en una hora y puede ser manipulado por un becario que gana 10 euros por hora. El contador C2, que es más rápido pero también más sofisticado, permite contar 10 muestras en una hora pero sólo puede manipularlo una persona especializada que gana 30 euros por hora. El laboratorio tiene que analizar al menos 1000 muestras en un periodo que no exceda las 80 horas. Cuántas horas se debe usar cada contador para realizar la tarea con un coste mínimo? Cuál es dicho coste? 6.26. Se quiere elaborar un complemento vitamínico para el ganado usando dos compuestos A y B siguiendo las siguientes recomendaciones: no administrar más de 150 gramos de mezcla ni menos de 50. Además, la cantidad de A debe ser mayor o igual que la de B y no se debe incluir más de 100 gramos de A. Si cada gramo del compuesto A contiene 0 3 mg de vitaminas y cada gramo del compuesto B, 0 2 mg de vitaminas: a) Qué cantidad de cada compuesto debemos mezclar para obtener el preparado con mayor contenido vitamínico? Cuál es dicho contenido? b) Si se pretende administrar al ganado al menos 15 mg de vitaminas y el precio del compuesto A es de 9 euros por kilogramo y el del compuesto B, de 6 euros por kilogramo, qué cantidades debemos mezclar para que el gasto sea mínimo? Cuál es dicho gasto?
Programación Lineal 7 6.27. En una refinería se producen dos tipos de fertilizantes a partir de 4 compuestos: nitrógeno, ácido fosfórico, potasio soluble y guano. En la tabla siguiente se expresa la composición por bidón de cada fertilizante. Nitrógeno A. Fosfórico Potasio Guano Fertilizante 1 20 litros 30 litros 30 litros 20 litros Fertilizante 2 10 litros 10 litros 60 litros 20 litros La empresa dispone de 900 litros de nitrógeno y 1400 litros de guano, no estando limitadas las cantidades de los otros dos componentes. Sin embargo, debido al gran stock existente de estos dos productos, se han de utilizar al menos 600 litros de ácido fosfórico y 1800 litros de potasio. a) Si el beneficio por cada bidón del Fertilizante 1 es de 6 euros y para cada bidón de Fertilizante 2 de 5 euros, hallar la cantidad de fertilizante de cada tipo que hay que producir para obtener el beneficio máximo. b) Si por problemas en la cadena de distribución el beneficio del Fertilizante 2 se ve reducido hasta los 3 euros no afectando al beneficio del Fertilizante 1, cuántos bidones de cada tipo habría que producir para obtener el beneficio máximo? 6.28. Una fábrica produce mesas y sillas de un tipo determinado, de las cuales obtiene un beneficio de 20 y 25 euros, respectivamente. La cadena de fabricación requiere que cada mesa o silla pase por tres procesos distintos. Una mesa necesita 1, 3 y 1 horas en los procesos de ensamblaje, barnizado y secado respectivamente, mientras que una silla requiere 2, 1 y 3 horas de cada uno de dichos procesos. Las secciones de ensamblaje y barnizado trabajan un máximo de 16 y 18 horas diarias respectivamente mientras que la de secado trabaja como mínimo 9 horas diarias. a) Encontrar la producción óptima diaria si la empresa se propone maximizar el beneficio. b) Tras un estudio de ventas la empresa decide fabricar por cada 2 mesas al menos 7 sillas. Razonar si cambiaría la solución óptima inicial. 6.29. El propietario de una explotación agrícola se plantea elaborar alimento para el ganado a partir de dos de los cereales que produce. Para ello, dispondría de 160 sacos de C1 y de 50 sacos de C2, semanalmente. Además podría comprar sacos de C1 de la finca colindante a 4 euros cada saco. Cada ración de alimento se elabora mezclando 4 sacos de C1 y un saco de C2 y produciría un beneficio de 30 euros. (a) Resolver un problema de programación lineal de dos variables para determinar el número de raciones que habría que elaborar y el número de sacos de C1
8 Matemáticas II que habría que comprar para obtener el máximo beneficio. Cuál sería dicho beneficio? (b) Si el precio del saco de C1 se duplicara, indicar razonadamente cómo se obtendría en este caso el máximo beneficio. Se desaprovecharían algunos de los recursos de los que se dispone? 6.30. Unacompañíafabricadostiposdecongeladores, AyB.Cadaunodeellosdebepasar por tres operaciones antes de su comercialización: ensamblaje, pintura y control de calidad. Loscongeladorestipo Arequieren 2 horasde ensamblaje, 3kg depintura y4 horas de control de calidad; los congeladores tipo B requieren 3 horas de ensamblaje, 6 kg de pintura y 5 horas de control de calidad. La compañía dispone como máximo de 300 horas de ensamblaje, 750 kg de pintura y 500 horas de control de calidad semanalmente. Si el beneficio por cada congelador tipo A es de 40 euros y por cada congelador tipo B es de 55 euros, se pide: a) Hallar la producción que maximiza el beneficio. b) Vista la demanda de los productos, la empresa decide aumentar a 540 horas semanales el trabajo en control de calidad. Cuál será ahora la producción que maximiza el beneficio?